50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 3

Câu 1:

Cho $a, b > 0; m, n \in ℤ *$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. $\sqrt[m]{a} : \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a : b}$

B. ${(\sqrt[m]{a})}^{n} = \sqrt[m]{a^{n}}$

C. $\sqrt[m]{a} . \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a b}$

D. $\sqrt[m]{a} + \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a + b}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\sqrt[m]{a} . \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a b}$ .

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho biết A(3;5). Tìm tọa độ A’ là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục Ox.

A. A'(-3;-5)

B. A'(5;3)

C. A'(-3;5)

D. A'(3;-5)

Xem đáp án

Đáp án D

Ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox là A'(3;-5)

Câu 3:

Cho $0 < a \neq 1$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. $\log_{\sqrt[3]{a}} (a \sqrt[3]{a^{2}}) = - 3$

B. $\log_{\sqrt[3]{a}} (a \sqrt[3]{a^{2}}) = 5$

C. $\log_{\sqrt[3]{a}} (a \sqrt[3]{a^{2}}) = 2$

D. $\log_{\sqrt[3]{a}} (a \sqrt[3]{a^{2}}) = 3$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\log_{\sqrt[3]{a}} (a \sqrt[3]{a^{2}}) = \log_{a^{\frac{1}{3}}} (a . a^{\frac{2}{3}}) = \log_{a^{\frac{1}{3}}} a^{1 + \frac{2}{3}} = 5 .$

Câu 4:

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) đường thẳng b đối xứng với đường thẳng a qua mặt phẳng (P). Khi nào thì $b ⊥ a$ ?

A. $K h i a \subset (P)$

B. $K h i (a, (P)) = 90 °$

C. $K h i (a, (P)) = 45 °$

D. $K h i a / / (P)$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2;3;-2), N(-2;-1;4). Tìm tọa độ điểm E thuộc trục cao sao cho tam giác MNE cân tại E.

A. $(0; 0; \frac{1}{2})$

B. $(0; 0; \frac{- 1}{3})$

C. $(0; 0; \frac{1}{3})$

D. $(0; 0; \frac{- 1}{2})$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi E(0;0;a) theo giả thiết ta có: $E M = E N \Rightarrow 4 + 9 + {(a + 2)}^{2} = 4 + 1 + {(a - 4)}^{2} \Leftrightarrow 12 a = 4 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3} .$

Câu 6:

Cho hàm số f(x) có đồ thị f ' (x) của nó

trên khoảng K như hình vẽ bên. Khi đó trên K,

hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình f ' (x) = 0 có 3nghiệm,trong đó có 2 nghiệm kép do tiếp xúc. Dạng phương trình $f' (x) = {(x - x_{1})}^{2} (x - x_{2})$ . Do đó hàm số y = f(x) có duy nhất một điểm cực trị.

Câu 7:

Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2} - 3 x - 4}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận.

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và nhận x = -1 là tiệm cận đứng.

Câu 8:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\cos x}$ .

A. $ℝ \ \{\frac{k π}{2}, k \in ℤ\}$

B. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$

C. $ℝ \ \{k π, k \in ℤ\}$

D. $ℝ \ \{k 2 π, k \in ℤ\}$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $\{\begin{cases} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \frac{π}{2}$ .

Câu 9:

Cho 6 chữ số 2;3;4;5;6;7. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?

A. 120

B. 60

C. 20

D. 40

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi số đó là $a_{1} a_{2} a_{3}$ chọn $a_{1}$ có 6 cách, chọn $a_{2}$ có 5 cách, chọn $a_{3}$ có 4 cách $\Rightarrow 6.5.4 = 120$ .

Câu 10:

Giải phương trình $\sqrt{3} t a n x + 3 = 0$

A. $x = - \frac{π}{3} + k π, k \in ℤ$

B. $x = \frac{π}{6} + k π, k \in ℤ$

C. $x = - \frac{π}{6} + k π, k \in ℤ$

D. $x = \frac{π}{3} + k π, k \in ℤ$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình tương đương $\tan x = - \sqrt{3} \Leftrightarrow x = - \frac{π}{3} + k π$

Câu 11:

Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm $∆ A B D$ và M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2MC. Đường thẳng MG song song với mặt phẳng nào sau đây:

A. (ABC)

B. (ABD)

C. (BCD)

D. (ACD)

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi N là trung điểm của AB.Trong mặt phẳng (ABC)

gọi I là giao điểm của MN và AC.Ta có $\frac{N G}{N D} = \frac{N M}{N I} = \frac{1}{3} \Rightarrow G M / / D I$

Mà $D I \subset (A C D) \Rightarrow G M / / (A C D)$ .

Câu 12:

Tìm hệ số của $x^{97}$ trong khai triển đa thức ${(x - 2)}^{100}$ .

A. 1293600

B. -1293600

C. ${(- 2)}^{97} C_{100}^{97}$

D. $2^{97} C_{100}^{97}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: ${(x - 2)}^{100} = \sum_{k = 0}^{100} C_{100}^{k} x^{k} . {(- 2)}^{100 - k}$ hệ số của $x^{97}$ khi k = 97 => hệ số $C_{100}^{97} . {(- 2)}^{3} = - 1293600 .$

Câu 13:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình dưới đây : $\log (x - 40) + \log (60 - x) < 2 ?$

A. 20

B. 10

C. Vô số

D. 18

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện 40 < x < 60

$P T \Leftrightarrow \log (x - 40) (60 - x) < 2 \Leftrightarrow (x - 40) (60 - x) < 100 \Leftrightarrow x^{2} - 100 x + 2500 > 0 \Leftrightarrow {(x - 50)}^{2} > 0 \Leftrightarrow x \neq 50 .$

Vậy x cần tìm theo yêu cầu đề là các số nguyên dương chạy từ 41 đến 59; trừ giá trị 50. Có tất cả 18 giá trị thỏa mãn.

Câu 14:

Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào sai?

A. $\log_{2} 5 > \log_{2} π$

B. $\log_{\sqrt{2} - 1} π > \log_{\sqrt{2} - 1} e$

C. $\log_{\sqrt{3} + 1} π < \log_{\sqrt{3} + 1} 7 .$

D. $\log_{7} 5 < 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\sqrt{3} + 1 > 1$ do đó $π < 7 \Rightarrow \log_{\sqrt{3} + 1} π < \log_{\sqrt{3} + 1} 7 .$

Câu 15:

Cho đường thẳng d song song mặt phẳng ( $α$ ) nằm trong mặt phẳng ( $β$ ). Gọi a là giao tuyến của ( $α$ ) và ( $β$ ). Khi đó

A. a và d trùng nhau

B. a và d cắt nhau

C. a song song d

D. a và d chéo nhau

Xem đáp án

Đáp án C

Do a là giao điểm của ( $α$ ) và ( $β$ ) nên a và d cắt nhau.

Câu 16:

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60 °$ .

A. $\frac{\sqrt{6}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án C

Kí hiệu như hình vẽ với IP là đường trung trực của đoạn thẳng $S D \Rightarrow S I . S O = S P . S D \Rightarrow R = \frac{S D^{2}}{2 S O} .$

Ta có $\tan 60 ° = \frac{S O}{O D} = \sqrt{3} \Rightarrow S O = \sqrt{\frac{3}{2}} \Rightarrow S D = \sqrt{2} \Rightarrow R = \frac{\sqrt{6}}{3} .$

Câu 17:

Một hình nón có bán kính đáy bằng 1 và có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

A. $2 π$

B. $π$

C. $2 \sqrt{2} π$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}} π$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\{\begin{array}{l} S_{x q} = πRl \\ R = l \\ l = R \sqrt{2} = \sqrt{2} \end{array} \Rightarrow S_{x q} = π \sqrt{2} .$

Câu 18:

Kí hiệu M là giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin 2 x - \cos 2 x$ . Tìm M ?

A. M = $2 \sqrt{2}$

B. M = 1

C. M = 2

D. M = $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2 x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2 x) = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq \sqrt{2} . 1 = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sin (2 x - \frac{π}{4}) \Leftrightarrow 2 x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{3 π}{8} + kπ$

Vậy M = $\sqrt{2}$ .

Câu 19:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn $\log_{a} b = 2$ . Tính $\log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} (\sqrt[3]{b} . a)$

A. $- \frac{10}{9}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $- \frac{2}{9}$

D. $\frac{2}{15}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $b = a^{2} \Rightarrow P = \log_{\frac{a^{3}}{b^{6}}} (a^{6} b^{2}) = \log_{\frac{a^{3}}{a^{12}}} a^{10} = 10 \log_{a^{- 9}} a = - \frac{10}{9} .$

Câu 20:

Cho biết $C_{n}^{6} = 6$ . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của ${(x - \frac{1}{x})}^{n} .$

A. 9

B. 6

C. 8

D. Cả ba phương án trên đều sai

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: n > 0. Ta có $C_{n}^{2} = 6 \Leftrightarrow \frac{n!}{2! (n - 2)!} = 6 \Leftrightarrow n (n - 1) = 12 \Leftrightarrow n^{2} - n - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 4 \\ n = - 3 (l) \end{array}$

Ta có ${(x - \frac{1}{4})}^{4} = \sum_{k = 0}^{4} C_{4}^{k} x^{k} . {(- 1)}^{4 - k} . x^{2 k - 4}$ hệ số không chứa x khi $2 k - 4 = 0 \Leftrightarrow k = 2$ .

Câu 21:

Cho khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AB, góc giữa mặt phẳng (A'CD) và mặt phẳng (ABCD) là $60 °$ . Thể tích của khối chóp B'ABCD là $\frac{8 \sqrt{3} a^{3}}{3}$ . Tính độ dài đoạn thẳng AC.

A. $\frac{2 a}{\sqrt[3]{3}}$

B. $\frac{2 \sqrt{2} a}{\sqrt[3]{3}}$

C. $2 a$

D. $2 \sqrt{2} a$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có tan $60 ° = \frac{A' H}{H P} \Rightarrow A' H = H P \sqrt{3} .$

Lại có $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} A' H . H P^{2} \Rightarrow H P^{3} \sqrt{3} = 8 a^{3} \sqrt{3} \Rightarrow H P = 2 a \Rightarrow A C = 2 a \sqrt{2} .$

Câu 22:

Cho biết tập xác định của hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} (- 1 + \log_{\frac{1}{4}} x)$ là một khoảng có độ dài $\frac{m}{n}$ (phân số tối giản). Tính giá trị m + n.

A. 6

B. 5

C. 4

D. 7

Xem đáp án

Đáp án B

$\{\begin{cases} x > 0 \\ - 1 + \log_{\frac{1}{4}} x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ \log_{\frac{1}{4}} x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{1}{4} \Rightarrow \{\begin{cases} m = 1 \\ m = 4 \end{cases} \Rightarrow m + n = 5$

Câu 23:

Cho khai triển ${(2 x - 1)}^{20} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{20} x^{20}$ . Tính $a_{3}$ ?

A. $a_{3} = 9120$

B. $a_{3} = - 9120$

C. $a_{3} = - 1140$

D. $a_{3} = 1140$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: ${(2 x - 1)}^{20} = \sum_{k = 0}^{20} C_{20}^{k} {(- 2 x)}^{k} {(- 1)}^{20 - k} = \sum_{k = 0}^{20} C_{20}^{k} {(- 1)}^{20 - k} 2^{k} x^{k} \Rightarrow a_{3} = C_{20}^{3} {(- 1)}^{20 - 3} . 2^{3} = - 9120 .$

Câu 24:

Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình ${(\log_{2} (4 x))}^{2} + \log_{2} (\frac{x^{2}}{8}) = 8$ .

A. $\frac{1}{32}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{64}$

D. $\frac{1}{128}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có ${(2 + \log_{2} x)}^{2} + \log_{2} x^{2} - \log_{2} 8 = 8 \Leftrightarrow {(\log_{2} x)}^{2} + 6 \log_{2} x - 7 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} x = 1 \\ \log_{2} x = - 7 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 2^{- 7} \end{array} \Rightarrow x_{1} x_{2} = \frac{1}{64} .$

Câu 25:

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

C. Một đường thẳng và một mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

Xem đáp án

Đáp án B

Các khẳng định A,C,D sai; khẳng định B đúng.

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho $\vec{u} = (- 2; 3; 0); \vec{v} = (2; - 2; 1)$ , tọa độ của véc tơ $\vec{w} = \vec{u} - 2 \vec{v}$ là

A. (-6;7;-2)

B. (6;-8;1)

C. (6;3;0)

D. (-6;3;0)

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\vec{w} = \vec{u} - 2 \vec{v} = (- 2; 3; 0) - 2 (2; - 2; 1) = (- 6; 7; - 2)$

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho $\vec{u} = (- 2; 3; 0), \vec{v} = (2; - 2; 1)$ , độ dài của véc tơ $\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v}$ là

A. 3

B. 5

C. 2

D. 9

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v} = (- 2; 3; 0) + 2 (2; - 1; 1) = (2; - 1; 2)$ . Do đó $\vec{|w|} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ .

Câu 28:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m^{2} x^{2} + 2 m$ có ba điểm cực trị A, B, C sao cho O, A, B, C là các đỉnh của một hình thoi (với O là gốc tọa độ).

A. m = 3

B. m = 1

C. m = -1

D. m = 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = 4 x^{3} - 4 m^{2} x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm m \end{array}$ . Hàm số có 3 cực trị khi $m \neq 0$ . Khi đó $A (0; 2 m); B (m; 2 m - m^{4}); C (- m; 2 m - m^{4})$ O,A,B,C là các đỉnh của một hình thoi suy ra $O A = A B \Leftrightarrow m^{2} + {(2 m - m^{4})}^{2} = m^{2} + m^{8} \Leftrightarrow 4 m^{2} - 4 m^{5} = 0 \Rightarrow m = 1 .$

Câu 29:

Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a , cạnh bên AA' = 3a và có hai đáy là hai tam giác nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ $(τ)$ . Tính thể tích khối trụ $(τ)$ .

A. $π a^{3}$

B. $3 π a^{3}$

C. $3 \sqrt{3} π a^{3}$

D. $4 π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Chiều cao của khối trụ là: h = AA' = 3a bán kính đáy $r = \frac{B C}{2} = a$ . Thể tích khối trụ là: $V = {πr}^{2} h = 3 {πa}^{3}$ .

Câu 30:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vec tơ $\vec{a} (1; m; 2); \vec{b} (m + 1; 2; 1); \vec{c} (0; m - 2; 2) .$ Giá trị của m để $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng là:

A. $\frac{2}{5}$

B. $- \frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{5}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $[\vec{a}; \vec{b}] = (m - 4; 2 m + 1; 2 - m^{2} - m)$ Để $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đông phẳng thì $[\vec{a}; \vec{b}] \vec{c} = 0 \Leftrightarrow (2 m + 1) (m - 2) + 2 (2 - m^{2} - m) = 0 \Leftrightarrow - 3 m - 2 + 4 - 2 m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{2}{5} .$

Câu 31:

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C) và (C') lần lượt có phương trình là ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ và ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ . Xét phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$ biến đường tròn (C) thành đường tròn (C').Tìm $\vec{v}$ ?

A. $\vec{v} = (- 3; 3)$

B. $\vec{v} = (- 1; - 1)$

C. $\vec{v} = (3; - 3)$

D. $\vec{v} = (1; 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $I (1; - 2), I' (- 2; 1) \Rightarrow \vec{v} = \vec{I I'} = (- 3; 3) .$

Câu 32:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ , biết $u_{1} = 2; u_{4} = 54 .$ Tính $S_{10}$ là tổng của 10 số hạng đầu tiên trong cấp số nhân đã cho?

A. $S_{10} = 118096$

B. $S_{10} = 59048$

C. $S_{10} = - 59048$

D. $S_{10} = 29524$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{4} = u_{1} q^{3} = 2 q^{3} = 54 \Rightarrow q = 3 \end{cases} \Rightarrow S_{10} = u_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = 59048 .$

Câu 33:

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất thỏa mãn phương trình $\sin 2 x - \cos 2 x + \sin x - \cos x = 1$ ?

A. $x = \frac{π}{4}$

B. $x = \frac{5 π}{4}$

C. $x = \frac{2 π}{3}$

D. $x = \frac{π}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $2 \sin x \cos x - (2 \cos^{2} x - 1) + \sin x - \cos x = 1$

$\Leftrightarrow 2 \cos x (\sin x - \cos x) + \sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π \\ \cos x = - \frac{1}{2} = \cos \frac{2 π}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{array}$ .

Câu 34:

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, $S A ⊥ (A B C D)$ , SC tạovới mặt đáy một góc $45 °$ . Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng $a \sqrt{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

A. $2 a^{3}$

B. $2 a^{3} \sqrt{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD và I là trung điểm của SC. Khi đó $O I ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow I A = I B = I C = I D$ mà $∆ S A C$ vuông tại A $I A = I S = I C$ . Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD suy ra $I A = a \sqrt{2} \Rightarrow S C = 2 a \sqrt{2}$ . Mặt khác AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng $(A B C D) \Rightarrow \hat{(S C; (A B C D))} = \hat{(S C; A C)} = \hat{S C A} = 45 °$ .Suy ra $∆ S A C$ vuông cân $\Rightarrow S A = A C = 2 a \Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . 2 a . a . a \sqrt{3} = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

Câu 35:

Hình nón có đáy là hình tròn bán kính R, chiều cao h . Kết luận nào sau đây sai ?

A. Góc ở đỉnh là $α = 2 a r c \tan \frac{R}{h}$

B. Đường sinh hình nón $l = \sqrt{h^{2} + R^{2}}$

C. Diện tích xung quanh $S_{x q} = πR \sqrt{R^{2} + h^{2}}$

D. Thể tích khối nón $V = {πR}^{2} h .$

Xem đáp án

Đáp án D

Thể tích hình nón $V = \frac{1}{3} {πR}^{2} h .$

Câu 36:

Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{x + 1} (C)$ . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị (C) đến một tiếp tuyến của (C). Giá trị lớn nhất d có thể đạt được là:

A. $3 \sqrt{3}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Tiệm cận đứng: $d_{1} : x = - 1$ , tiệm cận ngang $d_{2} : y = 1$ suy ra tâm đối xứng là $I (- 1; 1)$ . Phương trình tiếp tuyến tại $M (a; \frac{a + 2}{a + 1}) \in (C) (a \neq - 1)$ là: $y = \frac{- 1}{{(a + 1)}^{2}} (x - a) + \frac{a + 2}{a + 1} (d)$

Khi đó $d (I; d) = \frac{|\frac{- 1}{{(a + 1)}^{2}} (- 1 - a) - 1 + \frac{a + 2}{a + 1}|}{\sqrt{\frac{1}{{(a + 1)}^{4}} + 1}} = \frac{|\frac{2}{a + 1}|}{\sqrt{\frac{1}{{(a + 1)}^{4}} + 1}} = \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + {(a + 1)}^{2}}} \leq \frac{2}{\sqrt{2 \sqrt{\frac{1}{{(a + 1)}^{2}} . {(a + 1)}^{2}}}}$ . Hay $d \leq \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ .

Câu 37:

Cho hình trụ (T)có bán kính bằng 4 cm mặt phẳng (P) cắt hai đáy của hình trụ theo hai dây AB và CD, AB = CD = 5 cm. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật AD và BC không là đường sinh,góc giữa mp (P) và mặt phẳng chứa đáy của hình trụ bằng $60 °$ . Thể tích của khối trụ là:

A. $60 π \sqrt{3} {cm}^{3}$

B. $24 π \sqrt{13} {cm}^{3}$

C. $16 π \sqrt{13} {cm}^{3}$

D. $48 π \sqrt{13} {cm}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 38:

Đặt $I = \lim_{x \to 0} \frac{x \log_{a} (1 - 2 x) + 1 - \cos x}{x^{2}}, 0 < a \neq 1$ cho trước. Kết quả nào sau đây đúng?

A. $I = \frac{1}{2} - \frac{2}{\ln a}$

B. $I = \ln a - \frac{1}{2}$

C. $I = \frac{1}{2} + \frac{2}{\ln a}$

D. $I = \ln a + \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $I = \lim_{x \to 0} \frac{x \log_{a} (1 - 2 x) + 1 - \cos x}{x^{2}}, 0 < a \neq 1$ Chú ý: $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + a x)}{a x} = 1; \lim_{x \to 0} \frac{\sin a x}{a x} = 1 .$

$\Rightarrow I = \lim_{x \to 0} \frac{\log_{a} (1 - 2 x)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{4 {(\frac{x}{2})}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{- 2 \log_{a} e . \ln (1 - 2 x)}{- 2 x} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{\ln a} .$

Câu 39:

Người ta muốn xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $\frac{500}{3} m^{3}$ đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê công nhân xây bể là 500000đồng/ $m^{2}$ . Chi phí công nhân thấp nhất là:

A. 150 triệu đồng

B. 75 triệu đồng

C. 60 triệu đồng

D. 100 triệu đồng

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 40:

Một công ty dự kiến làm một đường ống thoát nước thải hình trụ dài 1km, đường kính trong ống (không kể lớp bê tông) bằng 1m; độ dày của lớp bê tông bằng 10cm. Biết rằng cứ một khối bê tông phải dùng 10 bao xi măng. Số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng đường ông thoát nước gần đúng với số nào nhất?

A. 3456 bao

B. 3450 bao

C. 4000 bao

D. 3000 bao

Xem đáp án

Đáp án A

Bán kính của đường tròn đáy hình trụ không chứa bê tông

bên trong đường ống là (100 - 10.2):2 = 40 cm.

Thể tích của đường ống thoát nước là $V = {πr}^{2} h = π . {(\frac{1}{2})}^{2} . 1000 = 250 {πm}^{3} .$

Thể tích của khối trụ không chứa bê tong (rỗng) là $V_{1} = {πr}^{2} h = π . {(\frac{2}{5})}^{2} . 1000 = 160 π m^{3}$ .

Vậy số bao xi măng công ty cần phải dung để xây dựng đường ống là 3456 bao.

Câu 41:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy ABCD. Gọi I là trung điểm của SC. Xét các khẳng định sau:

1. $O I ⊥ (A B C D)$ 2. $A C ⊥ (S B D)$ 3. $I A = I B = I C = I D$ 4. $B C ⊥ (S C D)$

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Vì O,I lần lượt là trung điểm của AC,SC. Suy ra OI//SA mà $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow O I ⊥ (A B C D)$ .

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B D$ mà $B D ⊥ A C \Rightarrow B D ⊥ (S A C) .$

Ta có $\{\begin{cases} S A ⊥ C D \\ A D ⊥ C D \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ S D \Rightarrow ∆ S C D$ vuông tại D.

Suy ra ID = IC tương tự ta được $I B = I C \Rightarrow I A = I B = I C = I D .$

BC không vuông góc với mặt phẳng (SCD) vì $\hat{S C B} < 90 °$

Vậy có hai khẳng định đúng là 1 và 3.

Câu 42:

Cho đa thức $P (x) = {(2 x - 1)}^{1000}$ . Khai triển và rút gọn ta được

$P (x) = a_{1000} x^{1000} + a_{999} x^{999} + . . . + a_{1} x + a_{0} .$ Đẳng thức nào sau đây đúng

A. $a_{1000} + a_{999} + . . . + a_{1} = 0$

B. $a_{1000} + a_{999} + . . . + a_{1} = 2^{1000} - 1$

C. $a_{1000} + a_{999} + . . . + a_{1} = 1$

D. $a_{1000} + a_{999} + . . . + a_{1} = 2^{1000}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\{\begin{cases} P (0) = a_{0} = {(2 x - 1)}^{1000}_{x = 0} = 1 \\ P (1) = a_{1000} + a_{999} + . . . + a_{1} + a_{0} = {(2 x - 1)}^{1000} x = 0 = 1 \end{cases} \Rightarrow a_{1000} + a_{999} + . . . + a_{1} = 0 .$

Câu 43:

Cho tam giác ABC có BAC = 120 $°$ , AB = AC = a . Quay tam giác ABC (bao gồm cả điểm trong tam giác) quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay đó bằng :

A. $\frac{{πa}^{3}}{3}$

B. $\frac{{πa}^{3}}{4}$

C. $\frac{{πa}^{3} \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{{πa}^{3} \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $V = \frac{1}{3} π . {OC}^{2} . BO - \frac{1}{3} {πOC}^{2} . AO = \frac{1}{3} π . {OC}^{2} . AB .$

Lại có $\sin 60 ° = \frac{O C}{A C} \Rightarrow O C = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow V = \frac{{πa}^{3}}{4} .$

Câu 44:

Trong các khối trụ có cùng diện tích toàn phần bằng $π$ . Gọi $(τ)$ là khối trụ có thể tích lớn nhất, chiều cao của $(τ)$ bằng

A. $\frac{π}{3}$

B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{6}$

D. $\frac{π \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

$π = 2 πr (h + r) \Rightarrow h = \frac{1}{2 r} - r \Rightarrow V = {πr}^{2} h = π (\frac{r}{2} - r^{3}) = f (r) \Rightarrow f' (r) = π (\frac{1}{2} - 3 r^{2}) = 0 \Rightarrow r = \frac{1}{\sqrt{6}} \Rightarrow h = \frac{\sqrt{6}}{3} .$

Câu 45:

Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình $\frac{\sin x}{\cos x + 1} = 0$ trên đoạn [0;2017 $π$ ] .Tính S.

A. $S = 2035153 π$

B. $S = 1001000 π$

C. $S = 1017072 π$

D. $S = 200200 π$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\frac{\sin x}{\cos x + 1} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x + 1 \neq 0 \\ \sin x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} \cos x \neq - 1 \\ 1 - \cos^{2} x = 0 \end{array} \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π (k \in ℤ) .$

Mà $x \in [0; 2017 π] \to x = k 2 π \in [0; 2017 π] \Leftrightarrow 0 \leq k \leq \frac{2017}{2}$ suy ra $k = \{0; 1; 2 . . .; 1008\} .$ Khi đó $S = 2 π + 4 π + . . . + 2016 π .$ Dễ thấy S là tổng của CSC với $\{\begin{cases} u_{1} = d = 2 π \\ u_{2} = 2016 π \end{cases} \Rightarrow n = 1008 .$

Suy ra $S = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2} = \frac{1008 . (2 π + 2016 π)}{2} = 1008.1009 π = 1017072 π .$

Câu 46:

Cho hình chóp S.ABC có SA $⊥$ (ABC) và góc BAC=120 $°$ . Hình chiếu của A trên các đoạn SB, SC lần lượt là M, N. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AMN)

A. $45 °$

B. 60 $°$

C. 15 $°$

D. 30 $°$

Xem đáp án

Đáp án D

Kí hiệu như hình vẽ với $D B ⊥ A B, D C ⊥ A C .$

Ta có $\{\begin{cases} D B ⊥ S A \\ D B ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow D B ⊥ (S B D) \Rightarrow A M ⊥ S D .$

Tương tự $A N ⊥ S D \Rightarrow S D ⊥ (A M N) .$

Mà $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{((A B C); (A M N))} = \hat{D S A} .$

Ta có $\sin \hat{B A C} = \frac{B C}{2 R} = \frac{B C}{A D} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow A D = \frac{2 B C}{\sqrt{3}} = \frac{S A}{\sqrt{3}} \Rightarrow \tan \hat{D S A} = \frac{A D}{S A} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \hat{D S A} = 30 ° .$

Câu 47:

Ký hiệu $f (x) - {(x^{1 + \frac{1}{2 \log_{4} x}} + 8^{\frac{1}{3 \log_{x^{2}} 2}} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1 .$ Giá trị của $f (f (2017))$ bằng:

A. 1500

B. 2017

C. 1017

D. 2000

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

$f (x) = \sqrt{x^{1 + \frac{1}{\log_{2} x} + 2^{\frac{1}{\log_{x^{2}} 2}}} + 1} - 1 = \sqrt{x . x^{\log_{x} 2 + 2^{\log_{x} x^{2}}} + 1} - 1 = \sqrt{2 x + x^{2} + 1} - 1 = x \Rightarrow f (f (2017)) = f (2017) = 2017 .$

Câu 48:

Gọi M là điểm có hoành độ khác 0, thuộc đồ thị (C) của hàm số $y = x^{3} - 3 x$ . Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai là N (N không trùng với M). Kí hiệu $x_{M}, x_{N}$ thứ tự là hoành độ của M và N. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. $2 x_{M} + x_{N} = 0$

B. $x_{M} + 2 x_{N} = 3$

C. $x_{M} + x_{N} = - 2$

D. $x_{M} + x_{N} = 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $M (x_{0}; y_{0}) \in (C) \Rightarrow y' (x_{0}) = 3 {x_{0}}^{2} - 3$ và $y (x_{0}) = {x_{0}}^{3} - 3 x_{0} .$

Suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là $y = y (x_{0}) = y' (x_{0}) . (x - x_{0}) .$

$\Leftrightarrow y = (3 {x_{0}}^{2} - 3) . (x - x_{0}) + {x_{0}}^{3} - 3 x_{0} = (3 {x_{0}}^{2} - 3) . x - 2 {x_{0}}^{3} (d) .$

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là $x^{3} - 3 x = (3 {x_{0}}^{2} - 3) x - 2 {x_{0}}^{3}$

$\Leftrightarrow x^{3} - 3 {x_{0}}^{2} . x + 2 {x_{0}}^{3} = 0 \Leftrightarrow {(x - x_{0})}^{2} (x + 2 x_{0}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{0} \\ x = - 2 x_{0} \end{array} .$

Vậy $\{\begin{array}{l} x_{M} = x_{0} \\ x_{N} = - 2 x_{0} \end{array} \Rightarrow 2 x_{M} + x_{N} = 0 .$

Câu 49:

Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60 cm. Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau, với AN = PD (như hình vẽ dưới đây) để được một hình lăng trụ. Tìm độ dài đoạn AN để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

A. AN = 39 cm

B. AN = 20 cm

C. AN = $\frac{15}{2}$ cm

D. AN = 15 cm

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt AN = PD = x suy ra NP = AD-(AN + PD) = 60 - 2x

Gọi H là trung điểm của NP, tam giác ANP cân $\Rightarrow A H ⊥ N P$ . Suy ra diện tích tam giác ANP là $S_{∆ A N P} = \frac{1}{2} . A H . N P = \frac{1}{2} . \sqrt{A N^{2} - N H^{2}} . N P = \frac{1}{2} \sqrt{A N^{2} - \frac{N P^{2}}{4}} . N P = \frac{1}{2} . \sqrt{x^{2} - \frac{{(60 - 2 x)}^{2}}{4}} . (60 - 2 x) = \frac{1}{2} . \sqrt{60 x - 900} . (60 - 2 x) .$ . Thể tích khối lăng trụ ANP.BMQ là $V = A B . S_{∆ A N P} = A B . \sqrt{15 x - 225} . (60 - 2 x) .$ Xét hàm số $f (x) = (30 - x) \sqrt{x - 15}$ trên đoạn [15;30] suy ra $\underset{[15; 30]}{m i n} f (x) = 10 \sqrt{5} .$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 20. Vậy độ dài AN = 20 cm.

Câu 50:

Một công ty điện lực bán điện sinh hoạt cho dân theo hình thức lũy tiến (bậc thang) như sau: Mỗi bậc gồm 10 số; bậc 1 từ số thứ 1 đến số thứ 10, bậc 2 từ số thứ 11 đến số thứ 20, bậc 3 từ số thứ 21 đến số thứ 30,.... Bậc 1 có giá là 500 đồng/1số, giá của mỗi số ở bậc thứ n +1 tăng so với giá của mỗi số ở bậc thứ n là $2, 5 %$ . Gia đình ông A sử dụng hết 847 số trong tháng 1, hỏi tháng 1 ông A phải đóng bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A. $x \approx 1431392, 85$

B. $x \approx 1419455, 83$

C. $x \approx 1914455, 82$

D. $x \approx 1542672, 87$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta phân tích 847 - 840 + 7 = 84.10 + 7 suy ra có 84 bậc số điện. Số tiền ông A phải trả cho bậc 1 là 10.500 đồng.

Số tiền ông A phải trả cho bậc 2 là 10.(500 + 500.2,5%) đồng.

Số tiền ông A phải trả cho bậc 3 là 10.[500.(1 + 2,5%) + 500.(1 + 2,5%).2,5%] = 10.500. $1, 025^{2}$ đồng.

… … …

Số tiền ông A phải trả cho bậc 84 là $10.500.1, 025^{83}$ đồng.

Vậy tổng số tiền ông A phải trả là $T = 5000 + 5000.1, 025 + . . . + 5000.1, 025^{83} + 7.500.1, 025^{84} .$

Xét cấp số nhân có $u_{1} = 1; u_{n} = 1, 025^{83}$ và $q = 1, 025 \Rightarrow S = 1 + 1, 025 + 1, 025^{2} + . . . + 1, 025^{83} = \frac{u_{1} . (1 - q^{n})}{1 - q}$

Suy ra $S = \frac{1 - 1, 025^{84}}{1 - 1, 025} .$ Vậy $T = 5000 . \frac{1 - 1, 025^{84}}{1 - 1, 025} + 7.500.1, 025^{84} \approx 1419455, 83 .$ .

Bắt đầu thi ngay