Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4}$ và $B = \frac{18 - \sqrt{x}}{x - 4} + \frac{4}{2 - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2}$ với x ≥ 0, x ≠ 4.

1) Tính giá trị của A khi x = 25.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Đặt P = A.B. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Giải bởi Vietjack

1) Khi x = 25 (TMĐK) ta có:

$A = \frac{\sqrt{25} + 1}{25 - 4} = \frac{5 + 1}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ .

Vậy giá trị của A khi x = 25 là $A = \frac{2}{7}$ .

2) $B = \frac{18 - \sqrt{x}}{x - 4} + \frac{4}{2 - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2}$

$= \frac{18 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{4}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2}$

$= \frac{18 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} - \frac{4 (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} + \frac{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$= \frac{18 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} - \frac{4 \sqrt{x} + 8}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} + \frac{x + \sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$= \frac{18 - \sqrt{x} - 4 \sqrt{x} - 8 + x + \sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$= \frac{18 - \sqrt{x} - 4 \sqrt{x} - 8 + x + \sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$= \frac{x - 4 \sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$= \frac{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$ .

3) P = A.B $= \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4} . \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}$

$= \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} . \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}$

= $= \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{x + 4 \sqrt{x} + 4}$

$= \frac{\frac{1}{4} x + \sqrt{x} + 1 - \frac{1}{4} x}{x + 4 \sqrt{x} + 4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}$

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} . {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2})}^{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(1 - \frac{2}{\sqrt{x} + 2})}^{2}$

Ta có $\sqrt{x} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 \geq 2$

$\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{2}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \geq - 1$

$\Leftrightarrow 1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \geq 1 - 1 = 0$

$\Leftrightarrow {(1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 2})}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{4} {(1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 2})}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{4} {(1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 2})}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow P = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 2})}^{2} \leq \frac{1}{4}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của P là $\frac{1}{4}$ . Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Xem đáp án » 14/10/2022 99

Xem đáp án » 14/10/2022 78

Xem đáp án » 14/10/2022 77

Xem đáp án » 14/10/2022 54

Xem thêm »

Xem thêm »

Xem thêm »