50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ Đề thi THPT Quốc gia chuẩn cấu trúc Bộ Giáo dục môn Toán 2019 (Đề số 2)

Câu 1:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?

A. $\frac{x + 2}{x + 1}$

B. $y = x^{3} - 3 x + 2$

C. $y = \frac{- x + 2}{x + 1}$

D. $x^{4} + x^{2} + 2$

Đồ thị hàm số đã cho của một hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất có tiệm cận đứng x=−1; tiệm cận ngang y=−1. Đối chiếu các đáp án chọn C.

Chọn đáp án C.

Câu 2:

Với a là số thực dương tùy ý, $l o g (100 a^{3})$ bằng

A. 6loga

B. 3+3loga

C. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \log a$

D. 2 + 3loga

Xem đáp án

Có

Chọn đáp án D.

Câu 3:

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. (-2;0)

B. (0;2)

C. (1;2)

D. (-2;-1)

Xem đáp án

Hàm số nghịch biến khi đồ thị đi xuống, tức

$[\begin{matrix} \begin{matrix} x < - 1 \\ 0 < x < 1 \end{matrix} \end{matrix}$

Chọn đáp án D.

Câu 4:

Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng 3a, độ dài cạnh bên bằng a là

A. $3 a^{3}$

B. $a^{3}$

C. $9 a^{3}$

D. $4, 5 a^{3}$

Xem đáp án

Đáy là hình vuông cạnh $3 a \Rightarrow S = 9 a^{2}$

Thể tích khối lăng trụ đó là $V = S . h = 9 a^{3}$

Chọn đáp án C.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;−2;1), B(0;1;−3). Toạ độ véctơ $\overset{⇀}{A B}$ là

A. (1;-3;4)

B. (1;-1;2)

C. (-1;3;-4)

D. (-1;1;2)

Xem đáp án

Có $\overset{⇀}{A B} (- 1; 3; - 4)$

Chọn đáp án C.

Câu 6:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x - e^{x}$ là

A. $2 - e^{x} + C$

B. $x^{2} + e^{- x} + C$

C. $x^{2} - e^{x} + C$

D. $x^{2} - e^{- x} + C$

Xem đáp án

Có $\int (2 x - e^{x}) d x = x^{2} - e^{x} + C$

Chọn đáp án C.

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(−2;1;3) và bán kính bằng 4 có phương trình là

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 16$

B. ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 4$

D. ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4$

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

Câu 8:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} x^{2} = \log_{2} (x + 2)$ làƠ

A. {-1;2}

B. {2}

C. {1;2}

D. {-2;-1}

Xem đáp án

Có $\log_{2} x^{2} = \log_{2} (x + 2)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x^{2} = x + 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ x = 2 \end{cases}$

Chọn đáp án A.

Câu 9:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\int_{0}^{π} f' (x) d x = 1, f (0) = π$ . Tính $f (π)$

A. $f (π) = 1 - π$

B. $f (π) = π - 1$

C. $f (π) = π + 1$

D. $f (π) = - π - 1$

Xem đáp án

Có $f (π) - f (0) = \int_{0}^{π} f' (x) dx$

$f (π) = f (0) + \int_{0}^{π} f' (x) dx = π + 1$

Chọn đáp án C.

Câu 10:

Cho các số thực a, b khác 0 thoả mãn $3^{a} = 4^{b}$ . Giá trị của $\frac{a}{b}$ bằng

A. $\log_{4} 3$

B. ln12

C. ln0,75

D. $\log_{3} 4$

Xem đáp án

Có $3^{a} = 4^{b} \Leftrightarrow a \ln 3 = b \ln 4$

$\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{\ln 4}{\ln 3} = \log_{3} 4$

Chọn đáp án D.

Câu 11:

Trong không gian cho hai điểm A, B cố định. Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thoả mãn $∠ A M B = 90 °$ là

A. Mặt cầu đường kính AB

B. Mặt cầu đường kính AB nhưng bỏ đi hai điểm A, B

C. Khối cầu đường kính AB

D. Khối cầu đường kính AB nhưng bỏ đi hai điểm A, B

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Câu 12:

Số chỉnh hợp 2 của 10 phần tử bằng

A. $C_{10}^{2}$

B. $A_{10}^{2}$

C. $2^{10}$

D. $10^{2}$

Xem đáp án

Số chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử bằng $A_{10}^{2}$ .

Chọn đáp án B.

Câu 13:

Cấp số cộng $(u_{n})$ có u₁ = -1, u₈ = 97. Công sai của cấp số cộng bằng

A. 14

B. 11

C. 13

D. 12

Xem đáp án

Có $u_{8} = u_{1} + 7 d$

$\Rightarrow d = \frac{u_{8} - u_{1}}{7} = \frac{97 - (- 1)}{7} = 14$

Chọn đáp án A.

Câu 14:

Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phảng tọa độ là điểm M như hình bên ?

A. 1 -2i

B. i + 2

C. i – 2

D. 1 + 2i

Xem đáp án

Có M(1;2) $\Rightarrow z = 1 - 2 i$

Chọn đáp án A.

Câu 15:

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x + 2} < 9^{2 x + 7}$ là

A. $(- 5; + \infty)$

B. $(- 4; + \infty)$

C. $(- \infty; - 5)$

D. $(- \infty; - 4)$

Xem đáp án

Bất phương trình tương đương với:

$3^{x + 2} < 3^{4 x + 14}$

$\Leftrightarrow x + 2 < 4 x + 14 \Leftrightarrow x > - 4$

Chọn đáp án B.

Câu 16:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng $3 \sqrt{6}$ , chiều cao bằng $3 \sqrt{3}$ . Khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAB) bằng

A. 6

B. $3 \sqrt{2}$

C. 3

D. $2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Có

Ta có OA, OB, OS đôi một vuông góc nên với ta có

Chọn đáp án A.

Câu 17:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f' (x) = x {(x - 1)}^{2} {(x - 3)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ với mọi $x \in ℝ$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Vì f'(x) đổi dấu khi qua các điểm x=0;x=3

do đó hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x=0; x=3.

Chọn đáp án D.

Câu 18:

Tìm các số thực a, b thỏa mãn (a-2b)+(a+b+4)i=(2a+b)+2bi, với I là đơn vị ảo

A. a = -3, b = 1

B. a = 3, b = -1

C. a = -3, b = -1

D. a = 3, b = 1

Xem đáp án

Có

Chọn đáp án A.

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng $d : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 2}{6}$ là

A. x+y+z-6=0

B. 2x+3y+6z-24=0

C. 2x+3y+6z-26=0

D. x+y+z+6=0

Xem đáp án

Có

$(P) ⊥ d \Rightarrow \overset{⇀}{n_{(P)}} = \overset{⇀}{u_{d}} = (2; 3; 6) \Rightarrow (P) : 2 x + 3 y + 6 z - 26 = 0$

Chọn đáp án C.

Câu 20:

Kí hiệu z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} + z + 2 = 0 .$ Tính $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}}$

A. $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{5}{2}$

B. $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}} = - \frac{5}{2}$

C. $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{3}{2}$

D. $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}} = - \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Ta có

$\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{z_{1}^{2} + z_{2}^{2}}{z_{1} z_{2}} = \frac{{(z_{1} + z_{2})}^{2} - 2 z_{1} z_{2}}{z_{1} z_{2}} = \frac{{(- 1)}^{2} - 2.2}{2} = - \frac{3}{2} .$

Chọn đáp án D.

Câu 21:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên.

Biết f(3)=f(-1). Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. $\underset{ℝ}{m i n} f (x) = f (- 1)$

B. $\underset{ℝ}{m i n} f (x) = f (4)$

C. $\underset{ℝ}{m i n} f (x) = f (1)$

D. $\underset{ℝ}{m i n} f (x) = f (- 3)$

Xem đáp án

Quan sát bảng biến thiên có

Do

Chọn đáp án B.

Câu 22:

Tổng bình phương giá trị lớn nhât và giá trị nhỏ nhât của hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ trên đoạn[0;3] là

A. 3

B. 2

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Ta có

$y = \frac{1 - x}{{(x^{2} + 1)}^{x}} \Rightarrow y = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta xét giá trị

$y (0) = 1, y (1) = \sqrt{2}, y (3) = \frac{4}{\sqrt{10}}$

Suy ra miny=1, maxy= $\sqrt{2}$

$\Rightarrow 1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = 3$

Chọn đáp án A.

Câu 23:

Tổng tung độ giao điểm của đường thẳng y = x -1 và đồ thị hàm số $y = x^{3} - x^{2} + x - 1$ là

A. -3

B. 0

C. -1

D. 2

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$x^{3} - x^{2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow (0; - 1) \\ x = 1 \Rightarrow (1; 0) \end{matrix}$

Vậy tổng tung độ là -1.

Chọn đáp án C.

Câu 24:

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $\ln (3 e^{x} - 2) = 2 x$ .Số tập con của S bằng

A. 0

B. 4

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Có

$\ln (3 e^{x} - 2) = 2 x \Leftrightarrow 3 e^{x} - 2 = e^{2 x} . \Leftrightarrow e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} e^{x} = 1 \\ e^{x} = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \ln 2 \end{matrix}$

Vậy S có 2 phần tử nên có tất cả $2^{2} = 4$ tập con.

Chọn đáp án B.

Câu 25:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) và trục hoành như hình vẽ bên. Đặt $a = \int_{- 1}^{1} f (x) d x, b = \int_{1}^{2} f (x) d x$ . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. S=a+b

B. S=a–b

C. S=-a+b

D. S=-a-b

Xem đáp án

Ta có

$S = \int_{- 1}^{2} |f (x)| d x = \int_{- 1}^{1} |f (x)| d x + \int_{1}^{2} |f (x)| d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{- 1}^{1} - f (x) d x = a - b .$

Chọn đáp án B.

Câu 26:

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4. Tính diện tích toàn phần S_tp của hình nón khi quay tam giác ABC xung quanh trục AC

A. $S_{t p} = 4 π$

B. $S_{t p} = 24 π$

C. $S_{t p} = 72 π$

D. $S_{t p} = 48 π$

Xem đáp án

Nón có

$r = A B = 3, h = A C = 4, l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = 5 \Rightarrow S_{t p} = πr (r + l) = 3 π (3 + 5) = 24 π .$

Chọn đáp án B.

Câu 27:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, $A B = a \sqrt{3}, A C = 2 a$ . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3}}{2}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{3 a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm AB. Có

Ta có

Khi đó thể tích khối chóp S.ABC là

Chọn đáp án A.

Câu 28:

Tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 2}}{x - 1}$ là

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Có

là tiệm cận đứng và

Do đó y = 2; y = 0 là các đường tiệm cận ngang.

Chọn đáp án D.

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;2) và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{2}$ Đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc và cắt d có phương trình là

A. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$

B. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{1}$

C. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{1}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{1}$

Xem đáp án

Có

Chọn đáp án A.

Câu 30:

Cho hàm số y=f(x)có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số y=f(1-2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \frac{3}{2}; - 1)$

B. $(- \infty; - 1)$

C. (-1;0)

D. $(- \infty; - 2)$

Xem đáp án

Có

Chọn đáp án A.

Câu 31:

Liên tục trong 25 năm, một người lao động luôn gửi vào một ngân hàng đúng 4.000.000 đồng vào một ngày cố định của tháng với lãi suất không đổi 0,6%/ tháng . Hỏi sau 25 năm người đó có được số tiền (cả gốc và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây ? Giả định rằng trong suốt thời gian gửi, lãi suất không thay đổi và người này không rút tiền ra

A. 3.350.000.000 đồng

B. 3.400.000.000 đồng

C. 3.450.000.000 đồng

D. 3.500.000.000 đồng

Xem đáp án

Số tiền người này nhận được sau 25 năm, tức 25x12 = 300 tháng là

triệu đồng.

*Chú ý tính tổng trên các em nên bấm máy tính ngay:

Chọn đáp án A.

Câu 32:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên

Phương trình $|3 f (|x|) - 4| = 1$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt

A. 12

B. 8

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Phương trình tương đương với

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 bốn nghiệm.

Chọn đáp án D.

Câu 33:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R đồng thời thỏa mãn điều kiện f(-x)+2f(x)=cosx. Tính tích phân $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$

A. $I = \frac{2}{3}$

B. $I = \frac{4}{3}$

C. $I = \frac{1}{3}$

D. $I = 1$

Xem đáp án

Ta có

Chọn đáp án A.

Câu 34:

Để tính diện tích xung quanh của một khối cầu bằng đá, người ta thả nó vào một chiếc thùng hình trụ có chiều cao 2m, bán kính đường tròn đáy 0,5m và có chứa sẵn một lượng nước có thể tích bằng $\frac{1}{8}$ thể tích của thùng. Sau khi thả khối cầu bằng đá vào, người ta đo được mực nước trong thùng cao gấp 3 lần mực nước ban đầu khi chưa thả khối cầu bằng đá vào. Diện tích xung quanh của khối cầu bằng đá gần nhất với kết quả nào dưới đây ?

A. $2, 6 m^{2}$

B. $1, 5 m^{2}$

C. $3, 4 m^{2}$

D. $1, 7 m^{2}$

Xem đáp án

Theo giả thiết thể tích khối cầu đá bằng $\frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$ thể tích khối trụ.

Do vậy

Chọn đáp án A.

Câu 35:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Số mặt phẳng đi qua gốc toạ độ O và cách đều ba điểm A, B, C là

A. 8

B. 6

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Mặt phẳng cần tìm có dạng

(P):

Theo giả thiết có:

Vậy có tất cả 4 mặt phẳng thoả mãn.

Chọn đáp án C.

Câu 36:

Cho hình chóp S ABC . có tam giác SAB vuông cân tại S; tam giác ABC vuông cân tại C và $∠ B S C = 60 °$ . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Côsin góc giữa hai đường thẳng AB và CM bằng

A. $\frac{\sqrt{6}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{30}}{6}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Theo giả thiết có

Gọi N là trung điểm cạnh SA.

Ta có

Có

Chọn đáp án A.

Câu 37:

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn ${|z|}^{2} + z + \bar{z} = 0$ là một đường tròn, diện tích giới hạn bởi đường tròn đó bằng

A. $4 π$

B. $2 π$

C. $3 π$

D. $π$

Xem đáp án

Đặt z=x+yi ta có:

${|z|}^{2} + z + \bar{z} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x = 0 .$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(-1;0),R=1.

Diện tích giới hạn bởi đường tròn bằng ${πR}^{2} = π .$

Chọn đáp án D.

Câu 38:

Cho $\int_{0}^{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}}} d x = a π + b \sqrt{2} + c$ , với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a+b+c bằng

A. 3

B. 4

C. -1

D. 2

Xem đáp án

Đổi biến

Khi đó và tích phân

Vậy a+b+c=1-4+6=3

Chọn đáp án A.

Câu 39:

Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (2;3)

A. 3

B. 1

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (m+1;m+2). Vậy để hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng

$(2; 3) \Leftrightarrow (2; 3) \subset (m - 1; m + 2)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m - 1 \leq 2 \\ m + 2 \geq 3 \end{cases} \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 3$

$\Rightarrow m \in \{1, 2, 3\}$

Chọn đáp án A.

Câu 40:

Cho tập A = {1, 2, 3, ..., 2018}. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số từ tập A mà các số đó lập thành một cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương ?

A. 126

B. 161

C. 166

D. 31

Xem đáp án

Năm số được chọn ra xếp được duy nhất dãy tăng, giả sử là

$x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5}$

Theo giả thiết các số đó là $x_{1}, q x_{1}, q^{2} x_{1}, q^{3} x_{1}, q^{4} x_{1}$ và $q \in ℕ, q \geq 2$

Vì

Mặt khác

Vậy với mỗi số nguyên q thuộc tập X={ 2;3;4;5;6}

ta có $[\frac{2018}{q^{4}}]$ cách chọn x₁ các số x₂, x₃, x₄, x₅ có tương ứng duy nhất một cách chọn.

Vậy theo quy tắc cộng và quy tắc nhân có tất cả

Chọn đáp án B.

Câu 41:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;2;2), B(2;4;−6) và mặt phẳng (P): x+y+z=0. Tập hợp các điểm M thuộc (P) sao cho $∠ A M B = 90 °$ là một đường tròn có bán kính bằng

A. $2 \sqrt{2}$

B. $\sqrt{17}$

C. $\sqrt{13}$

D. $\sqrt{14}$

Xem đáp án

Ta có $M \in (P)$ và $∠ A M B = 90 °$ nên M thuộc mặt cầu đường kính AB là:

$(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 17$ có tâm I(2;3-2), $R = \sqrt{17}$ .

Do đó $M \in (C) = (S) \cap (P) .$

Vì vậy

Chọn đáp án D.

Câu 42:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 8 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện $|z + \bar{z}| + |z - \bar{z}| = {|z|}^{2}$ và $|z| = m$ ?

D. $(\sqrt{2}; 2)$

B. $[2; 2 \sqrt{2}]$

C. $[\sqrt{2}; 2]$

D. $(2; 2 \sqrt{2})$

Xem đáp án

Đặt z=x+yi ta có hệ đều kiện:

Ta có (1) là tập hợp các cạnh của hình vuông ABCD có tâm là gốc toạ độ độ dài cạnh bằng $a = \frac{m^{2}}{\sqrt{2}}$ ; là đường tròn (C) có tâm là gốc toạ độ O bán kính bằng R = m.

Để có đúng 8 số phức thoả mãn thì (C) phải nằm giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp hình vuông

Chọn đáp án D.

Câu 43:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1;3] và có bảng biến thiên như sau:

Tổng tất cả các số nguyên m để phương trình $f (x - 1) = \frac{m}{x^{2} - 6 x + 12}$ có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [2;4] bằng

A. -75

B. -72

C. -294

D. -297

Xem đáp án

Phương trình tương đương với:

$m = g (x) = (x^{2} - 6 x + 12) f (x - 1) .$

Ta có

$g' (x) = (2 x - 6) f (x - 1) + (x^{2} - 6 x + 12) f' (x - 1)$

+) Nếu $2 \leq x < 3$

$\Rightarrow g' (x) > 0$

+) Nếu x=3

+) Nếu $3 < x \leq 4$

$\Rightarrow g' (x) < 0$ .

Vậy trên đoạn [2;4] ta có g'(x)=0 $\leftrightarrow$ x=3.

Bảng biến thiên:

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt trên đoạn

$[2; 4] \Leftrightarrow - 12 < m < 3 \Rightarrow m \in \{- 12, . . ., - 4\} .$

Tổng các số nguyên cần tìm bằng $\sum_{k = - 12}^{- 4} k = - 72$

Chọn đáp án B.

Câu 44:

Hàm số $f (x) = |\frac{1}{3} x^{3} + m x \sqrt{x^{2} + 1}|$ có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 4

B. 2

C. 5

D. 3

Xem đáp án

Xét hàm số $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + m x \sqrt{x^{2} + 1}$

ta có

+) Với m > 0 thì (1) vô nghiệm; với m = 0 thì (1) có đúng 1 nghiệm x=0; với m < 0 khi đó ta có

chỉ nhận nghiệm

vì

Vậy với m < 0 thì g(x) có 3 nghiệm phân biệt là các nghiệm đơn.

Tiếp theo ta biện luận số điểm cực trị của với

+) Nếu $m \geq 0$ $\Rightarrow g' (x) \geq x^{2} \geq 0, \forall x$ nên g(x) không có điểm cực trị.

+) nếu m < 0 khi đó g'(x)=0 $\Leftrightarrow$ $m = - \frac{x^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}{2 x^{2} + 1} (*)$ . Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m < 0, tức g(x) có 2 điểm cực trị với mọi m < 0.

Tóm lại hàm số có tối đa 3 + 2 = 5 điểm cực trị.

Chọn đáp án C.

Câu 45:

Cho hai số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số $y = \log_{a} x, y = \log_{b} x$ như hình vẽ bên. Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x=k(k>1) Gọi S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = \log_{a} x, d$ và trục hoành; S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = \log_{b} x, d$ và trục hoành. Biết S₁ = 4S₂. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. $b = a^{4}$

B. $a = b^{4}$

C. $b = a^{4} \ln 2$

D. $a = b^{4} \ln 2$

Xem đáp án

Theo giả thiết và công thức tích phân từng phần, ta có:

Vậy

Chọn đáp án A.

Câu 46:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $4^{x} - 2^{x + 1} + 1 = 2 |2^{x} - m|$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt

A. 2

B. 3

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Đặt $t = 2^{x} (t > 0)$ phương trình trở thành:

Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai parabol

$(P_{1}) : y = x^{2} + 1; (P_{2}) : y = - x^{2} + 4 x - 1 .$

Với mỗi t > 0 cho ta một nghiệm $x = \log_{2} t .$ Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi hệ phương trình cuối có đúng 2 nghiệm dương phân biệt. Điều này tương đương với đường thẳng y = 2m cắt đồng thời (P₁), (P₂) tại đúng 2 điểm có hoành độ dương. Quan sát đồ thị suy ra các giá trị cần tìm của tham số là

Chọn đáp án A.

Câu 47:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu đường thẳng d có đúng ba điểm chung với đồ thị (C) và các điểm chung có hoành độ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ thỏa mãn $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = - 1$ ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y=kx+m. Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{4} - 2 x^{2} = k x + m \Leftrightarrow x^{4} - 2 x^{2} - k x - m = 0$

Theo giả thiết đường thẳng d có đúng ba điểm chung với đồ thị (C) và các điểm chung có hoành độ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ nên $x^{4} - 2 x^{2} - k x - m = {(x - x_{1})}^{2} (x - x_{2}) (x - x_{3})$ . Do đó d là tiếp tuyến của (C) có hoành độ

Phương trình hoành độ giao điểm lúc này là:

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{2}, x_{3} # x_{1}$

và $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = - 1$

Vì vậy

Vì vậy có duy nhất một đường thẳng thoả mãn là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = \frac{- 11 + \sqrt{65}}{22}$ .

Chọn đáp án B.

*Chú ý dạng toán này thuộc bài học tiếp tuyến cắt đồ thị hàm số.

Câu 48:

Cho hàm số $f (x) = |2 x^{3} - 3 x^{2} + m|$ . Có bao nhiêu số nguyên m để $\underset{[- 1; 3]}{m i n} f (x) \leq 3$ .

A. 4

B. 8

C. 31

D. 39

Xem đáp án

Xét $u = 2 x^{3} - 3 x^{2} + m$

có $u' = 6 x^{2} - 6 x; u' = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = 1 .$

Do đó

Nếu $m - 5 \geq 0$

$\Rightarrow \underset{[- 1; 3]}{m i n} f (x) = m - 5 \leq 3 \Leftrightarrow m \leq 8 \Rightarrow m \in \{5, 6, 7, 8\} .$

Nếu $m + 27 \leq 0$

$\Rightarrow \underset{[- 1; 3]}{m i n} f (x) = - (m + 27) \leq 3 \leftrightarrow m \geq - 30 \Rightarrow m \in \{- 30; - 29; - 28; - 27\} .$

Vậy $m \in \{- 30, . . ., 8\}$ có tất cả 39 số nguyên thỏa mãn.

Chọn đáp án D.

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V , đáy là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng (α) đi qua A, trung điểm I của SO cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.AMNP bằng

A. $\frac{V}{18}$

B. $\frac{V}{3}$

C. $\frac{V}{6}$

D. $\frac{3 V}{8}$

Xem đáp án

Với $x = \frac{S A}{S A} = 1; y = \frac{S M}{S B}, z = \frac{S N}{S C}; t = \frac{S P}{S D}$

ta có $\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{t}$ và xét tam giác SAC ta có

Mặt khác ba điểm A, I, N thẳng hang nên

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4 z} = 1 \Leftrightarrow z = \frac{1}{3}$

Do đó $\frac{1}{y} + \frac{1}{t} = \frac{1}{1} + \frac{1}{\frac{1}{3}} = 4 \Rightarrow y = \frac{t}{4 t - 1}$

Vì vậy

Dấu bằng đạt tại $t = \frac{1}{2}; y = \frac{1}{2} .$ Tức mặt phẳng $(α)$ đi qua trung điểm các cạnh SB. SD.

Chọn đáp án C.

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;3;3), B(−2;−1;1). Gọi S₁ và (S₂) lần lượt là hai mặt cầu thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với đường thẳng AB lần lượt tại các điểm A, B; đồng thời tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm M(a;b;c). Khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): x+2y-2z+2018=0 đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức a+b+c bằng

A. 4

B. 5

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Gọi I₁, I₂, R₁, R₂ lần lượt là tâm và bán kính của các mặt cầu (S₁) và (S₂). Theo điều kiện tiếp xúc có $I_{1} A = R_{1}; I_{2} B = R_{2} .$

Mặt khác hai mặt cầu tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm M nên $I_{1} I_{2} = R_{1} + R_{2} = I_{1} A + I_{2} B \Rightarrow I_{1} I_{2}$ luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB tại điểm M tức là M thuộc mặt cầu đường kính AB

Phương trình mặt cầu đường kính AB là $(S) : x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ có tâm I(0;1;2), R = 3.

Vì vậy $M \in (S) \Rightarrow d (M, (P)) \leq d (I, (P)) + R$

=672+3=675.

Gọi

Dấu bằng đạt tại

Chọn đáp án A.