Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị \[y = - \,\sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,{x^2} + 3y = 0\] quay quanh trục Ox là \[V = \frac{{a\pi \sqrt 3 }}{b}\], với a,b> và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng T=a+b.
A.T=33.
B.T=31.
C.T=29.
D.T=27.
Giải bởi Vietjack
\[{x^2} + 3y = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{{{x^2}}}{3}\]
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình
\( - \sqrt {4 - {x^2}} = - \frac{{{x^2}}}{3} \Leftrightarrow 3\sqrt {4 - {x^2}} = {x^2}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le {x^2} \le 4}\\{{x^4} + 9{x^2} - 36 = 0}\end{array}} \right.\)
\[ \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \,\sqrt 3 .\]
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là
\[V = \pi \mathop \smallint \limits_{ - {\kern 1pt} \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } \left| {{{\left( { - \,\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( { - \,\frac{{{x^2}}}{3}} \right)}^2}} \right|\,{\rm{d}}x.\]
\[ = \pi \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {(4 - {x^2}) - \frac{{{x^4}}}{9}} \right|} dx = \left| {\pi \left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{{45}}} \right)\left| {_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 }} \right.} \right|\]
\[ = 2\pi \left( {4\sqrt 3 - \sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{5}} \right) = \frac{{28\pi \sqrt 3 }}{5}\]
Vậy
\(V = \frac{{28\pi \sqrt 3 }}{5} = \frac{{a\pi \sqrt 3 }}{b} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 28}\\{b = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow T = a + b = 28 + 5 = 33.\)
Đáp án cần chọn là: A
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=1 và x=3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \[x\;(1 \le x \le 3)\] thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và \[\sqrt {3{x^2} - 2.} \]
Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = 2(x - 1){e^x}\], trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox .
Gọi (D1) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = 2\sqrt x ,y = 0\;{\rm{ }}v\`a \;x = 2020,\], (D2) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt {3x} ,y = 0\] và \[x = 2020.\]. Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D1) và (D2) xung quanh trục Ox. Tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng:
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là:
Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn có phương trình \[{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\] khi quanh trục Ox..
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi \[y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\;\] và Ox. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox bằng :
Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt x ,y = 0\;\] và x=4 quanh trục Ox . Đường thẳng \[x = a(0 < a < 4)\;\] cắt đồ thị hàm số \[y = \sqrt x \;\] tại M (hình vẽ bên).
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^3}\], trục hoành và hai đường thẳng x=0,x=1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox được tính bởi:
Cho hai hàm số \[y = {f_1}\left( x \right)\]và\(y = {f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\;\]và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x=a,x=b. Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây ?
![Cho hai hàm số y = f 1 ( x ) và y = f 2 ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x=a,x=b. Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây ? y = f 1 ( x ) và y = f 2 ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x=a,x=b. Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây ? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1656411446/1656411669-image2.png)
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^2} + 1;x = 0\] và tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^2} + 1\;\] tại điểm A(1;2) quanh trục Ox là
Cho hình (H) giới hạn bởi đường cong \[{y^2} + x = 0\], trục Oy và hai đường thẳng y=0,y=1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy được tính bởi:
Cho vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng x=a và x=b(a<b), mặt phẳng vuông góc với trục Ox cắt V theo thiết diện S(x). Thể tích của V được tính bởi:
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \[y = - {x^2} + 2x\;\] và y=0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Oy là
Cho vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0 và x=−2, mặt phẳng vuông góc với trục Ox cắt V theo thiết diện \[S(x) = 2{x^2}\]. Thể tích của V được tính bởi:
Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi trục Ox và parabol \[(P):y = {x^2} - ax(a > 0)\;\]bằng V=2. Khẳng định nào dưới đây đúng ?
