Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

2) Chứng minh OA ⊥ EF.

3) Gọi M là trung điểm của BC, S là giao điểm của đường thẳng EF và BC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và chứng minh SH ⊥ AM.

) Ta có $\widehat{BFC}=90°$(CF ⊥ AB)

$\widehat{BEC}=90°$ (BE ⊥ AC)

Xét tứ giác BFEC có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90°$

Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp.

2) Từ A kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

Ta có $\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AB)

Mà$\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$ (tứ giác FECB nội tiếp)

Suy ra $\widehat{xAB}=\widehat{AFE \Rightarrow }$Ax // FE (hai góc so le trong)

Mà Ax ⊥ AO (Ax là tiếp tuyến của (O))

Suy ra FE ⊥ OA (điều phải chứng minh)

3) Ta có: $\widehat{ACK}=90°$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BK\perp AB$

$\widehat{ABK}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BK\perp AB$

Xét tứ giác BHCK có:

BH // CK (cúng vuông góc AC)

CH // BK (cùng vuông góc AB)

Suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành

Tứ giác BHCK là hình bình hành có M là trung điểm BC

Suy ra M cũng là trung điểm HK suy ra M, H, K thẳng hàng

SA cắt đường tròn (O) tại N

Xét tứ giác nội tiếp BFEC có FE cắt BC tại S

Xét ∆SFB và ∆SCE có:

$\widehat{ESC}$ là góc chung

$\widehat{SFB}=\widehat{SCE}$ (tứ giác BFEC nội tiếp)

Suy ra ∆SFB  ∆SCE (g.g)

Suy ra $\frac{SF}{SC}=\frac{SB}{SE}\iff SF.SE=SB.SC$

Tương tự tứ giác BNAC nội tiếp (O) có AN cắt CB tại S.

Suy ra SN.SA = SB.SC

Từ 2 điều trên suy ra SN.SA = SF.SE 

 Xét ∆SNF và ∆SEA có:

$\widehat{ASE}$ là góc chung

$\frac{SN}{SE}=\frac{SF}{SA}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆SNF  ∆SEA (c.g.c)

Suy ra $\widehat{SNF}=\widehat{SEA}$.

Suy ra tứ giác ANFE nội tiếp (1)

Ta có $\widehat{AFH}=90°$(CF ⊥ AB)

$\widehat{AEH}=90°$ (BE ⊥ AC)

Xét tứ giác AFHE có $\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90°+90°=180°$

Suy ra tứ giác AFHE nội tiếp. (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, N, F, H, E nội tiếp cùng một đường tròn.

Có $\widehat{AEH}=90°$ (BE ⊥ AC)  AH là đường kính .

Suy ra $\widehat{ANH}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow NH\perp SA$.

Ta có $\widehat{KNA}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow KN\perp SA$.

Mà NH ⊥ SA (cmt).

Suy ra K, H, N thẳng hàng hay 4 điểm K, M, H, N thẳng hàng.

Suy ra MH ⊥ SA.

Xét tam giác ABC có H là giao điểm của 2 đường cao CF và BE.

Suy ra AH là dường cao thứ ba suy ra AH ⊥ BC hay AH ⊥ SM.

Xét tam giác ASM có:

MH ^ SA (cmt);

AH ^ SM (cmt).

Suy ra H là trực tâm của tam giác ASM.

Vậy SH ⊥ AM (điều phải chứng minh).