Chủ nhật, 24/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Thi thử THPT Quốc gia Toán Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 19)

Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 19)

Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 19)

  • 198 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=x2x+1 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

limx+y=limx+x2x+1=1;limxy=limxx2x+1=1.

Do đó y = 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.


Câu 2:

Cho f,g là hai hàm số liên tục trên [1;3] thoả mãn điều kiện 13fx+3gxdx=10 đồng thời 132fxgxdx=6. Tính 13fx+gxdx.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có 

13fx+3gxdx=10132fxgxdx=613fxdx+313gxdx=10213fxdx13gxdx=613fxdx=413gxdx=2

suy ra 13fx+gxdx=13fxdx+13gxdx=4+2=6.


Câu 3:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) dưới đây.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) dưới đây.   Khi đó f(2) gọi là (ảnh 1)

Khi đó f(2) gọi là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

f(2) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

Câu 4:

Xét trên khoảng 0;+. Khẳng định nào dưới đây sai?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Khẳng định 1xdx=lnx+1+C sai.


Câu 5:

Phương trình log12x2+3x2x=0 tương đương với phương trình nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình log12x2+3x2x=0x2+3x2x=120=1.


Câu 6:

Giá trị lớn nhất của hàm số y=x2x trên nửa đoạn ;1 là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có y'=1+2x2>0với x;1.

Mặt khác limxy=;y1=1. Vậy min;1y=1


Câu 7:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên  và có xét dấu đạo hàm như dưới đây?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có xét dấu đạo hàm như dưới đây?   Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(-x-2) là: (ảnh 1)

Số điểm cực trị của hàm số gx=fx2 là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Nhận xét: Số điểm cực trị y = f(x) bằng với số điểm cực trị g(x).

Vậy g(x) = f(-x - 2) có ba điểm cực trị.


Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCSA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=SB=SC. Gọi I là trung điểm của AB. Góc giữa SIBC bằng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=SB=SC. Gọi I là trung điểm của AB. Góc giữa SI và BC bằng? (ảnh 1)

Gọi K là trung điểm của AC.

Khi đó IK//BCSI,BC^=SI,IK^.

Ta có SI=12AB,SK=12AC,IK=12BC(tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Do SA=SB=SCAB=BC=AC, khi đó SI=SK=IK hay ΔSIK là tam giác đều.

Vậy SI,BC^=SI,IK^=60°.


Câu 9:

Cho hai số phức z1=3i z2=1+i. Phần ảo của số phức z1.z2 bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có z1.z2=3i1+i=2+4i.

Vậy phần ảo của số phức z1.z2 bằng .


Câu 11:

Đạo hàm của hàm số y=2x 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

y=2xy'=2x.ln2.


Câu 12:

Cho n*, với điều kiện nào của a thì đẳng thức an=1an xảy ra?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho n*, đẳng thức an=1an xảy ra khi a0.


Câu 13:

Điểm M thuộc khối cầu tâm O bán kính R nếu:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điểm M thuộc khối cầu tâm O bán kính R nếu OMR.


Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số x=2ty=6+tz=13t và mặt phẳng P:2xy+3z+12=0. Tìm sin của góc giữa d (P)?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d có phương trình tham số x=2ty=6+tz=13t 

d có vectơ chỉ phương u=2;1;3.

Mặt phẳng P:2xy+3z+12=0P có vectơ pháp tuyến n=2;1;3

Ta có u.n=0 nên dPd,P^=90osind,P^=1.

Câu 15:

Trên mặt phẳng toạ độ, điểm biểu diễn số phức z=1+2i2 là điểm nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

z=1+2i2=1+4i+4i2=3+4i.

Vậy điểm biểu diễn số phức z là điểm P3;4.


Câu 16:

Cho một khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đáy hình lăng trụ là tam giác đều cạnh bằng 2a nên S=2a234=a23.

Chiều cao của hình lăng trụ bằng h = 2a.

Thể tích V=S.h=a23.2a=23a3.


Câu 17:

Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn a4b=16. Giá trị của 4log2a+log2b bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

4log2a+log2b=log2a4+log2b=log2a4b=log216=log224=4


Câu 18:

Cho cấp số cộng un biết ba số hạng đầu lần lượt là 9,​ x,17. Số hạng tổng quát un là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: u1=9,u3=17. Công sai d=u3u12=4.

Số hạng tổng quát un là: un=u1+n1d=9+n14=4n+5.


Câu 19:

Tập nghiệm của bất phương trình logx1 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

logx1x>0x10x10.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 10;+.


Câu 20:

Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm trên 1;2,f1=8;f2=1. Tích phân12f'x dx bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có 12f'x dx=fx12=f2f1=18=9.


Câu 21:

Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Số cách chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ là: C102=45.


Câu 22:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp bằng a34. Tính cạnh bên SA.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Do đáy là tam giác đều nên có diện tích là B=SΔABC=a234.

Cạnh bên SA vuông góc với đáy suy ra chiều cao là h = SA.

Ta có: V=13B.hh=3VB=3.a34a234=a3.


Câu 23:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.   Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;1).


Câu 24:

Cho fx dx=x55+excosx+C thì f(x) bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: fx=x55+excosx+C'=x4+ex+sinx.


Câu 25:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz tọa độ nào sau đây là tọa độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ:x=2+4ty=16tz=9t,t?
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: uΔ=4;6;9=1213;12;34.

Tọa độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ là: 13;12;34.


Câu 26:

Cho mặt cầu S:x2+y2+z22x+4y+2z3=0. Tính bán kính R của mặt cầu (S).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có a=1,b=2,c=1,d=3R=a2+b2+c2d=9=3.


Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng x2+y1+z3=1 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có x2+y1+z3=13x+6y2z+6=0.

 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là 3;6;2.


Câu 28:

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình bên?

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình bên (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

- Đồ thị hàm số nhận Oy là trục đối xứng => Loại A, C.

- Đồ thị hàm số có một cực trị => Loại D.


Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (a;b;c). Khẳng định nào dưới đây là sai?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

dM;Oxz=b.


Câu 30:

Bác X có mảnh vườn hình chữ nhật ABCD, chiều dài AB=2πm, chiều rộng BC = 3(m). Bác muốn trồng hoa trên dải đất (phần tô đậm) được giới hạn bởi đường MN (với M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC) và một đường hình sin (tham khảo hình vẽ). Diện tích đất trồng hoa bằng

Bác X có mảnh vườn hình chữ nhật ABCD, chiều dài AB = 2pi(m) , chiều rộng BC = 3(m). Bác muốn trồng hoa trên dải đất  (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Bác X có mảnh vườn hình chữ nhật ABCD, chiều dài AB = 2pi(m) , chiều rộng BC = 3(m). Bác muốn trồng hoa trên dải đất  (ảnh 2)

Vì phần đường cong là một đồ thị hình sin đi qua các điểm

0;0,π2;1,5,π;0,π2;1,5,π;0 nên đường cong có phương trình y=32sinx.

Khi đó phần diện tích đất trồng hoa giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y=32sinxy=0x=π;x=π

Do đó diện tích đất trồng hoa là S=ππ32sinxdx=20π32sinxdx=232cosx0π=6m2.


Câu 31:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và  (ảnh 1)

SAABCDSABC BCAB nên BCSABSBCSAB

Kẻ AHSB tại H trong (SAB).

Khi đó: SABSBCSABSBC=SBTrong SAB,AHSBAHSBC.

Do đó dA,SBC=AH.

Xét ΔSAB vuông tại A, có 1AH2=1SA2+1AB2=13a2+1a2=43a2

AH=a32 . Do vậy dA,SBC=a32.


Câu 32:

Với m là tham số thực dương khác . Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình logm12x+22logmx>log1mx2x biết rằng x=54 là nghiệm của bất phương trình.
Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x > 1.

Ta có: x=54 là nghiệm của logm12x+22logmx>log1mx2x nên:

logm1254+22logm54>log1m54254

logm138logm2516>logm165logm2625>logm1650<m<1.

Khi đó: logm12x+22logmx>log1mx2x

logm12x+2+logmx2x>logmx2

logm12x+2x2x>logmx2

12x+2x2x<x2

x+2x2x<2x2

x3x2+2x22x<2x2

x3x22x<0

xx2x2<0

xx2x+1<0

x<10<x<2.

x>1 nên 1<x<2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S=1;2.


Câu 33:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ. Số nghiệm của phương trình 4|f(x)| - 25 = 0 là:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ. Số nghiệm của phương trình 4|f(x)| - 25 = 0 là:   (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: 4fx25=0fx=254 hoặc fx=254.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ. Số nghiệm của phương trình 4|f(x)| - 25 = 0 là:   (ảnh 2)

Với fx=254, phương trình có 1 nghiệm.

Với fx=254, phương trình có 1 nghiệm.

Do vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.


Câu 34:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức z1, z2 của phương trình z22z+5=0. Khi đó diện tích tam giác OAB bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: z22z+5=0z1=1+2iz2=12i .

Giả sử A(1;2), B(1;-2) lần lượt là điểm biểu diễn của z1 z2.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức  z1, z2 của phương trình  (ảnh 1)

Khi đó: AB=112+222=4 nên SOAB=12OK.AB=12.1.4=2.


Câu 35:

Tích tất cả các nghiệm của phương trình log2122x=5x bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: log2122x=5x122x>0122x=25xx<log2122x212.2x+32=0

x<log2122x=82x=4x<log212x=3x=2x=3x=2.

Do đó tích các nghiệm của phương trình là P = 3.2 = 6.


Câu 36:

Một hộp chứa 15 quả cầu gồm 6 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 69 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên hai quả từ hộp đó, xác suất để lấy được hai quả khác màu, khác số và có ít nhất một quả ghi số chẵn bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có nΩ=C152=105

Gọi A “lấy được hai quả khác màu, khác số và có ít nhất một quả ghi số chẵn”

TH1: Lấy được 1 quả màu đỏ chẵn, 1 quả màu xanh lẻ: C31C51 = 15 cách.

TH2: Lấy được 1 quả màu đỏ lẻ, 1 quả màu xanh chẵn: C31C41=12 cách.

TH3: Lấy được 1 quả màu đỏ chẵn, 1 quả màu xanh chẵn: C31C41=12cách.

Ta có nA=C31.C51+C31.C41+C31.C41=39

Ta có PA=nAnΩ=39105=1335.


Câu 37:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x+m2x+4 đồng biến trên từng khoảng xác định.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D=\4.

Ta có y'=4m2x+42

Để hàm số y=x+m2x+4 đồng biến trên từng khoảng xác định y'>04m2>02<m<2.

mm1;0;1.


Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;3;4,B8;6;2. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm C. Tính tỉ số BCAC.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng Oxy:z=0.

AB=6;3;6=32;1;2.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(2;3;-4) và nhận u2;1;2 làm vectơ chỉ phương có dạng: x=2+2ty=3+tz=4+2t.

CAB nên C2+2t;3+t;4+2t.

Mặt khác COxy nên 4+2t=0t=2.

Với t = 2 thì C(6;5;0).

Do đó BC=22+12+22=3; AC=42+22+42=6.

Vậy BCAC=36=12.


Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A0;1;3,B1;0;1,C1;1;2. Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d song song với BCud=BC=2;1;1.

Đường thẳng d đi qua A(0;-1;3) và song song BC có dạng: x=2ty=1+tz=3+t.

Do đó dạng chính tắc của d là: x2=y+11=z31.


Câu 40:

Cho hàm số f(x) liên tục trên  thỏa mãn 0π4ftanxdx=3 01x2fxx2+1dx=1. Tính I=01fxdx.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Xét I1=0π4ftanxdx=3

Đặt t=tanxdt=1cos2xdx

I1=01ft.11+t2dt=01fx1+x2dx=3

Ta có:

01x2fxx2+1dx=10111x2+1fx dx=101fxdx01fxx2+1dx=1

01fxdx3=101fxdx=4.


Câu 41:

Cho hai số phức z1,z2 thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau z1=34,  z+1+mi=z+m+2i (trong đó m là tham số thực) và sao cho z1z2 là lớn nhất. Khi đó giá trị z1+z2 bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau |z - 1|= căn 34, |z+1+mi|=|z+m + 2i|  (trong đó m là tham số thực)  (ảnh 1)

Đặt z=x+yi   (x,y). Khi đó z1=34x12+y2=34 (C).

Suy ra điểm biểu diễn của số phức z1,z2 nằm trên đường tròn (C) tâm I(1;0) bán kính R=34.

Lại có, z+1+mi=z+m+2ix+12+y+m2=x+m2+y+22

22mx+2m4y3=0 (d).

Suy ra điểm biểu diễn số phức z1,z2 nằm trên đường thẳng (d).

Gọi Ax0;y0 là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó, 22mx0+2m4y03=0,  m

2m(y0x0)+2x04y03=0,   m

y0x0=02x04y03=0x0=y0=32A32;32.

Ta có, IA=342<R nên điểm A nằm trong đường tròn (C).

Do đó đường thẳng (d) luôn cắt đường tròn (C) tại 2 điểm M, N và điểm M, N chính là điểm biểu diễn của số phức z1,z2.

Theo giả thiết thì z1z2=MN lớn nhất d IA .

Do đó z1+z2=OM+ON=2.OI=2.OI=2.


Câu 42:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3), B(-2; -7;6) và đường thẳng Δ:x22=y+21=z13. Biết điểm M thay đổi trên Δ sao cho MAMB đạt giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất của MAMB thuộc khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3), B(-2; -7;6) và đường thẳng denta: (x-2)/-2 = (y+2)/1 = (z - 1)/3.  (ảnh 1)

Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng Δ.

HΔ nên H22t;2+t;1+3t.

Ta có AH12t;4+t;2+3t uΔ=2;1;3.

Vì AH vuông góc với đường thẳng Δ nên AHuΔAH.uΔ=0

212t+14+t+32+3t=014t=12

t=67 H27;87;257.

Tương tự, giả sử I22a;2+a;1+3a.

Ta có BI42a;5+a;5+3a uΔ=2;1;3.

Vì BI vuông góc với đường thẳng Δ nên BIuΔBI.uΔ=0

242a+15+a+35+3a=0

14a=18

a=97 I47;57;347.

Dựng đường thẳng d đi qua I và song song với HA và chọn điểm B' cùng phía với A so với Δ sao cho B'I=BI.

Ta có MB=MB' MAMB=MAMB'AB'.

Dấu "=" xảy ra khi A, B', M thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB (hình vẽ).

Vậy giá trị lớn nhất của MAMB là AB'.

Ta có AH=2712+8722+25732=5217,

B'I=BI=47+22+57+72+34762=10217.

B'K=B'IAH=5217 (do B'I>AH) và HI=3147.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AKB' ta có,

AB'=AK2+B'K2=65173,645.


Câu 43:

Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang ( mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn là 1m, trục bé 0,8m, chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m. Được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình vẽ). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m. Tính thể tích V của dầu có trong thùng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang ( mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn là 1m, trục bé 0,8m,  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ

Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang ( mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn là 1m, trục bé 0,8m,  (ảnh 2)

Vì độ dài trục lớn là 1m nên ta có 2a=1a=12.

Độ dài trục bé là 0,8m nên ta có 2b=0,8b=25.

Ta có phương trình của Elip là x214+y2425=1.

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của dầu với elip.

Gọi S1 là diện tích của Elip ta có S1=πab=π.12.25=π5.

Gọi S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng ( tính từ đáy thùng lên mặt dầu) là 0,6m nên ta có phương trình của đường thẳng MN là y=15.

Mặt khác từ phương trình x214+y2425=1, ta có y=4514x2.

Tọa độ giao điểm của elip và đường thẳng y=15 là nghiệm của hệ:

x214+y2425=1y=15x=±34y=15.

 

Do đó đường thẳng y=15 cắt Elip tại hai đỉnh M, N có hoành độ lần lượt là 34 34 nên S2=34344514x215dx=45343414x2dx310.

Tính I=343414x2dx.

Đặt x=12sintdx=12costdt.

Đổi cận: Khi x=34 thì t=π3; khi x=34 thì t=π3.

I=π3π312.12cos2tdt=18π3π31+cos2tdt=182π3+32.

Vậy S2=45.182π3+32310=π15320.

Thể tích của dầu trong thùng là V=π5π15+320.3=1,52.

Vậy V=1,52m3.


Câu 44:

Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng 32 chiều cao của thùng nước và đo được thể tích tràn ra là 543πdm3. Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng bằng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón.  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón.  (ảnh 2)

Theo đề, ta có OA=3DK

Thể tích nước trong thùng là:

V=13π.OKOA2+DK2+OA.DK V=133π.OK.DK2.

Thể tích nước tràn ra bằng một nửa thể tích khối cầu nên

ta có 12.43π.OH3=543πOH=33 cm.

Theo đề 2OH=32OKOK=43OH=43 cm.

IKOI=DKAO=13OI=32OK=63.

Xét tam giác OBI vuông tại O,

ta có

 1OB2=1OH21OI2=13321632OA=OB=6cmDK=2cm.

Thể tích cần tìm là

V543π=133π.43.22543π=463π3dm3.


Câu 45:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1;4] và có đồ thị như hình vẽ.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1;4] và có đồ thị như hình vẽ.   Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng (0;20)   (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng (0;20) để bất phương trình fx+m<2m đúng với mọi x thuộc đoạn [-1;4].

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Với m > 0, bất phương trình fx+m<2m3m<fx<m.

Từ đồ thị ta suy ra: 3m<2m>3m>3.

Kết hợp m0;20,m ta được m4;5;...;19.


Câu 46:

Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d1:x12=y11=z12, d2:x31=y+12=z22,d3:x42=y42=z11. Mặt cầu bán kính nhỏ nhất tâm I(a;b;c), tiếp xúc với 3 đường thẳng d1,d2,d3. Giá trị tổng S=a+2b+3c 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

d1 đi qua điểm A(1;1;1) VTCPu1=2;1;2.

d2 đi qua điểm B(3;-1;2) VTCPu2=1;2;2.

d3 đi qua điểm C(4;4;1) VTCP  u3=(2;2;1).

Ta có: u1.u2=0,u2.u3=0,u3.u1=0d1,d2,d3 đôi một vuông góc với nhau.

u1;u2.AB0,u2;u3.BC0,u3,u1.CA0d1,d2,d3 đôi một chéo nhau.

Lại có: AB=2;2;1;AB.u1=0 AB.u2=0 nên d1,d2,d3 chứa 3 cạnh của hình hộp chữ nhật như hình vẽ.

Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d1: (x-1)/2 = (y-1)/1=(z-1)/-2; d2: (x-3)/1 = (y+1)/2=(z-2)/2, d3: (x-4)/2=(y-4)/-2=(z-1)/1    .  (ảnh 1)

Vì mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc với 3 đường thẳng d1,d2,d3 nên bán kính

R=dI,d1=dI,d2=dI,d3R2=d2I,d1=d2I,d2=d2I,d3

R2=AI,u1u12=BI,u2u22=CI,u3u3¯2, ta thấy u12=u22=u32=9 

AI=a1;b1;c1,AI,u1=2bc+3;2a+2c4;a2b+1.

BI=a3;b+1;c2,BI,u2=2b2c+6;2a+c+4;2ab7.

CI=a4;b4;c1,CI,u3=b+2c6;a+2c+2;2a2b+16.

9R2=AI,u12=BI,u22=CI,u3227R2=AI,u12+BI,u22+CI,u32

=18a2+b2+c2126a54b54c+423

=18a722+18b322+18c322+24322432

Rmin=3222,12 khi a=72,b=32,c=32.

Tổng S=a+2b+3c=11.


Câu 47:

Cho một khối lăng trụ lục giác đều MNPQRS.M’N’P’Q’R’S’ có thể tích bằng 8103 cm3 và độ dài cạnh đáy là 6cm nội tiếp trong một khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ (hai đáy lăng trụ nội tiếp hai đáy khối hộp, minh họa đáy dưới MNPQRS nội tiếp đáy dưới hộp ABCD như hình dưới đây). Tang góc giữa A’B và mặt phẳng BCC’ bằng

Cho một khối lăng trụ lục giác đều MNPQRS.M’N’P’Q’R’S’ có thể tích bằng  810 căn 3 cm3 và độ dài cạnh đáy là 6cm  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho một khối lăng trụ lục giác đều MNPQRS.M’N’P’Q’R’S’ có thể tích bằng  810 căn 3 cm3 và độ dài cạnh đáy là 6cm  (ảnh 2)Cho một khối lăng trụ lục giác đều MNPQRS.M’N’P’Q’R’S’ có thể tích bằng  810 căn 3 cm3 và độ dài cạnh đáy là 6cm  (ảnh 3)

Gọi O tâm lục giác đều MNPQRS, khi đó SMNPQRS=6SMNO=66234=543cm2.

Suy ra chiều cao của khối lăng trụ lục giác đều là h=VS=8103543=15cm.

Ta có A'B'BCC' nên B' là hình chiếu của A' trên (BCC').

Khi đó A'B,BCC'=A'B,BB'=A'BB'^.

Tam giác A'BB' vuông tại B' nên tanA'BB'^=A'B'BB'=1215=45.

Câu 48:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm  f'x=x2+2x trên . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số gx= fx28x+m có 5 điểm cực trị dương?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

f'x=x2+2x=0x=0x=2.

gx= fx28x+mg'x= 2x4f'x28x+m.

g'x=0x4=0x28x+m=0x28x+m=2x4=0x28x=mx28x=2m12.

Để gx= fx28x+m có 5 điểm cực trị dương khi và chỉ khi (1), (2) có 4 nghiệm dương phân biệt khác .

Xét hàm số hx=x28x với x > 0.

Ta có bảng biến thiên của hx=x28x:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^2 + 2x trên R . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số  g(x) = f(x^2 - 8x + m) (ảnh 1)

Để (1), (2) có 4 nghiệm dương phân biệt khác 4 m<02m>160<m<14.

m1;2;...;13 nên có tất cả 13 giá trị tham số m.


Câu 49:

Trên tập hợp số phức, xét phương trình z2(m+1)z+m2+34+m=0 (m là số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1+z2=2z1z2?
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

TaΔ=m+12m234m=2m2.

TH1: Δ>0m<1. Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z1, z2.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có z1+z2=m+1, z1z2=m2+34+m.

Suy ra z1z22=z1+z224z1z2=m+12m234m=2m2.

Khi đó:

z1+z2=2z1z2z1+z22=2z1z22

m+12=22m2m2+6m+5=0m=1m=5.

 

So với điều kiện ta nhận m = -5.

TH2: Δ<0m>1. Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt có phần ảo khác không z1, z2 với z1=z2¯.

Suy ra z1z2=iΔz1z2=Δ.

Do đó z1+z2=2z1z2z1+z22=2Δ2

m+12=22m+2m22m3=0m=1m=3..

So với điều kiện ta nhận m = 3.

Vậy có hai giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.


Câu 50:

Xét các số thực x, y thỏa mãn log12x+log2x2+y2log14y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+4y.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện x,y>0. Bất phương trình đã cho tương đương

log12x+log2x2+y2log14ylog2x2+yxlog2yx2+yxyx2+yxy.

Xét 0<x1, ta có x2+yxyx2x1y0 (vô nghiệm).

Xét x>1, ta có P=3x+4y>3x>3. (1)

Mặt khác P=3x+4yy=P3x4 suy ra.

x2+yxyx2+P3x4xP3x47x2P+3x+P0

Tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi 7x2P+3x+P0 có nghiệm.

Do đó Δ=P+3228P0P222P+90P11+47P1147. (2)

Từ (1) và (2) suy ra P11+47.

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

7x214+47x+11+470x=7+277y=28+11714.


Bắt đầu thi ngay