50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 5)

Câu 1:

Trong các hàm số sau, hàm số nào tuần hoàn với chu kì $2 π$ ?

A. y = cos2x

B. y = sinx

C. y = tanx

D. y = cotx

Xem đáp án

Đáp án B.

Các hàm cos2x có chu kì $π .$

Câu 2:

Hình nào sau đây có vô số trục đối xứng?

A. Hình vuông

B. Hình tròn

C. Đoạn thẳng

D. Tam giác đều

Xem đáp án

Đáp án B.

Mỗi đường kính là một trục đối xứng của hình tròn.

Câu 3:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song.

B. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

D. Hai đường thẳng chéo nhau thì không cùng thuộc một mặt phẳng.

Xem đáp án

Đáp án A.

Hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Câu 4:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $ℝ$ ?

A. $y = \tan x$

B. $y = x^{4} + x^{2} + 1$

C. $y = x^{3} + 1$

D. $y = \frac{4 x + 1}{x + 2}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Là một hàm đa thức có $y^{'} = 3 x^{2} \geq 0 \forall x \in R$ nên nó là hàm đồng biến trên .

Câu 5:

Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $logx \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$

B. $\log_{5} x \leq 0 \Leftrightarrow 0 < x \leq 1$

C. $\log_{\frac{1}{5}} a > \log_{\frac{1}{5}} b \Leftrightarrow a > b > 0$

D. $\log_{\frac{1}{5}} a = \log_{\frac{1}{5}} b \Leftrightarrow a = b > 0.$

Xem đáp án

Đáp án C.

Vì hàm logarit sẽ nghịch biến nếu cơ số <1 khi đó chính xác phải là:

$\log_{\frac{1}{5}} a > \log_{\frac{1}{5}} b \Leftrightarrow 0 < a < b .$

Câu 6:

Cho hai số phức:

$z = a + b i, z' = a' + b' i (a, b, a', b' \in ℝ) .$

Tìm phần ảo của số phức $z z'$ .

A. $(a b' + a' b) i$

B. $a b' + a' b$

C. $a b' - a' b$

D. $a a' - b b'$

Xem đáp án

Đáp án A.

Có $z . z^{'} = a a^{'} - b b^{'} + (a b^{'} + a^{'} b) i .$

Vậy phần ảo là: $(a b^{'} + b a^{'}) i .$

Câu 7:

Trong các khối đa diện sau, khối đa diện nào có số đỉnh và số mặt bằng nhau?

A. Khối lập phương

B. Khối bát diện đều

C. Khối mười hai mặt đều

D. Khối tứ diện đều

Xem đáp án

Đáp án D.

Hình tứ diện đều có 4 đỉnh, 4 mặt.

Câu 8:

Một khối lăng trụ tam giác có thể phân chia ít nhất thành n tứ diện có thể tích bằng nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. n = 3

B. n = 6

C. n = 4

D. n = 8.

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có thể chia được làm 3 phần. giống như hình vẽ sau. 3 hình chóp bé là A'ABC, A'CBC', A'C'BB'.

Câu 9:

Tìm số nghiệm thuộc khoảng $(0; π)$ của phương trình $\cos (x + \frac{π}{4}) = 0.$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B.

Câu 10:

Tính số cách xếp 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý và 3 quyển sách Hóa lên một giá sách theo từng môn.

A. 5!4!3!

B. 5! +4! +3!

C. 5! 4!3!3!

D. 5.4.3

Xem đáp án

Đáp án C.

Xếp vị trí từng môn: 3!=6

Xếp vị trí trong tập toán: 5!

Xếp vị trí trong tập lý: 4!

Xếp vị trí trong tập hóa: 3!

=>Có 6.5!.4!.3!

Câu 11:

Tìm tập nghiệm của phương trình $C_{x}^{2} + C_{x}^{3} = 4 x$ .

A. {0}

B. {-5;5}

C. {5}

D. {-5;0;5}

Xem đáp án

Đáp án C.

Câu 12:

Danh sách lớp của bạn Nam đánh số từ 1 đến 45. Nam có số thứ tự là 21. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp để trực nhật. Tính xác suất để chọn được bạn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của Nam.

A. $\frac{7}{5}$

B. $\frac{1}{45}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{24}{45}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi A:”Bạn được chọn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của Nam”.

$n (Ω) = 45; n (A) = 24 \Rightarrow p (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{24}{45}$

Câu 13:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ tại điểm uốn của (C).

A. $y = 3 x + 3$

B. $y = 3 (1 - x)$

C. $y = 1 - 3 x$

D. $y = - 3 (1 - x)$

Xem đáp án

Đáp án B.

Có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x; y^{''} = 6 x - 6; y^{''} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn x=1 là :

$y = y^{'} (1) (x - 1) + y (1) \Leftrightarrow y = - 3 (x - 1) + 0 \Leftrightarrow y = - 3 x + 3$ .

Câu 14:

Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện. Gọi $G_{1}$ là giao điểm của AG và mp(BCD), $G_{2}$ là giao điểm của BG và mp(ACD). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $G_{1} G_{2} / / A B$

B. $G_{1} G_{2} / / A C$

C. $G_{1} G_{2} / / C D$

D. $G_{1} G_{2} / / A D$

Xem đáp án

Đáp án A.

Hình vẽ dễ thấy tính song song là: $G_{1} G_{2} ∥ A B$

Chứng minh

Vì $\frac{G G_{1}}{G A} = \frac{G G_{2}}{G B} = \frac{1}{4} \Rightarrow G_{1} G_{2} ∥ A B$

Câu 15:

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật, SB vuông góc với mặt đáy. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $S B ⊥ B C$

B. $S A ⊥ A D$

C. $S D ⊥ B D$

D. $S C ⊥ D C$

Xem đáp án

Đáp án C.

Câu 16:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $ℝ$ , có đạo hàm $f' (x) = x^{3} {(x - 1)}^{2} (x + 2)$ . Hỏi hàm số $y = f (x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có thể lập bảng xét dấu của f'(x) tuy nhiên thì ta có thể dùng mẹo như sau. Tại x=0; x=-2 thì y' đổi dấu do có mũ la lẻ còn x=1 thì không đổi dấu do mũ là chẵn. Vì vậy ta có thể có 2 cực trị.

Câu 17:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x - 3}$ trên đoạn $[0; 2]$ .

A. $\frac{- 1}{3}$

B. -5

C. 5

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Đây là hàm phân thức nên nó sẽ đơn điệu, do đó trên một khoảng nó sẽ đạt được min, max tại 2 đầu mút.

Có: $y (0) = \frac{1}{3}; y (2) = - 5 \Rightarrow \min_{x \in [0; 2]} y = - 5; \max_{x \in [0; 2]} y = \frac{1}{3}$

Câu 18:

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x^{2} + 1}$ .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án A.

Hàm số không có tiệm cận đứng.

Có $\lim_{x \to \pm \infty} y = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang.

Câu 19:

Cho đồ thị (C): $y = x^{4} - 2 x^{2}$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

B. (C) cắt trục Oy tại 2 điểm phân biệt.

C. (C) tiếp xúc với trục Ox.

D. (C) nhận Oy làm trục đối xứng.

Xem đáp án

Đáp án B.

Một hàm số không thể cắt trục tung tại 2 điểm.

Câu 20:

Cho $\log_{2} 6 = a, \log_{2} 7 = b .$ Tính $\log_{3} 7$ theo a và b.

A. $\frac{b}{a - 1}$

B. $\frac{a}{b - 1}$

C. $\frac{b}{1 - a}$

D. $\frac{a}{1 - b}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 21:

Điều kiện nào của a cho dưới đây làm cho hàm số $f (x) = {(1 + \ln a)}^{x}$ đồng biến trên $ℝ$ ?

A. $\frac{1}{e} < a < 1$

B. a > 1

C. a > 0

D. a > e

Xem đáp án

Đáp án B.

Hàm số mũ đồng biến trê R nến cơ số

$> 1 \Leftrightarrow 1 + \ln a > 1 \Leftrightarrow a > 1$ .

Câu 22:

Tìm tập nghiệm của bất phương trình:

$\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2 x - 8) \geq - 4$

A. (-4; 2)

B. [-6; 4)

C. $[- 6; - 4] \cup [2; 4]$

D. $[- 6; - 4) \cup (2; 4]$

Xem đáp án

Đáp án B.

Câu 23:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$

A. $x + \frac{1}{x - 1} + C$

B. $1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + C$

C. $\frac{x^{2}}{2} + \ln |x - 1| + C$

D. $x^{2} + \ln |x - 1| + C$

Xem đáp án

Đáp án C

Có $f (x) = x + \frac{1}{x - 1}$

Nguyên hàm của f(x) là $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln |x - 1| + C .$

Câu 24:

Tìm giá trị của a để $\int_{3}^{4} \frac{1}{(x - 1) (x - 2)} d x = \ln a$ .

A. 12

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Câu 25:

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:

$z^{2} + 2 z + 5 = 0$ .

A. 1+2i; 1-2i

B. 1+i; 1- i

C. -1+2i; -1-2i

D. -1+ i; -1- i

Xem đáp án

Đáp án C.

Bấm máy tính ra nghiệm $x = - 1 \pm 2 i$

Câu 26:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Hình chóp có đáy là hình thoi thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Hình chóp có đáy là hình tứ giác thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Hình chóp có đáy là hình tam giác thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

Xem đáp án

Đáp án D.

Yêu cầu đặt ra là đáy có đường tròn ngoại tiếp; chỉ có tam giác là thỏa mãn điều này.

Câu 27:

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: $\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1}$ và (P): $3 x + 5 y - z - 2 = 0$ .

A. (1;0;1)

B. (0;0;-2)

C. (1;1;6)

D. (12;9;1)

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt $\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1} = t$

$\Rightarrow x = 12 + 4 t; y = 3 t + 9; z = 1 + t$

thay vào phương trình của mặt phẳng ta có

$3 (12 + 4 t) + 5 (3 t + 9) - (1 + t) - 2 = 0 \Leftrightarrow 26 t = - 78 \Leftrightarrow t = - 3$ .

Khi đó thì điểm đó là $A (0; 0; - 2)$

Câu 28:

Viết phương trình mặt cầu đường kính AB, biết A(6;2;-5), B(-4;0;7).

A. ${(x - 5)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 6)}^{2} = 62$

B. ${(x + 5)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 6)}^{2} = 62$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 62$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 62$

Xem đáp án

Đáp án C.

Mặt cầu này có tâm I là trung điểm của AB và bán kính bằng nửa cạnh AB

Vậy $I (1; 1; 1); R = \frac{1}{2} A B = \sqrt{62}$ .

Vậy phương trình mặt cầu là

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 62$ .

Câu 29:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 3 x - 5, x \leq - 2 \\ a x - 1, x > - 2 \end{cases}$ . Với giá trị nào của a thì hàm số f(x) liên tục tại x=-2?

A. a = -5

B. a = 0

C. a = 5

D. a = 6

Xem đáp án

Đáp án C.

Hàm số liên tục nếu:

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = f (2) \Leftrightarrow 3. (- 2) - 5 = - 2 a - 1 \Leftrightarrow a = 5.$

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a, $S A = a \sqrt{2}$ , $S A ⊥ (A B C D) .$ Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{7}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Kẻ $C H ⊥ A B$ .

Bằng tính toán hình thang vuông thông thương ta có được:

Câu 31:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A = a \sqrt{3}$ , $S A ⊥ (A B C D)$ . Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{2}{a \sqrt{3}}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

D. a

Xem đáp án

Đáp án A.

Kẻ $A H ⊥ S B;$ dễ thấy $A H ⊥ (S B C)$

Câu 32:

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 2$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

A. $m = \sqrt[3]{3}$

B. $m = \sqrt{3}$

C. $m = 3 \sqrt{3}$

D. m = 1

Xem đáp án

Đáp án D.

Có $y^{'} = 4 x^{3} - 4 m x; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{m} \\ x = - \sqrt{m} \end{matrix}$

(xét trong trường hợp nó có 3 cực trị thì m>0)

Khi đó 3 điểm cực trị là;

$A (0; 2); B (\sqrt{m}; 2 - m^{2}); C (- \sqrt{m}; 2 - m^{2})$ .

A,B,C lập thành một tam giác có diện tích bằng 1 nếu

$S_{A B C} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} A H . B C = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} 2 \sqrt{m} |- m^{2}| = 1 \Leftrightarrow m = 1.$

Câu 33:

Cho đồ thị (C): $y = \frac{x}{x - 1}$ .

Tìm điều kiện của m để đường thẳng d: y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

A. 1< m < 4

B. m < 0 hoặc m > 2

C. m < 0 hoặc m > 4

D. m < 1 hoặc m > 4

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta xét phương trình:

$\frac{x}{x - 1} = - x + m \Leftrightarrow x^{2} - m x + m = 0$ .

Ta cần điều kiện để phương trình này có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ = m^{2} - 4 m > 0 \Leftrightarrow m \in (- \infty; 0) \cup^{} (4; + \infty)$ .

Câu 34:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2, biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm.

A. 15 ( $c m^{2}$ )

B. $\frac{15}{4} (c m^{2})$

C. $\frac{17}{4} (c m^{2})$

D. $17 (c m^{2})$

Xem đáp án

Đáp án A.

Đơn vị dài là 2 cm vậy nên đơn vị diện tích quy đổi ra sẽ là $2^{2} = 4 c m .$

Khi đó $S =_{- 1}^{2} x^{3} d x .4 = 15 c m^{2}$

Câu 35:

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3 x - x^{2}$ và trục hoành, quanh trục hoành.

A. $\frac{81 π}{10}$ (đvtt)

B. $\frac{85 π}{10}$ (đvtt)

C. $\frac{41 π}{7}$ (đvtt)

D. $\frac{8 π}{7}$ (đvtt)

Xem đáp án

Đáp án A.

Tìm giao của đồ thị hàm số với trục Ox ( để đóng vai trò là cận trong tích phân)

Câu 36:

Đường nào dưới đây là tập hợp các các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện $|z - i| = |z + i|$ ?

A. Một đường thẳng

B. Một đường tròn

C. Một đường elip

D. Một đoạn thẳng.

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi $z = (x; y)$ khi đó điều kiện trở thành:

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = x^{2} + {(y + 1)}^{2} \Leftrightarrow y = - 1$

Như vậy quỹ tích là một đường thẳng.

Câu 37:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA = 2a, SA vuông góc với mp(ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{4 a^{3}}{3}$ (đvtt)

B. $4 a^{3}$ (đvtt)

C. $\frac{2 a^{3}}{3}$ (đvtt)

D. $2 a^{3}$ (đvtt)

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .2 a . a .2 a = \frac{4}{3} a^{3}$

Câu 38:

Một hình trụ có bán kính đáy là 2 cm. Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ đó.

A. $4 π (c m^{3})$

B. $8 π (c m^{3})$

C. $16 π (c m^{3})$

D. $32 π (c m^{3})$

Xem đáp án

Đáp án C.

ABCD là hình vuông với DC=2R=4cm từ đó Ad=4cm

Từ đó: $V_{H i n h} = S_{d a y} . A D = π 2^{2} .4 = 16 π (c m^{2}) .$

Câu 39:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB, với A(6;2;-5), B(-4;0;7). Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.

A. (P): 5x + y – 6z +62 = 0

B. (P): 5x + y – 6z - 62 = 0

C. (P): 5x - y – 6z - 62 = 0

D. (P): 5x + y + 6z +62 = 0

Xem đáp án

Đáp án B.

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; 1; 1)$ . Mặt phẳng(P)đi qua A và nhận $\vec{(I A)} = (5; 1; - 6)$ làm vtpt

=>phương trình của (P là

$5 (x - 6) + 1 (y - 2) - 6 (z + 5) = 0 \Leftrightarrow 5 x + y - 6 z - 62 = 0$

Câu 40:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0). Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mp(Oxy).

A. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = - t \\ z = - 3 + 3 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 0 \\ z = - 3 + 3 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - t \\ z = 0 \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = - 3 + 3 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án C

Hình chiếu của A,B trên mp(Oxy) là $A^{'} (1; 0; 0); B' (3; - 1; 0)$ . Có $\vec{A B} = (2; - 1; 0)$ là vtcp của A’B’ nên phương trình tham số của A’B’ là

$\{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = - t \\ z = 0 \end{matrix} .$

Câu 41:

Đạo hàm của hàm số $y = x + \ln^{2} x$ là hàm số nào dưới đây?

A. $y' = 1 + \frac{2 \ln x}{x}$

B. $y' = 1 + 2 \ln x$

B. $y' = 1 + \frac{2}{x \ln x}$

D. $y' = 1 + 2 x \ln x$

Xem đáp án

Đáp án A.

Có $y^{'} = x + 2 \ln x . \frac{1}{x}$

Câu 42:

Cho hai hình vuông có cạnh đều bằng 5 được xếp lên nhau sao cho đỉnh M của hình vuông này là tâm của hình vuông kia, đường chéo MN vuông góc với cạnh PQ tạo thành hình phẳng (H) ( như hình vẽ bên).

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quanh hình (H) quanh trục MN.

A. $V = \frac{125 (1 + \sqrt{2}) π}{6}$

B. $V = \frac{125 (5 + 2 \sqrt{2}) π}{12}$

C. $V = \frac{125 (5 + 4 \sqrt{2}) π}{24}$

D. $V = \frac{125 (2 + \sqrt{2}) π}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi $V_{1}$ là thể tích khối trong xoay khi xoay hình vuông EGQP quanh MN. Khối này có bán kính đáy $R = \frac{1}{2} E G = \frac{5}{2}$ và đường cao = EP = 5 => $V_{1} = 5 . {(\frac{5}{2})}^{2} π = \frac{125}{4} π$

Gọi $V_{2}$ là thể tích khối tròn xoay khi xoay hình vuông AMCN quanh MN, khối này là hợp lại của 2 khối nón đêu có bán kính đáy $R = \frac{1}{2} A C = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ Đường cao $h = \frac{1}{2} M N = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ => $V_{2} = 2 . \frac{1}{3} . \frac{5 \sqrt{2}}{2} . {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} π = \frac{125 \sqrt{2}}{6} π$

Gọi $V_{3}$ là thể tích của khối nón tròn xoay khi quay MPQ quanh MN, khối này óc bán kính đáy $R = \frac{1}{2} P Q = \frac{5}{2}$ đường cao $h = d (M; P Q) = \frac{5}{2}$ => $V_{3} = \frac{1}{3} . \frac{5}{2} . {(\frac{5}{2})}^{2} . π = \frac{125}{12} π$

Ta có thể tích của toàn khối tròn xoay $V = V_{1} + V_{2} - V_{3} = \frac{125 (1 + \sqrt{2}) π}{6}$

Câu 43:

Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họA. Thầy muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn. Thầy giáo muốn rằng sau khi tặng xong, mỗi một trong 3 thể loại văn học, âm nhạc, hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi thầy có tất cả bao nhiêu cách tặng?

A. 665280

B. 85680

C.119

D. 579600

Xem đáp án

Đáp án D.

Sô cách lấy bằng số cách chọn ra 6 quyển để bỏ lại. Yêu cầu đặt ra là 6 quyển để lại phải đủ cả 3 môn.

TH1: 1 văn, 2 âm nhạc, 3 hội họa: $C_{5}^{1} . C_{4}^{2} . C_{3}^{3} .$

TH2: 1 văn, 3 âm nhạc, 2 hội họa: $C_{5}^{1} . C_{4}^{3} . C_{3}^{2} .$

TH3: 1 văn, 4 âm nhạc, 1 hội họa: $C_{5}^{1} . C_{4}^{4} . C_{3}^{1}$

TH4: 2 văn, 1 âm nhạc, 3 hội họa: $C_{5}^{2} . C_{4}^{1} . C_{3}^{3} .$

TH5: 2 văn, 2 âm nhạc, 2 hội họa: $C_{5}^{2} . C_{4}^{2} . C_{3}^{2} .$

TH6: 2 văn, 3 âm nhạc, 1 hội họa: $C_{5}^{2} . C_{4}^{3} . C_{3}^{1} .$

TH7: 3 văn, 1 âm nhạc, 2 hội họa: $C_{5}^{3} . C_{4}^{1} . C_{3}^{2} .$

TH8: 3 văn, 2 âm nhạc, 1 hội họa: $C_{5}^{3} . C_{4}^{2} . C_{3}^{1} .$

TH9: 4 văn, 1 âm nhạc, 1 hội họa: $C_{5}^{4} . C_{4}^{1} . C_{3}^{1} .$

Lấy 6 quyển sách chia cho 6 bạn: $6! = 720$

Nhân lại ta có : 579600 cách

Câu 44:

Một mạch điện gồm 4 linh kiện như hình vẽ, trong đó xác suất hỏng của từng linh kiện trong một khoảng thời gian t nào đó tương ứng là 0,2; 0,1; 0,05 và 0,02. Biết rằng các linh kiện làm việc độc lập với nhau và các dây luôn tốt.

Tính xác suất để mạng điện hoạt động tốt trong một khoảng thời gian t.

A. 0,37

B. 0,67032

C. 0,78008

D. 0,8

Xem đáp án

Đáp án C.

Để hoạt động tốt, mạch điện có thẻ có các trường hợp sau:

TH1: 1 tốt, 2 tốt,3 tốt, 4 tốt:

$P_{1} = 0, 8.0, 9.0, 95.0.98 = 0, 67032$

TH2: 1 tốt, 2 tốt,3 cháy, 4 tốt:

$P_{1} = 0, 8.0, 9.0, 05.0.98 = 0, 03528$

TH3: 1 tốt, 2 cháy,3 tốt, 4 tốt:

$P_{1} = 0, 8.0, 1.0, 95.0.98 = 0, 07448$

Từ đó xác suất để mạch hoạt động tốt là:

$0, 67032 + 0, 03528 + 0, 07448 = 0, 78008.$

Câu 45:

Tìm điều kiện của m để hàm số $y = \frac{(m + 1) x + 2 m + 2}{x + m}$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$ .

A. m<1 hoặc m>2

B. $m \geq 1$

C. -1< m < 2

D. $1 \leq m < 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Có $y^{'} = \frac{m (m + 1) - (2 m + 2)}{{(x + m)}^{2}} = \frac{m^{2} - m - 2}{{(x + m)}^{2}}$ .

Hàm số xác định trên

$(- 1; + \infty) \Leftrightarrow - m \notin (- 1; + \infty) \Leftrightarrow - m \leq - 1 \Leftrightarrow m \geq 1$

Khi đó hàm số ngịch biến trên

$(- 1; + \infty) \Leftrightarrow y^{'} < 0 \forall x \in (- 1 + \infty) \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 < 0 \Leftrightarrow m \in (- 1; 2)$

Vậy $m \in [1; 2)$ .

Câu 46:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${|x|}^{3} - 3 |x| = 2 m$ có 4 nghiệm phân biệt.

A. -2 < m < 0

B. $- 2 \leq m$

C. -1 < m <0

D. $- 1 \leq m$

Xem đáp án

Đáp án C.

Đặt $t = |x| (t \geq 0)$ ta có phương trình $t^{3} - 3 t = 2 m$ . Phương trình ban đầu có 4 nghiệm khi phương trình này có 2 nghiệm >0.

Ta lập bảng biến thiên của hàm số $f (t) = t^{3} - 3 t; t > 0$ .

Từ bảng biến thiên, phương trình có 2 nghiệm dương khi: $- 2 < 2 m < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 0.$

Câu 47:

Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 12%/năm, theo thỏa thuận cứ mỗi tháng ông A phải trả cho ngân hàng a triệu đồng. Hỏi a bằng bao nhiêu để ông A trả hết nợ ngân hàng sau đúng 3 tháng. Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ, a tính theo đơn vị triệu đồng.

A. $a = \frac{100. {(1, 01)}^{3}}{3}$ ( triệu đồng)

B. $a = \frac{{(1, 01)}^{3}}{{(1, 01)}^{3} - 1}$ ( triệu đồng)

C. $a = \frac{100. {(1, 03)}^{3}}{3}$ ( triệu đồng)

D. $a = \frac{120. {(1, 12)}^{3}}{{(1, 12)}^{3} - 1}$ ( triệu đồng)

Xem đáp án

Đáp án A .

Lai suất sẽ là 1%/1 tháng. Từ đó ta có:

Số tiền sau 3 tháng sẽ là $100 {(1.01)}^{3}$ từ đó mỗi tháng ông phải trả $\frac{100 {(1.01)}^{3}}{3}$

Câu 48:

Tính tổng $P = {(c_{n}^{0})}^{2} + {(c_{n}^{1})}^{2} + ... + {(c_{n}^{n})}^{2}$ theo n.

A. $C_{n}^{n}$

B. $C_{n}^{2}$

C. $C_{2 n}^{n}$

D. $C_{2 n}^{2 n}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta xét khai triển ${(1 + x)}^{2 n} = {(1 + x)}^{2} . {(1 + x)}^{2}$ . Xét khai triển ở cả hai vế, và xét hệ số của $x^{n}$ ta thấy rằng vế trái có hệ số là $C_{2 n}^{n};$ vế phải có hệ số của $x^{n}$ là:

$C_{n}^{0} . C_{n}^{n} + C_{n}^{1} . C_{n}^{n - 1} + \dots + C_{n}^{n} . C_{n}^{0} = {(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2}$

vậy ta có: $P = C_{2 n}^{n}$

Câu 49:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $x^{3} - 3 x^{2} + m x + 2 - m = 0$ có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.

A. $m \leq 3$

B. $m \geq 3$

C. m = 0

D. m tùy ý

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$x^{3} - 3 x^{2} + m x + 2 - m = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 2 x + m - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} - 2 x + m - 2 = 0 (2) \end{matrix}$

(2) có 2 nghiệm nếu $= 1 - (m - 2) \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 3$ .

Khi đó 2 nghiệm là:

$x_{1} = 1 + \sqrt{3 - m}; x_{2} = 1 - \sqrt{3 - m}$

Ta thấy 3 giá trị $1 + \sqrt{3 - m}; 1; 1 - \sqrt{3 - m}$ theo thứ tự luôn lập thành một cấp số cộng.

Vậy $m \leq 3$

Câu 50:

Cô An đang ở khách sạn A bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10 km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C là 50 km. Từ khách sạn A, cô An có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy để đến hòn đảo C (như hình vẽ bên). Biết rằng chi phí đi đường thủy là 5 USD/km, chi phí đi đường bộ là 3USD/km. Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất.

A. $\frac{15}{2} (k m)$

B. $\frac{85}{2} (k m)$

C. 50 (km)

D. $10 \sqrt{26} (k m)$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta gọi $A D = x (0 \leq x \leq 50)$ (km)

Khi đó: $B D = 50 - x; C D = \sqrt{100 + {(50 - x)}^{2}}$

Từ đó chi phí đi lại là:

$f (x) = 3. x + 5. \sqrt{100 + {(50 - x)}^{2}} = 3 x + 5 \sqrt{x^{2} - 100 x + 2600}$

Ta cần tìm để chi phí này là thấp nhất.

Ta có: $f^{'} (x) = 3 + \frac{5 (2 x - 100)}{2 \sqrt{x^{2} - 100 x + 2600}};$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 6 \sqrt{x^{2} - 100 x + 2600} = 500 - 10 x$

$\Leftrightarrow x = 42, 5.$

Ta có: $f (0), f (2) < f (42, 5)$

Vậy $A D = 42, 5 = \frac{85}{2}$ thì chi phí đi lại là thấp nhất.