50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 4)

Câu 1:

Tính $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{- 3 x - 1}{x - 1} .$

A. $- \infty .$

B. $- 3.$

C. $+ \infty .$

D. $- 1.$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{- 3 x - 1}{x - 1} = \frac{- 4}{0^{-}} = + \infty .$

Câu 2:

Số mặt phẳng đối xứng của hình hộp đứng có đáy là hình vuông là:

A. 3.

B. 4.

C. 6.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án D

Hình hộp đứng có đáy là hình vuông có 5 mặt đối phẳng đối xứng.

Câu 3:

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty) ?$

A. $y = \tan x$

B. $y = - \frac{1}{3} x^{3} - 5 x$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

D. $y = \frac{2 x - 1}{x - 3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $y = - \frac{1}{3} x^{3} - 5 x$ có đạo hàm $y' = - x^{2} - 5 < 0 \forall x \in ℝ$ nên hàm số nghịch biến trên $(- \infty; + \infty) .$

Câu 4:

Gọi $x_{0}$ là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + x + 3}{x - 2}$ và đường thẳng $y = x$ Khi đó $x_{0}$ bằng

A. $x_{0} = - 1.$

B. $x_{0} = 0.$

C. $x_{0} = 1.$

D. $x_{0} = - 2.$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{x^{2} + x + 3}{x - 2} = x (x \neq 2) \Rightarrow x^{2} + x + 3 = x^{2} - 2 x \Leftrightarrow x = - 1 (t / m) .$

Câu 5:

Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sao đây?

(I). $y = \frac{2 x + 2}{x - 2}$ (II). $y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$ (III). $y = \frac{2 x + 2}{x + 1}$ (IV). $y = \frac{5 x + 2}{x + 2}$

A. (I)

B. (II)

C. (III)

D. (IV)

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$ có TCĐ là x=1

Câu 6:

Đồ thị hàm số nào sau đây có hình dạng như hình vẽ:

A. $y = x^{3} + x + 2$

B. $y = - x^{3} - x + 2$

C. $y = x^{3} - x + 2$

D. $y = - x^{3} + x + 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

+) $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty \Rightarrow a > 0$ nên loại B và D.

+) Hàm số không có cực trị Loại C.

Câu 7:

Bảng biến thiên sau là bảng biến thiên của đồ thị hàm số nào?

A. $y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$

B. $y = \frac{x + 1}{x - 2}$

C. $y = \frac{x + 1}{x + 2}$

D. $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào BBT ta có:

+) Đồ thị hàm số có TCĐ $x = - 2 \Rightarrow$ Loại B,D.

+) Đồ thị hàm số có TCN $y = 2 \Rightarrow$ Loại C.

Câu 8:

Cho hàm số $y = x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 2 x + 3.$

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(\frac{1}{2}; + \infty)$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 1)$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(\frac{2}{3}; 2)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 5 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{2}{3} \end{array} \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < \frac{2}{3} \\ x > 1 \end{array}$

nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; \frac{2}{3})$ và $(1; + \infty)$ .

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

Câu 9:

Nghiệm của phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ là:

A. $x = \pm \frac{π}{2} + k 2 π .$

B. $x = \pm \frac{π}{6} + k 2 π .$

C. $x = \pm \frac{π}{4} + k π .$

D. $x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π .$

Xem đáp án

Đáp án D

$\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π .$

Câu 10:

Số cạnh của một khối đa diện đều loại {3;4}là:

A. 8.

B. 6.

C. 12.

D. 20.

Xem đáp án

Đáp án C

Khối đa diện đều loại {3;4} là bát diện đều có 12 cạnh.

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết SA=SB, SC=SD, $(S A B) ⊥ (S C D)$ . Tổng diện tích hai tam giác SAB, SCD bằng $\frac{7 a^{2}}{10}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là :

A. $\frac{4 a^{3}}{25}$

B. $\frac{4 a^{3}}{15}$

C. $\frac{a^{3}}{5}$

D. $\frac{a^{3}}{15}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi E và F là trung điểm của AB và CD ta có: $S E ⊥ A B \Rightarrow S E ⊥ C D \Rightarrow S E ⊥$ giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) vì giao tuyến này song song với AB.

Câu 12:

Số tiếp tuyến đi qua điểm $A (1; 3)$ của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 5$ là:

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M (x_{0}; y_{o})$ của đồ thị hàm số là

$y = (3 x_{0}^{2} - 6 x_{0}) (x - x_{0}) + x_{0}^{3} - 3 x_{0}^{2} + 5$

Lại có phương trình tiếp tuyến đi qua $A (1; 3)$ nên

$3 = (3 x_{0}^{2} - 6 x_{0}) (1 - x_{0}) + x_{0}^{3} - 3 x_{0}^{2} + 5 \Leftrightarrow - 2 x_{0}^{3} - 6 x_{0}^{2} - 6 x_{0} + 5 = 0$

Phương trình trên có một nghiệm $x_{0}$ nên có 1 tiếp tuyến đi qua $A (1; 3)$

Câu 13:

Cho cấp số nhân có $u_{2} = \frac{1}{4}, u_{5} = 16$ Tìm q và $u_{1}$ của cấp số nhân.

A. $q = - \frac{1}{2}, u_{1} = - \frac{1}{2}$

B. $q = - 4, u_{1} = - \frac{1}{16}$

C. $q = \frac{1}{2}, u_{1} = \frac{1}{2}$

D. $q = 4, u_{1} = \frac{1}{16}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\{\begin{cases} u_{2} = u_{1} . q = \frac{1}{4} \\ u_{5} = u_{1} . q^{4} = 16 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} q = 4 \\ u = \frac{1}{16} \end{cases}$

Câu 14:

Cho $\vec{v} = (- 4; 2)$ và đường thẳng $Δ : 2 x - y - 5 = 0$ . Tìm phương trình đường thẳng $Δ'$ là ảnh của $Δ$ qua $T_{\vec{v}}$ .

A. $Δ' : 2 x + y + 15 = 0$

B. $Δ' : 2 x - y - 9 = 0$

C. $Δ' : 2 x - y - 15 = 0$

D. $Δ' : 2 x - y + 5 = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Qua phép tịnh tiến, ta được đường thẳng $Δ'$ song song với $Δ$ nên VTPT của $Δ'$ là $n_{Δ'} = (2; - 1)$

Ta có điểm $M (2; - 1)$ thuộc đường thẳng $Δ = M' (- 2; 1)$ là ảnh của M qua phép tịnh tiến thuộc $Δ'$

Do đó phương trình đường thẳng $Δ'$ là:

$2 (x + 2) - (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y + 5 = 0.$

Câu 15:

Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 2}$ với trục Oy. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị trên tại điểm M là:

A. $y = - \frac{3}{4} x - \frac{1}{2}$

B. $y = - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2}$

C. $y = \frac{3}{4} x - \frac{1}{2}$

D. $y = \frac{3}{4} x + \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là $M (0; \frac{1}{2})$

Ta có: $y' = \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}} .$ Phương trình tiếp tuyến tại M là:

$y' = y_{(M)}^{'} (x - x_{M}) + y_{M} = \frac{- 3}{4} x + \frac{1}{2} .$

Câu 16:

Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy 2a, mặt bên hợp đáy góc $60^{0}$ . Thể tích khối chóp là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Chóp tứ giác đều S.ABCD

Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là tâm O của hình vuông ABCD

Gọi H là trung điểm.

$A B \Rightarrow S H ⊥ A B \Rightarrow (\overset{⏜}{(S A B) . (A B C D)}) = \overset{⏜}{S H O} = 60 °$

$\Rightarrow S O = O H . \tan 60 ° = a \sqrt{3}$

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S O = \frac{1}{3} . {(2 a)}^{2} . a \sqrt{3} = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

Câu 17:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm tất cả các giá trị của để phương trình f(x)=m có 3 nghiệm phân biệt

A. $- 2 < m < 1$

B. $- 2 < m$

C. $- 2 \leq m < 1$

D. $- 2 \leq m \leq 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Để phương trình f(x)=m có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy -2<m<1

Câu 18:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3 x}}{x - 1}$ là

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: TXĐ: $D = (- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$

$\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 3 x}}{x - 1} = 1, \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 3 x}}{x - 1} = - 1 \Rightarrow y = \pm 1$ là 2 TCN của đồ thị hàm số.

Câu 19:

Gọi M, N là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{4} x^{4} - 8 x^{2} + 3$ . Độ dài đoạn thẳng MN bằng:

A. 10.

B. 6.

C. 8

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = x^{3} - 16 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 4 \end{array} .$

Suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu $M (- 4; - 61)$ và $M' (4; - 61)$

Câu 20:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = - x + \sqrt{2 x^{2} + 1}$ là:

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\sqrt{2}$

D. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$D = ℝ; y' = - 1 + \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2}} + 1} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2 x^{2}} + 1 = 2 x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ 2 x^{2} + 1 = 4 x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow M i n (y) = y (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Câu 21:

Phương trình tiếp tuyến của Parabol $y = 3 x^{2} + x + 2$ tại điểm $M (1; 0)$ là:

A. $y = - 5 x + 5$

B. $y = 5 x - 5$

C. $y = - 5 x - 5$

D. $y = 5 x - 4$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = - 6 x + 1 \Rightarrow y' (1) = - 5.$

Do đó phương trình tiếp tuyến của parabol tại M là $y = - 5 (x - 1) = - 5 x + 5.$

Câu 22:

Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

A. 1.

B. 24.

C. 44.

D. 42.

Xem đáp án

Đáp án B

Sắp xếp 4 số tự nhiên 1, 2, 3, 4 theo thứ tự khác nhau ta sẽ được các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau => Có $4! = 24$ số.

Câu 23:

Cho hàm số $y = \frac{m x - 4 m + 5}{x + 3 m}$ với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $D = ℝ \ \{- 3 m\}; y' = \frac{3 m^{2} + 4 m - 5}{{(x + 3 m)}^{2}} .$

Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định thì:

$y' < 0 \forall x \in D \Leftrightarrow 3 m^{2} + 4 m - 5 < 0 \Leftrightarrow \frac{- 2 - \sqrt{19}}{3} < m < \frac{- 2 + \sqrt{19}}{3}$

Vì $m \in ℝ \Rightarrow m \in \{- 2; 1; 0\} .$

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 24:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} - x + 1}}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty) .$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty) .$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ , nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty) .$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ , đồng biến trên khoảng $(1; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $D = ℝ \; y' = \frac{- 3 x + 3}{x^{2} - x + 1} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} y' > 0 \Rightarrow x < 1 \\ y' < 0 \Rightarrow x > 1 \end{cases}$

Nên hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ , nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty) .$

Câu 25:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác cân ,AB=Aa; $\overset{⏜}{B A C} = 120 °$ mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy góc $60 °$ . Thể tích của lăng trụ đã cho là:

A. $\frac{3 a^{3}}{4}$

B. $\frac{3 a^{3}}{8}$

C. $\frac{9 a^{3}}{8}$

D. $\frac{a^{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: Gọi H là trung điểm của B'C'

Tam giác ABC cân tại A nên $\{\begin{cases} A' H ⊥ B C \\ A' H = A' B' . c o s 60 ° = \frac{a}{2} \end{cases}$

Góc mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy là

$\overset{⏜}{A' H A} = 60 ° \Rightarrow A A' = A' H . t a n 60 ° = \frac{a}{2} . \sqrt{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

Do đó: $V_{A B C . A' B' C'} = S_{A B C} . A A' = \frac{1}{2} a \sqrt{3} . \frac{a}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a^{3}}{8} .$

Câu 26:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2}$ trên đoạn $[- 1; 1]$ là:

A. -3

B. -1

C. 1.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{4}{3} \end{array}$

Lại có: $y = (- 1) = - 3, y (0) = 0; y (1) = - 1$

Câu 27:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $y_{C D} = 0$

B. $\underset{ℝ}{m a x} y = 2$

C. $\underset{ℝ}{m i n} y = - 2$

D. $y_{C T} = - 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào BBT ta thấy $y_{C D} = 2$ và $y_{C T} = - 2.$

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, biết $A B = a \sqrt{3}, A C = a \sqrt{2}, S A ⊥ (A B C)$ và SA=a. Thể tích khối chóp S.ABC là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có tam giác ABC vuông tại:

$C \Rightarrow B C = \sqrt{A B^{2} - A C^{2}} = a$

$\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} . a . \frac{1}{2} . a . a \sqrt{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .$

Câu 29:

Cho hàm số $y = (x - 3) (x^{2} - 2 x + 3)$ có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. (C) cắt trục hoành tại hai điểm.

B. (C)cắt trục hoành tại ba điểm.

C. (C)không cắt trục hoành.

D. (C)cắt trục hoành tại một điểm.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm:

$(x - 3) (x^{2} - 2 x + 3) = 0 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

Câu 30:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin^{2} x + \sin x - 3$ là:

A. 1

B. -3

C. $\frac{- 13}{4}$

D. -1

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 31:

Cho hàm số $y = x^{3} + 2 (m + 2) x^{2} + (8 - 5 m) x + m - 5$ có đồ thị $(C_{m})$ và đường thẳng $d : y = x - m + 1$ . Tìm số các giá trị của m để d cắt $(C_{m})$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tại $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 20.$

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 32:

Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong đoạn $[- 2017; 2017]$ để hàm số $y = x^{3} - 3 (2 m + 1) x^{2} + (12 m + 5) x - 2$ đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ ?

A. 2018

B. 2019

C. 2017

D. 2016

Xem đáp án

Đáp án A

Để hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ thì

Xét $f (x) = \frac{3 x^{2} - 6 x + 5}{12 (x - 1)}$ có đạo hàm $f' (x) = \frac{3 x^{2} - 6 x + 1}{12 {(x - 1)}^{2}} > 0 (x > 2)$

Do đó f(x) đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ hay $M i n f (x) = f (2) = \frac{5}{12} \Rightarrow m < \frac{5}{12}$

Lại có $\{\begin{cases} m \in [- 2017; 2017] \\ m \in ℤ \end{cases}$ .

Suy ra có 2018 giá trị của m thỏa mãn

Câu 33:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có đồ thị (C) . Biết rằng với $m \in (- \infty; a) \cup (b; + \infty)$ thì đường thẳng cắt $y = x + m$ tại hai điểm phân biệt. Khi đó a+b bằng:

A. 8

B. 10

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm

Để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = {(m - 1)}^{2} - 4 (m + 1) > 0 \\ f (- 1) = 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m^{2} - 6 m - 3 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 3 + 2 \sqrt{3} \\ m < 3 - 2 \sqrt{3} \end{array}$

Hay $m \in (- \infty; 3 - 2 \sqrt{3}) \cup (3 + 2 \sqrt{3}; + \infty) \Rightarrow a + b = 6$

Câu 34:

Tìm tất cả các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + (m^{2} + 2) x + m^{2} - 1$ trên đoạn [0;1] bằng 8

A. $m = \pm 3$

B. $m = \pm \sqrt{3}$

C. $m = \pm 1$

D. $m = 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$\begin{array}{l} y' = 3 x^{2} + m^{2} + 2 > 0 \forall x \\ \Rightarrow M i n y = y (0) = m^{2} - 1 = 8 \Leftrightarrow m = \pm 3. \end{array}$

Câu 35:

Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để thể tích là $6 \sqrt{3} c m^{3}$ . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì người ta tính toán được độ dài cạnh đáy bằng a cm, cạnh bên bằng b cm Khi đó tích ab là:

A. $4 \sqrt{3}$

B. $2 \sqrt{6}$

C. $2 \sqrt{3}$

D. $6 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

(BĐT AM–GM)

Dấu bằng xảy ra:

Câu 36:

Cho hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 3$ có đồ thị như hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số $y = |x^{4} - 4 x^{2} + 3|$

A. 5

B. 6

C. 7

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

HD: Ta có: Giữ nguyên phần phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành của đồ thị đã cho, ta được đồ thị hàm số $y = |x^{4} - 4 x^{2} + 3| \Rightarrow$ Hàm số có 7 cực trị.

Câu 37:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình $x + 2 y + 3 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay $- 90 °$ và phép vị tự tâm O tỉ số 5.

A. $d' : 2 x - y - 15 = 0$

B. $d' : 2 x - y + 15 = 0$

C. $d' : 2 x - y + \frac{3}{5} = 0$

D. $d' : x + 2 y - 30 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

d cắt Ox,Oy lần lượt tại $A (- 3; 0); B (0; - \frac{3}{2})$ Qua phép quay tâm O góc quay $- 90 °$ điểm A và B lần lượt biến thành các điểm $A' (0; 3); B (- \frac{3}{2}; 0) \Rightarrow A' B' : 2 x - y + 3 = 0$

Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó nên $d' : 2 x - y + m = 0$

Qua $V_{(O; k)} (A') = A_{1} \Rightarrow \vec{O A_{1}} = 5 \vec{O A'} \Rightarrow A_{1} (0; 15) \Rightarrow d' : 2 x - y + 15 = 0$

Câu 38:

Số điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo là nghiệm của phương trình $\cot x = \tan x + \frac{2 \cos 4 x}{\sin 2 x}$ trên đường tròn lượng giác là

A. 2

B. 3

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

ĐK: $\sin 2 x \neq 0$ .

Khi đó:

Do đó có 4 điểm $x = \pm \frac{π}{3}; x = \frac{2 π}{3}; x = \frac{4 π}{3}$ biểu diễn nghiệm của PT đã cho.

Câu 39:

Cho lăng trụ $A B C . A' B' C'$ có tất cả các cạnh bằng 2a. Góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng $30 °$ . Hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng $A' B' C'$ thuộc cạnh B'C'. Khoảng cách giữa AA’ và BC là:

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

B. $a \sqrt{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

D. $2 a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

HD: Ta có: $A' H = A A' c o s 30 ° = a \sqrt{3} \Rightarrow H$ là trung điểm của

Do $A A' / / B B'$

$\Rightarrow d (A A'; B C) = d (A A'; (B C C')) = d (B' C'; A A')$

Dựng $H K ⊥ A A'$ suy ra HK là đoạn vuông góc chung của AA' và $B' C'$

$\Rightarrow d = H K = A' H . s i n \overset{⏜}{A A' H} = a \sqrt{3} . \sin 30 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Câu 40:

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $x^{4} - 2 x^{2} - m = 0$ có bốn nghiệm phân biệt.

A. $- 2 < m < 0$

B. $0 < m < 1$

C. $- 1 < m < 2$

D. $- 1 < m < 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $t = x^{2} \Rightarrow t \geq 0.$ Phương trình đã cho trở thành $t^{2} - 2 t - m = 0 (*)$

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' = 1 + m > 0 \\ S = 2 > 0 \\ P = - m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 < m < 0$

Câu 41:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} \sin 3 x + m \sin x + 2 m - 3$ đạt cực đại tại $x = \frac{π}{3}$

A. không có giá trị m

B. $m = 1$

C. $m = 2$

D. $m = - 2$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = \cos 3 x + m . \cos x$ và $y'' = - 3 \sin 3 x - m . \sin x$

Để hàm số đạt cực đại tại:

$x = \frac{π}{3} \Rightarrow y' (\frac{π}{3}) = 0 \Rightarrow - 1 + \frac{m}{2} = 0 \Leftrightarrow m = 2.$

Với $m = 2 \Rightarrow y'' (\frac{π}{3}) = - 3 \sin π - 2 \sin \frac{π}{3} < 0$

nên hàm số đạt cực đại tại $x = \frac{π}{3}$

Câu 42:

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển ${(x^{2} - x + 1)}^{20}$

A. 950

B. 1520

C. -1520

D. -950

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: ${(x^{2} - x + 1)}^{20}$ có số hạng tổng quát là $C_{20}^{k} {(x^{2} - x)}^{k}$

Mặt khác ${(x^{2} - x)}^{k}$ có số hạng tổng quát là $C_{k}^{i} {(x^{2})}^{i} . {(- x)}^{k - i} = C_{k}^{i} x^{k + i} . {(- 1)}^{k - i}$

Do đó số hạng tổng quát của khai triển là $C_{20}^{k} . C_{k}^{i} . x^{k + i} {(- 1)}^{k - i}$ (với $k; i \in ℕ; i \leq k \leq 20$ )

Với $k + i = 3 \Rightarrow [\begin{array}{l} i = 0; k = 3 \\ i = 1; k = 2 \end{array}$

Hệ số bằng $C_{20}^{3} . C_{3}^{0} . {(- 1)}^{3} + C_{20}^{2} . C_{2}^{1} . {(- 1)}^{1} = - 1520$

Câu 43:

Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều là $1 c m^{3} .$ Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hình lăng trụ là

A. $3 c m^{2} .$

B. $6 c m^{2} .$

C. $4 c m^{2} .$

D. $5 c m^{2} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi a, h lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao của khối lăng trụ.

Thể tích khối lăng trụ là $V = S . h = a^{2} . h = 1 \Rightarrow h = \frac{1}{a^{2}} .$

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là:

$S_{t p} = 2 a^{2} + 4 a h = 2 a^{2} + 4 a . \frac{1}{a^{2}} = 2 a^{2} + \frac{4}{a} .$

Vậy $S = 2 a^{2} + \frac{2}{a} + \frac{2}{a} \geq 3 \sqrt[3]{2 a^{2} . \frac{2}{a} . \frac{2}{a}} = 6 \Rightarrow S_{\min} = 6 c m^{2}$

Câu 44:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, $A B = a, A C = a \sqrt{3, B C = 2 a .}$ Tam giác SBC cân tại S, tam giác SCD vuông tại C. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ . Chiều cao SH của hình chóp là

A. $\frac{a \sqrt{15}}{5}$

B. $\frac{a \sqrt{15}}{3}$

C. $\frac{2 a}{\sqrt{15}}$

D. $\frac{a \sqrt{5}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 45:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 6}{\sqrt{x^{2} + 2 m x + 2 m + 8}}$ có đúng hai đường tiệm cận.

A. $- 2 < m < 5$

B. $- 2 < m < 4$

C. $- 1 < m < 4$

D. $- 1 < m < 5$

Xem đáp án

Đáp án B

HD:

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{3 x - 6}{\sqrt{x^{2} + 2 m x + 2 m + 8}}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{3 x (1 - \frac{2}{x})}{|x| \sqrt{1 + \frac{2 m}{x} + \frac{2 m + 8}{x^{2}}}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{3 x}{|x|} = 3$

Và $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 6}{\sqrt{x^{2} + 2 m x + 2 m + 8}}$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{3 x (1 - \frac{2}{x})}{|x| \sqrt{1 + \frac{2 m}{x} + \frac{2 m + 8}{x^{2}}}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{|x|} = - 3$

Suy ra đồ thị hàm số luôn có hai đường tiệm cận ngang.

Để ĐTHS có đúng hai đường tiệm cận $\Leftrightarrow x^{2} + 2 m x + 2 m + 8 = 0$ vô nghiệm

$\Leftrightarrow - 2 < m < 4.$

Câu 46:

Cho hàm số $y = m x^{3} - 3 m x^{2} + (2 m + 1) x - m + 3,$ đồ thị là $(C_{m})$ và $A (\frac{1}{2}; 4)$ . Gọi h là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của $(C_{m})$ . Giá trị lớn nhất của h bằng

A. $\sqrt{2} .$

B. $2 \sqrt{2} .$

C. $2 \sqrt{3} .$

D. $\sqrt{3} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét biểu thức:

là PT đi qua điểm CT của $(C_{m})$

Khoảng cách từ điểm A đến (d) là:

$h = \frac{|2 m + 1|}{\sqrt{4 {(m - 1)}^{2} + 9}} = \frac{|2 m + 1|}{\sqrt{4 m^{2} - 8 m + 13}}$

Ta có:

Vậy $h_{\max} = \sqrt{2} .$

Câu 47:

Cho một hình vuông có cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên tiếp để được một hình vuông, tiếp tục làm như thế đối với hình vuông mới (như hình vẽ bên).

Tổng diện tích cách hình vuông liên tiếp đó là

A. 2

B. $\frac{3}{2}$

C. 8

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Theo giả thiết, diện tích hình vuông sau sẽ bằng $\frac{1}{2}$ diện tích hình vuông trước.

Khi đó, tổng diện tích cần tính là tổng của cấp số nhân với $u_{1} = 1,$ , với công bội $q = \frac{1}{2} .$

Vậy tổng $S = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{1 (1 - 2^{- n})}{1 - \frac{1}{2}}$

mà $n \to + \infty \Rightarrow 2^{- n} \to 0$ suy ra S=2

Câu 48:

Cho tứ diện ABCD có thể tích $9 \sqrt{3} c m^{3}$ . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các mặt của khối tứ diện ABCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ là

A. $\frac{2 \sqrt{3}}{3} c m^{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3} c m^{3}$

C. $3 \sqrt{3} c m^{3}$

D. $\sqrt{3} c m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$\frac{V_{M N P Q}}{V_{A B C D}} = \frac{1}{3} . {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{27} \Rightarrow V_{M N P Q} = \frac{V_{A B C D}}{27} = \frac{9 \sqrt{3}}{27} = \frac{\sqrt{3}}{3} c m^{3}$

Câu 49:

Giả sử hàm số $y = \frac{x^{2} + 3 x + m - 1}{x - 3}$ đạt cực trị tại các điểm $x_{1}, x_{2}$ . Tính $|\frac{y (x_{1}) - y (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}|$

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Bài toán tổng quát “ Cho hàm số $y = \frac{a x^{2} + b x + c}{m x + n}$ có đồ thị (C). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị (C) là $y = \frac{(a x^{2} + b x + c)'}{(m x + n')} = \frac{2 a}{m} x + \frac{b}{m}$ ”

Xét hàm số $y = \frac{x^{2} + 3 x + m - 1}{x - 3} \Rightarrow y = 2 x + 3$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của ĐTHS.

Khi đó: $y (x_{1}) - y (x_{2}) = 2 x_{1} + 3 - 2 x_{2} - 3 = 2 (x_{1} - x_{2})$

$\Rightarrow \frac{y (x_{1}) - y (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = 2$

Câu 50:

Bất phương trình

$2 (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x^{3} + 1} + \sqrt{x^{2} - x + 1}) < m + x^{2} - 1$

có tập nghiệm là $(- 1; + \infty)$ khi

A. $m \geq 2 \sqrt{3}$

B. $m \geq 3$

C. $m \geq 4$

D. $m \leq 2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow 1 + 2 (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x^{2} - x + 1}) - (x^{2} + 2 \sqrt{x^{3} + 1}) < m$ (*)

Đặt $t = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x^{2} - x + 1}$

$\Leftrightarrow t^{2} = x^{2} + 2 + 2 \sqrt{x^{3} + 1} \Leftrightarrow x^{2} + 2 \sqrt{x^{3} + 1} = t^{2} - 2$

Khi đó, bất phương trình $(*) \Leftrightarrow 1 + 2 t - (t^{2} - 2) < m$

$\Leftrightarrow m > f (t) = - t^{2} + 2 t + 3 (I) .$

Với $x > - 1$ suy ra $t > \sqrt{3}$

khi đó: $(I) \Leftrightarrow m \geq \max_{(\sqrt{3}; + \infty)} f (t) = 2 \sqrt{3} .$