Cho khối lăng trụ \[ABC.{\rm{ }}A'B'C'\] có thể tích là \({\rm{V}}\). Gọi \({\rm{M}}\) là điểm bất kỳ trên đường thẳng \[CC'.\] Thể tích khối chóp \({V_{M.ABB'A'}}\) theo \(V\) là
Giải bởi Vietjack
Gọi \({{\rm{h}}_1},\;{{\rm{h}}_2}\) lần lượt là đường cao của hai hình chóp M.ABC,
\(M.{\rm{ }}A'B'C'\) thì \({h_1} + {h_2} = h\) là đường cao của lăng trụ \[ABC.{\rm{ }}A'B'C'.\]
Ta có \({\rm{V}} = {{\rm{V}}_{{\rm{M}}{\rm{.ABC}}}} + {{\rm{V}}_{{\rm{M}}{\rm{.B}}B'A'}} + {{\rm{V}}_{M.{\rm{ }}A'B'C'}}\)
\( = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot {h_1} + {V_{M.ABB'A'}} + \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}} \cdot {h_2}\)
\( = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\left( {{h_1} + {h_2}} \right) + {V_{M.ABB'A'}} = \frac{1}{3}V + {V_{M.ABB'A'}}\)
Suy ra \({V_{M.ABB'A'}} = \frac{{2V}}{3}\). Chọn \(M\) trùng \(C\)hoặc \[C'\]. Chọn D.Tìm tất cả các giá trị của tham số \({\rm{m}}\) để hàm số \({\rm{y}} = {{\rm{x}}^4} + 4{\rm{m}}{{\rm{x}}^3} + 3(\;{\rm{m}} + 1){{\rm{x}}^2} + 1\) có cực tiểu mà không có cực đại.
Xét số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{\rm{z}} + 2{\rm{i}}} \right)\left( {\overline {\rm{z}} + 2} \right)\) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của \(z\) là một đường tròn, tâm và bán kính đường tròn có tọa độ \({\rm{I}}\left( {{\rm{a}}\,;\,\,{\rm{b}}} \right).\) Tính \(a + b.\)
Cho hình chóp \({\rm{S}}.{\rm{ABC}}\) có \({\rm{SA}}\) vuông góc với đáy, \({\rm{SA}} = 2{\rm{BC}}\) và \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 120^\circ .\) Hình chiếu vuông góc của \({\rm{A}}\) lên các đoạn \({\rm{SB}}\) và \({\rm{SC}}\) lần lượt là \({\rm{M}}\) và \({\rm{N}}\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{\rm{ABC}}} \right)\) và \(\left( {{\rm{AMN}}} \right)\) bằng
Một trang trại mỗi ngày thu hoạch được một tấn rau. Mỗi ngày, nếu bán rau với giá \[30\,\,000\] đồng/kg thì hết sạch rau, nếu giá bán cứ tăng thêm \[1\,\,000\] đồng/kg thì số rau thừa lại tăng thêm 20 kg. Số rau thừa này được thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá \[2\,\,000\] đồng/kg. Hỏi số tiền bán rau nhiều nhất mà trang trại có thể thu lời một ngày là bao nhiêu?
Cho tứ diện \[ABCD,\] các điểm \[P,\,\,Q\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD;\] điểm \(R\) nằm trên cạnh \({\rm{BC}}\) sao cho \({\rm{BR}} = 2{\rm{RC}}\). Gọi \({\rm{S}}\) là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {{\rm{PQR}}} \right)\) và cạnh \({\rm{AD}}\). Tỉ số \(\frac{{SA}}{{SD}}\) bằng
Cho hình chóp tứ giác \[S.ABCD\] có đáy \({\rm{ABCD}}\) là hình vuông cạnh \[a.\] Đường thẳng \({\rm{SA}}\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \[SB.\] Biết khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {{\rm{SCD}}} \right)\) bằng \(\frac{{\rm{a}}}{{\sqrt 5 }}\). Tính \(\frac{{{\rm{SA}}}}{{\rm{a}}}.\)
Cho hai số phức phân biệt \({z_1}\) và \({z_2}.\) Hỏi trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức \[z\] là một đường thẳng nếu điều kiện nào sau đây được thỏa mãn?
Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Oxyz,}}\) cho hai điểm \({\rm{A}}\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right),\,\,{\rm{B}}\left( { - 3\,;\,\,2\,;\,\,9} \right)\). Mặt phẳng trung trực của đoạn \({\rm{AB}}\) có phương trình là
Trong hệ tọa độ \({\rm{Oxy}}\), cho ba điểm \({\rm{A}}\left( {1\,;\,\,0} \right),\,\,{\rm{B}}\left( {0\,;\,\,3} \right)\) và \[{\rm{C}}\left( { - 3\,;\,\, - 5} \right)\]. Tìm điểm \(M\) thuộc trục hoành sao cho biểu thức \({\rm{P}} = \left| {2\overrightarrow {{\rm{MA}}} - 3\overrightarrow {{\rm{MB}}} + 2\overrightarrow {{\rm{MC}}} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian \({\rm{Oxyz}}\), cho điểm \({\rm{M}}\left( {4\,;\,\, - 1\,;\,\,7} \right)\), Gọi \({\rm{M'}}\) là điểm đối xứng với \({\rm{M}}\) qua trục \({\rm{Ox}}\). Khi đó, khoảng cách từ điểm \({\rm{M'}}\) đến mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right):2x - 2y + z - 2 = 0\) bằng
Cho hai số phức \({z_1} = 2 + i\) và \({z_2} = - 3 + i\). Phần ảo của số phức \({z_1}\overline {{z_2}} \) bằng
Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa một lượng nước như nhau, độ cao mức nước trong bình II gấp đôi bình \({\rm{I}}\) và trong bình III gấp đôi bình II. Lúc đó, bán kính đáy \({{\rm{r}}_1},\,\,{{\rm{r}}_2},\,\,{{\rm{r}}_3}\) của ba bình (theo thứ tự) I, II, III lập thành cấp số nhân với công bội bằng
Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Oxyz}}\), cho điểm \({\rm{M}}\left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,1} \right)\) và mặt phẳng \((\alpha ):{\rm{x}} + 3{\rm{y}} - {\rm{z}} + 2 = 0\). Đường thẳng \({\rm{d}}\) qua điểm \({\rm{M}}\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình là
Cho hàm số \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\) có \({\rm{f}}(2) = 0\) và \({\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{{\rm{x}} + 7}}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 3} }},\,\,\forall {\rm{x}} \in \left( {\frac{3}{2}\,;\, + \infty } \right)\). Biết rằng \(\int\limits_4^7 {f\left( {\frac{{\rm{x}}}{2}} \right){\rm{dx}} = \frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}} \) \(\left( {{\rm{a}},\,\,{\rm{b}} \in \mathbb{Z}\,,\,\,{\rm{b}} > 0\,,\,\,\frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}} \right.\) là phân số tối giản). Khi đó \({\rm{a}} + {\rm{b}}\) bằng
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{x^2} + 2012} \right)\sqrt[7]{{1 - 2x}} - 2012}}{x} = \frac{a}{b}\), với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, \[a\] là số nguyên âm. Tính giá trị của \({\rm{a}} + {\rm{b}}\).
