50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 12)

Câu 1:

Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón là:

A. $S_{x q} = π r h$

B. $S_{x q} = 2 π r l$

C. $S_{x q} = π r l$

D. $S_{x q} = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 2:

Cho hàm số $y = \frac{x - 3}{x - 2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$

B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số nghịch biến trên R

D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} > 0, \forall x \neq 2 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

Câu 3:

Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là:

A. $ℝ$ .

B. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

C. $ℝ \ \{k π, k \in ℤ\}$ .

D. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π \Rightarrow$

TXĐ: $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$

Câu 4:

Cho hàm số $y = x^{3} + x + 2$ có đồ thị (C). Số giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2 là:

A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$x^{3} + x + 2 = 2 \Leftrightarrow x^{3} + x = 0 \Leftrightarrow x (x^{2} + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Câu 5:

Tập nghiệm S của phương trình $\log_{2} (x + 4) = 4$ là:

A. $S = \{- 4, 12\}$ .

B. $S = \{4\}$ .

C. $S = \{4, 8\}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $\Leftrightarrow x + 4 = 2^{4} \Leftrightarrow x = 16 - 4 = 12$

Câu 6:

Cho a là số thực dương. Biểu thức $a^{2} . \sqrt[3]{a}$ được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:

A. $a^{\frac{4}{3}}$ .

B. $a^{\frac{7}{3}}$ .

C. $a^{\frac{5}{3}}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$a^{2} \sqrt[3]{a} = a^{2} . a^{\frac{1}{3}} = a^{2 + \frac{1}{3}} = a^{\frac{7}{3}}$

Câu 7:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có đúng một cực trị.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 1.

C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.

D. Hàm số đạt cực đại tại x=1 và đạt cực tiểu tại x=3.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 8:

Có bao nhiêu loại khối đa diện đều?

A. Vô số.

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án D

Có 5 loại khối đa diện đều: Tứ diện đều, lập phương, bát diện đầu, 12 mặt đều, 20 mặt đều

Câu 9:

Tập xác định của hàm số $y = {(x - 5)}^{\sqrt{3}}$ là

A. $(- \infty; 5)$ .

B. $ℝ \ \{5\}$ .

C. $[5; + \infty)$ .

D. $(5; + \infty)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện $x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > 5 \Rightarrow$ TXĐ: $D = (5; + \infty)$

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, SA=3a và SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là:

A. $\hat{S A D}$ .

B. $\hat{A S D}$ .

C. $\hat{S D A}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên $(S D; (A B C D)) = \overset{⏜}{S D A}$

Câu 11:

Cho $a > 0, b > 0$ thỏa mãn $a^{2} + 9 b^{2} = 10 a b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\log (a + 1) + \log b = 1$ .

B. $\log \frac{a + 3 b}{4} = \frac{\log a + \log b}{2}$

C. $3 \log (a + 3 b) = \log a - \log b$

D. $2 \log (a + 3 b) = 2 \log a + \log b$

Xem đáp án

Đáp án B

$a^{2} + 9 b^{2} = 10 a b \Leftrightarrow {(a + 3 b)}^{2} = 16 a b \Leftrightarrow \frac{a + 3 b}{4} = \sqrt{a b} \Rightarrow \log \frac{a + 3 b}{4} = \frac{\log a + \log b}{2}$

Câu 12:

Nghiệm của phương trình $\sqrt{3} \cos x + \sin x = - 2$ là:

A. $[\begin{array}{l} - \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ$ .

B. $x = - \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$ .

C. $x = \pm \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$ .

D. $x = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = - 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{3}) = - 1 \Leftrightarrow x + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$

Câu 13:

Phương trình $\tan (3 x - 30^{0}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ có tập nghiệm là:

A. $\{k 180^{0}, k \in ℤ\}$ .

B. $\{k 60^{0}, k \in ℤ\}$ .

C. $\{k 360^{0}, k \in ℤ\}$ .

D. $\{k 90^{0}, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow 3 x - 30 ° = - 30 ° + k 180 ° \Leftrightarrow x = k 60 ° (k \in ℤ)$

Câu 14:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.

Hỏi đó là hàm số nào?

A. $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ .

B. $y = \frac{- 2 x + 5}{- x - 1}$ .

C. $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ .

D. $y = \frac{2 x + 5}{x + 1}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 15:

Cho hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết $A C = 2 \sqrt{3} a$ và góc $\hat{A C B} = 45^{0}$ . Diện tích toàn phần $S_{t p}$ của hình trụ (T) là:

A. $12 π a^{2}$ .

B. $8 π a^{2}$ .

C. $24 π a^{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Vì ABCD là hình chữ nhật và $\overset{⏜}{A C B} = 45 °$ nên ABCD là hình vuông.

Ta có: $2. A B^{2} = {(2 \sqrt{3} a)}^{2} \Leftrightarrow A B = \sqrt{6} a$

$S_{t p} = 2 π B C^{2} + 2 π . B C = 2 π . B C . A B = 2 π . {(\sqrt{6} a)}^{2} + 2 π . {(\sqrt{6} a)}^{2} = 24 π a^{2}$

Câu 16:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng (ABC) bằng $60^{0}$ . Thể tích khối lăng trụ ABCA'B'C' tính theo a là:

A. $3 \sqrt{3} a^{3}$ .

B. $\sqrt{3} a^{3}$ .

C. $3 a^{3}$ .

D. $2 \sqrt{3} a^{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$A I = \sqrt{{(2 a)}^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3}; A A' = A I \tan 60 ° = a \sqrt{3} . \sqrt{3} = 3 a$

Thể tích lăng trụ là:

$V = A A' . S_{A B C} = 3 a . \frac{1}{2} {(2 a)}^{2} \sin 60 ° = 3 \sqrt{3} a^{3}$

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a, BC=a , SA vuông góc với mặt đáy, cạnh SC hợp đáy một góc $30^{0}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD tính theo a là:

A. $\frac{2 \sqrt{15} a^{3}}{3}$ .

B. $\frac{\sqrt{15} a^{3}}{3}$ .

C. $\frac{2 \sqrt{15} a^{3}}{9}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $A C = \sqrt{{(2 a)}^{2} + a^{2}} = a \sqrt{5}; S A = A C \tan 30 °$

$= a \sqrt{5} . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Thể tích khối chóp là:

$V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{3}} .2 a . a = \frac{2 \sqrt{15} a^{3}}{9}$

Câu 18:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 2$ .

B. $y = x^{4} - 3 x^{2} + 5$ .

C. $y = - x^{3} + x^{2} - 2 x - 1$ .

D. $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 4$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 19:

Tiếp tuyến với đồ thị $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$ song song với đường thẳng $(d) : y = 9 x + 3$ có phương trình là:

A. $y = 9 x - 29$ và $y = 9 x + 3$ .

B. $y = 9 x - 29$ .

C. $y = 9 x - 25$ .

D. $y = 9 x - 25$ và $y = 9 x + 15$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $Δ$ là tiếp tuyến với (C) tại $M (x_{0}; y_{0})$ thỏa mãn đề bài.

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow y' (x_{0}) = 3 x_{0}^{2} - 6 x_{0} = k_{Δ}$ là hệ số góc của $Δ$

$Δ / / (d) \Rightarrow k_{Δ} = 9 \Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} - 6 x_{0} = 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = - 1 \Rightarrow Δ : y = 9 (x + 1) + y (- 1) \Leftrightarrow y = 9 x + 3 (l o a i) \\ x_{0} = 3 \Rightarrow Δ : y = 9 (x - 3) + y (3) \Leftrightarrow y = 9 x - 29 \end{array}$

Câu 20:

Cho hàm số $y = (x - 1) (x^{2} + m x + m)$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

A. $0 < m < 4$

B. $[\begin{array}{l} m > 4 \\ - \frac{1}{2} \neq m < 0 \end{array}$

C. $m > 4$

D. $- \frac{1}{2} \neq m < 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số căt trục hoành tại ba điểm phân biệt $(x - 1) (x^{2} + m x + m) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $1 + m + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt

Suy ra $\{\begin{cases} Δ > 0 \\ 1 + m + m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 4 m > 0 \\ m \neq - \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m > 4 \\ m < 0 \end{array} \\ m \neq - \frac{1}{2} \end{cases}$

Câu 21:

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Thể tích khối chóp S.ABC tính theo a là:

A. $\frac{\sqrt{26} a^{3}}{12}$

B. $\frac{\sqrt{78} a^{3}}{12}$

C. $\frac{\sqrt{26} a^{3}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{78} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD)

Ta có: $A H = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{3};$

$S H = \sqrt{{(3 a)}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \sqrt{\frac{26}{3}} a$

Thể tích khối chóp là:

$V = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \sqrt{\frac{26}{3}} a . \frac{1}{2} a^{2} \sin 60 ° = \frac{\sqrt{26} a^{3}}{12}$

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, biết $S A ⊥ (A B C)$ và AB=2a, AC=3a, SA=4a. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

A. $d = \frac{12 a \sqrt{61}}{61}$

B. $d = \frac{2 a}{\sqrt{11}}$

C. $d = \frac{a \sqrt{43}}{12}$

D. $d = \frac{6 a \sqrt{29}}{29}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của A lên BC và SI

Ta có: $\frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{{(2 a)}^{2}} + \frac{1}{{(3 a)}^{2}} = \frac{13}{36 a^{2}}$

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{{(4 a)}^{2}} + \frac{1}{36 a^{2}} = \frac{61}{144 a^{2}}$

$\Rightarrow A I = \frac{12 a}{\sqrt{61}} \Rightarrow d = A I = \frac{12 a}{\sqrt{61}}$

Câu 23:

Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{2} . e^{- x}$ trên đoạn $[- 1; 1]$ . Tính tổng M+N.

A. $M + N = 3 e$

B. $M + N = e$

C. $M + N = 2 e - 1$

D. $M + N = 2 e + 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = e^{- x} (2 x - x^{2}) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Suy ra: $y (- 1) = e, y (0) = 0, y (1) = \frac{1}{e}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} M = e \\ N = 0 \end{cases} \Rightarrow M + N = e$

Câu 24:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ bằng:

A. $2 \sqrt{2}$

B. 1

C. $\sqrt{2}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y^{2} (x^{2} + 1) = {(x + 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} (y^{2} - 1) - 2 x + y^{2} - 1 = 0 (1)$

Ta có: $Δ' (1) = 1 - {(y^{2} - 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq y^{2} - 1 \leq 1$

$\Rightarrow y^{2} \leq 2 \Rightarrow y \leq \sqrt{2} \Rightarrow \max y = \sqrt{2}$

Câu 25:

Cho $a = \log_{3} 15, b = \log_{3} 10$ . Tính $\log_{\sqrt{3}} 50$ theo a và b.

A. $\log_{\sqrt{3}} 50 = 2 (a + b - 1)$

B. $\log_{\sqrt{3}} 50 = 4 (a + b + 1)$

C. $\log_{\sqrt{3}} 50 = a + b - 1$

D. $\log_{\sqrt{3}} 50 = 3 (a + b + 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\log_{\sqrt{3}} 50 = 2 (\log_{3} 5 + \log_{3} 10)$

$= 2 (\log_{3} 15 + \log_{3} 10 - 1) = 2 (a + b - 1)$

Câu 26:

Phương trình $3^{2 x + 1} - {4.3}^{x} + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ trong đó $x_{1} < x_{2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $x_{1} x_{2} = 2$ .

B. $x_{1} + 2 x_{2} = - 1$ .

C. $2 x_{1} + x_{2} = - 1$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow 3 {(3^{x})}^{2} - {4.3}^{x} + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3^{x} = 1 \\ 3^{x} = \frac{1}{3} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow x_{1} + 2 x_{2} = - 1$

Câu 27:

Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x + 1} . \ln x$ là:

A. $y' = \frac{x \ln x + 2 (x + 1)}{2 x \sqrt{x + 1}}$ .

B. $y' = \frac{1}{2 x \sqrt{x + 1}}$ .

C. $y' = \frac{x + \sqrt{x + 1}}{x \sqrt{x + 1}}$ .

D. $y' = \frac{3 x + 2}{2 x \sqrt{x + 1}}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

$y' = \frac{\ln x}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{x} = \frac{x \ln x + 2 (x + 1)}{2 x \sqrt{x + 1}}$

Câu 28:

Cho hàm số $y = \frac{a x - b}{b x + 1}$ có đồ thị (C). Nếu (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y=2 và tiệm cận đứng là đường thẳng $x = \frac{1}{3}$ thì các giá trị của a và b lần lượt là :

A. $- \frac{1}{2}$ và $- \frac{1}{6}$

B. -3 và -6

C. $- \frac{1}{6}$ và $- \frac{1}{2}$

D. -6 và -3

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 29:

Nghiệm của phương trình $c o s 2 x - 5 \sin x - 3 = 0$ là:

A. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ$ .

B. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{3} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ$ .

C. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k π \\ x = \frac{7 π}{6} + k π \end{array}, k \in ℤ$ .

D. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{3} + k π \\ x = \frac{7 π}{3} + k π \end{array}, k \in ℤ$ .

Xem đáp án

Đáp án A

$P T \Leftrightarrow 1 - 2 \sin^{2} x - 5 \sin x - 3 \Leftrightarrow 2 \sin^{2} x + 5 \sin x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = - \frac{1}{2} \\ \sin x = - 2 \end{array}$

$\Rightarrow \sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Câu 30:

Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng $2 π a^{2}$ là:

A. $π a^{3} \sqrt{3}$

B. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 31:

Số nghiệm của phương trình $\sqrt{4 - x^{2}} . \cos 3 x = 0$ là:

A. 7.

B. 2.

C. 4.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: $4 - x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 2 (*)$

Với điều kiện (*) thì phương trình đã cho

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{4 - x^{2}} = 0 \\ \cos 3 x = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm 2 \\ 3 x = \frac{π}{2} + k π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm 2 \\ x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}, k \in ℤ \end{array}$

Từ điều kiện (*) ta có: $k \in \{- 2; - 1; 0; 1\} \Rightarrow$ Phương trình có 6 nghiệm

Câu 32:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn OA và $\hat{(S D, (A B C D))} = 60^{0}$ . Gọi $α$ là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD). Tính $\tan α$ .

A. $\tan α = \frac{4 \sqrt{15}}{9}$ .

B. $\tan α = \frac{\sqrt{30}}{12}$ .

C. $\tan α = \frac{\sqrt{10}}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 33:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $f (x) = x^{4} + x^{3} - m x^{2}$ có 3 điểm cực trị?

A. $m \in (0; + \infty)$ .

B. $m \in (- \frac{9}{2}; + \infty) \ \{0\}$ .

C. $m \in (- \infty; 0)$ .

D. $m \in (- \frac{9}{32}; + \infty) \ \{0\}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 m x = x (4 x^{2} + 3 x - 2 m)$

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình $4 x^{2} + 3 x - 2 m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = 9 + 32 m > 0 \\ - 2 m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \in (- \frac{9}{32}; + \infty) \ \{0\}$

Câu 34:

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y = x^{3} + 6 m x^{2} + 6 x - 6$ đồng biến trên R?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 3 x^{2} + 12 m x + 6$ . Để hàm số đồng biến trên R thì $y' > 0, \forall x \in ℝ$

$Δ' = 36 m^{2} - 18 < 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{\sqrt{2}} < m < \frac{1}{\sqrt{2}}$ Mà $m \in ℤ$ nên $m = 0$

Câu 35:

Cho hàm số $y = (x + 1) . e^{3 x}$ . Hệ thức nào sau đây đúng?

A. $y'' + 6 y' + 9 y = 0$ .

B. $y'' - 6 y' + 9 y = 0$ .

C. $y'' + 6 y' + 9 y = 10 x e^{x}$ .

D. $y'' - 6 y' + 9 y = e^{x}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = e^{3 x} + 3 (x + 1) e^{3 x} = e^{3 x} (3 x + 4)$

$\Rightarrow y'' = 3 e^{3 x} (3 x + 4) + 3 e^{3 x} = 3 e^{3 x} (3 x + 5)$

$y'' - 6 y' + 9 y = 0$

Câu 36:

Gọi n là số nguyên dương sao cho $\frac{1}{\log_{3} x} + \frac{1}{\log_{3^{2}} x} + \frac{1}{\log_{3^{3}} x} + ... + \frac{1}{\log_{3^{n}} x} = \frac{210}{\log_{3} x}$ đúng với mọi x dương. Tìm giá trị của biểu thức $P = 2 n + 3$ .

A. $P = 32$ .

B. $P = 40$ .

C. $P = 43$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\frac{1}{\log_{3} x} + \frac{2}{\log_{3} x} + \frac{3}{\log_{3} x} + ... + \frac{n}{\log_{3} x} = \frac{210}{\log_{3} x}$

$\frac{n (n + 1)}{2 \log_{3} x} = \frac{210}{\log_{3} x} \Leftrightarrow n (n + 1) = 420 \Leftrightarrow n = 20 \Rightarrow P = 2.20 + 3 = 43$

Câu 37:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $4^{x} - m {.2}^{x + 1} + 2 m = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} = 3$ ?

A. 2.

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = 2^{x} > 0$ . Khi đó phương trình đã cho trở thành $t^{2} - 2 m t + 2 m = 0, t > 0 (1)$

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2}$ thì (1) có 2 nghiệm t>0 và thỏa mãn $t_{1} t_{2} = 2^{x_{1}} 2^{x_{2}} = 2^{3} = 8$

Khi đó ta có: $\{\begin{cases} Δ' = m^{2} - 2 m \geq 0 \\ S = 2 m > 0 \\ P = 2 m = 8 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = 4$ Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài cho

Câu 38:

Cho hàm số $y = \frac{m x + 1}{x + m}$ , với m là tham số. Các hình nào dưới đây không thể là đồ thị của hàm số đã cho với mọi $m \in ℝ$ ?

A. Hình (III).

B. Hình (II).

C. Hình (I) và (III).

D. Hình (I).

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y = \frac{m x + 1}{x + m} (C)$ có tiệm cận đứng $x = - m$ ,TCN $y = m$ (với $m \neq - 1$ )

Giao điểm với trục hoành $(- \frac{1}{m}; 0)$ , giao điểm với trục tung $(0; \frac{1}{m})$

Hình (I) ứng với $m = \frac{1}{2}$

Hình (II) với thõa mãn tiệm cận khi đó đồ thị hàm số không cắt Ox(loại)

Hình (II) ứng với

Câu 39:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên mặt phẳng (ABB'A') là tâm của hình bình hành ABB'A'. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' tính theo a là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 40:

Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB=1, đáy lớn CD=3, cạnh bên $B C = D A = \sqrt{2}$ . Cho hình thang đó quay quanh AB thì được vật tròn xoay có thể tích bằng:

A. $\frac{4}{3} π$ .

B. $\frac{5}{3} π$ .

C. $\frac{2}{3} π$ .

D. $\frac{7}{3} π$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $A E = B F = 1$

Khi đó: $D E = \sqrt{A D^{2} - A E^{2}} = 1$

Khi quay hình chữ nhật DEFC quanh trục AB ta được hình trụ có thể tích là:

$V_{1} = π D E^{2} . D C = π {.1}^{2} .3 = 3 π$

Khi quay tam giác AED quanh trục AB ta được hình nón có thể tích là:

$V_{2} = \frac{1}{3} π D E^{2} . A E = \frac{1}{3} π {.1}^{2} .1 = \frac{π}{3}$

Do đó thể tích vận tròn xoay tạo thành khi cho hình thang quay quanh AB là:

$V = V_{1} - 2 V_{2} = \frac{7 π}{3}$

Câu 41:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, $S C = S D = a \sqrt{3}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$ .

B. $V = \frac{a^{3}}{6}$ .

C. $V = a^{3} \sqrt{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi M, N lần lược là trung điểm của $A B, C D \Rightarrow (S M N) ⊥ (A B C D)$

Câu 42:

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $a \neq 1, a \neq \frac{1}{b}$ và $\log_{a} b = \sqrt{5}$ . Tính $P = \log_{\sqrt{a b}} \frac{b}{\sqrt{a}}$ .

A. $P = \frac{11 - 3 \sqrt{5}}{4}$

B. $P = \frac{11 + 3 \sqrt{5}}{4}$

C. $P = \frac{11 - 2 \sqrt{5}}{4}$

D. $P = \frac{11 + 3 \sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $P = \log_{\sqrt{a b}} \frac{b}{\sqrt{a}} = 2 \log_{a b} \frac{b}{\sqrt{a}}$

$= 2 (\log_{a b} b - \log_{a b} \sqrt{a}) = 2 (\frac{1}{\log_{b} a b} - \frac{1}{2} \log_{a b} a)$

$= 2 (\frac{1}{1 + \log_{b} a} - \frac{1}{2} . \frac{1}{\log_{a} a b}) = 2 (\frac{1}{1 + \frac{1}{\log_{a} b}} - \frac{1}{2} . \frac{1}{1 + \log_{a} b}) = 2 (\frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{5}}} - \frac{1}{2} . \frac{1}{1 + \sqrt{5}}) = \frac{11 - 3 \sqrt{5}}{4}$

Câu 43:

Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = - 1 + 2 c o s x [(2 - \sqrt{3}) \sin x + c o s x]$ trên R. Biểu thức $M + N + 2$ có giá trị bằng:

A. 0.

B. $4 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

C. 2.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y = - 1 + (2 - \sqrt{3}) .2 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x$

$= (2 - \sqrt{3}) . \sin 2 x + \cos 2 x$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, có:

${[(2 - \sqrt{3}) . \sin 2 x + \cos 2 x]}^{2} \leq [{(2 - \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}] . (\sin^{2} 2 x + \cos^{2} 2 x) = 8 - 4 \sqrt{3}$

Suy ra $y^{2} \leq 8 - 4 \sqrt{3} \Leftrightarrow - \sqrt{8 - 4 \sqrt{3}} \leq y \leq \sqrt{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

Vậy $M + N + 2 = 2$

Câu 44:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: $\cos 4 x = \cos^{2} 3 x + m \sin^{2} x$ có nghiệm $x \in (0; \frac{π}{12})$ .

A. $m \in (0; \frac{1}{2})$ .

B. $m \in (\frac{1}{2}; 2)$ .

C. $m \in (0; 1)$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\cos^{2} 3 x \frac{1 + \cos 6 x}{2} = \frac{4 \cos^{3} 2 x - 3 \cos 2 x + 1}{2}$ và $\cos 4 x = 2 \cos^{2} 2 x - 1$

Khi đó, phương trình đã cho

$\Leftrightarrow 2 \cos^{2} 2 x - 1 = \frac{4 \cos^{3} 2 x - 3 \cos 2 x + 1}{2} + \frac{1 - \cos 2 x}{2} m$

$\Leftrightarrow 4 \cos^{2} 2 x - 2 = 4 \cos^{3} 2 x - 3 \cos 2 x + 1 + (1 - \cos 2 x) m$

$\Leftrightarrow (\cos 2 x - 1) m = 4 \cos^{3} 2 x - 4 \cos^{2} 2 x - 3 \cos 2 x + 3$

Đặt $t = \cos 2 x,$ với $x \in (0; \frac{π}{12}) \to t \in (\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$ do đó: $(*) \Leftrightarrow m \frac{4 t^{3} - 4 t^{2} - 3 t + 3}{t - 1} = 4 t^{2} - 3$

Xét hàm số $f (t) = 4 t^{2} - 3$ trên khoảng $(\frac{\sqrt{3}}{2}; 1) \to \{\begin{cases} \min f (t) = 0 \\ \max f (t) = 1 \end{cases}$

Vậy để phương trình $m = f (t)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m \in (0; 1)$

Câu 45:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = 2 x^{4} + 2 m x^{2} - \frac{3 m}{2}$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này cùng với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh của một tứ giác nội tiếp được. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. $2 - 2 \sqrt{3}$ .

B. $- 2 - \sqrt{3}$ .

C. -1.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 4 x (2 x^{2} + m)$ đổi dấu 3 lần $\Leftrightarrow m < 0$

Khi đó, gọi $A (0; - \frac{3 m}{2}), B (\sqrt{- \frac{m}{2}; \frac{- m^{2} - 3 m}{2}})$ và $C (- \sqrt{- \frac{m}{2}}; \frac{- m^{2} - 3 m}{2})$ là 3 điểm cực trị

Vì $y_{A} > y_{B} = y_{C}$ nên yêu cầu bài toán

<=> Tứ giác ABOC nội tiếp (I)

Vì $\{\begin{cases} A B = A C \\ O B = O C \end{cases} \to O A$ là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Suy ra OA là đường kính của (I)

=> $(I) \Rightarrow \vec{O B} . \vec{A B} = 0 \Leftrightarrow - \frac{m}{2} + \frac{m^{2}}{2} . \frac{m^{2} + 3 m}{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - 1 - \sqrt{3} \end{array}$

Vậy tổng các giá trị của tham số m là $- 2 - \sqrt{3}$

Câu 46:

Cho hình chóp S.ABC có $A B = B C = C A = a, S A = S B = S C = a \sqrt{3}$ , Mlà điểm bất kì trong không gian. Gọi d là tổng các khoảng cách từ M đến tất cả các đường thẳng AB, BC, CA, SA, SB, SC. Giá trị nhỏ nhất của d bằng:

A. $d = 2 a \sqrt{3}$ .

B. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

C. $a \sqrt{6}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi E và F là trung điểm của BC và AB và O là trọng tâm tam giác ABC ta có: $S O ⊥ (A B C)$

Do $\{\begin{cases} A E = B C \\ S O = B C \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A E)$ . Dựng $E K ⊥ A$ suy ra EK là đoạn vuông góc cung của SA và BC. Tương tự dựng FI; RL là các đoạn vuông góc chung của 2 cạnh đối diện.

Do tính chất đối xứng ta dễ dàng suy ra EK, FI, RL đồng quy tại điểm M

Như vậy $d \geq E K + F I + R L = 3 E K$

Mặc khác $O A = \frac{a \sqrt{3}}{3} \Rightarrow \cos \overset{⏜}{S A O} = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin \overset{⏜}{S A O} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Do đó: $K E = A E \sin A = \frac{a \sqrt{3}}{2} - \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Do vậy $d_{\min} = a \sqrt{6}$

Câu 47:

Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được $220500 c m^{3}$ nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng 3. Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.

A. $2220 c m^{2}$ .

B. $1880 c m^{2}$ .

C. $2100 c m^{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi a, b, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật

Theo bài ra, ta có: $\frac{h}{a} = 3 \Leftrightarrow h = 3 a$ và thể tích

$V = a b h = 220500 \Rightarrow a^{2} b = 73500 \Leftrightarrow b = \frac{73500}{a^{2}}$

Diện tích cần làm bể là:

$S = a b + 2 a h + 2 b h = a . \frac{73500}{a^{2}} + 2 a .3 a + 2. \frac{73500}{a^{2}} .3 a$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 6 a^{2} = \frac{257250}{a} \Leftrightarrow a = 35 \to b = 60$

Vậy $S = a . b = 2100 c m^{2}$

Câu 48:

Có bao nhiêu số nguyên dương a (a là tham số) để phương trình

$(3 a^{2} + 12 a + 15) \log_{27} (2 x - x^{2}) + (\frac{9}{2} a^{2} - 3 a + 1) \log_{\sqrt{11}} (1 - \frac{x^{2}}{2})$

$= 2 \log_{9} (2 x - x^{2}) + \log_{11} (\frac{2 - x^{2}}{2})$

có nghiệm duy nhất?

A. 2.

B. 0.

C. Vô số.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: $\{\begin{cases} 2 x - x^{2} > 0 \\ 2 - x^{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < x < \sqrt{2} \Rightarrow D = (0; \sqrt{2})$

Phương trình

$\Leftrightarrow (a^{2} + 4 a + 5) \log_{3} (2 x - x^{2}) + (9 a^{2} - 6 a + 2) \log_{11} (1 - \frac{x^{2}}{2})$

$= \log_{3} (2 x - x^{2}) + \log_{11} (1 - \frac{x^{2}}{2})$

$\Leftrightarrow f (x) = {(a + 2)}^{2} \log_{3} (2 x - x^{2}) + {(3 a - 1)}^{2} \log_{11} (1 - \frac{x^{2}}{2}) = 0$

$\Leftrightarrow f (x) = (a^{2} + 4 a + 4) \log_{3} (2 x - x^{2}) + (9 a^{2} - 6 a + 2) \log_{11} (1 - \frac{x^{2}}{2})$

$= \log_{3} (2 x - x^{2}) + \log_{11} (1 - \frac{x^{2}}{2}) = 0 (x \in (0; \sqrt{2}))$

$\Leftrightarrow f (x) = {(a + 2)}^{2} \log_{3} (2 x - x^{2}) + {(3 a - 1)}^{2} \log_{11} (1 - \frac{x^{2}}{2}) = 0$

Ta có:

$f' (x) = {(a + 2)}^{2} . \frac{2 - 2 x}{(2 x - x^{2}) \ln 3} + {(3 a - 1)}^{2} . \frac{1 - x}{(1 = \frac{x^{2}}{2}) \ln 11} = 0$

$\Leftrightarrow x = 1$

Ta có:

$\lim_{x \to 0} f (x) = - \infty; f (1) = - {(3 a - 1)}^{2} \log_{11} 2; \lim_{x \to \sqrt{2}} f (x) = - \infty \Rightarrow$ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi $- {(3 a - 1)}^{2} \log_{11} 2 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3} \notin ℤ$

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA=BC=x, SB=AC=y, SC=AB=z thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 12$ . Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC là:

A. $V = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

B. $V = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

C. $V = \frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $V = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Thể tích khối chóp S.ABC là:

$V_{S . A B C} = \frac{\sqrt{2}}{12} . \sqrt{(x^{2} + y^{2} - z^{2}) (y^{2} + z^{2} - x^{2}) (x^{2} + z^{2} - y^{2})}$

Mà: $(x^{2} + y^{2} - z^{2}) (y^{2} + z^{2} - x^{2}) (x^{2} + z^{2} - y^{2})$

$\leq \frac{(x^{2} + y^{2} - z^{2} + y^{2} + z^{2} - x^{2} + x^{2} + z^{2} - y^{2})}{27}$

$= \frac{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{3}}{27}$

Suy ra: $S . A B C \leq \frac{\sqrt{2}}{12} . \sqrt{\frac{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}{27}}$

$= \frac{\sqrt{2}}{12} . \sqrt{\frac{12^{3}}{27}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vậy: $V_{\max} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 50:

Một khúc gỗ có dạng khối nón có bán kính đáy r = 30cm, chiều cao h = 120cm. Anh thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ.

Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ dạng khối trụ có thể chế tác được. Tính V.

A. $V = 0, 16 π (m^{3})$ .

B. $V = 0, 024 π (m^{3})$ .

C. $V = 0, 36 π (m^{3})$ .

D. $V = 0, 016 π (m^{3})$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $r_{0}; h_{0}$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.

Theo giả thuyết, ta có:

$\frac{r_{0}}{r} = \frac{h - h_{0}}{h} \Leftrightarrow r_{0} = 30. \frac{120 - h_{0}}{120} = 30 - \frac{h_{0}}{4}$

Suy ra thể tích khối trụ là:

$V = π r_{0}^{2} . h_{0} = π {(30 - \frac{h_{0}}{4})}^{2} . h_{0} = π . \frac{{(120 - h_{0})}^{2} . h_{0}}{16}$

Xét hàm số $f (t) = t {(120 - t)}^{2}$ với $t \in (0; 120)$ suy ra: $\max_{(0; 120)} f (t) = 256000$

Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ là:

$V_{\max} = π \frac{256000}{16} . \frac{1}{100^{3}} = 0, 016 π c m^{3}$