Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:
A.\[\left( {x + 1} \right){e^x} + C\]
B. \[\left( {x + 1} \right){e^x} - x + C\]
C. \[\left( {x + 2} \right){e^x} - x + C\]
D. \[\left( {x + 1} \right){e^x} + x + C\]
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[\begin{array}{l}F\prime (x) = f(x)\\ \Leftrightarrow f\prime (x) - {e^x} - 1 = f(x)\\ \Leftrightarrow f\prime (x) - f(x) = {e^x} + 1\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}.f\prime (x) - {e^{ - x}}.f(x) = 1 + {e^{ - x}}\\ \Leftrightarrow [{e^{ - x}}.f(x)]\prime = 1 + {e^{ - x}}\\ \Leftrightarrow \smallint [{e^{ - x}}.f(x)]\prime dx = \smallint (1 + {e^{ - x}})dx\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}.f(x) = x - {e^{ - x}} + C\\ \Leftrightarrow f(x) = x.{e^x} - 1 + C.{e^x}\end{array}\]
Thay x=0 ta có: \[f\left( 0 \right) = - 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow f(x) = x.{e^x} - 1 + 2{e^x} = (x + 2){e^x} - 1\\ \Rightarrow \smallint f(x)dx = \smallint [(x + 2){e^x} - 1]dx\\ = \smallint (x + 2){e^x}dx - \smallint dx\\ = (x + 2){e^x} - \smallint {e^x}dx - x + C\\ = (x + 2){e^x} - {e^x} - x + C\\ = (x + 1){e^x} - x + C\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).
Tính \[I = \smallint \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx\] ta được:
Nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx\] là:
Biết \[F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\] là nguyên hàm của hàm số \[y = (2x + 3).{e^x}\]. Khi đó b−a là
Ta có \[ - \frac{{x + a}}{{{e^x}}}\] là một họ nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \frac{x}{{{e^x}}}\], khi đó:
Biết rằng \[x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số f(−x) trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của \[f\prime \left( x \right){e^x}\;\] thỏa mãn F(0)=1, giá trị của F(−1) bằng:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[y = x.cosx\] mà F(0)=1. Phát biểu nào sau đây đúng:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 1 \right) = 0,\;F(x) = {[f(x)]^{2020}}\] là một nguyên hàm của \[2020x.{e^x}\]. Họ các nguyên hàm của \[{f^{2020}}(x)\;\] là:
