9 câu hỏi trắc nghiệm thuộc DẠNG 7. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES

Câu 1:

Cho hai biến cố ngẫu nhiên A và B có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,3;{\rm{P}}({\rm{B}}) = 0,6;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,5.\) Xác suất của B với điều kiện A là

A. 0,3.

B. \(\frac{3}{5}.\)

C. \(\frac{1}{2}.\)

D. 1.

Xem đáp án

\(P(B\mid A) = \frac{{P(A\mid B)P(B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,5 \cdot 0,6}}{{0,3}} = 1.\) Chọn D.

Câu 2:

Cho hai biến cố ngẫu nhiên A và B có \(P(A\mid B) = P(A).\) Tỉ số \(\frac{{{\rm{P}}({\rm{B}})}}{{{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})}}\) là

A. 1.

B. \(\frac{1}{2}.\)

C. 0.

D. 2.

Xem đáp án

\(\frac{{{\rm{P}}({\rm{B}})}}{{{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})}} = \frac{{{\rm{P}}({\rm{A}})}}{{{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})}} = 1.\) Chọn A.

Câu 3:

Có hai chiếc hộp giống nhau. Hộp thứ nhất có 5 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn chọn ngẫu nhiên một hộp bi và từ đó lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi. Xác suất viên bi được chọn có màu xanh là

A. \(\frac{9}{{17}}.\)

B. \(\frac{2}{7}.\)

C. \(\frac{{39}}{{140}}.\)

D. \(\frac{{39}}{{70}}.\)

Xem đáp án

Gọi A₁ là biến cố bạn Sơn chọn hộp thứ nhất; A₂ là biến cố bạn Sơn chọn hộp thứ hai. Gọi B là biến cố viên bi được chọn có màu xanh.

Ta có \({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) = {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = 0,5;{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right) = \frac{5}{7};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right) = \frac{4}{{10}}.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \left( {\frac{5}{7} + \frac{4}{{10}}} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{{39}}{{70}}{\rm{.}}\)Chọn D

Câu 4:

Có hai hộp đựng bi. Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Thảo chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất, bỏ vào hộp thứ hai rồi chọn ra ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ hai. Xác suất hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có cùng màu là

A. \(\frac{2}{3}.\)

B. \(\frac{8}{{15}}.\)

C. \(\frac{7}{{15}}.\)

D. \(\frac{{22}}{{45}}.\)

Xem đáp án

Gọi A₁ là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi xanh; A₂ là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ. Gọi B là biến cố hai viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai có cùng màu.

Ta có:

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) = \frac{2}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{1}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right) = \frac{{{\rm{C}}{4^2} + {\rm{C}}{6^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{7}{{15}};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right) = \frac{{{\rm{C}}{3^2} + {\rm{C}}{7^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{8}{{15}}\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{7}{{15}} \cdot \frac{2}{3} + \frac{8}{{15}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{{22}}{{45}}{\rm{.}}\)Chọn D

Câu 5:

Có hai chiếc hộp giống nhau. Hộp thứ nhất có 5 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn chọn ngẫu nhiên một hộp bi và từ đó lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi. Biết rằng viên bi được lấy ra có màu đỏ, xác suất bạn Sơn chọn hộp thứ hai là

A. 0,6.

B. \(\frac{2}{7}.\)

C. \(\frac{{31}}{{70}}.\)

D. \(\frac{{21}}{{31}}.\)

Xem đáp án

Gọi A là biến cố viên bi lấy ra là bi đỏ. Gọi B là biến cố bạn Sơn chọn hộp thứ hai.

Ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}(\overline {\rm{B}} ) = 0,5;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,6;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid \overline {\rm{B}} ) = \frac{2}{7}.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}){\rm{P}}({\rm{B}}) + {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \overline {\rm{B}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{B}} ) = 0,6 \cdot 0,5 + \frac{2}{7} \cdot 0,5 = \frac{{31}}{{70}}\)

Biết rằng viên bi có màu đỏ, xác suất bạn Sơn chọn hộp thứ hai là \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}){\rm{P}}({\rm{B}})}}{{{\rm{P}}({\rm{A}})}} = \frac{{0,6 \cdot 0,5}}{{\frac{{31}}{{70}}}} = \frac{{21}}{{31}}.\)

Chọn D.

Câu 6:

Có hai hộp đựng bi. Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất, bỏ vào hộp thứ hai rồi chọn ra ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ hai. Biết rằng hai viên bi được lấy từ hộp thứ hai đều có màu đỏ, xác suất viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh là

A. \(\frac{1}{3}.\)

B. \(\frac{7}{{15}}.\)

C. \(\frac{{17}}{{45}}.\)

D. \(\frac{{10}}{{17}}.\)

Xem đáp án

Gọi A₁ là biến cố viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất là bi xanh; A₂ là biến cố viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ. Gọi B là biến cố hai viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai đều là màu đỏ.

Ta có \({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) = \frac{2}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{1}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right) = \frac{{{\rm{C}}{6^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{1}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right) = \frac{{{\rm{C}}{7^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{7}{{15}}.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{{15}} = \frac{{17}}{{45}}\)

Biết rằng hai viên bi lấy từ hộp thứ hai đều có màu đỏ, xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh là \({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1\mid {\rm{B}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right)}}{{{\rm{P}}({\rm{B}})}} = \frac{{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}}{{\frac{{17}}{{45}}}} = \frac{{10}}{{17}}.\)

Chọn D.

Câu 7:

Bạn Xuân có hai hộp thẻ. Hộp thứ nhất có 1 tấm thẻ xanh và 5 tấm thẻ đỏ. Hộp thứ hai có 4 tấm thẻ xanh và 5 tấm thẻ đỏ. Các tấm thẻ có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Xuân chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ hộp thứ nhất, bỏ vào hộp thứ hai rồi chọn ra ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ hộp thứ hai. Biết rằng 2 thẻ lấy ra lần hai đều có màu đỏ, xác suất để 2 thẻ lấy ra lần một cùng màu là

A. \(\frac{{14}}{{36}}.\)

B. \(\frac{7}{{12}}.\)

C. \(\frac{{19}}{{36}}.\)

D. \(\frac{{14}}{{19}}.\)

Xem đáp án

Gọi A là biến cố 2 thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất cùng màu đỏ; \(\overline {\rm{A}} \) là biến cố trong 2 thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất có 1 thẻ xanh và 1 thẻ đỏ. Gọi B là biến cố 2 thẻ lấy ra lần hai cùng màu đỏ.

Ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{{{\rm{C}}{5^2}}}{{{\rm{C}}{6^2}}} = \frac{2}{3};{\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = \frac{1}{3};{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = \frac{{{\rm{C}}{7^2}}}{{{\rm{C}}{{11}^2}}} = \frac{{21}}{{55}};{\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ) = \frac{{{\rm{C}}{6^2}}}{{{\rm{C}}_{11}^2}} = \frac{3}{{11}}.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}}) + {\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = \frac{{21}}{{55}} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{{11}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{{19}}{{55}}.\)

Biết rằng 2 thẻ lấy ra lần hai đều có màu đỏ, xác suất để 2 thẻ lấy ra lần một cùng màu là

\({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}})}}{{{\rm{P}}({\rm{B}})}} = \frac{{\frac{{21}}{{55}} \cdot \frac{2}{3}}}{{\frac{{19}}{{55}}}} = \frac{{14}}{{19}}.\) Chọn D.

Câu 8:

Điều tra ở một doanh nghiệp thấy có \(45\% \) nhân viên là nữ. Có \(40\% \) nhân viên nữ và \(60\% \) nhân viên nam hài lòng với mức lương hiện tại. Chọn ngẫu nhiên 1 nhân viên của doanh nghiệp. Biết rằng nhân viên đó hài lòng với mức lương hiện tại, tính xác suất nhân viên đó là nữ.

A. 0,49.

B. 0,51.

C. \(\frac{{11}}{{17}}.\)

D. \(\frac{6}{{17}}.\)

Xem đáp án

Gọi A là biến cố nhân viên được chọn là nữ; \(\overline {\rm{A}} \) là biến cố nhân viên được chọn là nam. Gọi B là biến cố nhân viên hài lòng với mức lương hiện tại.

Ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,45;{\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = 0,55;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,4;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ) = 0,6.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}}) + {\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = 0,4 \cdot 0,45 + 0,6 \cdot 0,55 = 0,51\)

Biết rằng nhân viên đó hài lòng với mức lương hiện tại, xác suất nhân viên đó là nữ là

\({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}})}}{{{\rm{P}}({\rm{B}})}} = \frac{{0,4 \cdot 0,45}}{{0,51}} = \frac{6}{{17}}.\) Chọn D.

Câu 9:

Bạn Quỳnh tham gia một cuộc thi khám phá tri thức. Bộ câu hỏi của cuộc thi gồm 10 câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên và 15 câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội. Xác suất Quỳnh trả lời đúng một câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên là 0,6 và một câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội là 0,8. Quỳnh chọn ngẫu nhiên 1 câu hỏi trong bộ câu hỏi. Xác suất để Quỳnh trả lời đúng câu hỏi đó là

A. 0,52.

B. 0,91.

C. 0,48.

D. 0,72.

Xem đáp án

Gọi A là biến cố câu hỏi Quỳnh phải trả lời thuộc lĩnh vực tự nhiên; \(\overline {\rm{A}} \) là biến cố câu hỏi Quỳnh phải trả lời thuộc lĩnh vực xã hội. Gọi B là biến cố Quỳnh trả lời đúng.

Ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,4;{\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = 0,6;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,6;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ) = 0,8.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}}) + {\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = 0,6 \cdot 0,4 + 0,8 \cdot 0,6 = 0,72.\) Chọn D.