Đáp án D

Phương pháp:

- Tìm một mặt phẳng chứa SK mà song song với MN, đó chính là mặt phẳng (SAD)

- Từ đó ta chỉ cần tính khoảng cách từ MN đến (SAD).

Cách giải: Gọi I là trung điểm AD, AC cắt BD tại O. H là hình chiếu vuông góc của O trên SI.

Chú ý khi giải: HS thường không chú ý đến phương pháp tìm mặt phẳng song song mà chỉ tập trung đi tìm đường vuông góc chung dẫn đến sự phức tạp cho bài toán và không đi đến được đáp án.

Đáp án B

Phương pháp: Dạng bài này, ngoài cách rút m rồi xét hàm như thường lệ, ta có thể áp dụng điều kiện có nghiệm cho phương trình $a\sin x+b\cos x=c$ là $a^2\le a^2+b^2$

Cách giải: Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $5^2\le m^2+3^2\iff m^2\ge 16\iff \left|m\right|\ge 4.$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn điều kiện có nghiệm của phương trình trên $a^2+b^2\le c$ là dẫn đến kết quả sai.

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức lãi kép: $T=M{\left(1+r\right)}^n$ với:

T là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn;M là số tiền gửi ban đầu; n là số kỳ hạn; r là lãi suất định kỳ, tính theo %.

Cách giải: Gọi n là số năm cần gửi ít nhất để người đó có 250 triệu.

Ta có: ${250.10}^6={100.10}^6{\left(1+7,4\right)}^n$

$\iff n={\log }_{1+7,4\%}\left(\frac{{250.10}^6}{{100.10}^6}\right)\approx 12,8\Rightarrow n=13$ (năm).

Chú ý khi giải: HS sẽ phân vân khi chọn số năm cần gửi ít nhất vì $n~12,8$nên có thể sẽ chọn đáp án sai là n=12.

Đáp án D

Phương pháp:

Công thức tính đạo hàm hàm hợp: $f;\left(u\left(x\right)\right)=u\text{'}\left(x\right).f\text{'}\left(u\right)$ .

Công thức tính đạo hàm: $\left(\ln u\right)\text{'}=\frac{u\text{'}}{u}$

Cách giải:

Có: $f\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^2+1\right)\text{'}}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn: sử dụng công thức tính đạo hàm $\left(\ln x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$ mà không chú ý đến công thức tính đạo hàm hàm hợp.

Đáp án B

Phương pháp:

- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với ${\log }_2\left(x-2\right)$ và đặt ẩn phụ $t={\log }_2\left(x-2\right)$ với $t\in \left[-1;1\right]$

- Rút m theo t và xét hàm f(t) để tìm ra điều kiện của m.

Cách giải: 

$\left(m-1\right){\log }_{\frac{1}{2}}^2{\left(x-2\right)}^2+4\left(m-5\right){\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0\left(x>2\right)$

$\left(m-1\right){\log }_2^2\left(x-2\right)+\left(m-5\right){\log }_2\left(x-2\right)+m+1=0$

Đặt $y={\log }_2\left(x-2\right)\Rightarrow x\in \left[\frac{5}{2};4\right]\Rightarrow t\in \left[-1;1\right]$

Phương trình đã cho trở thành:

$\left(m-1\right)t^2+\left(m-5\right)t+m+1=0$

$\iff m\left(t^2+t+1\right)=t^2+5t+1$$\iff m=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}=1+\frac{4t}{t^2+t+1}$

vì $t^2+t+1>0\forall t\in \left[-1;1\right]$

Xét hàm số:$y=1+\frac{4t}{t^2+t+1}$ trên $\left[-1;1\right]$

Có: $y\text{'}\left(t\right)=\frac{-4t^2+4}{{\left(t^2+t+1\right)}^2}$

$y\text{'}\left(x\right)=0\iff \frac{-4t^2+4}{{\left(t^2+t+1\right)}^2}=0\iff t=\pm 1\in \left[-1;1\right]$

Ta có bảng biến thiên:

$\Rightarrow m\in \left(-3;\frac{7}{3}\right)\Rightarrow a+b=-\frac{2}{3}.$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn các công thức biến đổi logarit dẫn đến kết quả sai, hoặc nhầm lẫn trong bước xét hàm f(t) để đi đến kết luận.

Đáp án A

Phương pháp: Điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục là phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt Ox

Cách giải: Để đồ thị hàm số $\left(C_m\right)$ tiếp xúc với trục Ox thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: $y=0\iff x^3+m{x}^2-9x-9m=0\left(1\right)$

$\iff \left(x+m\right)\left(x^2-9\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-m\\ x=\pm 3\end{array}\right.$

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt $\iff m=\pm 3$

Chú ý khi giải:HS cần xem lại các điều kiện để phương trình bậc ba có 1 nghiệm, hai nghiệm và ba nghiệm phân biệt.

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi Rh$ 

Công thức tính thể tích khối trụ: $V=\pi R^{2}h$

Công thức tính diện tích hình cầu:$S=4\pi R^2$

Công thức tính thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Cách giải: Gọi bán kính đáy của hình trụ là $R\Rightarrow h=4R$.

$V=2V_1+V_2$ với $V_1$ là thể tích nửa khối cầu và $V_2$ là thể tích khối trụ.

$=2.\frac{2}{3}\pi R^3+\pi R^2.4R=\frac{16\pi R^3}{3}=\frac{128\pi }{3}\Rightarrow R=2$

Vậy $S=2S_1+S_2=2.\frac{4}{2}\pi R^2+2\pi R.4R=48\pi .$

Chú ý khi giải: HS thường hay nhầm lẫn các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích,… dẫn đến chọn sai đáp án.

Đáp án A

Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ để tìm khoảng dương, âm của $f\text{'}\left(x\right)$, từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của $f\left(x\right)$.

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ suy ra hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên $\left(-\infty -1\right)$ và $\left(1;2\right)$ (làm y'âm) và đồng biến trên $\left(-1;1\right)$ (làm y'dương).

Suy ra B, C, D sai và A đúng.

Chú ý khi giải:

HS có thể nhầm lẫn thành đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ do đọc không kĩ đề dẫn đến chọn sai đáp án.

Đáp án B

Phương pháp: Công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}S.h$ với S là diện tích đáy,h là chiều cao.

Chú ý tính chất hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.

Cách giải: Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\perp \left(SBC\right)\\ \left(SBC\right)\perp \left(SBC\right)\\ \left(ABC\right)\cap \left(SAC\right)=AC\end{array}\right.\Rightarrow AC\perp \left(SBC\right)$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3}{S}_{SBC}.AC=\frac{1}{3}a\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Đáp án C

Phương pháp: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Cách giải: Gọi E là giao điểm của B’I và BC.

Hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) có giao tuyến là EA

mà $AK\subset \left(AIB\text{'}\right);AH\subset \left(ACB\right);EA\perp AK;EA\perp AH\Rightarrow$hợp bởi hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) là KAH

Ta có: $BC=2a\cos 30°=a\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} A{E}^2=E{C}^2+A{C}^2-2AC.EC.\cos ACE \\ =3a^2+a^2-2a.a\sqrt{3}.\cos 150°=7a^2 \\ \Rightarrow AE=a\sqrt{7} \end{gathered}$$

Ta có:

 $\cos AEC=\frac{A{E}^2+E{C}^2-A{C}^2}{2AC.EC}=\frac{7a^2+3a^2-a^2}{2a\sqrt{7}.a\sqrt{3}}=\frac{9}{2\sqrt{21}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \tan AEC=\sqrt{\frac{1}{{\cos }^{2}AEC}-1}=\frac{\sqrt{3}}{9}. \\ \Rightarrow AH=AE.\tan AEC=\frac{a\sqrt{21}}{9} \end{gathered}$$

Ta có: $\frac{EH}{EB}=\frac{HK}{BB\text{'}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow HK=\frac{EH.BB\text{'}}{EB}=\frac{AE.BB\text{'}}{2BC.\cos AEC} \\ =\frac{a\sqrt{7}.a.2\sqrt{21}}{2a\sqrt{3}.9}=\frac{7a}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos KAH=\frac{AH}{AK}=\frac{AH}{\sqrt{A{H}^2+H{K}^2}} \\ =\frac{a\sqrt{21}}{9\sqrt{\frac{21a^2}{81}+\frac{49a^2}{81}}}=\frac{\sqrt{30}}{10} \end{gathered}$$

Đáp án D

Phương pháp: Số tiệm cận đứng của hàm phân thức $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ là số nghiệm của mẫu mà không là nghiệm của tử.

Cách giải: Ta thấy mẫu thức $x^2-1$có 2 nghiệm $x=\pm 1$và x = 1cũng là nghiệm của tử, $x=-1$ không là nghiệm của tử thức nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng .

Chú ý khi giải: HS thường mắc phải sai lầm: nhận thấy mẫu có hai nghiệm phân biệt vội vàng kết luận có 2 tiệm cận dẫn đến kết quả sai.

Đáp án C

Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để được các hằng đẳng thức.

Sử dụng kết quả $A^2+B^2+C\ge C$ để tìm min F và chú ý tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra. 2

Cách giải: $F=\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4}-\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

$$\begin{gathered} ={\left(\frac{a^2}{b^2}-1\right)}^2+{\left(\frac{b^2}{a^2}-1\right)}^2+{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}^2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-4 \\ \ge \frac{a^2+b^2}{ab}-4\ge 2-4=-2 \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra $\iff \left(a;b\right)=\left(-1;1\right)$ hoặc $\left(a;b\right)=\left(1;-1\right)$

Vậy $Mi{n}_y=-2$ tại $\left(a;b\right)=\left(-1;1\right)$ hoặc $\left(a;b\right)=\left(1;-1\right)$

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng công thức tổ hợp chập của phần tử trong khi chọn các tập hợp con có 2, 4, 6,..., 20 phần tử.

Cách giải:

*TH1: A có 2 phần tử =>có $C_{20}^2$ tập hợp con có 2 phần tử.

*TH2: A có 4 phần tử =>có $C_{20}^4$tập hợp con có 4 phần tử.

….

*TH10: A có 20 phần tử =>có $C_{20}^{20}$ tập hợp con có 20 phần tử.

Suy ra tất cả có $\sum _{i=1}^{10}{C}_{20}^{2i}=2^{19}-1$ trường hợp.

Đáp án B

Phương pháp: Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị của đạo hàm tại tiếp điểm nên để có hệ số góc nhỏ nhất thì ta cần tìm GTNN của đạo hàm.

Cách giải: Xét hàm số: $y=x^3-3x^2+5x-2$ trên R

Có $y\text{'}=3x^2-6x+5=3{\left(x-1\right)}^2+2\ge 2.$

Dấu “=” xảy ra

Với $x=1\Rightarrow y=1$

Vậy đường thẳng cần tìm là:

$y-1=2\left(x-1\right)\iff y=2x-1$

Đáp án C

Phương pháp: Gọi là tâm hình vuông $\Rightarrow I\in OO\text{'}$.

Sử dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông để tính AB.

Cách giải:

Ta có: $IB=\sqrt{O{I}^2+O{B}^2}=\sqrt{\frac{9a^2}{4}+9a^2}=\frac{3a\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow AB=BI.\sqrt{2}=\frac{3a\sqrt{10}}{2}$

Đáp án A

Phương pháp: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi Rl$

Cách giải:

Có: $l=\frac{2R}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$S_{xq}=\pi Rl=\pi .\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{4}$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức tính diện tích xung quanh hình nón là $S_{xq}=\pi Rh$ với h là đường cao của hình nón.

Đáp án C

Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k .

Biện luận số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm để suy ra kết luận.

Cách giải:

Xét hàm số: $y=x^3+3x^2+1\left(C\right)$ trên R

Ta có: $y\text{'}=3x^2+6x;y\text{'}=0\iff 3x^2+6x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$

Ta có (C) là hàm số bậc 3 xác định trên R, đồ thị của nó có duy nhất 2 cực trị hoặc không có điểm cực trị nào.

Ta có: $a=1>0\to B\left(0;1\right)$ là điểm cực tiểu của (C).

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(3;0\right)\Rightarrow AB//Ox$

=> để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện cần là k>0 với k là hệ số góc đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Gọi $d:y=kx+a$ với: $k>0;k,a\in R$

Ta lại có 

$A\left(-3;1\right)\in d\Rightarrow 1=-3k+a\iff a=1+3k$

$\Rightarrow d:y=kx+3k+1$

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

<=> phương trình: $kx+3k+1=x^3+3x^2+1\left(1\right)$có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình $\left(1\right)\iff \left(x+3\right)\left(x^2-k\right)=0$$\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=\pm \sqrt{k}\end{array}\right.$vì k>0

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Vậy $k>0;k\ne 9$ thỏa mãn yêu cầu của bài.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý cách viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc.

Liên hệ được mối liên hệ giữa số giao điểm và số nghiệm của phương trình để biện luận.

Đáp án A

Phương pháp:

Đường thẳng $y=y_0$ là tiệm cận ngang của đths $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=y_0$ hoặc $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=y_0$

Đường thẳng $x=x_0$ là tiệm cận đứng của đths $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }y=\pm \infty$ hoặc $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }y=\pm \infty$ .

Cách giải:

$\underset{x\to \infty }{\lim }y=\underset{x\to \infty }{\lim }y\frac{3x}{1+2x}=\frac{3}{2}$

Vậy tiệm cận ngang đồ thị hàm số $y=\frac{3x}{1+2x}$ là đường thẳng $y=\frac{3}{2}$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn giữa các điều kiện để một đường thẳng là tiệm cận của đồ thị hàm số dẫn đến chọn nhầm đáp án.

Đáp án D

Phương pháp: Biến đổi phương trình đã cho để tính $3^x+3^{-x}$, từ đó thay vào biểu thức A

Cách giải:

Ta có: $9^x+9^{-x}=23$

$\iff {\left(3^x+3^{-x}\right)}^2=25$$\iff 3^x+3^{-x}=5$ vì $3^x+3^{-x}>0,\forall x\in R$

$\Rightarrow A=\frac{5+3^x+3^{-x}}{1-3^x-3^{-x}}=\frac{5+5}{1-5}=\frac{-5}{2}=\frac{a}{b}$

Vậy $ab=-10$

Chú ý khi giải:

HS thường phân vân ở chỗ tính $3^x+3^{-x}$ vì đến đó các em không biết nhận xét $3^x+3^{-x}>0,\forall x$ dẫn đến một số em có thể chọn nhầm đáp án.

Đáp án A

Sử dụng các công thức biến đổi logarit như: ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a};{\log }_a\left(bc\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$

Cách giải:

Ta có: ${\log }_{abc}3=\frac{2}{15}$

$\Rightarrow {\log }_{3}abc=\frac{15}{2}$

$\iff {\log }_{3}a+{\log }_{3}b+{\log }_{3}c=\frac{15}{2}$

$\iff \frac{1}{{\log }_{a}3}+\frac{1}{{\log }_{b}3}+{\log }_{3}c=\frac{15}{2}$

$\iff {\log }_{3}c=\frac{15}{2}-\frac{1}{{\log }_{a}3}-\frac{1}{{\log }_{b}3}=\frac{15}{2}-\frac{1}{2}-4=3$

$\iff {\log }_{3}c=\frac{1}{3}.$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức logarit của một tích, hoặc đến bước cuối tính ${\log }_{c}3$ lại kết luận nhầm ${\log }_{3}c=3$ dẫn đến chọn nhầm đáp án.

Đáp án C

Phương pháp:

Quan sát đồ thị hàm số đã cho và nhận xét dựa trên dáng đồ thị các hàm số đa thức bậc 3, bậc 4.

Cách giải:

Đồ thị hàm số nhận (0;0) là điểm cực tiểu nên loại A, B, D.

Đáp án C

Phương pháp:

- Tính đạo hàm và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng . 0

- Tính các giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại các nghiệm của đạo hàm.

- Giá trị lớn nhất trong số những giá trị vừa tìm được là GTLN của hàm số trên đoạn $\left[a;b\right]$

Cách giải:

Xét hàm số: $y=x\left(2-\ln x\right)$ trên $\left[2;3\right]$

Có $y\text{'}\left(x\right)=2-\ln x-1=1-\ln x$

$y\text{'}\left(x\right)=0\iff 1-\ln x=0\iff \ln x=1\iff x=e\in \left[2;3\right]$

Ta có bảng biến thiên:

Vậy $\underset{\left[2;3\right]}{\max }y=y\left(e\right)=e$

Chú ý khi giải:

HS thường tính sai bước đạo hàm và nhầm lẫn khi xét dấu đọa hàm dẫn đến sai kết quả.

Đáp án A

Phương pháp:

Biến đổi VT để xuất hiện ${\log }_{a}2019$

Sử dụng công thức $1^3+2^3+3^3+\mathrm{...}+n^3=\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}$

Cách giải:

Ta có: 

$VT=1^2.{\log }_{a}2019+2^2{\log }_{\sqrt{a}}2019+\mathrm{...}{n}^2.{\log }_{\sqrt[n]{a}}2019$

Vậy. $=1^3.{\log }_{a}2019+2^3{\log }_{a}2019+\mathrm{...}+n^3.{\log }_{a}2019$

$=\left(1^3+2^3+\mathrm{...}+n^3\right).{\log }_{a}2019$

$VT={1010}^2{.2019}^2.{\log }_{a}2019$

Có $VT=VP$

$\iff \left(1^3+2^3+\mathrm{...}+n^3\right){\log }_{a}2019={1010}^2{.2019}^2.{\log }_{a}2019$

$\iff \frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}={1010}^2{.2019}^2$

$\iff {\left(n^2+n\right)}^2={\left(2020.2019\right)}^2$

$\iff n^2+n=2020.2019$ vì $n^2+n>0,\forall n>0$

$\iff \left[\begin{array}{l}n=2019\in \left[0;+\infty \right)\\ n=-2020\notin \left[0;+\infty \right)\end{array}\right.$

Vậy $n=2019$

Chú ý khi giải:

HS thường không biết áp dụng công thức $1^3+2^3+3^3+\mathrm{...}+n^3=\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}$ dẫn đến không tìm ra kết quả bài toán.

Đáp án A

Phương pháp:

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Cách giải:

Ta có hàm số: $y=a{x}^2+b{x}^2+cx+d$

Từ chiều biến thiên của đồ thị ta có a > 0.

Có: $y\left(0\right)=d>0$

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

=> phương trình: $y=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$. Chọn $x_1<x_2$

Mà $x_1<0<x_2\Rightarrow ac<0\iff c<0$

Từ đồ thị ta có: $\left|x_1-0\right|<\left|x_2-0\right|\Rightarrow a+b<0\iff b<-a<0$

Vậy: $a,d>0;b,c<0$

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi phương trình đã cho về $2{\log }_5\left(x^2-2x-3\right)={\log }_2\left(x^2-2x-4\right)$ và đặt ẩn phụ $t={\log }_5\left(x^2-2x-3\right)$ đưa về phương trình ẩn t.

Xét hàm $f\left(t\right)$ và tìm nghiệm của $f\left(t\right)=0$ từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

Cách giải:

Phương trình (1): ${\log }_{\sqrt{5}}\left(x^2-2x-3\right)=2{\log }_2\left(x^2-2x-4\right)$

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-2x-3>0\\ x^2-2x-4>0\end{array}\right.\iff x^2-2x-4>0$

Vì $x^2-2x-<x^2-2x-3,\forall x\in R$

$\left(1\right)\iff 2{\log }_5\left(x^2-2x-3\right)={\log }_2\left(x^2-2x-4\right)\left(*\right)$

Đặt $t={\log }_5\left(x^2-2x-3\right)$

$\Rightarrow x^2-2x-3=5^t\Rightarrow x^2-2x-4=5^t-1>0\iff t>0$

Phương trình (*) trở thành:

$2t={\log }_2\left(5^t-1\right)\iff 5^t-4^t-1=0$

Xét hàm số $y\left(t\right)=5^t-4^t-1$ trên $\left(0;+\infty \right)$

Có $y\text{'}\left(t\right)=5^t\ln 5-4^t\ln 4$

Vì $5^t>4^t,\forall t\in \left[0;+\infty \right);\ln 5>\ln 4$ nên $y\left(t\right)=5^t\ln -4^t\ln >0,\forall t\in \left(0;+\infty \right)$

$\Rightarrow f\left(t\right)$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

Bảng biến thiên:

Mà $f\left(t\right)=0\Rightarrow t=1$ là nghiệm duy nhất phương trình $f\left(t\right)=0$

Với $t=1\Rightarrow {\log }_5\left(x^2-2x-3\right)=1$

$\iff x^2-2x-3=5\iff x^2-2x-8=0$

Theo định lý vi – et ta có tổng hai nghiệm phương trình (1) là: $x_1+x_2=2.$

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.

Đáp án A

Phương pháp:

Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là SDA bằng cách sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

Công thức tính thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}S.h$

Cách giải:

Ta có: $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD$

Mà $AD\perp CD\Rightarrow CD\perp \left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp SD$.

Vì $\left\{\begin{array}{l}\left(SCD\right)\cap \left(ABCD\right)=CD\\ AD\perp CD\\ SD\perp CD\end{array}\right.$nên góc giữa (SCD) và (ABCD) là $SDA=60°$

Ta có: $h=a.\tan 60°=a\sqrt{3}$

$S_{ABMD}=S_{ABCD}-S_{\Delta DCM}=a^2-\frac{1}{2}a.\frac{a}{2}=\frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow V_{S.ABMD}=\frac{1}{3}{S}_{ABMD}.h=\frac{1}{3}.\frac{3a^2}{4}.a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

Chú ý khi giải:

HS thường xác định sai góc giữa hai mặt phẳng dẫn đến đáp số sai.

Đáp án D

Phương pháp:

Tính y' và tìm điều kiện của để $y\text{'}>0,\forall x\in R$

Điều kiện để tam thức bậc hai $a{x}^2+bx+c>0,\forall x\in R$ là $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.$

Cách giải:

Xét hàm số: $y=\frac{1}{3}{x}^3-\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-2$

Có $y\text{'}\left(x\right)=x^2-2\left(m-2\right)x+2\left(m-1\right)$

Hàm số đã cho tăng trên $R\iff y\text{'}\left(x\right)>0,\forall x\in R$

$\iff \Delta \text{'}={\left(m-1\right)}^2-2\left(m-1\right)\le 0$ vì $a=1>0$

$\iff m^2-4m+3\le 0$

$1\le 0\le 3$

Chú ý khi giải:

HS thường nhầm lẫn điều kiện để tam thức bậc hai luôn âm, luôn dương dẫn đến chọn nhầm đáp án.

Đáp án C

Phương pháp:

Xét các hàm số ở từng đáp án, tìm khoảng nghịch biến của chúng và đối chiếu điều kiện đề bài.

Cách giải:

*TH1: Đáp án A:

Hàm số: $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$  xác định trên $D=R\backslash \left\{1\right\}$ nên loại A vì $1\in \left(0;\sqrt{2}\right)$

*TH2: Đáp án B:

Xét hàm số: $y=\frac{2x-5}{x+1}$ xác định trên $R\backslash \left\{-1\right\}$

Có $y\text{'}=\frac{7}{{\left(x+1\right)}^2},\forall x\in R\backslash \left\{1\right\}$

=> Hàm số $y=\frac{2x-5}{x+1}$  đồng biến trên $R\backslash \left\{-1\right\}$(loại).

*TH3: Đáp án C:

Hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^4-2x^2+3$  liên tục trên $\left(0;\sqrt{2}\right)$

Có $y\text{'}\left(x\right)=2x^3-6x<0,\forall x\in \left(0;\sqrt{2}\right)$

Hàm số: $y=\frac{1}{2}{x}^4-2x^2+3$ nghịch biến trên $\left(0;\sqrt{2}\right)$

*TH4: Đáp án D:

Hàm số: $y=\frac{3}{2}{x}^3-4x^2+9x+9$ xác định trên R

Có $y\text{'}\left(x\right)=\frac{9}{2}{x}^2-8x+6=\frac{9}{2}{\left(x-\frac{8}{9}\right)}^2+\frac{22}{9}>0,\forall x\in R$ (loại).

Vậy đáp án C thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(a;b\right)$ là $f\text{'}\left(x\right)<0,\forall x\in \left(a;b\right)$.

Đáp án B

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{x+1}>0$ và đặt ẩn phụ $t=\frac{\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x+1}}$ .

- Từ điều kiện $x\ge 1$ ta tìm được điều kiện của t là $0\le t<1$.

- Từ phương trình ẩn t, rút $-m=f\left(t\right)$ và xét hàm $f\left(t\right)$ trên $\left[0;1\right)$ , từ đó suy ra điều kiện của

Cách giải:

Phương trình: $3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x^2-1}$ (Điều kiện: $x\ge 1$)

$3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x-1}.\sqrt[4]{x+1}\left(*\right)$

Ta có với $x\ge 1$ Chia hai vế phương trình (*) cho  ta có: $\frac{3\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+m=\frac{2\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x+1}}\left(1\right)$

Đặt $t=\frac{\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x+1}}\Rightarrow t^4=\frac{x-1}{x+1}$

Với $x\ge 1$ thì hàm số $0\le \frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}<1\Rightarrow 0\le t^4<1\iff 0\le t<1$

Phương trình (1) trở thành: $3t^2-2t+m=0\left(2\right)$

Phương trình (*) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm: $0\le t<1$

Xét hàm $y=f\left(t\right)=3t^2-2t$ trên $\left[0;1\right)$ ta có:

$f\text{'}\left(t\right)=6t-2=0\iff t=\frac{1}{3}\in \left[0;1\right)$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình $3t^2-2t+m=0$ có nghiệm trong $\left[0;1\right)$ thì đường thẳng $y=-m$phải cắt đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)=3t^2-2t$ tại ít nhất 1 điểm.

Do đó $-\frac{1}{3}\le -m<1\iff -1<m\le \frac{1}{3}$

Vậy $-1<m\le \frac{1}{3}$ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Đáp án B.

Chú ý khi giải:

- HS thường quên không tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện (một số bạn chỉ đặt điều kiện sẽ dẫn đến kết quả sai) t t 0 

- Ở bước kết luận, một số bạn nhầm lẫn điều kiện để có nghiệm và có 2 nghiệm nên sẽ chọn để phương trình có 2 nghiệm cũng là một kết quả sai. 1 0 m 3  

Đáp án A

Phương pháp:

Xét tính đúng sai của các đáp án dựa vào các kiến thức hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định.

Cách giải:

*2 sai vì với $c_1<c_2$ bất kỳ nằm trong $\left(a;b\right)$ ta chưa thể so sánh được $f\left(c_1\right)$ và $f\left(c_2\right)$

*3 sai. Vì y' bằng 0 tại điểm đó thì chưa chắc đã đổi dấu qua điểm đó. VD hàm số $y=x^3$

*4 sai: Vì thiếu điều kiện tại $f\text{'}\left(x\right)=0$ hữu hạn điểm.VD hàm số $y=1999$ có $y\text{'}=0\ge 0$ nhưng là hàm hằng.

Chú ý khi giải:

HS thường nhầm lẫn:

- Khẳng định số 4 vì không chú ý đến điều kiện bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Khẳng định số 3 vì không chú ý đến điều kiện đổi dấu qua nghiệm.

Đáp án B

Phương pháp:

Tính bán kính hai khối cầu dựa vào các mối quan hệ đường tròn nội tiếp tam giác.

Tính thể tích hai khối cầu đã cho theo công thức $V=\frac{4}{3}\pi .R^3$ và suy ra kết luận.

Cách giải: Cắt món đồ chơi đó bằng mặt phẳng đứng đi qua trục hình nón.

Gọi P, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, I, J trên AB.

Vì $BAC=2\beta =60°,AM=9cm.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BM=MC=3\sqrt{3}\\ AB=AC=6\sqrt{3}=BC\end{array}\right.\Rightarrow \Delta ABC$ đều.

Vì IM là bán kính mặt cầu nội tiếp tam giác đều ABC nên $IH=IM=\frac{AM}{3}=3$