Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \frac{\pi }{4}\], tổng m+n
A.bằng 12.
B.bằng 10.
C.bằng 8.
D.bằng 6.
Giải bởi Vietjack
Đặt
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = ln(3sinx + cosx)}\\{dv = \frac{{dx}}{{si{n^2}x}}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{3cosx - sinx}}{{3sinx + cosx}}dx}\\{v = - cotx - 3 = - \frac{{3sinx + cosx}}{{sinx}}}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\[I = [ - (cotx + 3)ln(3sinx + cosx)]\left| {_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}} \right. + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3cosx - sinx}}{{sinx}}} dx\]
\[ = 4.ln2\sqrt 2 - 3.ln3 - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {dx + 3\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{d(sinx)}}{{sinx}}} .} \]
\[ = 4.ln2\sqrt 2 - 3.ln3 - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {dx + 3ln|sinx|\left| {_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}} \right.} \]
\[\begin{array}{l} = 4.ln2\sqrt 2 - 3.ln3 - \frac{\pi }{4} - 3.ln\frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ = 12ln\sqrt 2 - 3ln3 - \frac{\pi }{4} + 3ln\sqrt 2 = 15.ln\sqrt 2 - 3.ln3 - \frac{\pi }{4}\end{array}\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 15}\\{n = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow m + n = 12\)
Đáp án cần chọn là: A
Để tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x\] theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
Cho f(x),g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]và thỏa mãn điều kiện \[\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f'\left( x \right)dx = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right)} .f\left( x \right)dx = 2\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} 'dx\)A.I=2
Cho \[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{2x}}\;\] và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện \[f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx\)
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\;\]thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 2\], \({\int\limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right)} \right]} ^2}dx = 12 - 16\ln 2,\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} dx = 4\ln 2 - 2\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx\)
Giả sử tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^4 x\ln {\left( {2x + 1} \right)^{2017}}dx = a + \frac{b}{c}\ln 3.\]. Với phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản. Lúc đó :
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x = a + b.\ln 2 - c.\ln 3\]với\[a,b,c \in R\], tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,\], nếu đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.\) thì
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \frac{{m - \pi }}{{m + \pi }}\], giá trị của m bằng :
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {1;3} \right],\]thỏa mãn \[f(4 - x) = f(x),\forall x \in \left[ {1;3} \right]\;\] và \[\mathop \smallint \limits_1^3 xf\left( x \right)dx = - 2\]. Giá trị \(2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx\) bằng
Cho \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx = a + b\ln 3 + c\ln 5\] với \[a,b,c \in \mathbb{Q}\]. Tính tổng a+b+c.
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^x}\sin x\]. Gọi a,ba,b là các số nguyên thỏa mãn \[I = \frac{{{e^{\frac{\pi }{2}}} + a}}{b}\]
Tích phân: \[I = \mathop \smallint \limits_1^e 2x(1 - \ln x)\,dx\] bằng
Cho hàm số f(x) có \[f\left( 2 \right) = 0\;\] và \[f\prime (x) = \frac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }},\;\forall x \in (\frac{3}{2}; + \infty )\;\]. Biết rằng \[\mathop \smallint \limits_4^7 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx = \frac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z},b > 0,\frac{a}{b}\] là phân số tối giản). Khi đó a+b bằng:
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x\]
Nếu \[\mathop \smallint \limits_0^\pi f\left( x \right)\sin xdx = 20,\mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( x \right)'\sin xdx = 5\]thì\[I = \mathop \smallint \limits_0^{{\pi ^2}} f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx\] bằng:
