Cho a≥−12 và ab>1. Chứng minh rằng 2a3+14ba−b≥3

Do ab>1⇔a−bb>0⇒ba−b>0 Và a−2b2≥0⇔a2−4ab+4b2≥0⇔4ba−b≤a2 1 a≥−12⇔2a+1≥0⇔2a+1a−12≥0⇔2a3+1−3a2≥0⇔2a3+13≥a22 Từ (1) và (2) ⇒4ba−b≤a2≤2a3+13⇒4ba−b−3≤2b3+13 ⇔2a3+14b(a−b)≥3 (đpcm).

Câu hỏi:

12/07/2024 71

Cho $a \geq - \frac{1}{2}$ và $\frac{a}{b} > 1$ . Chứng minh rằng $\frac{2 a^{3} + 1}{4 b (a - b)} \geq 3$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Do $\frac{a}{b} > 1 \Leftrightarrow \frac{a - b}{b} > 0 \Rightarrow b (a - b) > 0$

Và ${(a - 2 b)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 4 b (a - b) \leq a^{2} (1)$

$a \geq - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 a + 1 \geq 0 \Leftrightarrow (2 a + 1) {(a - 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 2 a^{3} + 1 - 3 a^{2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2 a^{3} + 1}{3} \geq a^{2} (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 4 b (a - b) \leq a^{2} \leq \frac{2 a^{3} + 1}{3} \Rightarrow$ $4 b (a - b) - 3 \leq \frac{2 b^{3} + 1}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{2 a^{3} + 1}{4 b (a - b)} \geq 3$ (đpcm).

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

2) Xác định tọa độ điểm K thuộc đường thẳng $Δ$ sao cho diện tích tam giác MNK bằng $\frac{29}{2}$ đvdt.

Xem đáp án » 14/10/2022 75

Câu 2:

$2) \sqrt{2 x^{2} - 3 x - 5} \geq x + 1$

Xem đáp án » 14/10/2022 72

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình $- x^{2} + 4 x + 5 - a < 0$ với $\forall x < 1$

Xem đáp án » 25/06/2022 72

Câu 4:

Cho 2 đường thẳng $Δ$ và $Δ'$ lần lượt có phương trình là $\sqrt{3} x - y + 1 - \sqrt{3} = 0$ và $x - \sqrt{3} y - 1 + \sqrt{3} = 0$ . Góc giữa 2 đường thẳng $Δ$ và $Δ'$ là:

Xem đáp án » 25/06/2022 71

Câu 5:

Điều kiện xác định của hàm số $y = \sqrt{\frac{1 - x}{x}}$ là

Xem đáp án » 25/06/2022 70

Câu 6:

Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{{(x + 1)}^{2}} \leq 0$ là

Xem đáp án » 25/06/2022 69

Câu 7:

Giá trị của m để bất phương trình $(1 - m) x^{2} + x - 2 \leq 0$ luôn đúng với mọi $x \in ℝ$ là

Xem đáp án » 25/06/2022 69

Câu 8:

Cho 2 điểm M(1;1), N(-2;3) và đường thẳng $Δ$ có phương trình: $2 x + y - 10 = 0$

1) Xác định tọa độ điểm I thuộc đường thẳng $Δ$ sao cho tam giác MNI vuông tại M.

2) Xác định tọa độ điểm K thuộc đường thẳng $Δ$ sao cho diện tích tam giác MNK bằng $\frac{29}{2}$ đvdt.

Xem đáp án » 25/06/2022 69

Câu 9:

Giải các bất phương trình sau:

$1) 2 x^{2} + x - |2 x + 1| < 0$

$2) \sqrt{2 x^{2} - 3 x - 5} \geq x + 1$

Xem đáp án » 25/06/2022 68

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

80 câu trắc nghiệm Vectơ cơ bản

5 đề 25204 lượt thi Thi thử
75 câu trắc nghiệm Bất đẳng thức - Bất phương trình nâng cao

5 đề 24018 lượt thi Thi thử
75 câu trắc nghiệm Vectơ nâng cao

4 đề 23970 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Mệnh đề có đáp án

2 đề 22545 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Cung và góc lượng giác cơ bản

5 đề 18963 lượt thi Thi thử
120 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nâng cao

6 đề 18679 lượt thi Thi thử
50 câu trắc nghiệm Hàm số bậc nhất và bậc hai cơ bản

3 đề 17878 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Mệnh đề - Tập hợp nâng cao

6 đề 17517 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ cơ bản

5 đề 14849 lượt thi Thi thử
160 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cơ bản

7 đề 14339 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »