Giải phương trình \[\cos 3x\tan 5x = \sin 7x\]
A.\[x = \frac{{n\pi }}{2};\,\,x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{13}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\]
B. \[x = n\pi ;\,\,x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\]
C. \[x = n\pi ;\,\,x = \frac{{3\pi }}{5} + \frac{{2k\pi }}{7}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\]
D. \[x = n\pi ;\,\,x = \frac{{3\pi }}{5} + \frac{{7k\pi }}{{13}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\]
Giải bởi Vietjack
ĐKXĐ: \[\cos 5x \ne 0 \Leftrightarrow 5x \ne \frac{\pi }{2} + m\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{{10}} + \frac{{m\pi }}{5}\,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\]
\[cos3xtan5x = sin7x\]
\[ \Leftrightarrow cos3xsin5x = sin7xcos5x\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}(sin8x + sin2x) = \frac{1}{2}(sin12x + sin2x)\]
\[ \Leftrightarrow sin8x + sin2x = sin12x + sin2x\]
\[ \Leftrightarrow sin12x = sin8x\]
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{12x = 8x + k2\pi }\\{12x = \pi - 8x + k2\pi }\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{k\pi }}{2}}\\{x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}}}\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Đối chiếu điều kiện ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,\frac{{k\pi }}{2} \ne \frac{\pi }{{10}} + \frac{{m\pi }}{5}\,\,\left( {k,\,\,m \in \mathbb{Z}} \right)}\\{ \Leftrightarrow 5k \ne 1 + 2m}\\{ \Leftrightarrow k \ne \frac{{1 + 2m}}{5}}\end{array}\]
Do \[k \in \mathbb{Z}\] nên:\[k = \frac{{1 + 2m}}{5} \Leftrightarrow \frac{{1 + 2m}}{5}\] là số nguyên. Mà 1+2m luôn lẻ nên\[\frac{{1 + 2m}}{5}\] không chia hết cho 2 với mọi m. Do đó, nếu\[k \ne \frac{{1 + 2m}}{5}\] thì k phải là số nguyên chẵn.
⇒kchẵn, đặt k=2n, khi đó ta có \[x = \frac{{2n\pi }}{2} = n\pi \left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}} \ne \frac{\pi }{{10}} + \frac{{m\pi }}{5}\,\,\left( {k,\,\,m \in \mathbb{Z}} \right)}\\{ \Leftrightarrow 1 + 2k \ne 2 + 4m}\end{array}\]
Vì\[1 + 2k\] lẻ,\[2 + 4m\] chẵn nên\[1 + 2k \ne 2 + 4m\] luôn đúng với mọi\[k,\,\,m \in \mathbb{Z}\]
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:\[x = n\pi ;\,\,x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\]
Đáp án cần chọn là: B
Để phương trình \[\frac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\] có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
Giải phương trình \[\sin 3x - \frac{2}{{\sqrt 3 }}{\sin ^2}x = 2\sin x\cos 2x\].
Với giá trị nào của m thì phương trình \[\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\]luôn có nghiệm?
Giải phương trình \[\sqrt 3 \cos 5x - 2\sin 3x\cos 2x - \sin x = 0\] ta được nghiệm:
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \[4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\]trên đường tròn lượng giác là:
Phương trình \[{\sin ^2}3x + \left( {{m^2} - 3} \right)\sin 3x + {m^2} - 4 = 0\] khi m=1 có nghiệm là:
Phương trình \[6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6\] có nghiệm là:
Nghiệm của phương trình \[4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\] là:
Trong khoảng \[\left( {0\,\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\]phương trình \[si{n^2}4x + 3sin4xcos4x - 4co{s^2}4x = 0\;\] có:
Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = \frac{\pi }{3}}\\{{\rm{cosx - }}\cos y = - 1}\end{array}} \right.\).
Phương trình \[\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\]có nghiệm là:
