50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 15)

Câu 1:

Một hình nón có bán kính hình tròn đáy là R và chiều cao bằng 2R. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

A. $π R^{2} (1 + \sqrt{5})$

B. $π R^{2} (1 + \sqrt{3})$

C. $π R^{2} \sqrt{3}$

D. $π R^{2} \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án D

Hình nón có $l = \sqrt{R^{2} + h^{2}} = \sqrt{R^{2} + {(2 R)}^{2}} = R \sqrt{5}$ .

Vậy $S_{x q} = π R l = π R^{2} \sqrt{5}$ .

Câu 2:

Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a. Thể tích khối trụ tương ứng bằng

A. $2 π a^{3}$

B. $π a^{3}$

C. $\frac{8 π a^{3}}{3}$

D. $\frac{2 π a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao là 2a.

Vậy $V = π R^{2} h = π . a^{2} .2 a = 2 π a^{3}$ .

Câu 3:

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau, bằng a. Góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng

A. $45 °$

B. $90 °$

C. $30 °$

D. $60 °$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $(S D, B C) = (S A, A D) = 60^{0}$ .

Câu 4:

Tổng lập phương các nghiệm của phương trình $2^{^{x}} + {2.3}^{x} - 6^{x} = 2$ bằng

A. $2 \sqrt{2}$

B. 1

C. 7

D. 25

Xem đáp án

Đáp án B

PT $\Leftrightarrow 2^{x} - 6^{x} + {2.3}^{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow 2^{x} (1 - 3^{x}) - 2 (1 - 3^{x}) = 0$

$\Leftrightarrow (2^{x} - 2) (1 - 3^{x}) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \lor x = 0$ .

Vậy tổng lập phương các nghiệm của PT trên bằng 1.

Câu 5:

Nghiệm của phương trình $2 \sin x - \sqrt{2} = 0$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?

A. Điểm C, điểm E

B. Điểm F, điểm E

C. Điểm C, điểm D

D. Điểm C, điểm F

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k 2 π \lor x = \frac{3 π}{4} + k 2 π .$

Vậy nghiệm được biểu diễn bởi các điểm C, D.

Câu 6:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \log_{3} (x + 1)$

B. $y = \log_{3} x + 1$

C. $y = \log_{2} (x + 1)$

D. $y = \log_{2} x$

Xem đáp án

Đáp án A

Dễ thấy $x = 0 \Rightarrow y = 0$ và $x = 2 \Rightarrow y = 1$ nên chọn A.

Câu 7:

Hình hộp chữ nhật với ba kích thước phân biệt có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 6

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có 3 mặt phẳng đối xứng, là các mặt phẳng trung trực của các cạnh $A B, A D, A A^{'} .$

Câu 8:

Cho tứ diện đều ABCD, gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M, song song với AC và BD. Thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (P) là

A. Hình chữ nhật không vuông

B. Hình vuông

C. Hình tam giác

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi N, P, Q lần lượt là trung điểm của Ad, CD, BC.

Ta có: $B D ⊥ (A H C)$ nên $B D ⊥ A C$ . Do đó $M N ⊥ N P$ . Mà MNPQ là hình bình hành.

Thiết diện là hình vuông MNPQ.

Câu 9:

Tịnh tiến đồ thị hàm số $y = \sin x$ sang bên trái $\frac{π}{2}$ đơn vị được đồ thị hàm số nào dưới đây?

A. Đồ thị hàm số $y = \cot x$

B. Đồ thị hàm số $y = \cos x$

C. Đồ thị hàm số $y = \sin x$

D. Đồ thị hàm số $y = \tan x$

Xem đáp án

Đáp án B.

Câu 10:

Đặt $a = \ln 3, b = l n 5$ .

Tính $I = \ln \frac{3}{4} + \ln \frac{4}{5} + \ln \frac{5}{6} + ... + \ln \frac{124}{125}$ theo a và b.

A. $I = a + 3 b$

B. $I = a - 2 b$

C. $I = a + 2 b$

D. $I = a - 3 b$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$I = \ln 3 - \ln 4 + \ln 4 - \ln 5 + \ln 5 - \ln 6 + ... + \ln 124 - \ln 125$

$= \ln 3 - 3 \ln 5 = a - 3 b$

Câu 11:

Cho $y = f (x)$ và $y = g (x)$ là hai hàm số liên tục tại điểm $x_{0}$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số $y = f (x) + g (x)$ liên tục tại điểm $x_{0}$

B. Hàm số $y = f (x) . g (x)$ liên tục tại điểm $x_{0}$

C. Hàm số $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ liên tục tại điểm $x_{0}$

D. Hàm số $y = f (x) - g (x)$ liên tục tại điểm $x_{0}$

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 12:

Các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên $(- \infty; + \infty)$ ?

A. $y = \sqrt{x}$

B. $y = - 2 x + 1$

C. $y = x^{2}$

D. $y = x^{3} + 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} > 0 \forall x \in (- \infty; + \infty)$ .

Câu 13:

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên $(x_{n})$

A. $y = {(\frac{2}{π})}^{x}$

B. $y = {(\sqrt{π})}^{x}$

C. $y = {(\frac{π}{2})}^{x}$

D. $y = {(\frac{π}{3})}^{x}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y^{'} = {(\frac{2}{π})}^{x} \ln \frac{2}{π} < 0$ với mọi $x \in ℝ$ .

Câu 14:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 x - 5}{x - 2}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số $u = f (x)$ nghịch biến trên $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$

B. Hàm số $u = f (x)$ nghịch biến trên $(- \infty; 2)$ và $(2; + \infty)$

C. Hàm số $u = f (x)$ đồng biến trên $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$

D. Hàm số $u = f (x)$ đồng biến trên $(- \infty; 2)$ và $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y^{'} = \frac{2 (x - 2) - (2 x - 5)}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} > 0 \forall x \neq 2$ .

Câu 15:

Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA vuông góc với đáy, đáy là hình vuông cạnh bằng 2 tam giác SAC vuông cân tại A. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

B. $2 \sqrt{2}$

C. $4 \sqrt{2}$

D. $8 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $S A = A C = 2 \sqrt{2} \Rightarrow V = \frac{1}{3} .4.2 \sqrt{2} = \frac{8 \sqrt{2}}{3}$ .

Câu 16:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {(x^{2} + x)}^{\sqrt{2} - 1}$

A. $D = (- 1; + \infty) \ \{0\}$

B. $D = (- \infty; + \infty)$

C. $D = (- \infty; - 1) \cup (0; + \infty)$

D. $D = (- 1; 0)$

Xem đáp án

Đáp án C.

ĐK $x^{2} + x > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 1) \cup (0; + \infty)$ .

Câu 17:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[- 1; 2]$ , có đồ thị của hàm số $y = f' (x)$ như hình sau.

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[- 1; 2]$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $M = f (\frac{1}{2})$

B. $M = \max \{f (- 1); f (1); f (2)\}$

C. $M = f (0)$

D. $M = f (\frac{3}{2})$

Xem đáp án

Đáp án B

$f (x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $f (- 1); f (2)$ hoặc $f (x_{i})$ mà $f^{'} (x_{i}) = 0$ .

Câu 18:

Gọi M, N là các giao điểm của đường thẳng $y = x - 4$ với đồ thị của hàm số $y = \frac{- 2 x + 5}{x - 2}$ . Tìm tọa độ trung điểm I của MN?

A. $I (2; - 2)$

B. $I (1; - 3)$

C. $I (3; - 1)$

D. $I (- 2; 2)$

Xem đáp án

Đáp án A

Hoành độ giao điểm là nghiệm của PT:

$x - 4 = \frac{- 2 x + 5}{x - 2} \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 8 = - 2 x + 5 (x \neq 2)$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 13 = 0$ . Vậy trung điểm I của MN có hoành độ $x = 2 \Rightarrow y = - 2$ .

Câu 19:

Lăng trụ tứ giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng nhau và có diện tích toàn phần bằng $6 a^{2}$ . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. $8 a^{3}$

B. $\frac{a^{3}}{3}$

C. $\frac{8 a^{3}}{3}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Lăng trụ đó chính là hình lập phương.

Ta có: $S_{t p} = 6 a^{2} \Rightarrow$ cạnh hình lập phương là a.

Vậy $V = a^{3}$

Câu 20:

Biết $\log_{2} x = a$ , tính theo a giá trị biểu thức $P = \log_{2} 4 x^{2}$

A. $P = 2 + a$

B. $P = 4 + 2 a$

C. $P = 4 + a$

D. $P = 2 + 2 a$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$P = \log_{2} 4 x^{2} = \log_{2} 4 + \log_{2} x^{2} = 2 + 2 \log_{2} x = 2 + 2 a$ .

Câu 21:

Hình dưới đây là đồ thị của hàm số $y = f' (x)$ .

Hỏi hàm số $y = f (x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

$f^{'} (x) = 0$ có 2 nghiệm. Vậy hàm số $y = f (x)$ có 2 điểm cực trị.

Câu 22:

Cho hai hàm số $y = f (x), y = g (x)$ , có đạo hàm trên khoảng K. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $[f (x) + g (x)]' = f' (x) + g' (x)$

B. $[{(g (x))}^{2}]' = 2 g' (x)$

C. ${[\frac{f (x)}{g (x)}]}^{'} = \frac{f' (x)}{g' (x)}$

D. $[f (x) . g (x)]' = f' (x) . g' (x)$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 23:

Số cách chọn 3 học sinh trong 6 học sinh và xếp thành một hàng dọc bằng

A. 720

B. 120

C. 20

D. 40

Xem đáp án

Đáp án B

+) B1: Chọn 3 HS trong 6 HS có $C_{6}^{3} = 20$ (cách)

+) B2: Xếp 3 HS thành 1 hàng dọc có 3! = 6 (cách)

Câu 24:

Cho một hình lập phương có bán kính mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp và mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương lần lượt là $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $R_{1} > R_{3} > R_{2}$

B. $R_{1} > R_{2} > R_{3}$

C. $R_{3} > R_{1} > R_{2}$

D. $R_{2} > R_{1} > R_{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $R_{1} = I A, R_{2} = I O, R_{3} = I K .$ Mà $I A > I K > I O$ nên $R_{1} > R_{3} > R_{2}$ .

Câu 25:

Các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào sai, trong không gian

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc cắt nhau.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song hoặc cắt nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc cắt nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song hoặc cắt nhau.

Xem đáp án

Đáp án D

Trong KG, 2 đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau hoặc song song.

Câu 26:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm $M (- 2; 1)$ . Xác định tọa độ điểm M là ảnh của M qua phép quay tâm O góc $90 °$ .

A. $M' (1; 2)$

B. $M' (1; - 2)$

C. $M' (- 1; - 2)$

D. $M' (- 1; 2)$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 27:

Số hạng chứa $x^{2}$ trong khai triển ${(x + \frac{1}{x})}^{12}$ là

A. $C_{12}^{5} x^{2}$

B. $C_{12}^{3}$

C. $C_{12}^{8}$

D. $C_{12}^{5} x^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: ${(x + \frac{1}{x})}^{12} = \sum_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} x^{12 - k} {(\frac{1}{x})}^{k} = \sum_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} x^{12 - 2 k}$ .

Xét $12 - 2 k = 2 \Leftrightarrow k = 5$ .

Số hạng chứa $x^{2}$ là $C_{12}^{5} x^{2}$ .

Câu 28:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - x - m}{x^{2} - 4}$ có đúng một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang?

A. $\forall m \in ℝ \ \{2; 6\}$

B. $\forall m \in ℝ \ \{- 2; 2\}$

C. $m \in ℝ \ \{- 2; 2\}$

D. $m \in ℝ \ \{2; 6\}$

Xem đáp án

Đáp án D

Dễ thấy hàm số có 1 TCN y = 1.

Để hàm số có 1 TCĐ thì PT $x^{2} - x - m = 0$ phải có 1 nghiệm x = 2 hoặc x= -2.

Vậy $m \in \{2; 6\}$

Câu 29:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị $f' (x)$ như hình vẽ bên.

Biết $f (a) . f (b) < 0$ hỏi đồ thị hàm số $y = f (x)$ cắt trục hoành tại ít nhất bao nhiêu điểm?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 30:

Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B, hai thành phố này bị ngăn cách một con sông có chiều rộng r. Người ta cần xây một cây cầu bắt qua sông, biết rằng hai thành phố A và B lần lượt cách con sông một khoảng bằng $A C = a$ và $B D = b (a \leq b)$ , như hình vẽ bên.

Hãy xác định vị trí xây cầu để tổng khoảng cách giữa các thành phố là nhỏ nhất?

A. Cách C là $\frac{a p}{a + b}$

B. Cách D là $\frac{p}{a + b}$

C. Cách C là $\frac{a}{a + b}$

D. Cách C là $\frac{a p}{2 (a + b)}$

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử vị trí cây cầu cách C 1 đoạn là x. Ta có tổng khoảng cách giữa các thành phố là:

$d = A F + F E + E B = \sqrt{a^{2} + x^{2}} + r + \sqrt{b^{2} + {(p - x)}^{2}}$ .

Do đó d nhỏ nhât khi:

$\frac{a}{x} = \frac{b}{p - x} \Leftrightarrow a p - a x = b x \Leftrightarrow a p = (a + b) x \Leftrightarrow x = \frac{a p}{a + b}$ .

Câu 31:

Cho tứ diện ABCD có AB=2; CD=4 và các cạnh còn lại cùng bằng 6. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABCD.

A. $\frac{1156 π}{31}$

B. $\frac{1156 π}{93}$

C. $47 π$

D. $\frac{1280 π}{93}$

Xem đáp án

Đán án C

Gọi G là trung điểm của EF thì G chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Ta có $C E^{2} = \frac{C B^{2} + C A^{2}}{2} - \frac{A B^{2}}{4} = \frac{6^{2} + 6^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{4} = 35$ ,

$E F^{2} = C E^{2} - C F^{2} = 35 - 2^{2} = 31$

$\Rightarrow G F = \frac{\sqrt{31}}{2} \Rightarrow R = G C = \sqrt{G F^{2} + C F^{2}} = \sqrt{\frac{31}{4} + 4} = \frac{\sqrt{47}}{2}$ .

Vậy diện tích mặt cầu cần tính là:

$S = 4 π R^{2} = 4 π . \frac{47}{4} = 47 π$ .

Câu 32:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BD. Gọi P là điểm trên cạnh AB sao cho $\frac{P B}{P A} = \frac{2018}{2017}$ . Tính thể tích V của khối tứ diện PMNC.

A. $\frac{27. \sqrt{2}}{12}$

B. $\frac{9.2018. \sqrt{2}}{16.2017}$

C. $\frac{9. \sqrt{2}}{16}$

D. $\frac{9.2017. \sqrt{2}}{16.2018}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là trọng tâm $Δ B C D$ thì $A H ⊥ (B C D)$ .

Ta có: $B H = \frac{2}{3} . \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow A H = \sqrt{A B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}$

Do đó: $V_{A B C D} = \frac{1}{3} . A H . S_{B C D} = \frac{1}{3} . \sqrt{6} . \frac{3^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{2}}{4}$ .

Lại có:

$\frac{V_{C . M N P}}{V_{C . A B D}} = \frac{\frac{1}{3} d (C, (A B D)) . S_{M N P}}{\frac{1}{3} d (C, (A B D)) . S_{A B D}} = \frac{S_{M N P}}{S_{A B D}} = \frac{S_{A B D} - S_{S P M} - S_{D M N} - S_{B P N}}{S_{A B D}} = 1 - \frac{1}{2} . \frac{2017}{4035} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} . \frac{2018}{4035} = \frac{1}{4}$

Vậy $V_{C . M N P} = \frac{1}{4} . \frac{9 \sqrt{2}}{4} = \frac{9 \sqrt{2}}{16}$ .

Câu 33:

Tổng các nghiệm của phương trình:

$\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x . \cos x} = \frac{3}{\sin 2 x}$ là

A. $π$

B. $\frac{π}{6}$

C. $\frac{5 π}{6}$

D. $\frac{2 π}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

ĐK $\sin 2 x \neq 0$ .

Ta có:

$P T \Leftrightarrow 2 \sin x + 2 = 3 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{array}$ .

Câu 34:

Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R = 5. Một đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm M, N phân biệt nhưng không đi qua I. Đặt MN = 2m Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IMN lớn nhất?

A. $m = \frac{\sqrt{5}}{2}$

B. $m = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

C. $m = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

D. $m = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$S_{I M N} = \frac{1}{2} . I M . I N . \sin \hat{M I N} = \frac{1}{2} {.5}^{2} . \sin \hat{M I N}$ .

Vậy $S_{I M N}$ lớn nhất $\Leftrightarrow \sin \hat{M I N} = 1$

$\Leftrightarrow \hat{M I N} = 90^{0} \Leftrightarrow M N^{2} = I M^{2} + I N^{2} \Leftrightarrow m = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Câu 35:

Cho khối nón đỉnh S, trục SI (I là tâm của đáy). Mặt phẳng trung trực của SI chứa khối chóp thành hai phần. Gọi $V_{1}$ là thể tích cảu phần chứa S và $V_{2}$ là thể tích của phần còn lại. Tính $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ ?

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4}$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{8}$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{7}$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\frac{V_{1}}{V} = \frac{\frac{1}{3} π . S I^{'} . I^{'} M^{2}}{\frac{1}{3} π . S I . I A^{2}} = = \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{7}$ .

Câu 36:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm nằm trên (C) đồng thời đối xứng nhau qua điểm I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Dựng hình vuông AEBD . Tìm diện tích nhỏ nhất $S_{\min}$ của hình vuông đó.

A. $S_{\min} = 8 \sqrt{2}$

B. $S_{\min} = 4 \sqrt{2}$

C. $S_{\min} = 4$

D. $S_{\min} = 8$

Xem đáp án

Đáp án D

$S = \frac{1}{2} A B . D E = \frac{1}{2} A B^{2}$ . Do đó hình vuông có diện tích nhỏ nhất khi AB là phân giác của góc giữa 2 đường tiệm cận. Phương trình $A B : y = x$ . Hoành độ A, B là nghiệm của phương trình

$\frac{x + 1}{x - 1} = x \Leftrightarrow \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 1 = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} A (1 - \sqrt{2}; 1 - \sqrt{2}) \\ B (1 + \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}) \end{cases} \Rightarrow A B = 4$

Vậy $S_{\min} = \frac{1}{2} {.4}^{2} = 8$ .

Câu 37:

Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình ${(4^{x} - 16)}^{3} + {(16 - 4)}^{3} = {(16^{x} + 4^{x} - 20)}^{3}$

A. 3

B. $\frac{5}{2}$

C. 4

D. $\frac{9}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $a = 4^{x} - 16, b = 16^{x} - 4$ .

Ta có: $P T \Leftrightarrow a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} \Leftrightarrow 3 a b (a^{2} + b^{2}) = 0$

$\Leftrightarrow a = 0 \lor b = 0 \Rightarrow x = 2 \lor x = \frac{1}{2}$

Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của PT là $2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ .

Câu 38:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có công sai $d = - 3$ và $u_{2}^{2} + u_{3}^{2} + u_{4}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $S_{100}$ của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A. $S_{100} = - 14400.$

B. $S_{100} = - 14250.$

C. $S_{100} = - 15480.$

D. $S_{100} = - 14650.$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$S = u_{2}^{2} + u_{3}^{2} + u_{4}^{2} = {(u_{1} - 3)}^{2} + {(u_{1} - 6)}^{2} + {(u_{1} - 9)}^{2} = 3 u_{1}^{2} - 36 u_{1} + 126$ .

Do đó S đạt GTNN khi $u_{1} = 6$ .

Vậy $S_{100} = 100.6 + \frac{100.99}{2} . (- 3) = - 14250$ .

Câu 39:

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), chiều cao bằng 2R và bán kính đáy R. mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của (OO') và tạo với OO' một góc $30 °$ cắt đường tròn dáy theo dây cung . Tính độ dài day cung đó theo R

A. $\frac{4 R \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{2 R \sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{2 R}{3}$

D. $\frac{2 R \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $O H = I O . \tan 30^{0} = \frac{R}{\sqrt{3}} \Rightarrow H A = \sqrt{O A^{2} - O H^{2}} = \frac{R \sqrt{6}}{3}$ .

Vậy $A B = \frac{2 R \sqrt{6}}{3}$

Câu 40:

Từ tập $A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$ có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và ba chữ số phân biệt

A. 45

B. 99

C. 150

D. 180

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có bộ 3 số có tổng chia hết cho 3 là: {1;2;3}, {1;2;6}, {1;2;9}, {1;3;5}, {1;3;8}, {1;4;7}, {1;5;6},{1;5;9}, {1;6;8}, {1;8;9}, {2;3;4}, {2;3;7}, {2;4;6}, {2;4;9}, {2;5;8}, {2;6;7}, {2;7;9}, {3;4;5}, {3;4;8}, {3;5;7}, {3;6;9}, {3;7;8}, {4;5;6}, {4;5;9}, {4;6;8}, {5;6;7}, {6;7;8}, {7;8;9}.

Mỗi bộ số ta lập được 3!=6 số.

Vậy có 30.6=180 số.

Câu 41:

Đội dự tuyển học sinh giỏi Toán của tỉnh A có n học sinh n=9 trong đó có 2 học sinh nữ, tham gia kì thi để chọn đội tuyển chính thức gồm 4 người. Biết xác suất trong đội tuyển chính thức cả 2 học sinh nữ gấp 2 lần xác suất trong đội tuyển chính thức không có học sinh nữ nào. Tìm n?

A. $n = 9$

B. $n = 7$

C. $n = 5$

D. $n = 11$

Xem đáp án

Đáp án B

The đề bài ta có $\frac{C_{n - 2}^{2}}{C_{n}^{4}} = 2 \frac{C_{n - 2}^{4}}{C_{n}^{4}} \Leftrightarrow n = 7$ .

Câu 42:

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{\cos x + m . \sin x + 1}{\cos x + 2}$ có giá trị lớn nhất bằng 1

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 43:

Ba anh em Tháng, Mười, Hai cùng vay tiền ở một ngân hàng với lãi xuất 0,7%/tháng với tổng số tiền vay là 1 tỉ đồng. Giả sử mỗi tháng ba người đều trả cho ngân hàng một số tiền như nhau để trừ vào tiền góc và lãi. Để trả hết gốc và lãi cho ngân hàng thì Tháng cần 10 tháng. Mười cần 15 tháng và Hai cần 25 tháng. Hỏi tổng số tiền mà ba an hem trả ở tháng thứ nhất cho ngân hàng là bao nhiêu ( làm tròn đến hàng đơn vị)?

A. 46712413 đồng

B. 63271317 đồng

C. 64268185 đồng

D. 45672181 đồng

Xem đáp án

Đáp án C.

Giả sử số tiền vay của 3 anh em Tháng, Mười, Hai lần lượt là x, y, z đồng.

Số tiền Tháng phải trả vào hàng tháng để sau 10 tháng hết nợ là: $A_{1} = \frac{x {(1 + 0, 007)}^{10} .0, 007}{{(1 + 0, 007)}^{10} - 1}$ .

Số tiền Mười phải trả vào hàng tháng để sau 15 tháng hết nợ là: $A_{2} = \frac{y {(1 + 0, 007)}^{15} .0, 007}{{(1 + 0, 007)}^{15} - 1}$ .

Số tiền Hai phải trả vào hàng tháng để sau 25 tháng hết nợ là: $A_{3} = \frac{z {(1 + 0, 007)}^{25} .0, 007}{{(1 + 0, 007)}^{25} - 1}$

Theo đề bài ta có:

$A_{1} = A_{2} = A_{3} \Rightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1, 007^{5} (1, 007^{10} - 1) y}{(1, 007^{15} - 1)} \\ z = \frac{1, 007^{- 10} (1, 007^{25} - 1) y}{(1, 007^{15} - 1)} \end{cases}$

Lại có: $x + y + z = 1000000000$

$\Rightarrow y = 304037610.4 \Rightarrow A_{1} + A_{2} + A_{3} = 3 A_{2} = 3. \frac{304037610, 4.1, 007^{15} .0, 007}{1, 007^{15} - 1} = 64268158$

Câu 44:

Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện $3 a - 4 > b > 0$ và biểu thức $P = \log_{a} (\frac{a^{3}}{4 b}) + \frac{3}{16} {(\log_{\frac{3 a}{4 + b}} a)}^{2}$ có giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S=3a+b

A. $S = 8$

B. $S = \frac{13}{2}$

C. $S = \frac{25}{2}$

D. $S = 14$

Xem đáp án

Đáp án A

Giá trị nhỏ nhất đạt được khi $a = b = 2$ . Vậy $S = 3 a + b = 8$ .

Câu 45:

Cho khối đa diện đều n mặt có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng S. Khi đó tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng

A. $\frac{V}{n . S}$

B. $\frac{V}{3 S}$

C. $\frac{3 V}{S}$

D. $\frac{n V}{S}$

Xem đáp án

Đáp án C

Nối điểm đó với đỉnh của đa diện ta được n hình đa diện có thể tích bằng nhau. Khoảng cách từ điểm đó đến các mặt của đa diện bằng nhau và bằng .

Ta có $\frac{1}{n} V = \frac{1}{3} h . S \Rightarrow h = \frac{3 n S}{V}$ .

Vậy tổng của n khoảng cách là $\frac{3 V}{S}$ .

Câu 46:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng $(- 9; 12)$ sao cho hàm số $y = \frac{m x + 9}{x + m}$ đồng biến trên khoảng $(- 6; + \infty)$ ?

A. 14

B. 16

C. 7

D. 6

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y^{'} = \frac{m (x + m) - (m x + 9)}{{(x + m)}^{2}} = \frac{m^{2} - 9}{{(x + m)}^{2}}$ .

Hàm số đồng biến trên khoảng: $(- 6; + \infty)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y^{'} \geq 0, \forall x \in (- 6; + \infty) \\ - m \in (- 6; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 9 \geq 0 \\ - m \leq - 6 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq 6$

Vậy các giá trị nguyên của m thuộc khoảng $(- 9; 12)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là 6 ;7 ;8 ;9 ;10 ;11.

Câu 47:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, góc ABC bằng $60 °$ . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa SO và mặt phẳng (ABCD) bằng $45 °$ . Biết khoảng cách từ điểm A đến (SCD) bằng $\frac{a \sqrt{6}}{4}$ . Tính độ dài AB.

A. $A B = 2 a$

B. $A B = a \sqrt{2}$

C. $A B = \frac{a \sqrt{30}}{4}$

D. $A B = a$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $Δ A B C$ đều. Giả sử $A B = x \Rightarrow A C = x$ .

Ta có:

$\hat{(S O, (A B C D))} = (S O, A O) = \hat{S O A} = 45^{0} \Rightarrow S A = A O = \frac{x}{2}$ .

Lại có $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}}$

$= \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = \frac{5}{x^{2}} \Rightarrow x^{2} = \frac{30 a^{2}}{16} \Rightarrow x = \frac{a \sqrt{30}}{4}$ .

Câu 48:

Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có canh đáy a, cạnh bên hợp với đáy một góc $60 °$ . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

A. $\frac{7}{5}$

B. $\frac{7}{3}$

C. $\frac{1}{7}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

Áp dụng định lí Menelaus cho $Δ S C D$ ta có:

$\frac{N S}{N C} . \frac{M C}{M D} . \frac{P D}{P S} = 1 \Rightarrow \frac{P D}{P S} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{P D}{S D} = \frac{1}{3}$ .

Ta có: $\frac{V_{P . B Q D C}}{V_{S . A B C D}} = \frac{\frac{1}{3} . d (P, (A B C D)) . S_{B C D Q}}{\frac{1}{3} . d (S, (A B C D)) . S_{A B C D}} = \frac{1}{3} . \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow V_{P . B Q D C} = \frac{1}{4} V_{S . A B C D}$ .

$\frac{V_{P . N C B}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{P . N C B}}{2. V_{D . S C B}} = \frac{\frac{1}{3} . d (P, (S C B)) . S_{Δ N C B}}{2. \frac{1}{3} . d (D, (S C B)) . S_{Δ S C B}} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} . \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \Rightarrow V_{P . N C B} = \frac{1}{6} V_{S . A B C D} .$

Do đó $V_{P Q D . N B C} = V_{P . B Q D C} + V_{P . N C B} = \frac{5}{12} V_{S . A B C D}$ .

Vậy tỉ số thể tích của 2 phần cần tìm là $\frac{7}{5}$ .

Câu 49:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết Ac'=8a và tạo với mặt phẳng đáy một góc $45 °$ . Tính thể tích V của khối đa diện $A B C C' B'$ .

A. $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{16 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{16 a^{3} \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{8 a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là hình chiếu của C' trên $(A B C)$

$\Rightarrow \hat{(A C^{'}, (A B C))} = (A C', A H) = \hat{C^{'} A H} = 45^{0}$

$\Rightarrow C^{'} H = C^{'} A . \sin 45^{0} = 4 a \sqrt{2}$ .

Ta có: $V_{A B C C^{'} B^{'}} = V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} - V_{A . A^{'} B^{'} C^{'}}$

$= \frac{{(2 a \sqrt{2})}^{2} \sqrt{3}}{4} .4 a \sqrt{2} - \frac{1}{3} . \frac{{(2 a \sqrt{2})}^{2} \sqrt{3}}{4} .4 a \sqrt{2} = \frac{16 a^{3} \sqrt{6}}{3}$ .

Câu 50:

Trên đường thẳng $y = 2 x + 1$ có bao nhiêu điểm mà từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 3}{x - 1}$

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y^{'} = \frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{- 4}{{(x - 1)}^{2}}$ .

Tiếp tuyến tại $M (x_{0}; \frac{x_{0} + 3}{x_{0} - 1}) \in (C)$ là:

$y = \frac{- 4}{{(x_{0} - 1)}^{2}} (x - x_{0}) + \frac{x_{0} + 3}{x_{0} - 1} = \frac{- 4 x}{{(x_{0} - 1)}^{2}} + \frac{x_{0}^{2} + 6 x_{0} - 3}{{(x_{0} - 1)}^{2}}$ .

Tiếp tuyến đi qua $M (x_{1}; 2 x_{1} + 1)$ nên:

$2 x_{1} + 1 = \frac{- 4 x_{1}}{{(x_{0} - 1)}^{2}} + \frac{x_{0}^{2} + 6 x_{0} - 3}{{(x_{0} - 1)}^{2}}$

$\Leftrightarrow (2 x_{1} + 1) (x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1) = x_{0}^{2} + 6 x_{0} - 3 - 4 x_{1} \Leftrightarrow (2 x_{1} - 1) x_{0}^{2} - 4 (x_{1} + 2) x_{0} + 6 x_{1} + 4 = 0$ (*)

Qua $M (x_{1}; 2 x_{1} + 1)$ kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C) nên (*) có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow Δ^{'} = 4 {(x_{1} + 2)}^{2} - (2 x_{1} - 1) (6 x_{1} + 4) = 0 \Leftrightarrow - 4 x_{1}^{2} + 7 x_{1} + 10 = 0 \Leftrightarrow x_{1} = \frac{7 \pm \sqrt{209}}{8}$ .

Vậy có 2 điểm từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.