IMG-LOGO

Câu hỏi:

23/07/2024 107

Cho \[F\left( x \right) = \smallint \frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx\]và \[F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \frac{a}{b}\] là phân số tối giản , a>0. Tổng a+b bằng ?

A.6

B.4

C.8

Đáp án chính xác

D.5

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

\[F\left( x \right) = \smallint \frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx\]

Đặt\[\sqrt {1 + x} = t \Rightarrow 1 + x = {t^2} \Rightarrow x = {t^2} - 1 \Rightarrow dx = 2tdt\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow F\left( x \right) = \smallint \frac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}.2tdt = 2\smallint t\left( {t - 1} \right)dt = 2\smallint \left( {{t^2} - t} \right)dt}\\{ = \frac{2}{3}{t^3} - {t^2} + C = \frac{2}{3}\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x} - \left( {1 + x} \right) + C}\\{ \Rightarrow F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\left( {1 + 3} \right)\sqrt {1 + 3} - \left( {1 + 3} \right) - \frac{2}{3}\left( {1 + 0} \right)\sqrt {1 + 0} + \left( {1 + 0} \right) = \frac{5}{3}}\\{ \Rightarrow a = 5,b = 3 \Rightarrow a + b = 8}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Nguyên hàm của hàm số \[y = \cot x\] là:

Xem đáp án » 13/10/2022 168

Câu 2:

Nếu \[t = {x^2}\] thì:

Xem đáp án » 13/10/2022 167

Câu 3:

Biết \[\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C\] với \[x \in \left( {\frac{1}{9}; + \infty } \right)\]. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Xem đáp án » 13/10/2022 134

Câu 4:

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số\[f(x) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\] thoả mãn F(2)=0. Khi đó phương trình F(x)=x có nghiệm là

Xem đáp án » 13/10/2022 134

Câu 5:

Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x.\]. Nếu đổi biến số \[x = 1sint\;\] với \[t \in [\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]\] thì

Xem đáp án » 13/10/2022 127

Câu 6:

Tính \[I = \smallint 3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx\]

Xem đáp án » 13/10/2022 125

Câu 7:

Cho \[f\left( x \right) = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \]. Nếu đặt \[\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t\] thì:

Xem đáp án » 13/10/2022 123

Câu 8:

Nếu \[t = u\left( x \right)\]thì:

Xem đáp án » 13/10/2022 117

Câu 9:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\]. Khi đó, nếu đặt x=tant thì:

Xem đáp án » 13/10/2022 114

Câu 10:

Biết \[\smallint f\left( u \right)du = F\left( u \right) + C\]. Tìm khẳng định đúng

Xem đáp án » 13/10/2022 113

Câu 11:

Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{6tanx}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx\] . Giả sử đặt \[u = \sqrt {3tanx + 1} \;\] thì ta được:

Xem đáp án » 13/10/2022 108

Câu 12:

Nếu có \[x = cott\;\] thì:

Xem đáp án » 13/10/2022 108

Câu 13:

Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{{e^{2x}}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\sqrt {{e^x} + 1} }}dx = a\left( {t + \frac{1}{t}} \right) + C\] với \[t = \sqrt {{e^x} + 1} \;\], giá trị a bằng?

Xem đáp án » 13/10/2022 107

Câu 14:

Cho \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}\] và \[\smallint f(x)dx = - 2\smallint {({t^2} - m)^2}dt\]với \[t = \sqrt {1 - x} \;\], giá trị của m bằng ?

Xem đáp án » 13/10/2022 105

Câu 15:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} - m} \]. Số giá trị của tham số m để \[F\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{7}{3}\] và \[F\left( {\sqrt 5 } \right) = \frac{{14}}{3}\;\] là:

Xem đáp án » 13/10/2022 104

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »