Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):4y−z+3=0 và hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z - 2}}{3},\;{\Delta _2}:\frac{{x + 4}}{5} = \frac{{y + 7}}{9} = \frac{z}{1}\]. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng \[{\Delta _1},{\Delta _2}\;\] có phương trình là
A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = - 2 + 4t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 2 + 4t}\\{z = 5 - t}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 11 + 4t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 4}\\{y = - 7 + 4t}\\{z = - t}\end{array}} \right.\)
Giải bởi Vietjack
Gọi\[M = d \cap {{\rm{\Delta }}_1} \Rightarrow M\left( {1 + {t_1};\,\, - 2 + 4{t_1};\,\,2 + 3{t_1}} \right)\]
\[N = d \cap {{\rm{\Delta }}_2} \Rightarrow N\left( { - 4 + 5{t_2};\,\, - 7 + 9{t_2};\,\,{t_2}} \right)\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {5{t_2} - {t_1} - 5;\,\,9{t_2} - 4{t_1} - 5;\,\,{t_2} - 3{t_1} - 2} \right)\]
Vì\[d \bot \left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\] có 1 VTPT là\[\vec n\left( {0;4; - 1} \right)\] nên\[\overrightarrow {MN} \] và\[\vec n\] là 2 vectơ cùng phương.
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = k\vec n\,\,\left( {k \ne 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{t_2} - {t_1} - 5 = 0}\\{9{t_2} - 4{t_1} - 5 = 4k}\\{{t_2} - 3{t_1} - 2 = - k}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = 5{t_2} - 5}\\{9{t_2} - 4{t_1} - 5 = 4k}\\{4{t_2} - 12{t_1} - 8 = - 4k}\end{array}} \right.\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = 5{t_2} - 5}\\{13{t_{_2}} - 16{t_1} - 13 = 0}\\{{t_2} - 3{t_1} - 2 = - k}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = 5{t_2} - 5}\\{13{t_2} - 16(5{t_2} - 5) - 13 = 0}\\{{t_2} - 3{t_1} - 2 = - k}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = 5{t_2} - 5}\\{ - 67{t_2} + 67 = 0}\\{{t_2} - 3{t_1} - 2 = - k}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_2} = 1}\\{{t_1} = 0}\\{k = 1}\end{array}} \right.\end{array}\)
\[ \Rightarrow M\left( {1;\,\, - 2;\,\,2} \right),\,\,N\left( {1;\,\,2;\,\,1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;4; - 1} \right)\]
Vậy phương trình đường thẳng d đi qua M và có 1 VTCP\[\overrightarrow {MN} \left( {0;4; - 1} \right)\] là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = - 2 + 4t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+2y=0. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng qua A(−1;3;−4) cắt trục Ox và song song với mặt phẳng (P):
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1;3;2) và mặt phẳng (P):x−2y+4z+1=0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+2y−3z+4=0 và đường thẳng\[d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}.\]Đường thẳng Δ nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với d có phương trình:
Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(2;1;1), cắt và vuông góc với đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 8}}{1} = \frac{z}{1}\]. Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (Oyz).
Cho đường thẳng d có phương trình \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng (P) có phương trình \[(P):x + y + z - 10 = 0\]. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;2),B(0;−1;1) và song song với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\;\] là:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;−2;4);B(−3;3;−1) và mặt phẳng (P):2x−y+2z−8=0. Xét điểm M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của \[2M{A^2} + 3M{B^2}\;\]bằng:
Cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y - z - 3 = 0\]. Tọa độ giao điểm của d và (P) là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng \[(\alpha ):4x + 3y - 7z + 1 = 0\]. Phương trình tham số của d là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cho mặt phẳng (P):x−2y+3z−1=0 và đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1}\]. Khẳng định nào sau đây đúng:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;−3;5) và B(2;−5;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng \[\left( d \right):\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 9}}{{13}}\].
Cho \[d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{m} = \frac{{z - 1}}{{m - 2}};\,\,\,(P):x + 3y + 2z - 5 = 0\]. Tìm m để d và (P) vuông góc với nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;1),B(4;1;0) và C(−1;4;−1). Mặt phẳng (P) nào dưới đây chứa đường thẳng AB mà khoảng cách từ C đến (P) bằng \(\sqrt {14} \).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{1}\;\] và mặt phẳng (P):2x−y+2z−2=0. Có bao nhiêu điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P)?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1),B(−2;1;3),C(2;−1;1),D(0;3;1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B sao cho C,D cùng phía so với (P) và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) là:
