50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 8

Câu 1:

Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn $(1 - i) z = 1 + 3 i$ .

A. $\bar{z} = - 1 + 2 i$

B. $\bar{z} = 1 - 2 i$

C. $\bar{z} = - 1 - 2 i$

D. $\bar{z} = 1 + 2 i$

Xem đáp án

Đáp án C.

$z = \frac{1 + 3 i}{1 - i} = - 1 + 2 i \Rightarrow \bar{z} = - 1 - 2 i .$

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho $\vec{a} = (2; - 1; 0)$ , biết $\vec{b}$ cùng chiều với $\vec{a}$ và có $|\vec{a} . \vec{b}| = 10$ . Chọn phương án đúng?

A. $\vec{b} = (- 6; 3; 0)$

B. $\vec{b} = (- 4; 2; 0)$

C. $\vec{b} = (6; - 3; 0)$

D. $\vec{b} = (4; - 2; 0)$

Xem đáp án

Đáp án D.

$\vec{b} ∥ \vec{a} \Rightarrow \vec{b} = (2 k; - k; 0), k > 0 \Rightarrow \vec{a} . \vec{b} = 4 k + k = 5 k \Rightarrow |5 k| = 10 \Rightarrow k = 2 \Rightarrow \vec{b} = (4; - 2; 0) .$

Câu 3:

Hàm số $y = 2 x^{4} + 3$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(0; + \infty)$

B. $(- \infty; 3)$

C. $(- \infty; 0)$

D. $(3; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $y' = 8 x^{3}$ nên hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 0)$

Câu 4:

Cho hàm số y = sin 2x. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $y^{2} + {(y')}^{2} = 1$

B. $y = y' \tan 2 x$

C. $4 y + y'' = 0$

D. $4 y - y' = 0$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $y' = 2 \cos 2 x; y'' = - 4 \sin 2 x \Rightarrow 4 y + y'' = 0 .$

Câu 5:

Biết $\log_{7} 2 = m$ , khi đó giá trị của $\log_{49} 28$ được tính theo m là:

A. $\frac{1 + 2 m}{2}$

B. $\frac{m + 2}{4}$

C. $\frac{1 + m}{2}$

D. $\frac{1 + 4 m}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $\log_{49} 28 = \frac{1}{2} \log_{7} 28 = \frac{1 + 2 \log_{7} 2}{2} = \frac{1 + 2 m}{2} .$

Câu 6:

$\int f (x) d x = \frac{1}{x} + \ln |5 x| + C$ với $x \in (0; + \infty)$ thì hàm số f(x) là

A. $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{5 x}$

B. $f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{5 x}$

C. $f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

D. $f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \ln (5 x)$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $f (x) = (\frac{1}{x} + \ln |5 x|)' = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$ .

Câu 7:

Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số $(a_{n}), n \geq 1$ là $S_{n} = 2 n^{2} + 3 n$ . Khi đó

A. $(a_{n})$ là một cấp số cộng với công sai bằng 4

B. $(a_{n})$ là một cấp số nhân với công bội bằng 4

C. $(a_{n})$ là một cấp số cộng với công sai bằng 1

D. $(a_{n})$ là một cấp số nhân với công bội bằng 1

Xem đáp án

Đáp án A.

Do $S_{n} = 2 n^{2} + 3 n \Rightarrow (a_{n})$ không thể là cấp số nhân.

Dựa vào 4 đáp án suy ra $(a_{n})$ là cấp số cộng, giả sử số hạng đầu là $u_{1}$ , công sai là d

Khi đó $S_{n} = \frac{n [2 u_{1} + (n - 1) d]}{2} = 2 n^{2} + 3 n \Leftrightarrow 2 u_{1} + (n - 1) d = 4 n + 6 \Leftrightarrow n d + 2 u_{1} - d = 4 n + 6$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} d = 4 \\ 2 u_{1} - d = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d = 4 \\ u_{1} = 5 \end{cases}$ .

Câu 8:

Cho tứ diện ABCD. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ $\vec{0}$ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD

A. 12

B. 4

C. 10

D. 8

Xem đáp án

Đáp án A.

Với mỗi cách chọn ra 2 đỉnh bất kỳ của tứ diện ta được 2 vecto đối nhau.

Do đó có $2 C_{4}^{2} = 12$ vecto.

Câu 9:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2}{\cos^{2} x}$ và $F (\frac{π}{4}) = - 3$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $F (x) = - 2 c o t x - 5$

B. $F (x) = 2 \tan x + 3$

C. $F (x) = \tan x - 4$

D. $F (x) = 2 \tan x - 5$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có $F (x) = \int \frac{2 d x}{\cos^{2} x} = 2 \tan x + C$ mà $F (\frac{π}{4}) = - 3 \Rightarrow C = - 5 \Rightarrow F (x) = 2 \tan x - 5 .$

Câu 10:

Cho $f (x) = \frac{1}{2} . 5^{2 x + 1}; g (x) = 5^{x} + 4 x . \ln 5$ . Tập nghiệm của bất phương trình $f' (x) > g' (x)$ là

A. x < 0

B. x > 1

C. 0 < x < 1

D. x > 0

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có: $f' (x) = 5^{2 x + 1} \ln 5; g' (x) = 5^{x} \ln 5 + 4 \ln 5$

Khi đó $f' (x) > g' (x) \Leftrightarrow 5^{2 x + 1} > 5^{x} + 4 \Leftrightarrow 5 . 5^{2 x} - 5^{x} - 4 > 0 \Leftrightarrow (5^{x} - 1) (5 . 5^{x} + 4) > 0 \Leftrightarrow 5^{x} > 1 \Leftrightarrow x > 0 .$

Câu 11:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\sqrt{5} - 2)}^{\frac{2 x}{x - 1}} \leq {(\sqrt{5} + 2)}^{x}$ là

A. $(- \infty; - 1] \cup [0; 1)$

B. [-1;0]

C. $(- \infty; - 1) \cup [0; + \infty)$

D. $[- 1; 0] \cup (1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có ${(\sqrt{5} - 2)}^{\frac{2 x}{x - 1}} \leq {(\sqrt{5} + 2)}^{x} \Leftrightarrow {(\sqrt{5} - 2)}^{\frac{2 x}{x - 1}} \leq {(\sqrt{5} - 2)}^{- x}$

Do $0 < (\sqrt{5} - 2) < 1$ nên BPT $\Leftrightarrow \frac{2 x}{x - 1} \geq - x \Leftrightarrow \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x (x - 1)}{x - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} + x}{x - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x (x + 1)}{x - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x (x + 1)}{x - 1} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 1 \\ - 1 \leq x \leq 0 \end{array} .$

Câu 12:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $ℝ \ \{1\}$ , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.

B. Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt thì $m \in (1; 2)$ .

C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2.

D. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 1)$ .

Xem đáp án

Đáp án B.

Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận, 1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang.

Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt thì $m \in (1; 2)$ .

Phương án D bị gián đoạn bởi tập xác định.

Phương án C sai vì đồ thị hàm số có dáng điệu tiến đến vô cùng.

Câu 13:

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng có phương trình $(d) : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}$ . Viết phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d.

A. x - y + z - 1 = 0

B. x - y + z - 1 = 0

C. x - y + z = 0

D. x - y + z - 2 = 0

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Vì $d ⊥ (P)$ nên (P) nhận vecto chỉ phương của (d) là $\vec{u_{d}} = (1; - 1; 1)$ làm vecto pháp tuyến $\Rightarrow \vec{n_{P}} = (1; - 1; 1)$ . Khi đó: $(P) : (x - 1) - (y - 2) + (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - y + z = 0$ .

Câu 14:

Biết tập nghiệm S của bất phương trình $\log_{\frac{π}{6}} [\log_{3} (x - 2)] > 0$ là khoảng (a;b). Tính b - a.

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có: $\log_{\frac{π}{6}} [\log_{3} (x - 2)] > 0 \Leftrightarrow 0 < \log_{3} (x - 2) < 1 \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x - 2 > 1 \\ x - 2 < 3 \end{array} \Leftrightarrow 3 < x < 5$

Vậy $S = (3; 5) \Rightarrow b - a = 2$ .

Câu 15:

Biết $I = \int_{0}^{4} x \ln (2 x + 1) d x = \frac{a}{b} \ln 3 - c$ , trong đó a, b, c là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính S = a + b + c.

A. S = 60

B. S = 70

C. S = 72

D. S = 68

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt $\{\begin{cases} \ln (2 x + 1) = u \\ x d x = d v \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{2}{2 x + 1} d x = d u \\ v = \frac{x^{2}}{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{x + \frac{1}{2}} d x = d u \\ v = \frac{x^{2} - 1 / 4}{2} \end{cases}$

$\Rightarrow I = \frac{x^{2}}{2} \ln {(2 x + 1)}_{0}^{4} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (x - \frac{1}{2}) d x = \frac{63 \ln 3}{4} - 3 \Rightarrow a + b + b = 70$ .

Câu 16:

Cho hàm số $y = \log_{\frac{1}{3}} (x^{3} - 2 x)$ . Tập nghiệm của bất phương trình y' > 0 là:

A. $(- \infty; 1)$

B. $(- \infty; 0)$

C. $(1; + \infty)$

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án B.

Điều kiện $x^{2} - 2 x > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 0 \end{array}$ .

Khi đó $y = - \log_{3} (x^{2} - 2 x) \Rightarrow y' = - \frac{2 x - 2}{(x^{2} - 2 x) \ln 3} > 0 \Leftrightarrow x < 1 n ê n x < 0 .$

Câu 17:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{2} (3^{x} - 2)$ là

A. $(0; + \infty)$

B. $[0; + \infty)$

C. $(\frac{2}{3}; + \infty)$

D. $(\log_{3} 2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D.

Hàm số xác định khi và chỉ khi $3^{x} - 2 > 0 \Leftrightarrow 3^{x} > 2 \Leftrightarrow x > \log_{3} 2 \Rightarrow D = (\log_{3} 2; + \infty)$ .

Câu 18:

Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức.

A. Phần thực là -3 và phần ảo là 2.

B. Phần thực là 2 và phần ảo là -3.

C. Phần thực là -3 và phần ảo là 2i.

D. Phần thực là 2 và phần ảo là -3i.

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có M(2;-3) suy ra M biểu diễn cho số phức 2 - 3i.

Câu 19:

Cho hàm số $y = \frac{a x + 1}{b x - 2}$ . Tìm a, b để đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng và $y = \frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang.

A. a = -1; b = -2

B. a = 1; b = 2

C. a = -1; b = 2

D. a = 4; b = 4

Xem đáp án

Đáp án B.

Đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng và $y = \frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang khi $\{\begin{cases} x = \frac{2}{b} = 1 \\ \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} a = 2 \\ a = 1 \end{array} .$

Câu 20:

Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng $4 π$ thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng $(α)$ song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB’A’, biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung $120 °$ . Tính diện tích thiết diện ABB’A’?

A. $3 \sqrt{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $2 \sqrt{3}$

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi R,h,l lần lượt là bán kính đáy, chiều cao, đường sinh của hình trụ.

Ta có diện tích xung quanh $S_{x q} = 4 π \Leftrightarrow 2 πRl = 4 π \Rightarrow Rl = 2 .$

Giả sử AB là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung $120 °$ . Vì ABA’A’ là hình chữ nhật có AA' = h = l.

Xét tam giác OAB cân tại O, có $\{\begin{cases} O A = O B = R \\ \hat{A O B} = 120 ° \end{cases} \Rightarrow A B = R \sqrt{3}$ .

Vậy diện tích cần tính là $S_{A B B' A'} = A B . A A' = R \sqrt{3} . 1 = 2 \sqrt{3} .$

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B, biết rằng các cạnh SA = AC = 2. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.

A. $\frac{2 \sqrt{2}}{3} a^{3}$

B. $\frac{1}{3} a^{3}$

C. $\frac{2}{3} a^{3}$

D. $\frac{4}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Thể tích của khối chóp S.ABC là $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{∆ A B C} = \frac{1}{3} . 2 a . \frac{1}{2} . {(a \sqrt{2})}^{2} = \frac{2}{3} a^{3} .$

Câu 22:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: $|z - i| = \sqrt{2}$ và $z^{2}$ là số thuần ảo:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C.

Đặt z = x + yi $(x, y \in ℝ)$ , ta có $z^{2} = {(x + y i)}^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 x y i$ là số thuần ảo

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} = 0 \\ 2 x y \neq 0 \end{array} (1)$ .

Mặt khác $|z - i| = \sqrt{2} \Leftrightarrow |x + (y - 1) i| = \sqrt{2} \Leftrightarrow x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ (2).

Từ (1),(2) suy ra $\{\begin{cases} x^{2} = y^{2} \\ x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} = y^{2} \\ y^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 \end{cases} \Rightarrow$ có 4 số phức cần tìm.

Câu 23:

Cho tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (x - 1) \sin 2 x d x$ . Tìm đẳng thức đúng

A. $I = - (x - 1) {\cos 2 x}_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$

B. $I = - (x - 1) c o s 2 x - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$

C. $I = - \frac{1}{2} (x - 1) {\cos 2 x}_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$

D. $I = - \frac{1}{2} (x - 1) {\cos 2 x}_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$

Xem đáp án

Đáp án C.

Đặt $\{\begin{cases} u = x - 1 \\ d v = \sin 2 x d x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = - \frac{\cos 2 x}{2} \end{cases}$ . Khi đó $I = - \frac{1}{2} {(x - 1) \cos 2 x}_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$ .

Câu 24:

Gọi $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 2 z^{2} - 8 = 0$ . Trên mặt phẳng tọa độ, gọi A, B, C, D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm của $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ . Tính giá trị của P = OA + OB + OC + OD trong đó O là gốc tọa độ.

A. P = 4

B. P = $2 + \sqrt{2}$

C. P = $2 \sqrt{2}$

D. P = $4 + 2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Phương trình $z^{4} - 2 z^{2} - 8 = 0 \Leftrightarrow {(z^{2} - 1)}^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z^{2} = 4 \\ z^{2} = - 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = \pm 2 \\ z = \pm i \sqrt{2} \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} z_{1} = 2; z_{2} = - 2 \\ z_{3} = \pm i \sqrt{2}; z_{4} = - i \sqrt{2} \end{array} .$

Khi đó A(2;0), B(-2;0), C( $0; \sqrt{2}$ ), D( $0; - \sqrt{2}$ ) $\Rightarrow P = O A + O B + O C + O D = 4 + 2 \sqrt{2} .$

Câu 25:

Có bao nhiêu số $a \in (0; 20 π)$ sao cho $\int_{0}^{a} \sin^{5} x . \sin 2 x d x = \frac{2}{7}$ .

A. 20

B. 19

C. 9

D. 10

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có $\int_{0}^{a} \sin^{5} x . \sin 2 x d x = \int_{0}^{a} \sin^{5} x . 2 \sin x \cos x d x = 2 \int_{0}^{a} \sin^{6} x d (\sin x) = 2 . {\frac{\sin^{7} x}{7}}_{0}^{a} = \frac{2}{7} \sin^{7} a = \frac{2}{7}$ $\Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Ép cho $0 < \frac{π}{2} + k 2 π < 20 π \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{39}{4} \Rightarrow k \in \{0; 1; 2; . . .; 9\} .$

Câu 26:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy).

B. Mặt cầu (S) không tiếp xúc với cả ba mặt (Oxy), (Oxz), (Oyz).

C. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz).

D. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxz).

Xem đáp án

Đáp án A.

Xét mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9 \Rightarrow$ tâm I(2;-1;3) và R = 3.

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) có phương trình lần lượt là z = 0; x = 0; y = 0.

Khi đó $d (I; (O x y)) = 3 d (I; (O y z)) = 2 d (I; (O x z)) = 1$ nên mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy).

Câu 27:

Cho hàm số $y = |2 x^{2} - 3 x - 1|$ . Giá trị lớn nhất của hàm số trên $[\frac{1}{2}; 2]$ là:

A. $\frac{17}{8}$

B. $\frac{9}{4}$

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A.

Xét hàm số $f (x) = 2 x^{2} - 3 x - 1$ trên $[\frac{1}{2}; 2]$ . Ta có: $f' (x) = 4 x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}$

Lại có: $f (\frac{1}{2}) = - 2; f (\frac{3}{4}) = - \frac{17}{8}; f (1) = (- 2) \Rightarrow f (x) \in [\frac{- 17}{8}; - 2] \Rightarrow |f (x)| \in [2; \frac{17}{8}]$

Do đó $\underset{[\frac{1}{2}; 2]}{m a x} y = \frac{17}{8} .$

Câu 28:

Biết hàm số $F (x) = a x^{3} + (a + b) x^{2} + (2 a - b + c) x + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} + 6 x + 2$ . Tổng a + b + c là:

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $F (x) = \int (3 x^{2} + 6 x + 2) d x = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + C \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ a + b = 3 \\ 2 a - b + c = 2 \\ C = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{array}{l} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 2 \end{array} .$

Câu 29:

Cho hàm số $f (x) = \frac{4^{x}}{4^{x} + 2}$ . Tính giá trị biểu thức $A = f (\frac{1}{100}) + f (\frac{2}{100}) + . . . + f (\frac{100}{100})$ ?

A. 50

B. 49

C. $\frac{149}{3}$

D. $\frac{301}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Với $a + b = 1 \Rightarrow f (a) + f (b) = \frac{4^{a}}{4^{a} + 2} + \frac{4^{b}}{4^{b} + 2} = \frac{4^{a + b} + 2 . 4^{a} + 4^{a + b} + 2 . 4^{b}}{4^{a + b} + 2 . 4^{a} + 2 . 4^{b} + 4} = 1 .$

Lưu ý $\frac{1}{100} + \frac{9}{100} = 1, . . .$ cứ vậy $\Rightarrow A = \frac{98}{2} + f (\frac{50}{100}) + f (\frac{100}{100}) = \frac{301}{6} .$

Câu 30:

Cho A, B, C là những điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn $z^{3} + i = 0$ . Tìm phát biểu sai?

A. Tam giác ABC đều

B. Tam giác ABC có trọng tâm là O(0;0)

C. Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O(0;0)

D. $S_{A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có $z^{3} + i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} z = i \\ z = \frac{- i \pm \sqrt{3}}{2} \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} A (0; 1) \\ B (\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}), C (- \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}) \end{array} \Rightarrow S_{∆ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} .$

Câu 31:

Cho khối nón đỉnh O, trục OI. Mặt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{8}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{7}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi h,r là chiều cao và bán kính đáy của khối nón lớn.

Theo đó, chiều cao và bán kính của khối nón nhỏ lần lượt là $\frac{h}{2}$ và $\frac{r}{2}$

Tỉ số thể tích khối nón nhỏ và khối nón lớn là: $\frac{\frac{π}{3} {(\frac{r}{2})}^{2} (\frac{h}{2})}{\frac{{πr}^{2} h}{3}} = \frac{1}{8}$

Vậy tỉ số thêt tích của 2 phần được chia là: $\frac{1}{7}$ .

Câu 32:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}, y = x - 2$ và trục hoành (hình vẽ).

Diện tích của (H) bằng

A. $\frac{10}{3}$

B. $\frac{16}{3}$

C. $\frac{7}{3}$

D. $\frac{8}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Diện tích của (H) bằng $S = \int_{0}^{2} \sqrt{x} d x + \int_{2}^{4} (\sqrt{x} - (x - 2)) d x = \frac{10}{3} .$

Câu 33:

Cho hình trụ có trục OO’, thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a. Mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng $\frac{a}{2}$ . Tính diện tích thiết diện của trục cắt bởi mặt phẳng

A. $a^{2} \sqrt{3}$

B. $a^{2}$

C. $2 a^{2} \sqrt{3}$

D. $π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi thiết diện mặt cắt là hình vuông ABCD.

Xét mặt đáy tâm O như hình vẽ. Vì thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a nên chiều cao của hình trụ OO' = 2a = BC và OA = a.

$\Rightarrow A B = 2 \sqrt{O A^{2} - O M^{2}} = a \sqrt{3}$

Diện tích thiết diện cần tính: $A B . C D = 2 a^{2} \sqrt{3}$ .

Câu 34:

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A(1;2;1) và mặt phẳng $(P) : x + 2 y - 2 z = 0$ . Gọi B là điểm đối xứng với A qua (P). Độ dài đoạn AB là:

A. 2

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B.

$A B = 2 d (A; (P)) = \frac{4}{3} .$

Câu 35:

Có bao nhiêu số có bốn chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

A. 360

B. 220

C. 240

D. 180

Xem đáp án

Đáp án B.

Số cần lập có dạng $\bar{a b c d}$ trong đó $a; b; c; d \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ ; trong đó d = {0;5}.

TH1: d = 0 khi đó a,b,c có $A_{6}^{3}$ cách chọn và sắp xếp.

TH2: d = 5 khi đó a,b,c có 5.5.4 $(a \neq 0)$ cách chọn và sắp xếp.

Theo quy tắc cộng có $A_{6}^{3} + 5.5.4 = 220$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 36:

Số hạng không chứa x trong khai triển ${(2 x - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{2 n}$ với $x \neq 0$ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{3} + 2 n = A_{n + 1}^{2}$ là

A. $- C_{16}^{12} . 2^{4} . 3^{12}$

B. $C_{16}^{0} . 2^{16}$

C. $C_{16}^{12} . 2^{4} . 3^{12}$

D. $C_{16}^{16} . 2^{0}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $C_{n}^{3} + 2 n = A_{n + 1}^{2} \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 3)! . 3!} + 2 n = \frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} \Leftrightarrow \frac{n (n - 1) (n - 2)}{6} + 2 n = (n + 1) n$

$\Leftrightarrow (n - 1) (n - 2) + 12 = 6 (n + 1) \Leftrightarrow n^{2} - 9 n + 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 8 \\ n = 1 \end{array} \Rightarrow n = 8 .$

Khi đó ${(2 x - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{16} = \sum_{k = 0}^{16} C_{16}^{k} {(2 x)}^{16 - k} {(- \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{k} = \sum_{k = 0}^{16} C_{16}^{k} {(2)}^{16 - k} {(- 3)}^{k} x^{16 - \frac{4}{3} k} .$

Số hạng không chứa x $\Leftrightarrow 16 - \frac{4}{3} k = 0 \Leftrightarrow k = 12 \Rightarrow k = 12 \Rightarrow a_{12} = C_{16}^{12} 2^{4} {(- 3)}^{12} .$

Câu 37:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ và có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ bên. Xét hàm số $g (x) = f (x^{3} - 2)$ Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (-1;0)

B. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$

C. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0;2)

D. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $g' (x) = (x^{2} - 2)' f' (x^{2} - 2) = 2 x . f' (x^{2} - 2); \forall x \in ℝ .$

Khi đó $g' (x) < 0 \Leftrightarrow x . f' (x^{2} - 2) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x < 0 \\ f' (x^{2} - 2) > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > 0 \\ f' (x^{2} - 2) < 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x < 0 \\ x^{2} - 2 > 2 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > 0 \\ x^{2} - 2 < 2 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0 < x < 2 \\ x < - 2 \end{array} .$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ và (0;2) khẳng định A là sai.

Câu 38:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của cạnh AB và $(α)$ là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Diện tích thiết diện của mặt phẳng với hình chóp S.ABCD là

A. $S = a^{2}$

B. $S = \frac{3 a^{2}}{2}$

C. $S = \frac{a^{2}}{2}$

D. $S = 2 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi N, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD $\Rightarrow \{\begin{cases} M N ⊥ A B \\ M Q ⊥ A B \end{cases} .$

Qua N kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SC tại P.

Suy ra thiết diện của mặt phẳng $(α)$ và hình chóp là MNPQ.

Vì MQ là đường trung bình của hình tháng ABCD $\Rightarrow M Q = \frac{3 a}{2}$ .

MN là đường trung bình của tam giác SAB $\Rightarrow M N = \frac{S A}{2} = a$ .

NP là đường trung bình của tam giác SBC $\Rightarrow N P = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}$ .

Vậy diện tích hình thang MNPQ là $S_{M N P Q} = \frac{M N . (N P + M Q)}{2} = \frac{a}{2} (\frac{a}{2} + \frac{3 a}{2}) = a^{2}$ .

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;-3;7), B(0;4;-3), C(4;2;5). Biết điểm M( $x_{0}; y_{0}; z_{0}$ ) nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}|$ có giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tổng $P = x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng

A. P = 0

B. P = 6

C. P = 3

D. P = -3

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi C là trọng tâm của tam giác ABC $\Rightarrow G (2; 1; 3)$

Khi đó $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |3 \vec{M G} + \underset{0}{\underset{⏟}{\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}}}| = 3 |\vec{M G}| = 3 M G$ .

Suy ra $M G_{m i n} \Leftrightarrow$ M là hình chiếu của G trên mp (Oxy) $\Rightarrow M (2; 1; 0)$ .

Câu 40:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m|$ có 5 điểm cực trị?

A. 44

B. 27

C. 26

D. 16

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} \to f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x; \forall x \in ℝ$ .

Khi đó $y = |f (x) + m| \Rightarrow y' = \frac{f' (x) . [f (x) + m]}{|f (x) + m|}$ . Phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f' (x) = 0 \\ f (x) = - m (*) \end{array} .$

Để hàm số đã cho có 7 điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có 5 nghiệm phân biệt

Mà $f' (x) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow f (x) = - m$ có 2 nghiệm phân biệt.

Dựa vào BBT hàm số f(x) để (*) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - m > 0 \\ - 5 > - m > - 32 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < 0 \\ 5 < m < 32 \end{array} .$

Kết hợp với $m \in ℤ^{+}$ suy ra có tất cả 27 giá trị nguyên cần tìm.

Câu 41:

Cho hàm số f(x) xác định trên $ℝ \ \{- 1; 1\}$ và thỏa mãn $f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ . Biết f(-3) + f(3) = 0 và $f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2$ . Tính giá trị $T = f (- 2) + f (0) + f (4)$ .

A. $T = 1 + \ln \frac{9}{5}$

B. $T = 1 + \ln \frac{6}{5}$

C. $T = 1 + \frac{1}{2} \ln \frac{9}{5}$

D. $T = 1 + \frac{1}{2} \ln \frac{6}{5}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $f (x) = \int f' (x) d x = \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C$ .

· Với $[\begin{array}{l} x > 1 \\ x < - 1 \end{array} \Rightarrow f (x) = \frac{1}{2} \ln \frac{x - 1}{x + 1} + C$ mà $f (- 3) + f (3) = 0 \Rightarrow 2 C + \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln 2 = 0$ $\Leftrightarrow C = 0$ .

· Với $- 1 < x < 1 \Rightarrow f (x) = \frac{1}{2} \ln \frac{1 - x}{x + 1} + C$ mà $f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2 \Rightarrow 2 C + \frac{1}{2} \ln \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \ln 3 = 2$ $\Leftrightarrow C = 1$ .

Vậy $T = f (- 2) + f (0) + f (4) = \frac{1}{2} \ln \frac{- 2 - 1}{- 2 + 1} + \frac{1}{2} \ln \frac{1 - 0}{0 + 1} + 1 + \frac{1}{2} \ln \frac{4 - 1}{4 + 1} = 1 + \frac{1}{2} \ln \frac{9}{5}$ .

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt cạnh SC tại C’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.

A. $\frac{a^{3}}{3}$

B. $\frac{16 a^{3}}{45}$

C. $\frac{a^{3}}{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, nối $S O \cap B' D' = I$ .

Và nối AI cát SC tại C’ suy ra mp (AB’D’) cắt SC tại C’.

Tam giác SAC vuông tại A, có $S C^{2} = S A^{2} + A C^{2} = 6 a^{2} \Rightarrow S C = a \sqrt{6}$ .

Ta có $B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A B'$ và $S B ⊥ A B' \Rightarrow A B' ⊥ S C$ .

Tương tự $A D' ⊥ S C$ suy ra $S C ⊥ (A B' D') \equiv (A B' C' D') \Rightarrow S C ⊥ A C'$ .

Mà $S C' . S C = S A^{2} \Rightarrow \frac{S C'}{S C} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{2}{3}$ và $\frac{S B'}{S B} = \frac{S A^{2}}{S B^{2}} = \frac{4}{5}$ .

Do đó $V_{S . A B' C'} = \frac{8}{15} V_{S . A B C} = \frac{8}{30} V_{S . A B C D}$ mà $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{2 a^{3}}{3}$ .

Vậy thể tích cần tính là $V_{S . A B' C' D'} = 2 . V_{S . A B' C'} = \frac{16 a^{3}}{45}$

Câu 43:

Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng 0,5cm, chiều dài 6cm. Người ta làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước 6cm x 5cm x 6cm. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp 460 viên phấn?

A. 17

B. 15

C. 16

D. 18

Xem đáp án

Đáp án C.

Chiều dài viên phấn bằng với chiều dài của hộp carton bằng 6cm.

Đường kính đáy của viên phấn hình trụ bằng d = 1cm.

TH1: Chiều cao của đáy hình hộp chữa nhật bằng với 5 lần đường kính đáy bằng 5cm.

Khi đó ta sẽ xếp được 4.6 = 30 viên phấn.

TH2: Chiều cao của đáy hình hộp chữ nhật bằng với 6 lần đường kính đáy bằng 6cm.

Khi đó ta cũng sẽ xếp được 6.5 = 30 viên phấn.

Vậy hộp phấn cần đẻ xếp 460 viên phấn là 16 hộp.

Câu 44:

Cho số phức thỏa mãn $|z| \leq 1$ . Đặt $A = \frac{2 z - 1}{2 + i z}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $|A| \leq 1$

B. $|A| \geq 1$

C. $|A| < 1$

D. $|A| > 1$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $A = \frac{2 z - 1}{2 + i z} \Leftrightarrow 2 A + A i z = 2 z - i \Leftrightarrow 2 A + i = 2 z - A i z \Leftrightarrow z = \frac{2 A + i}{2 - A i}$ .

Mà $|z| \leq 1 \Rightarrow |\frac{2 A + i}{2 - A i}| \leq 1 \Leftrightarrow \frac{|2 A + i|}{|2 - A i|} \leq 1 \Leftrightarrow |2 A + i| \leq |2 - A i|$ (*).

Đặt A = x + yi, Khi đó (*) $\Leftrightarrow |2 x + (2 y + 1) i| \leq |2 + y - x i| \Leftrightarrow 4 x^{2} + {(2 y + 1)}^{2} \leq {(2 + y)}^{2} + x^{2}$ .

$\Leftrightarrow 4 x^{2} + 4 y^{2} + 4 y + 1 \leq x^{2} + y^{2} + 4 y + 4 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 1 \Rightarrow |A| \leq 1 .$

Câu 45:

Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức $L_{M} = \log \frac{k}{R^{2}}$ (Ben) với k là hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là $L_{A} = 3$ (Ben) và $L_{B} = 5$ (Ben). Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy).

A. 3,59 (Ben).

B. 3,06 (Ben).

C. 3,69 (Ben).

D. 4 (Ben).

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $\{\begin{cases} L_{A} = \log \frac{k}{O A^{2}} = 3 \\ L_{B} = \log \frac{k}{O B^{2}} = 5 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{k}{O A^{2}} = 10^{3} \\ \frac{k}{O B^{2}} = 10^{5} \end{cases} \Rightarrow A B = O A + O B = (\frac{1}{10 \sqrt{10}} + \frac{1}{100 \sqrt{10}}) \sqrt{k}$ $= \frac{11 \sqrt{k}}{100 \sqrt{10}}$ .

Trung điểm I của cạnh AB cách O một khoảng $I O = \frac{A B}{2} - O B = \frac{11 \sqrt{k}}{200 \sqrt{10}} - \frac{\sqrt{k}}{100 \sqrt{10}} = \frac{9 \sqrt{k}}{200 \sqrt{10}} \Rightarrow L_{I} = \log \frac{k}{I O^{2}} = \log \frac{k}{{(\frac{9 \sqrt{k}}{200 \sqrt{10}})}^{2}} \approx 3, 69 .$

Câu 46:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = \sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 + \cos x}$ . Tính giá trị của M - m.

A. $4 \sqrt{2}$

B. $3 + 2 \sqrt{2}$

C. $\sqrt{4 + 2 \sqrt{2}} - 1$

D. $4 + 2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có: $f^{2} (x) = 2 + \sin x + \cos x + 2 \sqrt{(1 + \sin x) (1 + c o s x)}$

$= 2 + \sin x + \cos x + 2 \sqrt{1 + \sin x + \cos x + \sin x \cos x}$

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \Rightarrow t \in [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .

Suy ra $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow f^{2} (x) = 2 + t + 2 \sqrt{1 + t + \frac{t^{2} - 1}{2}} = 2 + t + \sqrt{2} \sqrt{t^{2} + 2 t + 1}$

$\Rightarrow f (t) = t + 2 + \sqrt{2} |t + 1| = \{\begin{cases} t + 2 + \sqrt{2} (t + 1) k h i t \geq - 1 \\ t + 2 - \sqrt{2} (t + 1) k h i t < - 1 \end{cases} = \{\begin{cases} (1 + \sqrt{2}) t + 2 + \sqrt{2} k h i t \geq - 1 \\ (1 - \sqrt{2}) t + 2 - \sqrt{2} k h i t < - 1 \end{cases}$

Từ đó suy ra $1 \leq f^{2} (x) \leq 4 + 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow f (x) \leq \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}} \Rightarrow M - m = \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}} - 1$ .

Câu 47:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho a + b + c = 2. Biết rằng a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M(2016;0;0) tới mặt phẳng (P).

A. 2017

B. $\frac{2014}{\sqrt{3}}$

C. $\frac{2016}{\sqrt{3}}$

D. $\frac{2015}{\sqrt{3}}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi D, K lần lượt là trung điểm của AB, OC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (OAB). Và cắt mặt phẳng trung trực của OC tại $I \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC suy ra $z_{1} = \frac{c}{2}$ .

Ta có $S_{∆ O A D} = \frac{1}{2} . S_{∆ O A B} = \frac{1}{4} . a b = \frac{1}{2} . D E . O A \Rightarrow D E = \frac{b}{2}$ .

Tương tự $D F = \frac{a}{2} \Rightarrow x_{1} = \frac{a}{2}, y = \frac{b}{2} \Rightarrow I (\frac{a}{2}; \frac{b}{2}; \frac{c}{2})$ .

Suy ra $x_{1} + y_{1} + z_{1} = \frac{a + b + c}{2} = 1 \Rightarrow I \in (P) : x + y + z - 1 = 0$ .

Vậy khoảng cách từ điểm M dến (P) bằng $d = \frac{2015}{\sqrt{3}}$ .

Câu 48:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 3 - 4 i| = \sqrt{5}$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = {|z + 2|}^{2} - {|z - i|}^{2}$ . Tính môđun của số phức w = M + mi ?

A. $|w| = \sqrt{2315}$

B. $|w| = \sqrt{1258}$

C. $|w| = 3 \sqrt{137}$

D. $|w| = 2 \sqrt{309}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ suy ra tập hợp các điểm M(z) = (x,y) là đường tròn (C) có tâm I(3;4) và bán kính $R = \sqrt{5}$ .

Ta có $P = {|z + 2|}^{2} - {|z - i|}^{2} = {|x + 2 + y i|}^{2} - {|x + (y - 1) i|}^{2} = {(x + 2)}^{2} + y^{2} - x^{2} - {(y - 1)}^{2}$

$= x^{2} + y^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - y^{2} + 2 y - 1 = 4 x + 2 y + 3 \to (∆) : 4 x + 2 y + 3 - P = 0$ .

Ta cần tìm P sao cho đường thẳng $(∆)$ và đường tròn (C) có điểm chung $\Leftrightarrow d (I; (∆)) \leq R$ .

$\Leftrightarrow \frac{|4.3 + 2.4 + 3 - P|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2}}} \leq \sqrt{5} \Leftrightarrow |23 - P| \leq 10 \Leftrightarrow - 10 \leq 23 - P \leq 10 \Leftrightarrow 13 \leq P \leq 33 .$

Do đó, $\{\begin{cases} m a x P = 33 \\ m i n P = 13 \end{cases} \to w = M + m i = 33 + 13 i \Rightarrow |w| = \sqrt{1258}$ .

Câu 49:

Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa $\int_{0}^{1} [f (x)] d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$ và f(1) = 0. Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$ .

A. $\frac{e - 1}{2}$

B. $\frac{e^{2}}{4}$

C. $e - 2$

D. $\frac{e}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Đặt $\{\begin{cases} u = f (x) \\ d v = (x + 1) e^{x} d x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d u = f' (x) d x \\ v = x e^{x} \end{cases}$ , khi đó $\int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} . f (x) d x$

$= {x e^{x} . f (x)}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x e^{x} . f' (x) d x$

$= e . f (1) - \int_{0}^{1} x e^{x} . f' (x) d x \Leftrightarrow \int_{0}^{1} x e^{x} . f' (x) d x = - \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} . f (x) d x = \frac{1 - e^{2}}{4}$ .

Xét tích phân $\int_{0}^{1} {[f' (x) + k . x e^{x}]}^{2} d x = \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x + 2 k . \int_{0}^{1} x e^{x} . f' (x) d x + k^{2} . \int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x} d x = 0$

$\Leftrightarrow \frac{e^{2} - 1}{4} + 2 k . \frac{1 - e^{2}}{4} + k^{2} . \frac{e^{2} - 1}{4} = 0 \Rightarrow k^{2} - 2 k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = 1 \Rightarrow f' (x) = - x . e^{x} .$

Do đó $f (x) = \int f' (x) d x = - \int x . e^{x} d x = (1 - x) e^{x} + C$ mà $f (1) = 0 \Rightarrow C = 0$ .

Vậy $I = \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (1 - x) e^{x} d x \overset{c a s i o}{\to} I = e - 2 .$

Câu 50:

Một công ty mỹ phẩm chiết xuất $1 (m^{3})$ hoạt chất đặc biệt và họ sử dụng nó để sản suất ra một sản phẩm kem dưỡng da mới với thiết kế hộp là một khối cầu có đường kính $\sqrt{108} c m$ bên trong hộp là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng da (như hình vẽ). Để thu hút khác hàng công ty đã thiết kế khối trụ có thể tích lớn nhất để đựng kem dưỡng da. Hỏi với $1 (m^{3})$ hoạt chất đặc biệt trên, công ty đó sản xuất được tối đa bao nhiêu hộp sản phẩm, biết rằng trong kem dưỡng da chỉ chứa 0,3% hoạt chất đặc biệt trên ?

A. 1964875 hộp

B. 2254715 hộp

C. 2084645 hộp

D. 1754845 hộp

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của khối trụ.

Vì 2 x khối trụ nội tiếp khối cầu suy ra $R^{2} = r^{2} + h^{2} \Leftrightarrow r^{2} + h^{2} = 27 .$

Thể tích của khối trụ là $V = {πr}^{2} h = π . h (27 - h^{2}) \to f (h) = 27 h - h^{3}$ .

Khảo sát hàm số $f (h) \to$ GTLN của f(h) là 54 khi h = 3.

Suy ra thể tích lớn nhất của khối trụ là $V = 54 π {cm}^{3}$ .

Số hoạt chất đặc biệt cần dùng để làm kem dưỡng da là $0, 3 % . 54 π = 0, 509 {cm}^{3}$ .

Vậy số hộp kem tối đa mà công ty sản xuất được là $\frac{1 . 100^{3}}{0, 509} \approx 1964875$ hộp.