Tính \[I = \smallint x{\tan ^2}xdx\] ta được:
A.\[ - \frac{1}{2}{x^2} + x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\]
B. \[ - \frac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\]
C. \[\frac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\]
D. \[\frac{1}{2}{x^2} - x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\]
Giải bởi Vietjack
\[I = \smallint x{\tan ^2}xdx = \smallint x\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx = \smallint x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx - \smallint xdx = {I_1} - {I_2}\]
Ta có:\[{I_2} = \smallint xdx = \frac{{{x^2}}}{2} + {C_2},{I_1} = \smallint x\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = \frac{1}{{co{s^2}x}}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = tanx}\end{array}} \right.\)
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {I_1} = x\tan x - \smallint \tan xdx + {C_1} = x\tan x - \smallint \frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx + {C_1}}\\{ = x\tan x + \smallint \frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}} + {C_1} = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1}.}\\{ \Rightarrow I = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1} - \frac{{{x^2}}}{2} - {C_2} = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| - \frac{{{x^2}}}{2} + C.}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:
Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).
Nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx\] là:
Biết \[F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\] là nguyên hàm của hàm số \[y = (2x + 3).{e^x}\]. Khi đó b−a là
Ta có \[ - \frac{{x + a}}{{{e^x}}}\] là một họ nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \frac{x}{{{e^x}}}\], khi đó:
Tính \[I = \smallint \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx\] ta được:
Biết rằng \[x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số f(−x) trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của \[f\prime \left( x \right){e^x}\;\] thỏa mãn F(0)=1, giá trị của F(−1) bằng:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[y = x.cosx\] mà F(0)=1. Phát biểu nào sau đây đúng:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 1 \right) = 0,\;F(x) = {[f(x)]^{2020}}\] là một nguyên hàm của \[2020x.{e^x}\]. Họ các nguyên hàm của \[{f^{2020}}(x)\;\] là:
