Số nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)\] là
A.3
B.2
C.1
D.4
Giải bởi Vietjack
Đặt \[{x^2} - \sqrt 2 x = t\] khi đó\[{\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2)(t > - 2;t \ne 0)\]
Đặt\[\;lo{g_3}|t| = lo{g_5}(t + 2) = a \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|t| = {3^a}}\\{t + 2 = {5^a}}\end{array}} \right.\]
\[ \Rightarrow |{5^a} - 2| = {3^a} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^a} - 2 = - {3^a}}\\{{5^a} - 2 = {3^a}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^a} + {3^a} = 2\left( 1 \right)}\\{{5^a} = {3^a} + 2\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]
Xét (1):\[f(a) = {5^a} + {3^a} \Rightarrow f'(a) = {5^a}\ln 5 + {3^a}\ln 3 > 0(\forall a \in R)\] nên hàm số đồng biến trên R
Mặt khác\[f(0) = 2\] do đó phương trình\[f(a) = f(0)\] có 1 nghiệm duy nhất\[a = 0 \Rightarrow t = - 1\]
Suy ra: \[{x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0\] (vô nghiệm)
Xét (2) \[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^a} = 1\]
Đặt
\[g(a) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^a} \Rightarrow g'(a) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^a}\ln \frac{3}{5} + 2.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^a}\ln \frac{1}{5} < 0(\forall a \in R)\]
Nên hàm số g(a) nghịch biến trên R do đó phương trình g(a)=1 có tối đa 1 nghiệm.
Mà g(a)=g(1) nên a=1
Suy ra \[t = 3 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 3 = 0\] có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Đáp án cần chọn là: B
Tìm tập nghiệm S của phương trình \[{\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\].
Tìm tập nghiệm S của phương trình \[lo{g_2}({x^2} - 4x + 3) = lo{g_2}(4x - 4)\]
Cho a,b,c là các số thực dương khác 1 thỏa mãn \[\log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}\frac{c}{b} - 2{\log _b}\frac{c}{b} - 3\]. Gọi \[M,m\;\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \[P = lo{g_a}b - lo{g_b}c\]. Giá trị của biểu thức \[S = m - 3M\;\] bằng
Cho \[0 \le x \le 2020\]và \[lo{g_2}(2x + 2) + x - 3y = {8^y}\]. Có bao nhiêu cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?
Tập nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2x\] là:
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right).\] Phương trình \[f\prime \left( x \right) = 0\;\] có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \[\left( {0;2020\pi } \right)?\]
Cho các số thực dương a,b,c khác 1 thỏa mãn
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = lo{g_a}ab - lo{g_b}bc\]. Tính giá trị của biểu thức \[S = 2{m^2} + 9{M^2}\].
Giải phương trình \[{\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{2^{x + 1}} - 2} \right) = 1\] Ta có nghiệm:
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {7 - {3^x}} \right) = 2 - x\] bằng:
Tìm m để phương trình \[mln(1 - x) - lnx = m\] có nghiệm \[x \in \left( {0;1} \right)\]
Cho phương trình: \[{4^{ - \left| {x - m} \right|}}.{\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {2^{2x - {x^2}}}.{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = 0\] với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là:
Tập hợp nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right)\] là:
Phương trình \[{\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1\] có hai nghiệm là \[{x_1};{x_2}\;\] thì tổng \[{x_1} + {x_2}\;\] là:
Cho x>0; \[x \ne 1\] thỏa mãn biểu thức \[\frac{1}{{lo{g_2}x}} + \frac{1}{{lo{g_3}x}} + ... + \frac{1}{{lo{g_{2017}}x}} = M\;\]. Khi đó x bằng:
