IMG-LOGO

Câu hỏi:

17/07/2024 71

Nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx\]  là:

A.\[I = \frac{1}{2}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \frac{1}{4}\sin 2x + C\]

B. \[I = \frac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \frac{1}{2}\sin 2x + C\]

C. \[I = \frac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \frac{1}{4}\sin 2x + C\]

Đáp án chính xác

D. \[I = \frac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) + \frac{1}{4}\sin 2x + C\]

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}\\{ \Rightarrow I = \smallint \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx}\end{array}\]

Đặt\[t = \sin x + \cos x \Rightarrow dt = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\] khi đó ta có:\[I = \smallint t\ln tdt\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = lnt}\\{dv = tdt}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{1}{t}dt}\\{v = \frac{{{t^2}}}{2}}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow I = \frac{1}{2}{t^2}lnt - \frac{1}{2}\smallint tdt + C = \frac{1}{2}{t^2}lnt - \frac{{{t^2}}}{4} + {C_1}\]

\[ = \frac{1}{2}{(sinx + cosx)^2}ln(sinx + cosx) - \frac{{{{(sinx + cosx)}^2}}}{4} + {C_1}\]

\[ = \frac{1}{2}(si{n^2}x + co{s^2}x + sin2x)ln(sinx + cosx) - \frac{{1 + sin2x}}{4} + {C_1}\]

\[ = \frac{1}{4}(1 + sin2x)ln{(sinx + cosx)^2} - \frac{{sin2x}}{4} - \frac{1}{4} + {C_1}\]

\[ = \frac{1}{4}(1 + sin2x)ln(1 + sin2x) - \frac{{sin2x}}{4} + C.\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:

Xem đáp án » 13/10/2022 149

Câu 2:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:

Xem đáp án » 13/10/2022 144

Câu 3:

Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]

Xem đáp án » 13/10/2022 139

Câu 4:

Chọn công thức đúng:

Xem đáp án » 13/10/2022 121

Câu 5:

Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).

Xem đáp án » 13/10/2022 118

Câu 6:

Tính \[I = \smallint \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx\] ta được:

Xem đáp án » 13/10/2022 118

Câu 7:

Tính \[I = \smallint {e^{2x}}\cos 3xdx\] ta được:

Xem đáp án » 13/10/2022 117

Câu 8:

Nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx\] là:

Xem đáp án » 13/10/2022 117

Câu 9:

Biết \[F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\] là nguyên hàm của hàm số \[y = (2x + 3).{e^x}\]. Khi đó b−a là

Xem đáp án » 13/10/2022 115

Câu 10:

Ta có \[ - \frac{{x + a}}{{{e^x}}}\] là một họ nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \frac{x}{{{e^x}}}\], khi đó:

Xem đáp án » 13/10/2022 110

Câu 11:

Biết rằng \[x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số f(−x) trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của \[f\prime \left( x \right){e^x}\;\] thỏa mãn F(0)=1, giá trị của F(−1) bằng:

Xem đáp án » 13/10/2022 109

Câu 12:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[y = x.cosx\] mà F(0)=1. Phát biểu nào sau đây đúng:

Xem đáp án » 13/10/2022 99

Câu 13:

\[\smallint x\sin x\cos xdx\]bằng:

Xem đáp án » 13/10/2022 93

Câu 14:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 1 \right) = 0,\;F(x) = {[f(x)]^{2020}}\] là một nguyên hàm của \[2020x.{e^x}\]. Họ các nguyên hàm của \[{f^{2020}}(x)\;\] là:

Xem đáp án » 13/10/2022 87

Câu 15:

Tính \[I = \smallint \cos \sqrt x dx\] ta được:

Xem đáp án » 13/10/2022 85

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »