Biết rằng \[x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số f(−x) trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của \[f\prime \left( x \right){e^x}\;\] thỏa mãn F(0)=1, giá trị của F(−1) bằng:
A.\[\frac{7}{2}\]
B. \[\frac{{5 - e}}{2}\]
C. \[\frac{{7 - e}}{2}\]
D. \[\frac{5}{2}\]
Giải bởi Vietjack
Vì \[x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số f(−x) nên
\[{\left( {x{e^x}} \right)^\prime } = f\left( { - x} \right) \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {1 + x} \right)\]
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {1 - x} \right)\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow f\prime (x) = - {e^{ - x}}(1 - x) - {e^{ - x}} = - e - x(2 - x) = (x - 2){e^{ - x}}\\ \Rightarrow f\prime (x){e^x} = (x - 2){e^{ - x}}.{e^x} = x - 2\\ \Rightarrow F(x) = \smallint f(x)dx = \smallint (x - 2)dx = \frac{{{x^2}}}{2} - 2x + C\\F(0) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F(x) = \frac{{{x^2}}}{2} - 2x + 1\\ \Rightarrow F( - 1) = \frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} - 2( - 1) + 1 = \frac{7}{2}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).
Tính \[I = \smallint \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx\] ta được:
Nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx\] là:
Biết \[F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\] là nguyên hàm của hàm số \[y = (2x + 3).{e^x}\]. Khi đó b−a là
Ta có \[ - \frac{{x + a}}{{{e^x}}}\] là một họ nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \frac{x}{{{e^x}}}\], khi đó:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[y = x.cosx\] mà F(0)=1. Phát biểu nào sau đây đúng:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 1 \right) = 0,\;F(x) = {[f(x)]^{2020}}\] là một nguyên hàm của \[2020x.{e^x}\]. Họ các nguyên hàm của \[{f^{2020}}(x)\;\] là:
