Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện \[x.f({x^3}) + f({x^2} - 1) = {e^{{x^2}}},\;\forall x \in \mathbb{R}\]. Khi đó giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) là:
A.3(1−e)
B.3e
C.0
D.3(e−1)
Giải bởi Vietjack
Ta có: \[x.f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2}.f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {{x^2} - 1} \right) = x{e^{{x^2}}}\]
Lấy tích phân tư -1 đến 0 hai vế phương trình ta có:
\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 {x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx + \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 x{e^{{x^2}}}dx\,\,\left( * \right)\]
Xét\[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 {x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx\]
Đặt\[t = {x^3} \Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{dt}}{3}\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow t = - 1}\\{x = 0 \Rightarrow t = 0}\end{array}} \right.\) khi đó ta có:\[{I_1} = \frac{1}{3}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( t \right)dt = \frac{1}{3}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\]
Xét \[{I_2} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx\]
Đặt\[u = {x^2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}du\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow u = 0}\\{x = 0 \Rightarrow u = - 1}\end{array}} \right.\) khi đó ta có\[{I_2} = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^{ - 1} f\left( u \right)du = - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\]
Xét \[{I_3} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 x{e^{{x^2}}}dx\]
Đặt\[v = {x^2} \Rightarrow dv = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}dv\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow v = 1}\\{x = 0 \Rightarrow v = 0}\end{array}} \right.\) khi đó ta có
\({I_3} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {{e^v}dv = } \frac{1}{2}{e^v}\left| {_0^1} \right. = \frac{1}{2} - \frac{e}{2} = \frac{{1 - e}}{2}\)
Thay tất cả vào (*) ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{3}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = \frac{{1 - e}}{2}}\\{ \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = \frac{{1 - e}}{2}}\\{ \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = 3\left( {e - 1} \right)}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Để tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x\] theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
Cho f(x),g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]và thỏa mãn điều kiện \[\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f'\left( x \right)dx = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right)} .f\left( x \right)dx = 2\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} 'dx\)A.I=2
Cho \[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{2x}}\;\] và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện \[f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx\)
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\;\]thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 2\], \({\int\limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right)} \right]} ^2}dx = 12 - 16\ln 2,\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} dx = 4\ln 2 - 2\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx\)
Giả sử tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^4 x\ln {\left( {2x + 1} \right)^{2017}}dx = a + \frac{b}{c}\ln 3.\]. Với phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản. Lúc đó :
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x = a + b.\ln 2 - c.\ln 3\]với\[a,b,c \in R\], tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,\], nếu đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.\) thì
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \frac{{m - \pi }}{{m + \pi }}\], giá trị của m bằng :
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {1;3} \right],\]thỏa mãn \[f(4 - x) = f(x),\forall x \in \left[ {1;3} \right]\;\] và \[\mathop \smallint \limits_1^3 xf\left( x \right)dx = - 2\]. Giá trị \(2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx\) bằng
Cho \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx = a + b\ln 3 + c\ln 5\] với \[a,b,c \in \mathbb{Q}\]. Tính tổng a+b+c.
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^x}\sin x\]. Gọi a,ba,b là các số nguyên thỏa mãn \[I = \frac{{{e^{\frac{\pi }{2}}} + a}}{b}\]
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \frac{\pi }{4}\], tổng m+n
Tích phân: \[I = \mathop \smallint \limits_1^e 2x(1 - \ln x)\,dx\] bằng
Cho hàm số f(x) có \[f\left( 2 \right) = 0\;\] và \[f\prime (x) = \frac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }},\;\forall x \in (\frac{3}{2}; + \infty )\;\]. Biết rằng \[\mathop \smallint \limits_4^7 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx = \frac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z},b > 0,\frac{a}{b}\] là phân số tối giản). Khi đó a+b bằng:
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x\]
