50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc (2023) Đề thi thử Toán THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên (Lần 1) có đáp án

Câu 1:

Hàm nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số

y = \frac{1}{2 x}

?

A. $\ln |2 x|$

B. $2 \ln |x|$

C. $\frac{1}{2} \ln |x|$

D. $\frac{- 1}{2 x^{2}}$

Xem đáp án

Chọn C

\int \frac{1}{2 x} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x = \frac{1}{2} \ln |x| + C \Rightarrow \frac{1}{2} \ln |x|

là một nguyên hàm của hàm số

y = \frac{1}{2 x} .

Câu 2:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm là $f^{'} (x) = x {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{3}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2. \end{array}$

Trong các nghiệm của phương trình f'(x) = 0 thì x = 0, x = 2 là các nghiệm bội lẻ nên chúng là cực trị của hàm số f(x). Còn x = 1 là nghiệm bội chẵn nên nó không phải là cực trị của hàm số f(x).

Vậy hàm số đã cho có 2 cực trị.

Câu 3:

Tập nghiệm của bất phương trình

\log_{\frac{1}{2}} (2 x - 1) > 0

A. $(- \infty; 1)$

B. $(1; + \infty)$

C. $(\frac{1}{2}; 1)$

D. $(\frac{1}{2}; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C

Bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (2 x - 1) > 0 \Leftrightarrow 0 < 2 x - 1 < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 1$ .

Vậy tập nghiệm

S = (\frac{1}{2}; 1)

.

Câu 4:

Mô-đun của số phức $z = (3 + 4 i) (1 - 2 i)$ bằng

A. 25

B. $25 \sqrt{5}$

C. 5

D. $5 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn D

$z = (3 + 4 i) (1 - 2 i) = 11 - 2 i \Rightarrow |z| = 5 \sqrt{5}$

Câu 5:

Cho hàm số

f (x) = \sqrt{3 x + 1}

. Tính

I = \int_{0}^{1} f (x) f^{'} (x) d x

A. $I = 1$

B. $I = 3$

C. $I = \frac{3}{2}$

D. $I = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

I = \int_{0}^{1} f (x) f^{'} (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d (f (x)) = {\frac{f^{2} (x)}{2}|}_{0}^{1} = \frac{3.1 + 1}{2} - \frac{3.0 + 1}{2} = \frac{3}{2}

Câu 6:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{\sqrt{2 - x}}{x^{2} - 4 x + 3}

là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\{\begin{cases} 2 - x \geq 0 \\ x^{2} - 4 x + 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq 2 \\ x \neq 1 \\ x \neq 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq 2 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Tập xác định $D = (- \infty; 2] \ \{1\}$

Ta có $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 - x}}{x^{2} - 4 x + 3} = 0$ , $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{2 - x}}{x^{2} - 4 x + 3} = - \infty$

Suy ra TCĐ: x = 1 và TCN: y =0.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ $\vec{u} = (1; 2; - 3)$ , $\vec{v} = (2; - 1; - 2)$ . Tích vô hướng của hai véc-tơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng

A. -6

B. 6

C. 10

D. -10

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

\vec{u} . \vec{v} = 1.2 + 2 (- 1) - 3 (- 2) = 6

Câu 8:

Tập xác định của hàm số

y = \log (4 x - x^{2})

là

A. (0;4)

B. (0;2)

C. (-2;2)

D. (-2;0)

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số xác định khi và chỉ khi

4 x - x^{2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 4

Câu 9:

Số nghiệm thực của phương trình

{4.3}^{x^{2}} = {3.2}^{2 x^{2}}

là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Ta có ${4.3}^{x^{2}} = {3.2}^{2 x^{2}} \Leftrightarrow 2^{2} {.3}^{x^{2}} = {3.2}^{2 x^{2}} \Leftrightarrow 3^{x^{2} - 1} = 2^{2 x^{2} - 2} \Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 = (x^{2} - 1) \log_{2} 3 \Leftrightarrow (x^{2} - 1) (2 - \log_{2} 3) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$

Câu 10:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int 2^{x} {.3}^{x + 1} d x = {3.6}^{x} + C$

B. $\int 2^{x} {.3}^{x + 1} d x = {3.6}^{x + 1} + C$

C. $\int 2^{x} {.3}^{x + 1} d x = \frac{{3.6}^{x}}{\ln 6} + C$

D. $\int 2^{x} {.3}^{x + 1} d x = \frac{{3.6}^{x + 1}}{x + 1} + C$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\int 2^{x} {.3}^{x + 1} d x = 3 \int 2^{x} {.3}^{x} d x = 3 \int 6^{x} d x = \frac{{3.6}^{x}}{\ln 6} + C$

Câu 11:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x = 3$ . Tìm tất cả các giá trị thực dương của tham số m để mặt phẳng x - 2y + 2z + m = 0 tiếp xúc với mặt cầu (S)

A. m = 7

B. m = 5

C. m = 6

D. m = 19

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $(S) : \{\begin{cases} I (- 1; 0; 0) \\ R = 2 \end{cases}$ .

Để (P) tiếp xúc với (S) thì

d (I; (P)) = R \Leftrightarrow \frac{|- 1 + m|}{3} = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 5 (l) \\ m = 7 \end{array}

Câu 12:

Cho số phức z có phần ảo âm thoả mãn z(2 - z) = 2. Tính

|z + 3 i|

A. $\sqrt{17}$

B. 17

C. $\sqrt{5}$

D. 5

Xem đáp án

Chọn C

Ta có : $- z^{2} + 2 z - 2 = 0$

- z^{2} + 2 z - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 1 + i \\ z = 1 - i \end{array}

. Vậy nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình là z = 1 - i

|z + 3 i| = |1 - i + 3 i| = |1 + 2 i| = \sqrt{5}

Câu 13:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa cạnh bên với đáy một góc 45^o. Tính cosin của góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp đã cho.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa cạnh bên với đáy một góc 45o. Tính cosin của góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp đã cho. (ảnh 1)

Gọi cạnh đáy bằng $a \Rightarrow B D = a \sqrt{2}$

- Góc giữa cạnh bên với đáy một góc $45 ° \Rightarrow Δ S B D$ là vuông cân $\Rightarrow S O = \frac{B D}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

- Gọi M là trung điểm

C D \Rightarrow C D ⊥ O M \Rightarrow

góc giữa mặt bên và đáy là

\hat{S M O}

\cos \hat{S M O} = \frac{O M}{S M} = \frac{O M}{\sqrt{O M^{2} + S O^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}

Câu 14:

Cho tập M gồm các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác xuất để số được chọn có chữ số hàng trăm nhỏ hơn chữ số hàng chục.

A. $\frac{3}{5}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

- Số tự nhiên có ba chữ số $\bar{a b c}$ đôi một khác nhau lấy từ tập $\{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$ : $|Ω| = 5. A_{4}^{2} = 60$

- Gọi A là biến cố: “số được chọn có chữ số hàng trăm nhỏ hơn chữ số hàng chục”

+ Vì chữ số hàng trăm nhỏ hơn chữ số hàng chục và $a \neq 0$ . Đồng thời cứ 1 bộ 2 chữ số thì có 1 chữ số đứng trước bé hơn chữ số đứng sau. Suy ra số cách chọn $\bar{a b} = C_{4}^{2}$ ,

+ Cách chọn c : 4

Số cách chọn $\bar{a b c} : n_{A} = C_{4}^{2} .4 = 24$

$\Rightarrow P_{A} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$

Câu 15:

Biết

\int_{2}^{4} f (x) d x = 8

. Tính

I = \int_{1}^{2} f (2 x) d x

A. I = 2

B. I = 4

C. I = 6

D. I = 8

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $I = \int_{1}^{2} f (2 x) d x$

Đặt $t = 2 x \Rightarrow d t = 2 d x$ suy ra $\{\begin{cases} x = 0 \leftrightarrow t = 2 \\ x = 1 \leftrightarrow t = 4 \end{cases}$

$I = \int_{1}^{2} f (2 x) d x = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} f (t) dt= \frac{1}{2} \int_{2}^{4} f (x) dx= 4$

Câu 16:

Cho a > 0 thỏa mãn

log a = \frac{1}{2}

. Tính

log (1000 \sqrt{a})

A. $\frac{13}{4}$

B. 4

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{3}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

log (1000 \sqrt{a}) = log 1000 + log \sqrt{a} = 3 + \frac{1}{2} log a = 3 + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{13}{4}

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

A. $\frac{4}{9} a$

B. $\frac{9}{4} a$

C. $\frac{2}{3} a$

D. $\frac{3}{2} a$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Gọi H là hình chiếu của lên SO.

Ta có $B D ⊥ A C$ và $B D ⊥ S A$ nên $B D ⊥ (S A C) \Rightarrow B D ⊥ A H$ .

Lại có $A H ⊥ S O$ và $A H ⊥ B D$ nên $A H ⊥ (S B D) \Rightarrow d (A, (S B D)) = A H$ .

Trong tam giác ABC có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow A O = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Trong tam giác SAO có $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A O^{2}} + \frac{1}{S A^{2}} = \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} + \frac{1}{{(2 a)}^{2}} = \frac{9}{4 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{2 a}{3}$ .

Vậy

d (A, (S B D)) = A H = \frac{2 a}{3}

.

Câu 18:

Số giao điểm của đồ thị hàm số

y = x^{3} + 2 x + ln x

với đường thẳng y = x + 2 là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 2 x + ln x$ với đường thẳng y = x + 2 là $x^{3} + 2 x + ln x = x + 2$ .

Điều kiện x > 0.

Khi đó phương trình trở thành $x^{3} + x + ln x - 2 = 0$ .

Xét hàm số $f (x) = x^{3} + x + ln x - 2$ , với x > 0.

Ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 + \frac{1}{x} > 0, \forall x > 0$ . Do đó hàm số $f (x) = x^{3} + x + ln x - 2$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Khi đó phương trình $x^{3} + x + ln x - 2 = 0$ có nhiều nhất là 1 nghiệm.

Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Vậy đồ thị hàm số $y = x^{3} + 2 x + ln x$ với đường thẳng y = x + 2 có 1 giao điểm.

Câu 19:

Phần ảo của số phức

z = \frac{1 - 3 i}{1 + i}

là:

A. -4

B. -4i

C. -2i

D. -2

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $z = \frac{1 - 3 i}{1 + i} = \frac{(1 - 3 i) (1 - i)}{1^{2} + 1^{2}} = \frac{- 2 - 4 i}{2} = - 1 - 2 i$ .

Vậy phần ảo của số phức

z = \frac{1 - 3 i}{1 + i}

là -2

Câu 20:

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số chẵn gồm ba chữ số đôi một khác nhau?

A. 80

B. 120

C. 68

D. 105

Xem đáp án

Chọn C

Số cần tìm có dạng: $\bar{a b c} (a \neq 0)$ .

TH1: c = 0, chọn $\bar{a b} : A_{5}^{2} = 20$ số.

Suy ra lập được 20 số thỏa mãn.

TH2: $c \in \{2; 4; 6\} : 3$ cách chọn

Chọn a: 4 cách.

Chọn b: 4 cách.

Suy ra có 4.4.3 = 48 số.

Vậy có 20 + 48 = 68 số.

Câu 21:

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A. $y = x^{3} - x + 1$

B. $y = x^{4} - x^{2} + 1$

C. $y = x^{3} + x + 1$

D. $y = x^{4} + x^{2} + 1$

Xem đáp án

Chọn C

Xét hàm số $y = x^{3} + x + 1$ có $y^{'} = 3 x^{2} + 1 > 0, \forall x \in ℝ$ . Do đó hàm số $y = x^{3} + x + 1$ không có cực trị

Câu 22:

Thể tích khối chóp có diện tích đáy

a^{2}

và chiều cao 2a là

A. $a^{3}$

B. $\frac{2}{3} a^{3}$

C. $2 a^{3}$

D. $\frac{1}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích khối chóp là :

V = \frac{1}{3} . a^{2} .2 a = \frac{2}{3} a^{3}

Câu 23:

Cho hàm số

y = x^{4} + (2 m - 1) x^{2} + 1

. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số có đúng 1 cực trị?

A. $m > \frac{1}{2}$

B. $m \geq \frac{1}{2}$

C. $m < \frac{1}{2}$

D. $m \leq \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số

y = x^{4} + (2 m - 1) x^{2} + 1

có đúng 1 cực trị

\Leftrightarrow a . b \geq 0 \Leftrightarrow 2 m - 1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2}

Câu 24:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm là

f^{'} (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 2) (3 - x)

. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (2;3)

B. (1;2)

C. (1;3)

D. $(3; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

$\forall x \in (2; 3) \Rightarrow (x - 2) (3 - x) > 0 \Rightarrow f^{'} (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 2) (3 - x) > 0$

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (2;3).

Câu 25:

Cho cấp số nhân

(u_{n})

có

u_{2} = 2

và công bội q = 2. Tính

u_{10}

A. 2048

B. 256

C. 512

D. 1024

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

u_{10} = u_{2} . q^{8} = {2.2}^{8} = 512

Câu 26:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 3 = 0$ . Tâm của mặt cầu đã cho có toạ độ là:

A. (-1;2;0)

B. (1;-2;0)

C. (2;-4;0)

D. (-2;4;0)

Xem đáp án

Chọn B

Ta có tâm của mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 3 = 0$ có toạ độ là (1;-2;0).

Câu 27:

Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB=2a, cạnh bên $S A = a \sqrt{2}$ . Thể tích khối chóp đã cho bằng:

A. $\sqrt{2} a^{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{3} a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{6} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB=2a, cạnh bên SA = a căn bậc hai 2. Thể tích khối chóp đã cho bằng: (ảnh 1)

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC

Ta có $A M = a \sqrt{3} \Rightarrow A H = \frac{2}{3} A M = \frac{2 \sqrt{3} a}{3}$

Mặt khác $S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{2} a)}^{2} - {(\frac{2 \sqrt{3} a}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3} a$

Vậy thể tích của khối chóp đã cho là:

V = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S H = \frac{1}{3} . {(2 a)}^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} . \frac{\sqrt{6} a}{3} = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}

Câu 28:

Hình chiếu vuông góc của điểm M(1;-2;3) lên mặt phẳng (Oyz) có toạ độ là:

A. (-1;-2;3)

B. (0;-2;3)

C. (0;2;-3)

D. (1;0;0)

Xem đáp án

Chọn B

Hình chiếu vuông góc của điểm M(1,-2,3) lên mặt phẳng (Oyz) có toạ độ là: (0;-2;3)

Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{3}

và mặt phẳng

(P) : x - y + 2 z - 8 = 0

. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).

A. (1;3;-3)

B. (-3;1;-3)

C. (-1;3;-3)

D. (3;1;3)

Xem đáp án

Chọn D

Gọi M(a,b,c) vì M thuộc (d) nên suy ra: $\{\begin{cases} a = 2 t + 1 \\ b = - t + 2 \\ c = 3 t \end{cases}$

Vì M thuộc (P) nên: $2 t + 1 - (- t + 2) + 2.3 t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Vậy tọa độ giao điểm của d và (P) là (3;1;3)

Câu 30:

Cho số thực a > 0, a

\neq

1. Giá trị của biểu thức

\log_{\sqrt{a}} \sqrt{a \sqrt{a}}

bằng:

A. 6

B. 3

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Chọn C

$\log_{\sqrt{a}} \sqrt{a \sqrt{a}} = \log_{a^{\frac{1}{2}}} a^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} . \frac{3}{4} \log_{a} a = \frac{3}{2}$

Câu 31:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{- 4}

. Viết phương trình mặt phẳng qua M(1;0;-2) và vuông góc với đường thẳng d.

A. x - y - 1 = 0

B. 2x + 3y - 4z + 10 = 0

C. 2x + 3y - 4z - 10 = 0

D. 2x + 3y - 4z + 6 = 0

Xem đáp án

Chọn C

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec{u_{d}} = (2; 3; - 4)$ .

Theo đề bài, ta có mặt phẳng (P) qua điểm M(1;0;-2) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \vec{u_{d}} = (2; 3; - 4)$ .

Khi đó:

(P) : 2. (x - 1) + 3. (y - 0) - 4. (z + 2) = 0 \Leftrightarrow 2 x + 3 y - 4 z - 10 = 0

Câu 32:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x) = (x - 1)(x - m) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên

(- \infty; + \infty)

A. $m \leq 1$

B. m > 1

C. $m = 1$

D. $m \geq 1$

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; + \infty)$ khi

$f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow (x - 1) (x - m) \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow x^{2} - (m + 1) x + m \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 > 0 \\ Δ = {(m + 1)}^{2} - 4 m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m^{2} - 2 m + 1 \leq 0 \Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Câu 33:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;-1;0), C(0;0;1). Phương trình mặt phẳng (ABC) là

A. $x + y + z = 0$

B. $x + y + z = 1$

C. $x - y + z = 0$

D. $x - y + z = 1$

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng:

\frac{x}{1} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x - y + z = 1

Câu 34:

Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

|\bar{z} + 1| = |z - i|

là đường thẳng có phương trình?

A. $y = - x$

B. $y = x$

C. $y = x + 1$

D. $y = - x + 1$

Xem đáp án

Chọn A

Giả sử $z = x + i y (x, y \in ℝ)$ được biểu diễn bởi điểm M(x,y).

Khi đó

|\bar{z} + 1| = |z - i| \Leftrightarrow \sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}} \Leftrightarrow x + y = 0 \Leftrightarrow y = - x

Câu 35:

Tập nghiệm của bất phương trình

{(\frac{3}{π})}^{\sqrt{x}} > {(\frac{3}{π})}^{2 - \sqrt{x}}

là

A. $(- \infty; 1)$

B. $(1; + \infty)$

C. $(0; + \infty)$

D. [0;1)

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: ${(\frac{3}{π})}^{\sqrt{x}} > {(\frac{3}{π})}^{2 - \sqrt{x}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} < 2 - \sqrt{x} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} < 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x < 1 \end{cases} \Leftrightarrow 0 \leq x < 1$ .

Do vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: S = [0;1)

Câu 36:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số

y = x^{2} |x^{2} - 4|

tại đúng 4 điểm phân biệt.

A. $m \geq 4$

B. m = 4

C. $m \leq 4$

D. $2 \leq m \leq 4$

Xem đáp án

Chọn B

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số $y = x^{2} |x^{2} - 4|$ :

$x^{2} |x^{2} - 4| = m \Leftrightarrow |x^{4} - 4 x^{2}| = m$

Ta có đồ thị hàm số $y = |x^{4} - 4 x^{2}|$ như sau

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x^2 trị tuyệt đối x^2 - 4 tại đúng 4 điểm phân biệt. (ảnh 1)

Từ đồ thị suy ra để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y = x^{2} |x^{2} - 4|$ tại đúng 4 điểm phân biệt <=> m =4.

Câu 37:

Cho khối nón có đường kính đáy bằng 4a và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối nón đã cho bằng

A. $\frac{8}{3} π a^{3}$

B. $\frac{32}{3} π a^{3}$

C. $8 π a^{3}$

D. $32 π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Thể tích của khối nón đã cho là

V = \frac{1}{3} π r^{2} . h = \frac{1}{3} π . {(2 a)}^{2} .2 a =

Câu 38:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int \ln x d x = x (\ln x + 1)$

B. $\int \ln x d x = x (\ln x + 1) + C$

C. $\int \ln x d x = x (\ln x - 1) + C$

D. $\int \ln x d x = x (\ln x - 1)$

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = x \end{cases}$

$\Rightarrow \int \ln x d x = x . \ln x - \int d x = x \ln x - x + C = x (\ln x - 1) + C$

Câu 39:

Cho hàm số

y = \frac{x - m}{x + 1}

với m là số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [0;2] bằng 6

A. m = 4

B. m = -4

C. m = 1

D. m = -1

Xem đáp án

Chọn B

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2] bằng 6 khi:

$y (0) + y (2) = 6 \Leftrightarrow - m + \frac{2 - m}{3} = 6 \Leftrightarrow m = - 4.$

Câu 40:

Số các số nguyên dương x thỏa mãn

4^{x} + 2023 (x + 1) < (x + 2024) {.2}^{x}

là:

A. 7

B. 9

C. 8

D. 10

Xem đáp án

$2^{x} > x + 1 \Rightarrow 2^{x} - x - 1 > 0$

Chọn D

Ta có:

$\begin{array}{l} 4^{x} + 2023 (x + 1) < (x + 2024) {.2}^{x} \Leftrightarrow 4^{x} - {2024.2}^{x} + 2023 - (2^{x} - 2023) . x < 0 \\ \Leftrightarrow (2^{x} - 1) (2^{x} - 2023) - (2^{x} - 2023) . x < 0 \\ \Leftrightarrow (2^{x} - 2023) (2^{x} - x - 1) < 0 \end{array}$

Do x nguyên dương nên

Do đó bất phương trình $\Leftrightarrow 2^{x} < 2023 \Rightarrow x \in \{1; 2; ....; 10\}$ .

Vậy có 10 số nguyên dương x thỏa mãn.

Câu 41:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y = x^{2}

và

y = 2 - x^{2}

là

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. 0

Xem đáp án

Chọn A

Xét phương trình $x^{2} = 2 - x^{2} \Leftrightarrow x = \pm 1$

Vậy diện tích hình phẳng đã cho bằng

\int_{- 1}^{1} |x^{2} - (2 - x^{2})| d x = \int_{- 1}^{1} |2 x^{2} - 2| d x = \frac{8}{3}

Câu 42:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân tại A và

\hat{B A C} = 120^{o}

, cạnh bên AA' = a, góc giữa A'B và mặt phẳng (ABC) bằng 60^o. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. $\frac{\sqrt{13}}{12} a^{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{36} a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{6} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân tại A và góc BAC = 120 độ, cạnh bên AA' = a, góc giữa A'B và mặt phẳng (ABC) bằng 60o (ảnh 1)

$A A^{'} ⊥ (A B C) \Rightarrow (\hat{A A^{'}, (A B C)}) = \hat{A^{'} B A} = 60^{o}$

Xét tam giác vuông ABA' có: $A B = A A^{'} \cot \hat{A B A^{'}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ .

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} . S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A A^{'} . A B . A C . \sin 120^{o} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Câu 43:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m giá trị lớn nhất của hàm số

y = |x^{3} - 3 x^{2} + m|

[-2;3] là trị nhỏ nhất?

A. m = 8

B. m = -8

C. m = 10

D. m = -10

Xem đáp án

Chọn C

Xét hàm số $y = f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + m$ liên tục trên đoạn [-2;3].

+) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x; f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = 2 \in [- 2; 3]$

+) $f (- 2) = m - 20, f (2) = m - 4, f (3) = f (0) = m$

Khi đó $max_{[- 2; 3]} |f (x)| = max \{|m|; |m - 20|\} = M$ .

Ta có: $\{\begin{matrix} M \geq |m| \\ M \geq |m - 20| = |20 - m| \end{matrix} \Rightarrow 2 M \geq |m| + |20 - m| \geq |m + 20 - m| = 20 \Rightarrow M \geq 10$ .

Dấu ''='' xảy ra

\Leftrightarrow \{\begin{matrix} |m| = |20 - m| = 10 \\ m (20 - m) \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 10

.

Câu 44:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 2 z - 1 = 0$ và mạt phẳng (P): x + y + 2z + 5 = 0. Lấy điểm A di động trên (S) và điểm B di động trên (S) sao cho $\vec{A B}$ cùng phương $\vec{a} = (- 2; 1; - 1)$ . Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn AB.

A. $2 + 3 \sqrt{6} \cdot$

B. $4 + 3 \sqrt{6} \cdot$

C. 2 + $\frac{3 \sqrt{6}}{2} \cdot$

D. $4 + \frac{3 \sqrt{6}}{2} \cdot$

Xem đáp án

Chọn B

+) (S) có tâm I(1;1;1), bán kính R = 2.

+) (P) có VTPT $\vec{n} = (1; 1; 2)$ , đường thẳng AB có VTVP $\vec{a} = (- 2; 1; - 1)$ .

+) Ta có $\sin (A B; (P)) = \frac{1}{2}$ , suy ra góc giữa AB và (P) bằng 300.

+) Gọi H là hình chiếu của (P). A trên (P). Ta có AB = 2.AH. Do đó AB max khi và chỉ khi AH max

$A H m a x = d (I; (P)) + R = 2 + \frac{3 \sqrt{6}}{2} \cdot$

+) Vậy $A B m a x = 4 + 3 \sqrt{6}$

Câu 45:

Cho số phức z thỏa mãn

|z + \bar{z}| + |z - \bar{z}| = |z^{2}|

. Tìm giá trị lớn nhất của

|z - 2 + 3 i|

.

A. $27 + 10 \sqrt{2}$

B. $5 + \sqrt{2}$

C. $7 + 5 \sqrt{2}$

D. $\sqrt{20 + 5 \sqrt{2}}$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ) \Rightarrow M (x; y)$ biểu diễn z.

Do

$\begin{array}{l} |z + \bar{z}| + |z - \bar{z}| = |z^{2}| \Leftrightarrow |z + \bar{z}| + |z - \bar{z}| = {|z|}^{2} \Leftrightarrow 2 |x| + 2 |y| = x^{2} + y^{2} \\ \Leftrightarrow {(|x| - 1)}^{2} + {(|y - 1|)}^{2} = 2 \end{array}$ .

Từ đó suy ra: Tập hợp điểm M biểu diễn z là 4 phần của 4 đường tròn như hình vẽ:

Cho số phức z thỏa mãn trị tuyệt đối z + z ngang + trị tuyệt đối z - z ngang = trị tuyệt đối z^2. Tìm giá trị lớn nhất của . (ảnh 1)

Mà $T = |z - 2 + 3 i| = |z - (2 - 3 i)| = M A$ với A(2;-3) biểu diễn số phức (2 - 3i).

Ta có $A I_{1} = \sqrt{17}; A I_{2} = 5; A I_{3} = \sqrt{13}; A I_{4} = \sqrt{5}$ .

Do đó $M a x T = A I_{2} + R = 5 + \sqrt{2}$

Câu 46:

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên

(0; + \infty)

thỏa mãn f(0) = 0,

\lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1

và

f'' (x) + {[f' (x)]}^{2} + x^{2} = 1 + 2 x f' (x)

. Tính f(2)

A. 1 + ln3

B. 2 + ln3

C. 2 - ln3

D. 1 - ln3

Xem đáp án

Chọn B

Do $\lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1 \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = 1 \Leftrightarrow f' (0) = 1$ .

Ta có: $f'' (x) + {[f' (x)]}^{2} + x^{2} = 1 + 2 x f' (x) \Leftrightarrow {[f' (x) - x]}^{2} = - (f'' (x) - 1)$ , (1)

Đặt $g (x) = f' (x) - x \Rightarrow g' (x) = f'' (x) - 1$ , nên (1) trở thành $g^{2} (x) = - g' (x) \Rightarrow \frac{g' (x)}{g^{2} (x)} = - 1.$

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được $- \frac{1}{g (x)} = - x + C \Rightarrow g (x) = \frac{1}{x - C} \Rightarrow f' (x) = x + \frac{1}{x - C}$

Cho $x = 0 \Rightarrow f' (0) = \frac{1}{- C} \Rightarrow C = - 1$ . Do đó $f' (x) = x + \frac{1}{x + 1} \Rightarrow f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln |x + 1| + C_{1}$

Mặt khác

f (0) = 0 \Rightarrow C_{1} = 0

. Suy ra

f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln |x + 1|

. Vậy

f (2) = 2 + \ln 3

Câu 47:

Gọi Mlà tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho có đúng một số phức z thỏa mãn

|z - m| = 3

và

z (\bar{z} - 4)

là số thuần ảo. Tính tổng tất cả các phần tử của M

A. -2

B. 4

C. 8

D. 10

Xem đáp án

Chọn C

Đặt z = x + yi khi đó $|z - m| = 3 \Leftrightarrow |(x - m) + y i| = 3$ . Khi đó tập các số phức z là đường tròn (C₁) có tâm I₁(m;0) và R₁ = 3.

Ta có $z (\bar{z} - 4) = {|z|}^{2} - 4 z = (x^{2} + y^{2} - 4 x) - 4 y i$ . Để $z (\bar{z} - 4)$ là số thuần ảo khi và chỉ khi $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ . Khi đó tập hợp các số phức z là đường tròn (C₂) có tâm I₂(2;0) và R₂ = 2.

Ta có độ dài đường nối tâm là $I_{1} I_{2} = |m - 2|$ .

Để có một số phức z thỏa mãn

\Leftrightarrow [\begin{matrix} I_{1} I_{2} = R_{1} + R_{2} \\ I_{1} I_{2} = |R_{1} - R_{2}| \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} |m - 2| = 5 \\ |m - 2| = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 7 \\ m = - 3 \\ m = 3 \\ m = 1 \end{matrix}

Câu 48:

Cho hình nón có đỉnh S có bán kính đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng 120^o. Thiết diện tạo bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh S và hình nón là một tam giác có diện tích lớn nhất bằng:

A. $\frac{2}{3} a^{2}$

B. $\frac{1}{3} a^{2}$

C. $\frac{4}{3} a^{2}$

D. $\frac{2}{\sqrt{3}} a^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình nón có đỉnh S có bán kính đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng 120o. Thiết diện tạo bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh S và hình nón là một tam giác có diện tích lớn nhất bằng: (ảnh 1)

Ta có $A B^{2} = S A^{2} + S B^{2} - 2 S A 2 S B \cos \hat{A S B} \Leftrightarrow S A = \sqrt{\frac{A B^{2}}{2 - 2 \cos \hat{A S B}}} = \sqrt{\frac{{(2 a)}^{2}}{2 - 2 \cos 120 °}} = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

Ta có diện tích thiết diện là $S' = \frac{1}{2} l^{2} \sin α \leq \frac{1}{2} l^{2} = \frac{1}{2} S A^{2} = \frac{2}{3} a^{2}$ .

Đẳng thức xảy ra khi

\sin α = 1

hay

α = \hat{A' S B'} = 90 °

Câu 49:

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên $(0; + \infty)$ thỏa mãn $f (1) = \frac{4}{e}$ và

(x + 1) f (x) + x f^{'} (x) = (2 x + 1) e^{- x}

với mọi x > 0. Tính

\int_{1}^{2} e^{x} f (x) d x

A. $4 - \ln 4.$

B. $\frac{5}{2} - 2 \ln 2.$

C. $4 + \ln 4.$

D. $\frac{5}{2} + 2 \ln 2.$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $(x + 1) f (x) + x f^{'} (x) = (2 x + 1) e^{- x} \Leftrightarrow (x + 1) e^{x} f (x) + e^{x} x f^{'} (x) = 2 x + 1$

$\Leftrightarrow {[x e^{x} f (x)]}^{'} = 2 x + 1 \Rightarrow \int {[x e^{x} f (x)]}^{'} d x = \int (2 x + 1) d x \Leftrightarrow x e^{x} f (x) = x^{2} + x + C$

Vì $f (1) = \frac{4}{e}$ nên $C = e f (1) - 2 = 2$ . Suy ra $e^{x} f (x) = x + 1 + \frac{2}{x}$ .

Khi đó

\int_{1}^{2} e^{x} f (x) d x = \int_{1}^{2} (x + 1 + \frac{2}{x}) d x = (\frac{x^{2}}{2} + x + 2 \ln |x|) |_{1}^{2} =

Câu 50:

Biết x, y là các số thực thỏa mãn

10^{2 x + 3 - y^{2}} \geq a^{2 x - \log a}

với mọi số thực a > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3x + 4y

A. 10

B. 13

C. 25

D. 8

Xem đáp án

Chọn A

$10^{2 x + 3 - y^{2}} \geq a^{2 x - \log a} \Leftrightarrow 2 x + 3 - y^{2} \geq (2 x - \log a) \log a \Leftrightarrow \log^{2} a - 2 x \log a + 2 x + 3 - y^{2} \geq 0$

Đặt $t = \log a$ ta được bất phương trình $t^{2} - 2 x t + 2 x + 3 - y^{2} \geq 0$

Để bất phương trình đúng với mọi số thực a > 0.

Điều kiện là $Δ' \leq 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 + y^{2} \leq 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq 4$ .

$P = 3 x + 4 y = 3 (x - 1) + 4 y \Rightarrow P^{2} \leq [3^{2} + 4^{2}] [{(x - 1)}^{2} + y^{2}] \leq 25.4 \Rightarrow P \leq 10.$

Đẳng thức xảy ra khi $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \end{cases}$