Cho các số thực \[a,b,c\] tùy ý. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) > {\left( {a + b + c} \right)^2}.\]
B. \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) < {\left( {a + b + c} \right)^2}.\]
C. \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}.\]
D. \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^2}.\]
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {a + b + c} \right)^2}\]
\[ = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac} \right)\]
\[ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)\]
\[ = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2}\]
Với mọi số thực \[a,b,c\] tùy ý, ta có:
\[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0.\]
Do đó \[{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0.\]
Vì vậy \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\] hay \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}.\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b = c.\]
Vậy ta chọn phương án C.
I. Nhận biết
Bất đẳng thức mô tả phát biểu “\[x\] là số không âm” là
Giả sử \[t\] là số giờ làm việc tối thiểu của công nhân trong một ngày. Dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức trong trường hợp: “Số giờ làm việc tối thiểu của công nhân trong một ngày là 8 giờ” ta được
Cho các khẳng định sau với mọi \[x,y\] là số dương:
(I) \[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4.\]
(II) \[{x^2} + {y^3} \le 0.\]
(III) \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 0.\]
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
Cho \[x - 2 \ge y - 2.\] Bất đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\) là
Trong các cặp bất đẳng thức sau, cặp bất đẳng thức nào cùng chiều?
Cho bất đẳng thức \[m > n.\] Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:
