Cho \[F\left( x \right) = \smallint \frac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx\] , biết\[F(e) = 3\] , tìm \[F(x) = ?\]
A.\[F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\]
B. \[F\left( x \right) = - \sqrt {1 - \ln x} + \frac{1}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\]
C. \[F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} - \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\]
D. \[F\left( x \right) = 2\sqrt {1 - \ln x} - \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\]
Giải bởi Vietjack
\[F\left( x \right) = \smallint \frac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx\]
Đặt\[\sqrt {1 - \ln x} = t \Rightarrow 1 - \ln x = {t^2} \Rightarrow \ln x = 1 - {t^2} \Rightarrow \frac{1}{x}dx = - 2tdt\]
\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \smallint \frac{{1 - {t^2}}}{t}\left( { - 2tdt} \right) = - 2\smallint \left( {1 - {t^2}} \right)dt\]
\[ = - 2t + \frac{2}{3}{t^3} + C = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + C\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{F\left( e \right) = - 2\sqrt {1 - 1} + \frac{2}{3}\left( {1 - 1} \right)\sqrt {1 - 1} + C = 3 \Rightarrow C = 3}\\{ \Rightarrow F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Biết \[\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C\] với \[x \in \left( {\frac{1}{9}; + \infty } \right)\]. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số\[f(x) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\] thoả mãn F(2)=0. Khi đó phương trình F(x)=x có nghiệm là
Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x.\]. Nếu đổi biến số \[x = 1sint\;\] với \[t \in [\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]\] thì
Cho \[f\left( x \right) = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \]. Nếu đặt \[\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t\] thì:
Biết \[\smallint f\left( u \right)du = F\left( u \right) + C\]. Tìm khẳng định đúng
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\]. Khi đó, nếu đặt x=tant thì:
Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{{e^{2x}}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\sqrt {{e^x} + 1} }}dx = a\left( {t + \frac{1}{t}} \right) + C\] với \[t = \sqrt {{e^x} + 1} \;\], giá trị a bằng?
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx\]và \[F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \frac{a}{b}\] là phân số tối giản , a>0. Tổng a+b bằng ?
Cho \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}\] và \[\smallint f(x)dx = - 2\smallint {({t^2} - m)^2}dt\]với \[t = \sqrt {1 - x} \;\], giá trị của m bằng ?
Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{6tanx}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx\] . Giả sử đặt \[u = \sqrt {3tanx + 1} \;\] thì ta được:
