26 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi THPT quốc gia môn Toán (Đề số 3)

Câu 1:

Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức $\frac{1}{\sin^{2} x} < \frac{1}{x^{2}} + 1 - \frac{k}{π^{2}}$ đúng với $\forall x \in (0; \frac{π}{2}) .$ Khi đó giá trị của k là

Xem đáp án

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{0\},$ liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

Chọn khẳng định đúng

A.Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.

B.Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

C.Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng.

D.Đồ thị hàm số không có tiệm đứng và tiệm cận ngang.

Xem đáp án

Đáp án C

Do $\lim_{x \to + \infty} y = - \infty; \lim_{x \to - \infty} y = + \infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Do $\lim_{x \to 0^{-}} y = - 1 \Rightarrow x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 3:

Cho hàm số $y = a^{x}$ với $0 < a \neq 1$ có đồ thị $(C) .$ Chọn khẳng định sai

A.Đồ thị $(C)$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = \log_{a} x$ qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

B.Đồ thị $(C)$ không có tiệm cận.

C.Đồ thị $(C)$ đi lên từ trái sang phải khi .

D.Đồ thị $(C)$ luôn đi qua điểm có tọa độ $(0; 1) .$

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ luôn nhận trục hoành là tiệm cận ngang.

Câu 4:

Cho hình thang cân $A B C D; A B / / C D; A B = 2; C D = 4.$ Khi quay hình thang quanh trục CD thu được một khối tròn xoay có thể tích bằng $6 π .$ Diện tích hình thang ABCD bằng:

A. $\frac{9}{2}$

B. $\frac{9}{4}$

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $V = π A H^{2} . A B + \frac{1}{3} π A H^{2} (B H + C K) = 2 π A H^{2} + \frac{2}{3} π A H^{2}$

$= 6 π \Leftrightarrow 2 A H^{2} + \frac{2}{3} A H^{2} = 6 \Leftrightarrow A H = \frac{3}{2} \Rightarrow S_{A B C D} = \frac{A B + C D}{2} . A H = \frac{9}{2}$

Câu 5:

Cho $\log_{6} 45 = a + \frac{\log_{2} 5 + b}{\log_{2} 3 + c}, a, b, c \in ℤ .$ Tính tổng $a + b + c$

A. 1

B. 0

C. 2

D. -4

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\log_{6} 45 = \frac{\log_{2} 45}{\log_{2} 6} = \frac{\log_{2} (3^{2} .5)}{\log_{2} (2.3)} = \frac{2 \log_{2} 3 + \log_{2} 5}{1 + \log_{2} 3} = \frac{2 (1 + \log_{2} 3) + \log_{2} 5 - 2}{\log_{2} 3 + 1}$

$= 2 + \frac{\log_{2} 5 - 2}{\log_{2} 3 + 1} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 2 \\ c = 1 \end{cases} \Rightarrow a + b + c = 1.$

Câu 6:

Cho phương trình: $(c o s x + 1) (c o s 2 x - m c o s x) = m s i n^{2} x .$ Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $[0; \frac{2 π}{3}]$ khi:

A. $m > - 1$

B. $m \geq - 1$

C. $- 1 \leq m \leq 1$

D. $- 1 < m \leq \frac{- 1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $P T \Leftrightarrow (1 + \cos x) (c os 2 x - m c osx) = m (1 - c {os}^{2} x) = m (1 + \cos x) (1 - \cos x)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 1 + \cos x = 0 \\ c os 2 x - m \cos x = m - m \cos x \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = - 1 \\ c os 2 x = m \end{array}$

Với $x \in [0; \frac{π}{2}] \Rightarrow \cos x = - 1 (v n)$

Với $x \in [0; \frac{2 π}{2}] \Rightarrow 2 x \in [0; \frac{4 π}{3}]$ dựa vào đường tròn lượng giác suy ra PT có đúng hai nghiệm khi $- 1 < m \leq c os \frac{4 π}{3} \Leftrightarrow - 1 < m \leq \frac{- 1}{2} .$

Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = \log_{3} (- x^{2} + m x + 2 m + 1)$ xác định với mọi $x \in (l; 2) .$

A. $m \geq - \frac{1}{3}$

B. $m \geq \frac{3}{4}$

C. $m > \frac{3}{4}$

D. $m < - \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số xác định với mọi $x \in (1; 2) \Leftrightarrow - x^{2} + m x + 2 m + 1 > 0 \forall x \in (1; 2) .$

$\Leftrightarrow m > \frac{x^{2} - 1}{x + 2} = g (x) (\forall x \in (1; 2)) \Leftrightarrow m > \underset{(1; 2)}{M ax} g (x)$

Xét $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 2} = x - 2 + \frac{3}{x + 2} \Rightarrow g' (x) = 1 - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} > 0 (\forall x \in (1; 2))$

Do đó $\lim_{x \to 2} f (x) = \frac{3}{4} .$ Vậy $m \geq \frac{3}{4}$ là giá trị cần tìm.

Câu 8:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{5 - x^{2}} + x$ là

A. $π$

B. $\frac{\sqrt{41}}{2}$

C. $\sqrt{10}$

D. $\frac{\sqrt{89}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

TXĐ: $D = [- \sqrt{5}; \sqrt{5}]$ ta có: $y' = \frac{- x}{\sqrt{5 - x^{2}}} + 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{5 - x^{2}} = x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ 5 - x^{2} = x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow x = \sqrt{\frac{5}{2}}$ Lại có: $f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5}; f (\sqrt{5}) = \sqrt{5}; f (\sqrt{\frac{5}{2}}) = \sqrt{10}$ Do đó $\underset{D}{M ax} y = \sqrt{10} .$

Câu 9:

Nếu $\int f (x) d x = \frac{1}{x} + l n |2 x| + C$ với $x \in (0; + \infty)$ thì hàm số $f (x)$ là

A. $f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

B. $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{2 x}$

C. $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + \ln (2 x)$

D. $f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $f (x) = [\frac{1}{x} + \ln |2 x| + C]' = \frac{- 1}{x^{2}} + \frac{1}{x} .$

Câu 10:

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ có tất cả các cạnh bằng 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(A B' D') v à (B C' D)$ bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{2}{\sqrt{3}}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $C O = \frac{A B \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} .$ Dựng $C H ⊥ C' O$ (hình vẽ).

Do $A B' / / C' D; A D' / / B D \Rightarrow (A B' D') / / (B C' D)$

Khi đó $d ((A B' D'); (B C' D)) = d (A; (C' B D)) = d (C; (B D C')) = C H = \frac{C O . C C'}{\sqrt{C O^{2} + C C'^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{3}} .$

Câu 11:

Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi thiết diện qua trục bằng $10 a .$ Thể tích của khối trụ đã cho bằng:

A. $π a^{3}$

B. $5 π a^{3}$

C. $4 π a^{3}$

D. $3 π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Chu vi thiết diện qua trục là: $C = 2 (2 r + h) = 10 a \Leftrightarrow 4 a + 2 h = 10 a \Leftrightarrow h = 3 a$ . Khi đó $V = π r^{2} h = 3 π a^{3} .$

Câu 12:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

A.Khối tứ diện là khối đa diện lồi

B.Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.

C.Khối lập phương là khối đa diện lồi

D.Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.

Xem đáp án

Câu 13:

Biết đường thẳng $y = x - 2$ cắt đồ thị $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt $x_{A}, x_{B}$ Khi đó $x_{A} + x_{B}$ là

A. $x_{A} + x_{B} = 5$

B. $x_{A} + x_{B} = 1$

C. $x_{A} + x_{B} = 2$

D. $x_{A} + x_{B} = 3$

Xem đáp án

Đáp án A

PT hoành độ giao điểm là $x - 2 = \frac{2 x + 1}{x - 1} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x^{2} - 3 x + 2 = 2 x - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x^{2} - 5 x + 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow x_{A} + x_{B} = 5.$

Câu 14:

Cho phương trình $\frac{\cos x + \sin 2 x}{c os 3 x} + 1 = 0.$ Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.Phương trình đã cho vô nghiệm.

B.Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{π}{2}$

C.Phương trình tương đương với phương trình $(s i n x - 1) (2 s i n x - 1) = 0.$

D.Điều kiện xác định của phương trình là $c o s x (3 + 4 c o s^{2} x) \neq 0.$

Xem đáp án

Đáp án A

$\begin{array}{l} P T \Leftrightarrow \{\begin{cases} c os 3 x \neq 0 \\ \cos x + \sin 2 x + c os 3 x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c os 3 x \neq 0 \\ 2 c os 2 x \cos x + 2 \sin x \cos x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c os (4 c {os}^{2} x - 3) \neq 0 \\ 2 \cos x (c os 2 x + s i nx) = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} c os (4 - 4 \sin^{2} x - 3) \neq 0 \\ 2 \cos x (- 2 \sin^{2} x + \sin x + 1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x (1 - 2 \sin x) (1 + 2 \sin x) \neq 0 \\ \cos x (2 \sin x + 1) (s inx - 1) = 0 \end{cases} \Rightarrow P T V N \end{array}$

Câu 15:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. $y = x^{4} - 4 x^{2} - 2$

B. $y = x^{4} - 4 x^{2} + 2$

C. $y = x^{4} + 4 x^{2} + 2$

D. $y = - x^{4} + 4 x^{2} + 2$

Xem đáp án

Câu 16:

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau $3^{2 x + 8} - {4.3}^{x + 5} + 27 = 0.$

A. -5

B. 5

C. $\frac{4}{27}$

D. $- \frac{4}{27}$

Xem đáp án

Đáp án A

$P T \Leftrightarrow \frac{{(3^{x + 5})}^{2}}{9} - {4.3}^{x + 5} + 27 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3^{x + 5} = 27 \\ 3^{x + 5} = 9 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = - 3 \end{array} \Rightarrow x_{1} + x_{2} = - 5.$

Câu 17:

Tính $F (X) = \int x \cos x d x$ ta được kết quả

A. $F (X) = x \sin x - \cos x + C$

B. $F (X) = - x \sin x - \cos x + C$

C. $F (X) = x \sin x + \cos x + C$

D. $F (X) = - x \sin x + \cos x + C$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = \cos x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = s inx \end{cases} \Rightarrow F (x) = x \sin x - \int \sin x d x = x \sin x + \cos x + C .$

Câu 18:

Cho $a > 1$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\frac{\sqrt[3]{a^{2}}}{a} > 1$

B. $a^{- \sqrt{3}} > \frac{1}{a^{\sqrt{5}}}$

C. $a^{\frac{1}{3}} > \sqrt{a}$

D. $\frac{1}{a^{2016}} < \frac{1}{a^{2017}}$

Xem đáp án

Câu 19:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên

Hỏi phương trình $|f (x) = \frac{2}{e}|$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Câu 20:

Một người gửi tiết kiệm số tiền $80 000 000$ đồng với lãi suất là $6, 9 % / n ă m$ . Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó có rút được cả gốc và lãi số tiền gần với con số nào nhất sau đây?

A. $116 570 000$ đồng

B. $107 667 000$ đồng

C. $105 370 000$ đồng

D. $111 680 000$ đồng

Xem đáp án

Đáp án D

Số tiền thu được là ${8.10}^{7} {(1 + 6, 9 %)}^{5} \approx 111 680 000$ đồng.

Câu 21:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho $A (1; - 1; 2); B (2; 1; 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z + 1 = 0$ . Mặt phẳng $(Q)$ chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) có phương trình là:

A. $- x + y = 0$

B. $3 x - 2 y - x + 3 = 0$

C. $x + y + z - 2 = 0$

D. $3 x - 2 y - x - 3 = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\vec{n_{P}} = (1; 1; 1); \vec{A B} = (1; 2; - 1)$ Do mặt phẳng $(Q)$ chứa A,B và vuông góc với mặt phẳng $(P) \Rightarrow \vec{n_{Q}} = [\vec{n_{P}}; \vec{A B}] = (- 3; 2; 1) .$ Do đó $(Q) : 3 x - 2 y - z - 3 = 0.$

Câu 22:

Cho hình chóp $S . A B C D$ đáy là hình chữ nhật tâm $O; A B = a, A D = a \sqrt{3}, S A = 3 a,$ $S O$ vuông góc với mặt đáy $(A B C D) .$ Thể tích khối chop S.ABC bằng:

A. $a^{3} \sqrt{6}$

B. $\frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

D. $2 a^{3} \sqrt{6}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $S_{A B C D} = a^{2} \sqrt{3}; O A = \frac{B D}{2} = \frac{\sqrt{A B^{2} + A D^{2}}}{2} = a \Rightarrow S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = 2 a \sqrt{2}$

Do đó:

$V_{S . A B C} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} 2 a \sqrt{2} . a^{2} \sqrt{3} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Câu 23:

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy ABC là tam giác cân tại A , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và $S A = S B = A B = A C = a; S C = a \sqrt{2} .$ Diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

A. $2 π a^{2}$

B. $π a^{2}$

C. $8 π a^{2}$

D. $4 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC ta có: $A H ⊥ B C$ Do $(A B C) ⊥ (S B C) \Rightarrow A H ⊥ (S B C)$

Đặt $A H = x \Rightarrow H C = \sqrt{a^{2} - x^{2}} = H B = S H \Rightarrow Δ S B C$

vuông tại S (do đường trùng tuyến bằng cạnh đối diện). Suy ra $B C = \sqrt{S B^{2} + S C^{2}} = a \sqrt{3} .$ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C \Rightarrow O \in A H \Rightarrow O A = O B = O C = OS$ .Ta có: $R = R_{A B C} = \frac{A C}{2 \sin B},$ trong đó $\sin B = \frac{A H}{A B} = \frac{\sqrt{A S^{2} - S H^{2}}}{A B} = \frac{1}{2}$ Do đó $R_{C} = a \Rightarrow S_{x q} = 4 π {R^{2}}_{C} = 4 π a^{2} .$

Câu 24:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y = \frac{x + m}{m x + 4}$ đồng biến trên từng khoảng xác định?

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = \frac{4 - m^{2}}{{(m x + 4)}^{2}} .$ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $y' > 0 \Rightarrow 4 - m^{2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2, m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 1; 0; 1\} .$

Câu 25:

Lăng trụ đứng $A B C . A' B' C'$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; $A B = A C = a \sqrt{5}$ ; A'B tạo với mặt đáy lăng trụ góc $60^{\circ}$ . Thể tích khối lăng trụ bằng:

A. $a^{3} \sqrt{6}$

B. $\frac{5 a^{3} \sqrt{15}}{2}$

C. $\frac{5 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $4 a^{3} \sqrt{6}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $A A' ⊥ (A B C) \Rightarrow \overset{⏜}{A' B A} = \hat{(A' B; (A B C))} = 60^{\circ}$

Do đó $A A' = A B \tan 60^{\circ} = a \sqrt{15}; S_{A B C} = \frac{A B^{2}}{2} = \frac{5 a^{2}}{2}$

Suy ra $V_{A B C . A' B' C'} = S h = \frac{5 a^{2}}{2} . a \sqrt{15} = \frac{5 a^{3} \sqrt{15}}{2} .$

Câu 26:

Tìm điểm cực tiểu của hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1.$

A. $x = - 1$

B. x = 3

C. $x = - 3$

D. $x = 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = x^{2} - 4 x + 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$ Mặt khác $y'' = 2 x - 4 \Rightarrow \{\begin{cases} y'' (1) = - 2 \\ y'' (3) = 2 \end{cases} \Rightarrow x_{C T} = 3.$