Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \[y = - {x^2} + 2x\;\] và y=0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Oy là
A.\[V = \frac{7}{3}\pi .\]
B. \[V = \frac{8}{3}\pi .\]
C. \[V = \frac{{10}}{3}\pi .\]
D. \[V = \frac{{16}}{3}\pi .\]
Giải bởi Vietjack
Ta có\[y = - {x^2} + 2x \Rightarrow {(x - 1)^2} = 1 - y \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - \sqrt {1 - y} }\\{x = 1 + \sqrt {1 - y} }\end{array}} \right.\]
Xét phương trình tung độ giao điểm
\[1 - \sqrt {1 - y} = 1 + \sqrt {1 - y} \Leftrightarrow \sqrt {1 - y} = 0 \Leftrightarrow y = 1\]
Khi đó, thể tích cần tính là
\[V = \pi \mathop \smallint \limits_0^1 \left| {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} \right|{\rm{d}}y = \left| {\pi \mathop \smallint \limits_0^1 4\sqrt {1 - y} \,{\rm{d}}y} \right|\]
Đặt \[\sqrt {1 - y} = t \Leftrightarrow 1 - y = {t^2} \Leftrightarrow dy = - 2tdt\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0 \Leftrightarrow t = 1}\\{y = 1 \Leftrightarrow t = 0}\end{array}} \right.\)Khi đó \[\;V = \left| { - \pi \int\limits_1^0 {4t.2tdt} } \right| = \left| {8\pi \int\limits_1^0 {{t^2}dt} } \right| = \left| {8\pi \frac{{{t^3}}}{3}\left| {_0^1} \right.} \right| = \frac{{8\pi }}{3}\]
Đáp án cần chọn là: B
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=1 và x=3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \[x\;(1 \le x \le 3)\] thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và \[\sqrt {3{x^2} - 2.} \]
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là:
Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = 2(x - 1){e^x}\], trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox .
Gọi (D1) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = 2\sqrt x ,y = 0\;{\rm{ }}v\`a \;x = 2020,\], (D2) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt {3x} ,y = 0\] và \[x = 2020.\]. Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D1) và (D2) xung quanh trục Ox. Tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng:
Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn có phương trình \[{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\] khi quanh trục Ox..
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi \[y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\;\] và Ox. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox bằng :
Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt x ,y = 0\;\] và x=4 quanh trục Ox . Đường thẳng \[x = a(0 < a < 4)\;\] cắt đồ thị hàm số \[y = \sqrt x \;\] tại M (hình vẽ bên).
Cho hai hàm số \[y = {f_1}\left( x \right)\]và\(y = {f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\;\]và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x=a,x=b. Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây ?
![Cho hai hàm số y = f 1 ( x ) và y = f 2 ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x=a,x=b. Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây ? y = f 1 ( x ) và y = f 2 ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x=a,x=b. Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây ? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1656411446/1656411669-image2.png)
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^3}\], trục hoành và hai đường thẳng x=0,x=1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox được tính bởi:
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^2} + 1;x = 0\] và tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^2} + 1\;\] tại điểm A(1;2) quanh trục Ox là
Cho hình (H) giới hạn bởi đường cong \[{y^2} + x = 0\], trục Oy và hai đường thẳng y=0,y=1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy được tính bởi:
Cho vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng x=a và x=b(a<b), mặt phẳng vuông góc với trục Ox cắt V theo thiết diện S(x). Thể tích của V được tính bởi:
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị \[y = - \,\sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,{x^2} + 3y = 0\] quay quanh trục Ox là \[V = \frac{{a\pi \sqrt 3 }}{b}\], với a,b> và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng T=a+b.
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt {2 - x} ;y = x\] xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây?
Cho vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0 và x=−2, mặt phẳng vuông góc với trục Ox cắt V theo thiết diện \[S(x) = 2{x^2}\]. Thể tích của V được tính bởi:
