50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 14)

Câu 1:

Đồ thị sau đây là của hàm số nào ?

A. $y = x^{3} - 3 x - 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

C. $y = x^{3} - 3 x + 1$

D. $y = - x^{3} - 3 x - 1$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Đồ thị hàm số bậc 3 có a>0 Loại B,D.

$x = 0 \Rightarrow y = 1.$ Loại A.

Câu 2:

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1 - 2 x}{- x + 2}$ là:

A. $x = - 2; y = - 2$

B. $x = 2; y = - 2$

C. $x = - 2; y = 2$

D. $x = 2; y = 2$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: $x = 2; y = 2.$

Câu 3:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{2 - x}$ . Khẳng định nào sau đây đúng:

A. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên R

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Xem đáp án

Đáp án là A.

+ $y^{'} = \frac{3}{{(2 - x)}^{2}} > 0, \forall x \neq 2$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Câu 4:

Cho ${(\sqrt{2} - 1)}^{m} < {(\sqrt{2} - 1)}^{n}$ . Khi đó:

A. m > n

B. m < n

C. m = n

D. $m \leq n$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Ta thấy $0 < \sqrt{2} - 1 < 1 \Rightarrow m > n .$

Câu 5:

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x} > 3^{x + 1}$ là:

A. $\emptyset$

B. $(- \infty; \log_{\frac{2}{3}} 3)$

C. $(- \infty; \log_{2} 3]$

D. $(\log_{\frac{2}{3}} 3; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Phương trình tương đương: ${(\frac{2}{3})}^{x} > 3 \Leftrightarrow x < \log_{\frac{2}{3}} 3.$

Câu 6:

Nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{9 x^{2} - 17 x + 11} \geq {(\frac{1}{2})}^{7 - 5 x}$ là

A. $x = \frac{2}{3}$

B. $x > \frac{2}{3}$

C. $x \neq \frac{2}{3}$

D. $x < \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Phương trình tương đương:

$9 x^{2} - 17 x + 11 \leq 7 - 5 x \Leftrightarrow 9 x^{2} - 12 x + 4 \leq 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3} .$

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho $\vec{a} = - \vec{i} + 2 \vec{j} - 3 \vec{k}$ . Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là:

A. $(2; - 1; - 3)$

B. $(- 3; 2; - 1)$

C. $(2; - 3; - 1)$

D. $(- 1; 2; - 3)$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Ta có: $\vec{a} = (- 1; 2; - 3) .$

Câu 8:

Trong các hàm số sau, hàm số nào không đồng biến trên tập số thực?

A. $y = 4 x - 3 \sin x + \cos x$

B. $y = 3 x^{3} - x^{2} + 2 x - 7$

C. $y = 4 x - \frac{3}{x}$

D. $y = x^{3} + x$

Xem đáp án

Đáp án là C.

+ Xét lần lượt các đáp án, ta được đáp án C.

Câu 9:

Cho số phức $\bar{z} = 3 - 2 i$ . Tìm phần thực và phần ảo của z .

A. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i .

B. Phần thực bằng – 3 và Phần ảo bằng – 2.

C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2.

D. Phần thực bằng – 3 và Phần ảo bằng – 2i.

Xem đáp án

Đáp án là C.

$z = 3 + 2 i .$ Phần thực và phần ảo của z lần lượt là: 3&2

Câu 10:

Gọi a, b, c lần lượt là ba kích thước của một khối hộp chữ nhật (H) và V là thể tích của khối hộp chữ nhật (H). Khi đó V được tính bởi công thức:

A. $V = a b c$

B. $V = \frac{1}{3} a b c$

C. $V = \frac{1}{2} a b c$

D. $V = 3 a b c$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Câu 11:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn phương trình $x + 2 i = 3 + 4 y i$ . Khi đó, giá trị của x và y là:

A. $x = 3; y = 2$

B. $x = 3 i; y = \frac{1}{2}$

C. $x = 3; y = \frac{1}{2}$

D. $x = 3; y = - \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Phương trình tương đương $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = \frac{1}{2} \end{cases}$

Câu 12:

Tập nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - 5 x + 6} = 1$ là:

A. $\{- 6; - 1\}$

B. $\{2; 3\}$

C. $\{1; 6\}$

D. $\{1; 2\}$

Xem đáp án

Đáp án là B.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 3 \end{array}$

Câu 13:

Phần thực và phần ảo của số phức $z = 1 + 2 i$ lần lượt là:

A. 2 và 1

B. 1 và 2i

C. 1 và 2

D. 1 và i

Xem đáp án

Đáp án là C.

Phần thực và phần ảo của z lần lượt 1&2

Câu 14:

Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm $A (- 2; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0; 0; - 3)$ . Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $x + y + z + 1 = 0$

B. $x - 2 y - z - 3 = 0$

C. $2 x + 2 y - z - 1 = 0$

D. $3 x - 2 y + 2 z + 6 = 0$

Xem đáp án

Đáp án là C.

+ VTPT của (P) là: ${\vec{n}}_{P} = (- \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; - \frac{1}{3})$

+ Ta thấy ${\vec{n}}_{P} . {\vec{n}}_{3} = 0, ({\vec{n}}_{3} = (2; 2; - 1))$

Câu 15:

Hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = 6 \\ \log_{2} x + \log_{2} y = 3 \end{cases}$ có nghiệm là

A. $(1; 5)$ và $(5; 1)$

B. $(2; 4)$ và $(5; 1)$

C. $(4; 2)$ và $(2; 4)$

Xem đáp án

Đáp án là C.

+ Điều kiện $x, y > 0$

+ $\{\begin{cases} y = 6 - x \\ \log_{2} (6 x - x^{2}) = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 6 - x \\ - x^{2} + 6 x - 8 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 \Rightarrow y = 2 \\ x = 2 \Rightarrow y = 4 \end{array}$ (thoả mãn điều kiện)

Câu 16:

Phương trình $4^{x} - 2^{x} - 3 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là C.

+ $2^{2 x} - 2^{x} - 3 = 0 (1)$

+ Ta thấy (1) có $1. (- 3) < 0$ nên (1) có 2 nghiệm.

Câu 17:

Tìm giá trị cực tiểu $y_{C T}$ của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

A. $y_{C T} = 4$

B. $y_{C T} = 1$

C. $y_{C T} = 0$

D. $y_{C T} = - 2$

Xem đáp án

Đáp án là D.

+ $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x, c h o y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 2 \\ x = 2 \Rightarrow y = - 2 \end{array}$

+ Xét dấu y' , ta được $y_{C T} = - 2$

Câu 18:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 2$ , có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $y'' (x) = 0$ là:

A. $y = - x - \frac{7}{3}$

B. $y = x - \frac{7}{3}$

C. $y = - x + \frac{7}{3}$

D. $y = \frac{7}{3} x$

Xem đáp án

Đáp án là A.

$y^{'} = x^{2} + 2 x \Rightarrow {y^{'}}^{'} = 2 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y^{'} (- 1) = - 1$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $(- 1; - \frac{4}{3})$ là:

$y = - 1 (x + 1) - \frac{4}{3} = - x - \frac{7}{3} .$

Câu 19:

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau (với a, b, c, d là các hằng số).

(I): Giá trị cực đại của hàm số $y = f (x)$ luôn lớn hơn giá trị cực tiểu của nó.

(II): Hàm số $y = a^{4} + b x + c (a \neq 0)$ luôn có ít nhất một cực trị

(III): Giá trị cực đại của hàm số $y = f (x)$ luôn lớn hơn mọi giá trị của hàm số đó trên tập xác định.

(IV): Hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d} (c \neq 0; a d - b c \neq 0)$ không có cực trị.

Số mệnh đề đúng là:

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án là D.

Ta thấy (II) và (IV) là mệnh đề đúng.

Câu 20:

Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là $60 °$ . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).

A. $\frac{a}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a}{2}$

Xem đáp án

Đáp án là C.

+ $(\hat{(S C D); (A B C D)}) = \hat{S N O} = 60^{0} .$

+ $A B / / C D \Rightarrow A B / / (S C D)$

$\Rightarrow d (B; (S C D)) = d (M; (S C D));$ (M là trung điểm AB).

$S O = O N . \tan 60^{0} = \frac{a \sqrt{3}}{2}; \frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{1}{O N^{2}} = \frac{16}{3 a^{2}} \Rightarrow O K = d (O; (S C D)) = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

+ $d (M; (S C D)) = 2 d (O; (S C D)) = 2 O K = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Câu 21:

Tìm m để phương trình $4 x^{2} - 2^{x^{2} + 2} + 6 = m$ có đúng 3 nghiệm

A. $m = 3$

B. $m = 2$

C. $m > 3$

D. $2 < m < 3$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Với $t = 1 \Rightarrow$ PT (1) có 1 nghiệm x=0.

Với mỗi nghiệm t>1 sẽ sinh ra 2 nghiệm phân biệt khác 0 của phương trình (1).

Để pt (1) có đúng 3 nghiệm m=3.

Câu 22:

Biết đường thẳng y=x-2 cắt đồ thị $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt $x_{A}, x_{B}$ hãy tính tổng $x_{A} + x_{B}$

A. 1

B. 5

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Đáp án là B.

+ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

$(x - 2) (x - 1) = 2 x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 1 = 0 (1)$

+ $x_{A}; x_{B}$ là nghiệm của phương trình (1) nên:

$x_{A} + x_{B} = 5.$

Câu 23:

Tìm tất cả giá trị của tham số thực m để đường thẳng $d : y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{- x + 1}{2 x - 1}$ tại hai điểm phân biệt A, B.

A. $m < 0$

B. $m \in ℝ$

C. $m > 1$

D. $m = 5$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Phương trình hoàng độ giao điểm của

$(C) & d : (x + m) (2 x - 1) = - x + 1; (x \neq \frac{1}{2})$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 m x - m - 1 = 0$ (1)

$(C) & d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và khác $\frac{1}{2} .$

Khi đó: $\{\begin{cases} m^{2} + 2 m + 2 > 0 \\ - \frac{1}{2} \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \in ℝ .$

Câu 24:

Phương trình $9^{x + 1} - {13.6}^{x} + 4^{x + 1} = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ . Phát biểu nào sao đây đúng.

A. Phương trình có 2 nghiệm nguyên.

B. Phương trình có 2 nghiệm vô tỉ.

C. Phương trình có 1 nghiệm dương.

D. Phương trình có 2 nghiệm dương.

Xem đáp án

Đáp án là A.

${9.9}^{x} - {13.6}^{x} + {4.4}^{x} = 0 \Leftrightarrow 9 {(\frac{3}{2})}^{2 x} - 13 {(\frac{3}{2})}^{x} + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(\frac{3}{2})}^{x} = 1 \\ {(\frac{3}{2})}^{x} = \frac{4}{9} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$

Câu 25:

Cho số phức z thỏa mãn $(1 + i) z = - 1 + 3 i$ . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?

A. Điểm Q

B. Điểm P

C. Điểm M

D. Điểm N

Xem đáp án

Đáp án là C.

$z = \frac{- 1 + 3 i}{1 + i} = 1 + 2 i$ . Điểm biểu diễn là

Câu 26:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} + 3 x^{2} - 2$ có hệ số góc k=9, có phương trình là:

A. $y + 16 = - 9 (x + 3)$

B. $y - 16 = - 9 (x - 3)$

C. $y - 16 = - 9 (x + 3)$

D. $y = - 9 (x + 3)$

Xem đáp án

Đáp án là C.

+ $y^{'} = x^{2} + 6 x = - 9 \Leftrightarrow x = - 3$

+ Phương trình tiếp tuyến tại $(- 3; 16)$ là: $y = - 9 (x + 3) + 16.$

Câu 27:

Tập nghiệm của bất phương trình $2 \log_{2} (x - 1) \leq \log_{2} (5 - x) + 1$ là

A. $(1; 5)$

B. $(1; 3]$

C. $[1; 3]$

D. $[3; 5]$

Xem đáp án

Đáp án là B.

+ Điều kiện: $1 < x < 5.$

+ Bpt $\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} \leq 2 (5 - x) \Leftrightarrow x^{2} - 9 \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 3$

+ So với điều kiện, ta được $1 < x \leq 3.$

Câu 28:

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G (x) = 0, 025 x^{2} (30 - x)$ . Trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (đơn vị miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

A. 15mg

B. 30mg

C. 25mg

D. 20mg

Xem đáp án

Đáp án là D.

+ $G (x) = \frac{3}{4} x^{2} - \frac{1}{40} x^{3} \Rightarrow G^{'} (x) = \frac{3}{2} x - \frac{3}{40} x^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 20 \end{array}$

+ Vì x>0 nên x = 20mg.

Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A (1; 0; 2), B (- 2; 1; 3), C (3; 2; 4), D (6; 9; - 5)$ . Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD?

A. $(2; 3; - 1)$

B. $(2; - 3; 1)$

C. $(2; 3; 1)$

D. $(- 2; 3; 1)$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Toạ độ trọng tâm của tứ diện $A B C D :$

$\{\begin{cases} x = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C} + x_{D}}{4} = 2 \\ y = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C} + y_{D}}{4} = 3 \\ z = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C} + z_{D}}{4} = 1 \end{cases}$

Câu 30:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $A B = a, A C = 2 a$ , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA=a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC .

A. $V = \frac{a^{3}}{2}$

B. $V = a^{3}$

C. $V = \frac{a^{3}}{4}$

D. $V = \frac{a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Ta có: $V_{S . A B C} = \frac{1}{6} A B . A C . S A = \frac{a^{3}}{3} .$

Câu 31:

Cho các số phức z thỏa mãn $|z - i| = 5$ . Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức $w = i z + 1 - i$ là đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

A. $r = 22$

B. $r = 10$

C. $r = 4$

D. $r = 5$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Ta có $w + i = i (z - i) \Rightarrow |w + i| = |i| |z - i| = 5.$

Vậy các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có bán kính r=5

Câu 32:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; 1; 2), B (- 1; 3; - 9)$ .Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho $Δ A B M$ vuông tại M .

A. $[\begin{array}{l} M (0; 1 + 2 \sqrt{5}; 0) \\ M (0; 1 - 2 \sqrt{5}; 0) \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} M (0; 2 + 2 \sqrt{5}; 0) \\ M (0; 2 - 2 \sqrt{5}; 0) \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} M (0; 1 + \sqrt{5}; 0) \\ M (0; 1 - \sqrt{5}; 0) \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} M (0; 2 + \sqrt{5}; 0) \\ M (0; 2 - \sqrt{5}; 0) \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Gọi $M (0; y; 0) \in O y$ .

Ta có: $\vec{A M} = (- 1; y - 1; - 2);$

$\vec{B M} = (1; y - 3; 9); \vec{A M} . \vec{B M} = - 1 + (y - 1) (y - 3) - 18$

Tam giác ABM vuông tại A

$\Leftrightarrow y^{2} - 4 y - 16 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 2 + 2 \sqrt{5} \\ y = 2 - 2 \sqrt{5} \end{array}$

Câu 33:

Cho ba số thực dương a, b, c $(a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1)$ thỏa mãn $\log_{a} b = 2 \log_{b} c = 4 \log_{c} a$ và $a + 2 b + 3 c = 48$ . Khi đó P=abc bằng bao nhiêu?

A. 324

B. 243

C. 521

D. 512

Xem đáp án

Đáp án là B.

+ $\{\begin{cases} \log_{a} b = 2 \log_{b} c \\ \log_{b} c = 2 \log_{c} a \end{cases}$

$\Rightarrow {\log^{2}}_{b} c = \log_{c} b \Leftrightarrow {\log^{3}}_{b} c = 1 \Leftrightarrow c = b, (1)$

+ $\log_{b} c . \log_{a} c = 2, (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow c = a^{2} (3) .$

+ Thay (1);(2) và (3) vào:

$a + 2 b + 3 c = 48 \Rightarrow a = 3; b = c = 9$

Vậy $P = a b c = 243.$

Câu 34:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 (m + 1) x^{2} + m$ có đồ thị (C), m là tham số. (C) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA=OB; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung khi:

A. $m = 0$ hoặc $m = 2$

B. $m = 2 \pm 2 \sqrt{2}$

C. $m = 3 \pm 3 \sqrt{3}$

D. $m = 5 \pm 5 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án là B.

+ Hàm số có 3 cực trị khi $- 2 (m + 1) < 0 \Leftrightarrow m > - 1.$ (1)

+ $y^{'} = 4 x^{3} - 4 (m + 1) x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{m + 1} \end{array}$

Các điểm cực trị A, B, C của đồ thị là: $A (0; m);$

$B (\sqrt{m + 1}; - m^{2} - m - 1); C (- \sqrt{m + 1}; - m^{2} - m - 1)$

+ $O A = B C \Leftrightarrow |m| = 2 \sqrt{m + 1} \Leftrightarrow m^{2} - 4 m - 4 = 0$

$\Leftrightarrow m = 2 \pm 2 \sqrt{2} .$

Câu 35:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có tất cả bao nhiêu số tự nhiên của tham số m để phương phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (m - 2) y - 2 (m + 3) z + 3 m^{2} + 7 = 0$ là phương trình của một mặt cầu.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án là C.

+ Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu thì:

$R = \sqrt{- m^{2} + 2 m + 6} > 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt{7} < m < 1 + \sqrt{7}$ ;

mà $m \in ℕ \Rightarrow m \in \{0; 1; 2; 3\} .$

Câu 36:

Cho x thỏa mãn phương trình $\log_{2} (\frac{{5.2}^{x} - 8}{2^{x} + 2}) = 3 - x$ . Giá trị của biểu thức $P = x^{\log_{2} 4 x}$ là:

A. $P = 4$

B. $P = 8$

C. $P = 2$

D. $P = 1$

Xem đáp án

Đáp án là B.

Pt $\Leftrightarrow \{\begin{cases} {5.2}^{x} - 8 > 0 \\ \frac{{5.2}^{x} - 8}{2^{x} + 2} = 2^{3 - x} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2^{x} > \frac{8}{5} \\ {5.2}^{x} - 8 = \frac{8}{2^{x}} (2^{x} + 2) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > \log_{2} \frac{8}{5} \\ {5.2}^{2 x} - {16.2}^{x} - 16 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > \log_{2} \frac{8}{5} \\ [\begin{array}{l} 2^{x} = 4 \\ 2^{x} = - \frac{4}{5} \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > \log_{2} \frac{8}{5} \\ x = 2 \end{cases} \Rightarrow x = 2.$

$P = x^{\log_{2} 4 x} = 2^{\log_{2} 8} = 8.$

Câu 37:

Cho hàm số $y = \frac{x + 3}{x + 1} (C)$ . Đường thẳng $d : y = 2 x + m$ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N và MN nhỏ nhất khi

A. $m = - 1$

B. $m = 3$

C. $m = 2$

D. $m = 1$

Xem đáp án

Đáp án là B.

+ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

$2 x^{2} + (m + 1) x + m - 3 = 0; (x \neq - 1)$ (1)

+ Gọi $M (x_{1}; 2 x_{1} + m); N (x_{2}; 2 x_{2} + m)$ , trong đó $x_{1}; x_{2}$ là nghiệm phương trình (1)

Ta có: $x_{1} + x_{2} = \frac{m + 1}{2}; x_{1} . x_{2} = \frac{m - 3}{2}$ ;

$M N = \sqrt{5 [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}]} = \sqrt{\frac{5}{4} [{(m - 3)}^{2} + 16]} \geq 2 \sqrt{5}$

+ $\min M N = 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow m = 3.$

Câu 38:

Cho các số thực x, y thỏa mãn $2^{x} = 3; 3^{y} = 4$ . Tính giá trị biểu thức $P = 8^{x} + 9^{y}$

A. 43

B. 17

C. 24

D. $\log_{2}^{3} 3 + \log_{3}^{2} 4$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Ta có:

$x = \log_{2} 3; y = \log_{3} 4 \Rightarrow P = 8^{\log_{2} 3} + 9^{\log_{3} 4} = 3^{3} + 4^{2} = 43.$

Câu 39:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{18}$

B. $V = \frac{a^{3}}{2 \sqrt{3}}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án là D.

$V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

Câu 40:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $A B = a, \hat{A C B} = 60^{0}$ cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB tạo với mặt đáy một góc $45 °$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC .

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{18}$

B. $V = \frac{a^{3}}{2 \sqrt{3}}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án là A.

+ Ta có: $B C = \frac{A B}{\tan 60^{0}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

+ $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{1}{6} . a . \frac{a^{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a^{3}}{6 \sqrt{3}} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{18} .$

Câu 41:

Một hình lập phương có cạnh bằng 2a vừa nội tiếp hình trụ (T) vừa nội tiếp mặt cầu (C) và hai đáy của hình lập phương nằm trên 2 đáy của hình trụ. Tính tỉ số thể tích $\frac{V_{(C)}}{V_{(T)}}$ giữa khối cầu và khối trụ giới hạn bởi (C) và (T) ?

A. $\frac{V_{(C)}}{V_{(T)}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{V_{(C)}}{V_{(T)}} = \sqrt{3}$

C. $\frac{V_{(C)}}{V_{(T)}} = \sqrt{2}$

D. $\frac{V_{(C)}}{V_{(T)}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án là B.

+ Ta có: $R_{(C)} = a \sqrt{3} \Rightarrow V_{(C)} = \frac{4}{3} π .3 \sqrt{3} a^{3} = 4 π a^{3} \sqrt{3} .$

+ $R_{(T)} = a \sqrt{2} \Rightarrow V_{(T)} = 2 a .. π 2 a^{2} = 4 π a^{3}$

Vậy $\frac{V_{(C)}}{V_{(T)}} = \sqrt{3} .$

Câu 42:

Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính bóng bàn. Gọi $S_{1}$ là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, $S_{2}$ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ bằng:

A. 1

B. 1,2

C. 2

D. 1,5

Xem đáp án

Đáp án là A.

Giả sử bán kính của quả bóng bàn là r

Tổng diện tích của ba quả bóng bàn là:

$S_{1} = 3.4 π r^{2} = 12 π r^{2}$

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

$S_{2} = 2 π r h = 2 π r .6 r = 12 π r^{2}$

Do đó ta có $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{12 π r^{2}}{12 π r^{2}} = 1$ .

Câu 43:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị hàm số $f' (x)$ như hình vẽ.

Biết $f (a) > 0$ , hỏi đồ thị hàm số $y = f (x)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là B.

+ Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:

Ta thấy: $0 < f (a) < f (b)$ nên đồ thị cắt trục hoành nhiều nhất 2 điểm.

Câu 44:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm $A (1; - 2; 2), B (- 5; 6; 4), C (0; 1; - 2)$ . Độ dài đường phân giác trong của góc A của $Δ A B C$ là:

A. $\frac{3 \sqrt{74}}{2}$

B. $\frac{3}{2 \sqrt{74}}$

C. $\frac{2}{2 \sqrt{74}}$

D. $\frac{2 \sqrt{74}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là D.

+ Gọi $H (x; y; z)$ là chân đường phân giác trong góc A của $Δ A B C .$

Ta có: $\frac{\vec{H B}}{\vec{H C}} = - \frac{A B}{A C} = - 2$

$\Leftrightarrow \vec{H B} = - 2 \vec{H C} \Rightarrow H (- \frac{5}{3}; \frac{8}{3}; 0) \Rightarrow A H = \frac{2 \sqrt{74}}{3} .$

Câu 45:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{m x^{4} + 3}}$ có hai đường tiệm cận ngang.

A. $m < 0$

B. $m > 3$

C. $m = 0$

D. $m > 0$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Ta có: $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2} + 2}{x^{2} \sqrt{m + \frac{3}{x^{4}}}} = \frac{1 + \frac{2}{x^{2}}}{\sqrt{m + \frac{3}{x^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt{m}} .$

Đồ thị có tiệm cận ngang thì

* Ghi chú: Đề ra có 2 tiệm cận ngang là không tìm được m. Do đó sửa đề lại như sau: Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị đã cho có tiệm cận ngang.

Câu 46:

Cho đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{x + 1}{- 1}$ và hai điểm $A (1; 2; - 1), B (3; - 1; - 5)$ . Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng $Δ$ sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. Phương trình của d là:

A. $\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 5}{- 1}$

B. $\frac{x}{- 1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z}{4}$

C. $\frac{x + 2}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$

Xem đáp án

Đáp án là D.

Xét $f (t) = \frac{405 t^{2} - 576 t + 228}{14 t^{2} - 20 t + 8} \Rightarrow f^{'} (t) = \frac{- 36 t^{2} + 96 t - 48}{{(14 t^{2} - 20 t + 8)}^{2}}$

$f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = \frac{2}{3} \end{array}$ . Vậy $\max f (t) = f (2) \Rightarrow t = 2$

+ Đường thẳng d đi qua $A (1; 2; - 1)$ và có VTCP $\vec{A M} = (2; 4; - 2) = 2 (1; 2; - 1)$

Câu 47:

Thầy Tâm cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $\frac{500}{3} m^{3}$ . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng/ $m^{2}$ . Khi đó, kích thước của hồ nước như thể nào để chi phí thuê nhân công mà thầy Tâm phải trả thấp nhất:

A. Chiều dài 20m, chiều rộng 15m và chiều cao $\frac{20}{3} m$

B. Chiều dài 20m, chiều rộng 10m và chiều cao $\frac{5}{6} m$

C. Chiều dài 10m, chiều rộng 5m và chiều cao $\frac{10}{3} m$

D. Chiều dài 30m, chiều rộng 15m và chiều cao $\frac{10}{27} m$

Xem đáp án

Đáp án là C.

Gọi x là chiều rộng của đáy hình chữ nhật và y là chiều cao của khối hộp chữ nhật.

Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế sao cho diện tích toàn phần của khối hộp là lớn nhất.

Ta có: $S_{x q} = 2 x^{2} + 2 x y + 2 (2 x y) = 2 x^{2} + 6 x y$

Do $V = 2 x^{2} y \Rightarrow y = \frac{V}{2 x^{2}}$

$\Rightarrow S (x) = 2 x^{2} + 6 x \frac{V}{2 x^{2}} = 2 x^{2} + \frac{3 V}{x}$

Do S, x phải luôn dương nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của S trên $(0; + \infty)$ .

Ta có: $S' (x) = 4 x - \frac{3 V}{x^{2}}, S' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4}}$

Lại có $S'' (x) = 4 + \frac{6}{x^{3}} > 0, \forall x \in (0; + \infty)$ .

Do đó $\min S = S (\sqrt[3]{\frac{3 V}{4}}) = 3 \sqrt[3]{\frac{9 V^{2}}{2}}$

Và khi đó chiều cao là: $y = \frac{V}{2 x^{2}} = \frac{V}{2 \sqrt[3]{\frac{9 V^{2}}{16}}} = 2 \sqrt[3]{\frac{16 V}{9}}$

Vậy: yêu cầu bài toán tương đương với chiều rộng đáy hình hộp là 5m, chiều dài là 10 m, chiều cao hình hộp là $\frac{10}{3}$ m.

Câu 48:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh $B (m; 0; 0), D (0; m; 0), A' (0; 0; n)$ với $m, n > 0$ và $m + n = 4$ . Gọi M là trung điểm của cạnh CC'. Khi đó thể tích tứ diện BDA'M đạt giá trị lớn nhất bằng:

A. $\frac{245}{108}$

B. $\frac{9}{4}$

C. $\frac{64}{27}$

D. $\frac{75}{32}$

Xem đáp án

Đáp án là C.

+ Tìm được $M (m; m; \frac{n}{2}) .$

+ Ta có:

$\vec{B M} = (0; m; \frac{n}{2}); \vec{B D} = (- m; m; 0); \vec{B A^{'}} = (- m; 0; n)$

$[\vec{B M}; \vec{B D}] = (- \frac{m n}{2}; - \frac{m n}{2}; m^{2}); [\vec{B M}; \vec{B D}] \vec{B A^{'}} = \frac{3}{2} m^{2} n$

$V_{B M D A^{'}} = \frac{1}{6} |[\vec{B M}; \vec{B D}] \vec{B A^{'}}| = \frac{1}{4} m^{2} n$

mà $n = 4 - m \Rightarrow V_{B M D A^{'}} = - \frac{1}{4} m^{3} + m^{2} = f (m)$

+ $f^{'} (m) = - \frac{3}{4} m^{2} + 2 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (l o a i) \\ m = \frac{8}{3} \Rightarrow f (m) = \frac{64}{27} \end{array}$

Câu 49:

Nghiệm của bất phương trình:

$\log_{2} (\sqrt{3 x + 1} + 6) - 1 \geq \log_{2} (7 - \sqrt{10 - x})$ là:

A. $1 \leq x \leq \frac{369}{49}$

B. $x > \frac{369}{49}$

C. $x \leq 1$

D. $x \leq \frac{369}{49}$

Xem đáp án

Đáp án là A.

Pt $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3 x + 1} + 6}{2} \geq 7 - \sqrt{10 - x} \Leftrightarrow \sqrt{3 x + 1} + 2 \sqrt{10 - x} \geq 8$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 \sqrt{(3 x + 1) (10 - x)} \geq x + 23 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x < - 23 \\ - \frac{1}{3} \leq x \leq 10 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x \geq - 23 \\ 49 x^{2} - 418 x + 369 \leq 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 23 \\ 1 \leq x \leq \frac{369}{49} \end{cases} \\ \Leftrightarrow 1 \leq x \leq \frac{369}{49} . \end{array}$

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 1$ , phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục hoành và tiếp xúc với mặt cầu (S) là

A. $(Q) : 4 y + 3 z = 0$

B. $(Q) : 4 y + 3 z + 1 = 0$

C. $(Q) : 4 y - 3 z + 1 = 0$

D. $(Q) : 4 y - 3 z = 0$

Xem đáp án

Đáp án là A.

+ Mặt phẳng chứa Ox có dạng $B y + C z = 0$

+ Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên:

$\frac{|2 B - C|}{\sqrt{B^{2} + C^{2}}} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} B = 0 \\ B = 4, C = 3 \end{array}$

Vậy mặt phẳng cần tìm $4 y + 3 z = 0$