Tổng các nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]của phương trình là:
A.\[\frac{{3\pi }}{5}\]
B. \[\frac{{29\pi }}{{30}}\]
C. \[\frac{{5\pi }}{6}\]
D. \[\frac{{23\pi }}{{30}}\]
Giải bởi Vietjack
\[2\sqrt 3 cos2\frac{{5x}}{2} + sin5x = 1 + \sqrt 3 \; \Leftrightarrow \sqrt 3 (1 + cos5x) + sin5x = 1 + \sqrt 3 \]
\[ \Leftrightarrow sin5x + \sqrt 3 cos5x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}sin5x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}cos5x = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow sin5xcos\frac{\pi }{3} + cos5xsin\frac{\pi }{3} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow sin(5x + \frac{\pi }{3}) = sin\frac{\pi }{6}\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{5x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{{30}} + \frac{{k2\pi }}{5}}\\{x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}}\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Với họ nghiệm \[x = - \frac{\pi }{{30}} + \frac{{k2\pi }}{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]ta được
\[0 \le - \frac{\pi }{{30}} + \frac{{k2\pi }}{5} \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le - \frac{1}{{30}} + \frac{{2k}}{5} \le \frac{1}{2}\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{12}} \le k \le \frac{4}{3}}\\{k \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right. \Rightarrow k = 1\)
\[ \Rightarrow x = - \frac{\pi }{{30}} + \frac{{2\pi }}{5} = \frac{{11\pi }}{{30}}\]
Với họ nghiệm \[x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]ta được:
\[0 \le \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5} \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{{10}} + \frac{{2k}}{5} \le \frac{1}{2}\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{4} \le k \le 1}\\{k \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 0}\\{k = 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{10}}}\\{x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{2\pi }}{5} = \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\)
Vậy tổng các nghiệm thuộc đoạn\[\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]là:\[\frac{{11\pi }}{{30}} + \frac{\pi }{{10}} + \frac{\pi }{2} = \frac{{29\pi }}{{30}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Để phương trình \[\frac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\] có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
Giải phương trình \[\sin 3x - \frac{2}{{\sqrt 3 }}{\sin ^2}x = 2\sin x\cos 2x\].
Giải phương trình \[\sqrt 3 \cos 5x - 2\sin 3x\cos 2x - \sin x = 0\] ta được nghiệm:
Với giá trị nào của m thì phương trình \[\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\]luôn có nghiệm?
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \[4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\]trên đường tròn lượng giác là:
Phương trình \[{\sin ^2}3x + \left( {{m^2} - 3} \right)\sin 3x + {m^2} - 4 = 0\] khi m=1 có nghiệm là:
Phương trình \[6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6\] có nghiệm là:
Nghiệm của phương trình \[4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\] là:
Trong khoảng \[\left( {0\,\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\]phương trình \[si{n^2}4x + 3sin4xcos4x - 4co{s^2}4x = 0\;\] có:
Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = \frac{\pi }{3}}\\{{\rm{cosx - }}\cos y = - 1}\end{array}} \right.\).
