Tìm nguyên hàm F(x) của \[f\left( x \right) = \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}.\] biết F(0)=1.
A.\[F\left( x \right) = \frac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}}\]
B. \[F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2 - 1}}{\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{e}} \right)^x} - \frac{1}{{\ln 2 - 1}}\]
C. \[F\left( x \right) = \frac{{{2^x} + \ln 2}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}}\]
D. \[F\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\]
Giải bởi Vietjack
\[F\left( x \right) = \smallint \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}dx = \smallint \left( {{2^x} - 1} \right){e^{ - x}}dx = \smallint {2^x}{e^{ - x}}dx - \smallint {e^{ - x}}dx\]
\[ = \smallint {2^x}{e^{ - x}}dx + {e^{ - x}} + {C_1} = I + {e^{ - x}} + {C_1}.\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {2^x}}\\{dv = {e^{ - x}}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = {2^x}ln2dx}\\{v = - {e^{ - x}}}\end{array}} \right.\)
\[\begin{array}{l} \Rightarrow I = - {2^x}{e^{ - x}} + ln2\smallint {2^x}{e^{ - x}}dx + {C_2} = - {2^x}{e^{ - x}} + ln2.I + {C_2}\\ \Leftrightarrow (ln2 - 1)I + {C_2} = {2^x}{e^{ - x}} \Rightarrow I = \frac{{{2^x}{e^{ - x}}}}{{ln2 - 1}} + {C_2}.\end{array}\]
\[ \Rightarrow F(x) = \frac{{{2^x}{e^{ - x}}}}{{ln2 - 1}} + {e^{ - x}} + C = \frac{{{2^x}}}{{(ln2 - 1){e^x}}} + \frac{1}{{{e^x}}} + C\]
\[ \Rightarrow F(0) = \frac{1}{{ln2 - 1}} + 1 + C = 1 \Rightarrow C = - \frac{1}{{ln2 - 1}}\]
\[ \Rightarrow F(x) = \frac{{{2^x}}}{{(ln2 - 1){e^x}}} + \frac{1}{{{e^x}}} - \frac{1}{{ln2 - 1}}\]
\[ = \frac{1}{{ln2 - 1}}{\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{e}} \right)^x} - \frac{1}{{ln2 - 1}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).
Tính \[I = \smallint \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx\] ta được:
Nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx\] là:
Biết \[F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\] là nguyên hàm của hàm số \[y = (2x + 3).{e^x}\]. Khi đó b−a là
Ta có \[ - \frac{{x + a}}{{{e^x}}}\] là một họ nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \frac{x}{{{e^x}}}\], khi đó:
Biết rằng \[x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số f(−x) trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của \[f\prime \left( x \right){e^x}\;\] thỏa mãn F(0)=1, giá trị của F(−1) bằng:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[y = x.cosx\] mà F(0)=1. Phát biểu nào sau đây đúng:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 1 \right) = 0,\;F(x) = {[f(x)]^{2020}}\] là một nguyên hàm của \[2020x.{e^x}\]. Họ các nguyên hàm của \[{f^{2020}}(x)\;\] là:
