Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} - m}$. Số giá trị của tham số m để $F\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{7}{3}$ và $F\left( {\sqrt 5 } \right) = \frac{{14}}{3}\;$ là:

Ta có:$F\left( x \right) = \smallint f\left( x \right)dx = \smallint x\sqrt {{x^2} - m} dx$

Đặt $t = \sqrt {{x^2} - m} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - m \Leftrightarrow tdt = xdx$

$\Rightarrow F\left( x \right) = \smallint t.tdt = \smallint {t^2}dt = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - m} } \right)}^3}}}{3} + C$

Theo bài ra ta có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F(\sqrt 2 ) = \frac{7}{3}}\\{F(\sqrt 5 ) = \frac{{14}}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3}}}{3} + C = \frac{7}{3}}\\{\frac{{{{\left( {\sqrt {5 - m)} } \right)}^3}}}{3} + C = \frac{{14}}{3}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3}}}{3} + C = \frac{7}{3}}\\{\frac{{{{\left( {\sqrt {5 - m)} } \right)}^3}}}{3} - \frac{{{{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3}}}{3} = \frac{7}{3}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3}}}{3} + C = \frac{7}{3}}\\{{{\left( {\sqrt {5 - m)} } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3} = 7}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3}}}{3} + C = \frac{7}{3}}\\{{{\left( {\sqrt {5 - m)} } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3} - 7 = 0\left( * \right)}\end{array}} \right.$

Xét hàm số $f\left( m \right) = {\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} - 7$ với$m \le 2$

Ta có

$f'\left( m \right) = - \frac{3}{2}\sqrt {5 - m} + \frac{3}{2}\sqrt {2 - m} = \frac{3}{2}\left( {\sqrt {2 - m} - \sqrt {5 - m} } \right)$

Vì $2 - m < 5 - m\,\,\forall m \le 2 \Rightarrow \sqrt {2 - m} < \sqrt {5 - m} \,\,\forall m \le 2$ do đó$f'\left( m \right) < 0\,\,\forall m \le 2$

Suy ra hàm số f(m) nghịch biến trên$\left( { - \infty ;2} \right]$

Khi đó phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm, mà f(1)=0 nên m=1là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Vậy có 1 giá trị của mm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C