50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 2)

Câu 1:

Hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1$ có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ khi đó tổng $x_{1} + x_{2}$ bằng

A. -2

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = x^{2} - 4 x + 2 \Rightarrow x_{1} + x_{2} = 4.$

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ có $\underset{x \to - \infty}{l i m f (x)} = 2 v à \underset{x \to + \infty}{l i m f (x)} = - 2.$ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang $y = 2 v à y = - 2$

C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng $x = 2 v à x = - 2$

D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 3:

Tìm giá trị cực đại $y_{C Đ}$ của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3$

A. $y_{C Đ} = 2$

B. $y_{C Đ} = 0$

C. $y_{C Đ} = 3$

D. $y_{C Đ} = - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Mặt khác:

$y'' = 6 x - 6 \Rightarrow \{\begin{cases} y'' (0) = - 6 \\ y'' (2) = 6 \end{cases} \Rightarrow y_{C Đ} = y (0) = 3.$

Câu 4:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $ℝ$

A. $y = \frac{x - 1}{x + 2}$

B. $y = x^{4} + x^{2} + 1$

C. $y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$

D. $y = x^{3} + x$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow$ hàm số có tập xác định $D = ℝ$ và $y' \geq 0, \forall x \in ℝ .$

Câu 5:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

A. Hàm số có đúng một cực trị

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0

D. Hàm số có cực đại và cực tiểu.

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 6:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + m x$ có cực trị khi

A. $m < 3$

B. $m \leq 3$

C. $m > 3$

D. $m \geq 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} .$

Mặt khác:

$y'' = 6 x - 6 \Rightarrow \{\begin{cases} y'' (0) = - 6 \\ y'' (2) = 6 \end{cases} \Rightarrow y_{C Đ} = y (0) = 3.$

Câu 7:

Đồ thị hàm số $y = x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 1$ và đường thẳng $y = 3 x + 1$ cắt nhau tại điểm duy nhất $(x_{0}; y_{0})$ khi đó

A. $y_{0} = - 2$

B. $y_{0} = 1$

C. $y_{0} = 0$

D. $y_{0} = 3$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow$ hàm số có tập xác định $D = ℝ$ và $y' \geq 0, \forall x \in ℝ .$

Câu 8:

Đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 5$ cắt đường thẳng $y = 6$ tại bao nhiêu điểm?

A. 0

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

Chú ý: Hàm số không có đạo hàm tại x=2 nhưng y' đổi dấu qua điểm này và x=2 thuộc TXĐ của hàm số nên hàm số vẫn đạt cực trị tại x=2.

Câu 9:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$ trên đoạn $[0; 4]$

A. $\underset{[0; 4]}{max y} =0$

B. $\underset{[0; 4]}{max y} =3$

C. $\underset{[0; 4]}{max y} =2$

D. $\underset{[0; 4]}{max y} =1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x + m$ .Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow P T y' = 0$ có nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ' (y') > 0 \Leftrightarrow 9 - 3 m < 0 \Leftrightarrow m < 3.$

Câu 10:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{9}{x}$ trên đoạn $[1; 4]$

A.

B. $\underset{[1; 4]}{min y} = - 4$

C. $\underset{[1; 4]}{min y} = 4$

D. $\underset{[1; 4]}{min y} = 6$

Xem đáp án

Đáp án B

PT hoành độ giao điểm là:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 1 = 3 x + 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} + 2 x + 2 = 0 \end{array} \Rightarrow x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = 1.$

Câu 11:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=2 và tiệm cận đứng x=-2

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang x=2 và tiệm cận đứng y=-2

D. Hàm số có cực trị

Xem đáp án

Đáp án C

PT hoành độ giao điểm là:

$x^{4} - 2 x^{2} + 5 = 6 \Leftrightarrow x^{4} - 2 x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 1 + \sqrt{2} \\ x^{2} = 1 - \sqrt{2} \end{array} \Rightarrow x^{2} = 1 + \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}} \Rightarrow$

Hai đồ thị có 2 giao điểm.

Câu 12:

Hàm số $y = \frac{1 - x}{x + 2}$ có hai tiệm cận là

A. $x = - 2 v à y = 1$

B. $x = - 1 v à y = - 2$

C. $x = - 2 v à y = - 1$

D. $x = 1 v à y = 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x - 9 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array} .$

Suy ra:

$y (0) = 1, y (3) = - 26, y (4) = - 127 \Rightarrow \underset{[0; 4]}{m a x y} = y (0) = 1.$

Câu 13:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1 (C) .$ Ba tiếp điểm của (C) tại giao điểm của (C) và đường thẳng $d : y = x - 2$ có tổng hệ số góc bằng

A. 12

B. 13

C. 14

D. 15

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 1 - \frac{9}{x^{2}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3.$

Suy ra: $y (1) = 10, y (3) = 6, y (4) = \frac{25}{4} \Rightarrow \min_{[1; 4]} y 3 = y (3) = 6.$

Câu 14:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của lăng trụ ABC.A'B'C'

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

C. $V = a^{3} \sqrt{3}$

D. $V = 2 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 15:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ . Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1; 3]$ thì M, n bằng:

A. 8

B. 2

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 16:

Hàm số nào sau đây không có cực trị

A. $y = x^{2} + 1$

B. $y = x^{3} + x^{2} + 1$

C. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x$

D. $y = x^{4} + 1$

Xem đáp án

Đáp án D

PT hoành độ giao điểm là:

$x^{3} - 3 x^{2} + 1 = x - 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{array} .$

Ta có:

$y' = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow \{\begin{cases} y' (- 1) = 9 \\ y' (1) = - 3 \Rightarrow y' (- 1) + y' (1) + y' (3) = 15. \\ y' (3) = 9 \end{cases}$

Câu 17:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 có phương trình là

A. $y = - 3 x$

B. $y = 3 x - 3$

C. $y = 3 x$

D. $y = - 3 x + 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} a^{2} \sin 60^{\circ} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$ Thể tích của lăng trụ ABC.A'B'C' là:

$V = A A' . S_{A B C} = 2 a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

Câu 18:

Bảng biến thiên ở bên là bảng biến thiên của hàm số nào?

A. $y = \frac{x - 2}{x - 1}$

B. $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

C. $y = \frac{x - 1}{x + 1}$

D. $y = \frac{x + 2}{x + 1}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Suy ra: $y (1) = 1, y (2) = - 1, y (3) = 3 \Rightarrow \{\begin{cases} M = 3 \\ n = - 1 \end{cases} \Rightarrow M + n = 2.$

Câu 19:

Cho hàm số $y = \frac{x}{x^{2} - 1}$ . Số tiệm cận của đồ thị hàm số là:

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \Rightarrow y' = 3 {(x - 1)}^{2} \geq 0 (\forall x \in ℝ)$

nên hàm số không có cực trị.

Câu 20:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt bên (SBC) tạo với đáy 1 góc bằng $60^{\circ}$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC Thể tích V của khối chóp S.AMN?

A. $V = \frac{a^{3}}{2}$

B. $V = \frac{a^{3}}{4}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{32}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1:0).

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow y' (1) = 3.$

Suy ra: $d : - 3 (x - 1) + 0 \Leftrightarrow y = - 3 x + 3.$

Câu 21:

Cho tứ diện đều cạnh a Tính thể tích V của khối tứ diện đều đó

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

B. $V = \frac{a^{3}}{4}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ là x=1 và TCN là y=1 (loại C và D ). Mặt khác hàm số đã cho là hàm số đồng biến (loại B).

Câu 22:

Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 2$ tại ba điểm phân biệt khi

A. $m \geq 4$

B. $0 \leq m < 4$

C. $0 < m \leq 4$

D. $0 < m < 4$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\lim_{x \to \infty} y = 0 \Rightarrow y = 0$ là TCN, đồ thị hàm số có 2 TCĐ là $x = \pm 1$

Câu 23:

Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên tập xác định của nó

A. $y = \frac{x - 1}{2 - x}$

B. $y = \frac{1 - 2 x}{1 - x}$

C. $y = \frac{x + 1}{2 x + 1}$

D. $y = \frac{2 x}{x - 1}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi I là trung điểm của BC. Ta có:

Câu 24:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ có điểm cực tiểu $x_{C T}$ là

A. $x_{C T} = 0$

B. $x_{C T} = - 3$

C. $x_{C T} = 1$

D. $x_{C T} = 2$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi I là tâm của tam giác BCD

Ta có: $B O = \frac{2}{3} \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$A O = \sqrt{A B^{2} - A O^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Thể tích khối tứ diện là:

$V = \frac{1}{3} A O . S_{A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{3} . \frac{1}{2} a^{2} \sin 60^{\circ} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

Câu 25:

Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 2$ như hình vẽ bên.

Hai đồ thị có giao điểm $\Leftrightarrow 0 < m < 4.$

Câu 26:

Hàm số $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; + \infty)$

B. $(- \infty; 0)$

C. $(0; + \infty)$

D. $(- 1; 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

$y = \frac{x - 1}{2 - x} = \frac{x - 1}{- x + 2} \Rightarrow y' = \frac{1}{{(- x + 2)}^{2}} > 0 (\forall x \neq 2) \Rightarrow$ Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó.

Câu 27:

Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số dạng phân thức $y = \frac{a x + b}{c x + d}$

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $y' < 0, \forall x \in ℝ$

B. $y' < 0, \forall x \neq 1$

C. $y' > 0, \forall x \in ℝ$

D. $y' > 0, \forall x \neq 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Mặt khác: $y'' = 6 x - 6 \Rightarrow \{\begin{cases} y'' (0) = - 6 \\ y'' (2) = 6 \end{cases} \Rightarrow x_{C T} = 2.$

Câu 28:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x + m .$ Với giá trị nào của m hàm số đạt cực đại tại x=2 ?

A. $m = 1$

B. $m = 1$ hoặc $m = 3$

C. $m = 3$

D. $m = 0$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 2}{x + 1} \Rightarrow$

Đồ thị hàm số có 1 TCĐ.

Câu 29:

Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{1 - m x^{2}}}$ có hai tiệm cận ngang

A. $m = 0$

B. $m = 1$

C. $m > 1$

D. $m < 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số có tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có $y' = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0) .$

Câu 30:

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x - m}$ . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

A. $0 \leq m < 1$

B. $0 < m < 1$

C. $m \leq 1$

D. $m < 0$

Xem đáp án

Đáp án B

TXĐ: $D = ℝ \ \{1\} .$ Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Câu 31:

Đường thẳng $y = - m x + 2$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} + 2$ tại ba điểm phân biệt khi

A. $m < 4 v à m \neq 0$

B. $m < 1$

C. $m < 1 v à m \neq 0$

D. $m < 4$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$

Hàm số đạt cực trị tại $x = 2 \Rightarrow y' (2) = 0$

$\Rightarrow 4 - 4 x = m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 3 \end{array}$

Mặt khác $y'' = 6 x - 6 \Rightarrow y'' (2) = 12 - 6 m$ . Với $m = 1 \Rightarrow y'' (2) > 0 \Rightarrow x = 2$ là điểm cực tiểu, với $m = 3 \Rightarrow y'' (2) < 0 \Rightarrow x = 2$ là điểm cực đại.

Câu 32:

Cho hàm số $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng

A. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 1)$

B. Hàm số nghịch biến trên $(1; + \infty)$

C. Hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$

D. Hàm số nghịch biến trên $(l; 2)$

Xem đáp án

Đáp án D

Với $m = 0 \Rightarrow y = x$ đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Với $m < 0 \Rightarrow$ không tồn tại $\underset{x \to + \infty}{\lim y}$ và $\underset{x \to - \infty}{\lim y}$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Với:

$m < 0 \Rightarrow \underset{x \to + \infty}{\lim y} \frac{x}{\sqrt{1 - m x^{2}}} = \underset{x \to + \infty}{\lim y} \frac{x}{\sqrt{- m} |x|} = \frac{1}{\sqrt{- m}}; \underset{x \to - \infty}{\lim y} \frac{x}{\sqrt{1 - m x^{2}}} = \underset{x \to - \infty}{\lim y} \frac{x}{\sqrt{- m} |x|} = \frac{- 1}{\sqrt{- m}}$

khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

Câu 33:

Tìm m để hàm số $y = m x^{4} + (m - 1) x^{2} + 1$ có ba điểm cực trị

A. $0 < m < 1$

B. $m < 0$ hoặc $m > 1$

C. $m > 1$

D. $m > 1$

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: $D = ℝ \ \{m\}$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y' = \frac{- m + 1}{{(x - 1)}^{2}} > 0 \\ m \notin (- \infty; 0) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 1 \\ m \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 \leq m < 1.$

Câu 34:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = x^{4} - 2 m^{2} x^{2} + 1$ có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều

A. $m = 0$ hoặc $m = \pm \sqrt[6]{3}$

B. $m = \pm \sqrt[6]{3}$

C. $m = \pm \sqrt{3}$

D. $m = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$- m x + 2 = x^{3} - 2 x^{2} + 2 \Leftrightarrow x^{3} - 2 x^{2} + m x = 0$

$\Leftrightarrow x (x^{2} - 2 x + m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ g (x) = x^{2} - 2 x + m = 0 \end{array}$

Để đồ thị cắt nhau tại điểm thì $g (x) = 0$ có nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ'_{g (x)} = 1 - m > 0 \\ g (0) = m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 1 \\ m \neq 0 \end{cases} .$

Câu 35:

Cho khối bát diện đều cạnh a. Tính thể tích V của khối bát diện đều đó

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án D

TXĐ: $D = [0; 2]$ ta có: $y' = \frac{2 - 2 x}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} < 0 \Leftrightarrow x > 1$

Do đó hàm số nghịch biến trên $(1; 2) .$

Câu 36:

Cho hàm số $y = \frac{x + m}{x - 1} .$ Tìm m để $\underset{[2; 4]}{\min y} = 4 ?$

A. $m = 2$

B. $m = - 2$

C. $m = 8$

D. $m = - 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số có 3 cực trị khi $\{\begin{cases} m \neq 0 \\ a b = m (m - 1) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < 1.$

Câu 37:

Tính thể tích V lập phương ABCD.A'B'C'D', biết $A' C = a \sqrt{3}$

A. $V = 3 \sqrt{3} a^{3}$

B. $V = \frac{3 \sqrt{6} a^{3}}{4}$

C. $V = \frac{a^{3}}{3}$

D. $V = a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Áp dụng công thức giải nhanh ta có:

$\tan^{2} \frac{A}{2} = \frac{- 8 a}{b^{3}} = \frac{- 8}{- 8 m^{6}} \Leftrightarrow \tan^{2} 30^{\circ} = \frac{1}{m^{6}} \Leftrightarrow m^{6} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt[6]{3}$

Câu 38:

Một vật chuyển động theo phương trình $s = t^{3} - 3 t^{2} + 6 t + 4$ (s là quãng đường tính bằng m, t là thời gian tính bằng giây). Vận tốc nhỏ nhất của vật là

A. 3m/s

B. 1m/s

C. 2m/s

D. 4m/s

Xem đáp án

Đáp án B

Khối bát diện gồm 2 khối chóp tứ giác đều bằng nhau ghép lại.

Ta có: $V = 2 V_{S . A B C D}$

Ta có: $O A = \frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

Do đó $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

Câu 39:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = x^{3} + (m + 1) x^{2} + 3 x + 1$ đồng biến trên $ℝ$

A. $- 7 \leq m \leq 5$

B. $- 4 \leq m \leq 2$

C. $m \leq - 4$ hoặc $m \geq 2$

D. $m \geq 2$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = \frac{- 1 - m}{{(x - 1)}^{2}}$ luôn âm hoặc luôn dương trên đoạn $[2; 4] .$

Để $\min_{[2; 4]} y = 4 \Rightarrow [\begin{array}{l} y (2) = 4 \\ y (4) = 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m + 2 = 4 \\ \frac{m + 4}{3} = 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = 8 \end{array} .$

Với $m = 2$ suy ra $y' < 0$ nên $\underset{[2; 4]}{\min y} = y (4) = 2$ (loại)

Với $m = 8$ suy ra $y' < 0$ nên $\underset{[2; 4]}{\min y} = y (4) = 4$

Câu 40:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{m x - 1}$ không có tiệm cận đứng

A. $m = 0$

B. $m \neq 0$

C. $m = 0$ hoặc $m = \frac{1}{3}$

D. $m = \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $A' C = A B \sqrt{3} = a \sqrt{3} \Rightarrow A B = a \Leftarrow V = a^{3} .$

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = (x - 1) (x^{2} - 2) (x^{4} - 4) .$ Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Đáp án A

Vận tốc của vật có PT là:

$v = s' = 3 t^{2} - 6 t + 6 = 3 {(t - 1)}^{2} + 3 \geq 3$

Do đó vận tốc nhỏ nhất của vật là: $v_{\min} = 3 m / s .$

Câu 42:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{\tan x - 2}{\tan x - m}$ đồng biến trên khoảng $(0; \frac{π}{4})$

A. $m \leq 0$ hoặc $1 \leq m < 2$

B. $m \leq 0$

C. $1 \leq m < 2$

D. $m \geq 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = 3 x^{2} + 2 (m + 1) x + 3$

Hàm số đồng biến trên

$R \Leftrightarrow y' \geq 0 (\forall x \in ℝ) \Leftrightarrow \{\begin{cases} a_{y'} = 3 > 0 \\ Δ'_{y'} = {(m + 1)}^{2} - 9 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 3 \leq m + 1 \leq 3$

$\Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 2.$

Câu 43:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3.$ Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là 3 điểm cực trị của hàm số trên

A. $S = 2$

B. $S = 1$

C. $S = 3$

D. $S = 4$

Xem đáp án

Đáp án C

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m .3 - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = \frac{1}{3} \end{array}$

Câu 44:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a . S A = a v à S A$ vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường chéo nhau SC và BD

A. $d = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

B. $d = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $d = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

D. $d = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $f' (x) = (x - 1) {(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2)$ đổi dấu khi đi qua điểm x=1 nên hàm số đã cho có duy nhất 1 điểm cực trị.

Câu 45:

Cho hàm số $y = \frac{x + 3}{1 - x}$ có đồ thị (C). Tìm $M \in (C)$ sao cho M cách đều các trục tọa độ

A. $[\begin{array}{l} M (- 1; 3) \\ M (2; - 3) \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} M (2; 2) \\ M (3; 3) \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} M (4; 4) \\ M (- 4; - 4) \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} M (- 1; 1) \\ M (3; - 3) \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = \frac{- m + 2}{{(\tan x - m)}^{2}} . \frac{1}{c o s^{2} x} .$

Hàm số đồng biến trên khoảng

$(0; \frac{π}{4}) \Leftrightarrow \{\begin{cases} - m + 2 > 0 \\ t a n x \neq m (\forall x \in (0; \frac{π}{4})) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 2 \\ m \in (\tan 0; \tan \frac{π}{4}) = (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 2 \\ [\begin{array}{l} m \geq 1 \\ m \leq 0 \end{array} \end{cases} .$

Câu 46:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{3} + x^{2} + m$ cắt trục hoành tại đúng một điểm

A. $m < - \frac{4}{27}$ hoặc $m > 0$

B. $m > 0$

C. $m < - \frac{4}{27}$

D. $- \frac{4}{27} < m < 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Áp dụng công thức giải nhanh

$S = |{\frac{b}{4 a}}^{2}| \sqrt{\frac{- b}{2 a}} = |\frac{4}{4}| \sqrt{\frac{2}{2}} = 1.$

Chú ý công thức tính nhanh dạng này là:

$S = |\frac{b^{2}}{4 a}| \sqrt{\frac{- b}{2 a}}$ và $\tan^{2} \frac{A}{2} = \frac{- 8 a}{b^{3}} .$

Câu 47:

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D' .$ Mặt phẳng $(B D C')$ chia khối lập phương thành hai phần. Tính tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn

A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{6}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có:

$\{\begin{cases} A C ⊥ B D \\ B D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S A C)$

Dựng $O K ⊥ S C \Rightarrow O K$ là đoạn vuông góc chung của BD và SC

Khi đó $d (B D; S C) = O K = \frac{1}{2} d (A; S C) = \frac{1}{2} \frac{S A . A C}{\sqrt{S A^{2} + A C^{2}}}$

Với $A C = a \sqrt{2} \Rightarrow d = \frac{a \sqrt{6}}{6} .$

Câu 48:

Cho hàm số $y = \frac{x + 3}{1 - x}$ có đồ thị (C).Tìm $M \in (C)$ sao cho M cách đều các trục tọa độ:

A. $[\begin{array}{l} M (- 1; 3) \\ M (2; - 3) \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} M (2; 2) \\ M (3; 3) \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} M (4; 4) \\ M (- 4; - 4) \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} M (- 1; 1) \\ M (3; - 3) \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M (a; \frac{a + 3}{1 - a}) (a \neq 1) .$

Theo giả thiết ta có:

$|a| = |\frac{a + 3}{1 - a}| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = \frac{a + 3}{1 - a} \\ - a = \frac{a + 3}{1 - a} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a^{2} + 3 = 0 \\ a^{2} - 2 a - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = 3 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} M (- 1; 1) \\ M (3; - 3) \end{array} .$

Câu 49:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{3} + x^{2} + m$ cắt trục hoành tại đúng 1 điểm

A. $m < \frac{- 4}{27}$ hoặc m>0

B. m>0

C. $m < \frac{- 4}{27}$

D. $\frac{- 4}{27} < m < 0$

Xem đáp án

Đáp án A

PT hoành độ giao điểm:

$x^{3} + x^{2} + m = 0 \Leftrightarrow - m = x^{3} + x^{2} = f (x)$

Xét hàm số: $f (x) = x^{3} + x^{2} \Rightarrow f' (x) = 3 x^{2} + 2 x = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0 \\ x = \frac{- 2}{3} \Rightarrow y = \frac{4}{27} \end{array}$

Lập BBT hoặc vẽ đồ thị suy ra PT có đúng nghiệm

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - m < 0 \\ - m > \frac{4}{27} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} m > 0 \\ m < \frac{- 4}{27} \end{array} .$

Câu 50:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (BDC’) chia khối lập phương thành 2 phần. Tính tỉ lệ giữa phần nhỏ và phần lớn:

A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{6}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $V_{A B C D . A' B' C' D'} = a^{3}$ .

Lại có: $V_{C . B D C} = \frac{1}{3} C C' . S_{B D C} = \frac{a^{3}}{6}$

Do đó: $V_{t} = a^{3} - \frac{a^{3}}{6} = \frac{5 a^{3}}{6} \Rightarrow \frac{V_{b}}{V_{t}} = \frac{1}{5} .$