50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 9)

Câu 1:

Hàm số $y = - x^{3} + 3 x - 5$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 1; 1)$

B. $(- \infty; - 1)$

C. $(1; + \infty)$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$y' = - 3 x^{2} + 3 = - 3 (x - 1) (x + 1) \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1.$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 1)$

Câu 2:

Số mặt phẳng đối xứng của hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông là:

A. 3

B. 1

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

4 mặt phẳng cắt theo chiều dọc và 1 mặt phẳng cắt theo chiều ngang.

Câu 3:

Trong các hàm số sau, hàm số nào không có giá trị nhỏ nhất?

A. $y = \frac{x - 2}{x + 1}$

B. $y = x^{2} + 2 x + 3$

C. $y = x^{4} + 2 x$

D. $y = \sqrt{2 x - 1}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 4:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình thang cân với đáy AD và BC. Biết AD=2a, AB=BC=CD=a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn AD thỏa mãn HD=3HA tạo với đáy một góc $45^{\circ}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{3 \sqrt{3} a^{3}}{4}$

B. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{8}$

C. $V = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

D. $V = \frac{9 \sqrt{3} a^{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi M là trung điểm của AD.

Ta có: BC=AM=a và BC//AM nên tứ giác ABCM là hình bình hành

=> $\Rightarrow C M / / A B = a \Rightarrow Δ C D M$ đều.

Gọi K là hình chiếu của C lên AD.

Câu 5:

Tìm tập xác định D của hàm số:

$y = \log_{2017} (9 - x^{2}) + {(2 x - 3)}^{- 2018} .$

A. $D = (\frac{3}{2}; 3)$

B. $D = (- 3; 3)$

C. $D = [- 3; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; 3]$

D. $D = (- 3; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; 3)$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số xác định:

$\{\begin{cases} 9 - x^{2} > 0 \\ 2 x - 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 < x < 3 \\ x \neq \frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow D = (- 3; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; 3)$

Câu 6:

Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x = 12 x {(x - 1)}^{2} .$

Suy ra y' đổi dấu 1 lần, suy ra hàm số có 1 cực trị.

Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{m x - 8}{x + 2}$ có tiệm cận đứng

A. $m = 4$

B. $m = - 4$

C. $m \neq 4$

D. $m \neq - 4$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số có tiệm cận đứng $\Leftrightarrow P T m x - 8 = 0$ không có nghiệm x=-2

Suy ra $- 2 m - 8 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq - 4.$

Câu 8:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp đáy một góc $60^{\circ}$ . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tính thể tích V

A. $V = \frac{7 \sqrt{6} a^{3}}{36}$

B. $V = \frac{7 \sqrt{6} a^{3}}{72}$

C. $V = \frac{5 \sqrt{6} a^{3}}{72}$

D. $V = \frac{5 \sqrt{6} a^{3}}{36}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $2 O D^{2} = a^{2} \Rightarrow O D = \frac{a}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow S O = O D \tan 60^{\circ} = \frac{a}{\sqrt{2}} . \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Gọi H là hình chiếu của N lên (ABCD) là trung điểm của OC.

Ta có: $N H = \frac{S O}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{4}; S_{M B C} = S_{A B C D} = a^{2}$

$V_{N . B C M} = \frac{1}{3} N H . S_{M B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{4} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$

Ta có:

$\frac{M D}{D C} . \frac{C S}{C N} . \frac{N P}{P M} = 1 \Leftrightarrow 1.2. \frac{N P}{P M} = 1 \Leftrightarrow \frac{N P}{P M} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{P M}{M N} = \frac{2}{3}$

Ta có: $\frac{V_{M . D P Q}}{V_{M . B C N}} = \frac{P M}{M N} . \frac{M D}{M C} . \frac{M Q}{M B} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow V_{N p Q D C A} = \frac{5}{6} V_{N . B C M} = \frac{5}{6} . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12} = \frac{5 a^{3} \sqrt{6}}{72}$

Câu 9:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 3; - 1)$

C. Hàm số nghịch biến trên $(0; 1) \cup (1; 2) .$

D. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng.

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 10:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = s i n x - m x$ nghịch biến trên R

A. $m < 1$

B. $m > - 1$

C. $m > 1$

D. $m \geq 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y' = \cos x - m .$

Hàm số nghịch biến trên R

$\Leftrightarrow y' \leq 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow \cos x - m \leq 0 \forall x \in ℝ \Leftrightarrow \cos x \leq m \forall x \in ℝ \Rightarrow m \geq \underset{ℝ}{M a x} (\cos x) = 1.$

Câu 11:

Tìm số tiêm cân đứng và ngang của đồ thi hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3 x - 2} .$

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A. $V = \frac{4 \sqrt{3} π a^{3}}{27}$

B. $V = \frac{5 \sqrt{15} π a^{3}}{54}$

C. $V = \frac{5 \sqrt{15} π a^{3}}{18}$

D. $V = \frac{5 π a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: O là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SAB.

Ta có: $O G = \frac{1}{3} S M = \frac{\sqrt{3}}{6}; M G = \frac{C M}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$R = S O = \sqrt{M G^{2} + S G^{2}} = \sqrt{\frac{3}{6} + \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{15}}{6}$

Cách 2: Áp dụng CT giải nhanh trong trường hợp $(S A B) ⊥ (A B C)$ ta có:

$R^{2} = {R^{2}}_{A B C} + {R^{2}}_{S A B} - \frac{A B^{2}}{4} = \frac{1^{2}}{3} + \frac{1^{2}}{3} - \frac{1}{4} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} \Rightarrow R = \frac{\sqrt{15}}{6} .$

Vậy $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{5 \sqrt{15} π}{54} .$

Câu 13:

Tìm n biết:

$\frac{1}{\log_{2} x} + \frac{1}{\log_{2^{2}} x} + \frac{1}{\log_{2^{3}} x} + ... + \frac{1}{\log_{2^{n}} x} = \frac{465}{\log_{2} x}$

luôn đúng với mọi $x > 0, x \neq 1.$

A. $n = 31$

B. $n \in \emptyset$

C. $n = 30$

D. $n = - 31$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\frac{1}{\log_{2} x} + \frac{1}{\log_{2^{2}} x} + \frac{1}{\log_{2^{3}} x} + ... + \frac{1}{\log_{2^{n}} x}$

$= \log_{x} 2 + \log_{x} 2^{2} + \log_{x} 2^{3} + ... + \log_{x} 2^{n}$

$= \log_{x} ({2.2}^{2} {.2}^{3} {...2}^{n}) = 465 \log_{x} 2 = \log_{x} 2^{465}$

$\Rightarrow {2.2}^{2} {.2}^{3} {...2}^{n} \Leftrightarrow 1 + 2 + 3 + ... + n = 465 \Leftrightarrow \frac{n}{2} (n + 1) = 465 \Leftrightarrow n^{2} + n - 930 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 30 \\ n = - 31 \end{array} \Rightarrow n = 30.$

Câu 14:

Cho tam giác ABC. Tâp hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = a$ (với a là số thực dương không đổi) là

A. Mặt cầu bán kính $R = \frac{a}{3}$

B. Đường tròn bán kính $R = \frac{a}{3}$

C. Đường thẳng

D. Đoạn thẳng độ dài $\frac{a}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = a \Leftrightarrow |3 \vec{M G}| = a \Leftrightarrow M G = \frac{a}{3}$

Vậy tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = a$ là mặt cầu tâm G bán kính $R = \frac{a}{3} .$

Câu 15:

Cho hàm số $y = s i n x + c o s x + 2$ . Mênh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại các điểm

$x = - \frac{3 π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

B. Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm

$x = - \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

C. Hàm số đạt cực đại tại các điểm

$x = \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

D. Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm

$x = \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = \cos x = s inx = 0 \Leftrightarrow t anx=1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{4} + k 2 π \end{array}$

Lại có:

$y'' = - s inx - \cos x; y'' (\frac{π}{4} + k 2 π) < 0; y'' (\frac{5 π}{4} + k 2 π) > 0$

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm:

$x = \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ .$

Câu 16:

Tìm số giao điểm của đồ thị hai hàm số $y = \sqrt{x + 3}$ và $y = x + 1.$

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

PT hoành độ giao điểm là:

$\sqrt{x + 3} = x + 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 1 \geq 0 \\ x + 3 = {(x + 1)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 1 \\ x^{2} + x - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 1 \\ [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 2 \end{array} \end{cases} \Rightarrow x = 1.$

Câu 17:

Cho p, q là các số thực thỏa mãn:

$m = {(\frac{1}{e})}^{2 p - q}, n = e^{p - 2 q},$ biết m > n.

So sánh p và q.

A. $p \geq q$

B. $p > q$

C. $p \leq q$

D. $p < q$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $m = {(\frac{1}{e})}^{2 p - q} = e^{q - 2 p}, n = e^{p - 2 q} .$

Vì m>n nên $q - 2 p > p - 2 q \Leftrightarrow q > p .$

Câu 18:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + (2 m^{2} - 1) x + 5$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty) .$

A. $- \frac{\sqrt{2}}{2} \leq m \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $- \frac{\sqrt{2}}{2} < m < \frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $m < - \frac{\sqrt{2}}{2}$ hoặc $m > \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $m \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$ hoặc $m \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số đồng biến trên khoảng:

$(1; + \infty) \Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in (1; + \infty) .$

Ta có: $y' = 4 x^{3} - 4 x + 2 m^{2} - 1 \Rightarrow y' \geq 0$

$\Leftrightarrow f (x) = 4 x^{3} - 4 x - 1 \geq - 2 m^{2}, x \in (1; + \infty) \Rightarrow - 2 m^{2} \leq \min_{(1; + \infty)} f (x) .$

Ta có: $f' (x) = 12 x^{2} - 4 \Rightarrow f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} .$

Có bảng biến thiên hàm số f(x) như sau:

Từ bảng biến thiên , suy ra $f (x) > - 1, x \in (1; + \infty)$

$\Rightarrow - 2 m^{2} \leq - 1 \Leftrightarrow m^{2} \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \\ m \leq - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

Câu 19:

Tìm tất cả các giá trị thực của x để đồ thị hàm số $y = \log_{0, 5} x$ nằm phía trên đường thẳng y=2

A. $x \geq \frac{1}{4}$

B. $0 < x \leq \frac{1}{4}$

C. $0 < x < \frac{1}{4}$

D. $x \geq \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

$\log_{0, 5} x > 2 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{4} .$

Câu 20:

Cho các số thực dương x, y thoả mãn $2 x + y = \frac{5}{4} .$ Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của biểu thức $P = \frac{2}{x} + \frac{1}{4 y}$ .

A. $P_{\min}$ không tồn tại

B. $P_{\min} = \frac{65}{4}$

C. $P_{\min} = 5$

D. $P_{\min} = \frac{34}{5}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $(\frac{2}{x} + \frac{1}{4 y}) (2 x + y) \geq {(2 + \frac{1}{2})}^{2}$ (Bất đẳng thức Bunhia Scopky).

(ngoài ra các em có thể thế và xét hàm).

Do đó $P \geq 5.$

Câu 21:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $m {(x^{2} + 2 x)}^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 = 0$ có nghiệm thỏa mãn $x \leq - 3 ?$

A. 4

B. Không có giá trị nào của m

C. Vô số giá trị của m

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C

PT $\Leftrightarrow m {(x^{2} + 2 x)}^{3} - 2 (x^{2} + 2 x) + 2 = 0$

$\overset{t = x^{2} + 2 x}{\to} m t^{3} - 2 t + 2 = 0 (1) .$

Ta có: $f (x) = x^{2} + 2 x, x \leq - 3 \Rightarrow f (x) \geq 3 \Rightarrow t \in [3; + \infty)$

$(1) \Leftrightarrow m = \frac{2}{t^{2}} - \frac{2}{t^{3}} = f (t)$ với $t \in [3; + \infty)$ .

Ta có: $f' (t) = - \frac{4}{t^{3}} + \frac{6}{t^{4}} \Rightarrow f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2} \Rightarrow f (t)$

nghịch biến trên $[3; + \infty) \Rightarrow \underset{[3; + \infty)}{f} (t) \leq f (3) = - \frac{2}{27}$

Suy ra $m \leq - \frac{2}{27} \Rightarrow$ Có vô số giá trị của m.

Câu 22:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số:

$y = 2 \sin^{2} x - \sin 2 x + 11.$

A. $M = 12 - \sqrt{2}$

B. $M = 12 + \sqrt{2}$

C. $M = 10 + \sqrt{2}$

D. $M = 10 - \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$\begin{array}{l} y = s i n^{2} x - \sin 2 x + 11 = - \sin 2 x - c os 2 x + 12 \\ = - \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4}) + 12. \\ - 1 \leq \sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq 1 \\ \Rightarrow - \sqrt{2} \leq - \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq \sqrt{12} \\ \Rightarrow - \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4}) + 12 \leq 12 + \sqrt{2} \\ \Rightarrow M = 12 + \sqrt{2} \end{array}$

Câu 23:

Biết đồ thị hai hàm số $y = x - 1$ và $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B.Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A. $A B = \sqrt{2}$

B. $A B = 4$

C. $A B = 2 \sqrt{2}$

D. $A B = 2$

Xem đáp án

Đáp án C

PT hoành độ giao điểm: $\frac{2 x - 1}{x + 1} = x - 1$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 1 \\ x^{2} - 2 x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = \Rightarrow \{\begin{cases} A (0; - 1) \\ B (2; 1) \end{cases} \Rightarrow A B = 2 \sqrt{2} . \end{cases}$

Câu 24:

Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên là một số thực dương không đổi. Gọi $α$ là góc giữa cạnh bên của kim tự tháp với mặt đáy. Khi thể tích của kim tự tháp lớn nhất, tính $s i n α .$

A. $s i n α = \frac{\sqrt{6}}{3}$

B. $s i n α = \frac{\sqrt{5}}{3}$

C. $s i n α = \frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $s i n α = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử: $S D = a \Rightarrow S O = S D \sin α = a s i n α$

$\Rightarrow O D = S D c os α = a s i n α$

$\Rightarrow S_{A B C D} = 4. \frac{1}{2} O D^{2} = 2 O D^{2} = 2 {(a c os α)}^{2} = 2 a^{2} c {os}^{2} α$

Thể tích kim tự tháp là:

$V = \frac{1}{3} S O . S_{B A C D} = \frac{1}{3} \sin α .2 a^{2} c {os}^{2} α = \frac{2}{3} a^{3} \sin α c {os}^{2} α = \frac{2}{3} a^{3} \sin α (1 - \sin^{2} α) = \frac{2}{3} a^{3} (\sin α - \sin^{3} α)$

Xét hàm $f (t) = t - t^{3}, t \in [0; 1]$ .

Ta có: $f' (t) = 1 - 3 t^{2} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Ta có:

$f (0) = 0, f (\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{2}{3 \sqrt{3}} \Rightarrow f_{max} = \frac{2}{3 \sqrt{3}} k h i \sin α = \frac{1}{\sqrt{3}} . f$

Câu 25:

Đường cong ở hình vẽ là đồ thị của một trong các hàm số dưới đây.

Hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = (x - 1) {(x - 2)}^{2}$

B. $y = {(x + 1)}^{2} (x + 2)$

C. $y = (x - 1) {(x + 2)}^{2}$

D. $y = {(x - 1)}^{2} (x + 2)$

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (-2;0) và tiếp xúc với tại điểm (-1;0).

Câu 26:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ với $a \neq 0.$ Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A (1; - 1), B (- 1; 3) .$ Tính f(4).

A. $f (4) = - 17$

B. $f (4) = 53$

C. $f (4) = - 53$

D. $f (4) = 17$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$

$\Rightarrow \{\begin{cases} f' (1) = 3 a + 2 b + c = 0 \\ f' (- 1) = 3 a - 2 b + c = 0 \end{cases}$

Mặt khác: $\{\begin{cases} f (1) = a + b + c + d = - 1 \\ f (- 1) = - a + b - c + d = 3 \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = - 3 \\ d = 1 \end{cases} \Rightarrow f (x) = x^{3} - 3 x + 1 \Rightarrow f (4) = 53.$

Câu 27:

Rút gọn biểu thức $P = \sqrt{a . \sqrt[3]{a^{2} . \sqrt[4]{\frac{1}{a}}}} : \sqrt[24]{a^{7}}, (a > 0)$

A. $P = a$

B. $P = a^{\frac{1}{2}}$

C. $P = a^{\frac{1}{3}}$

D. $P = a^{\frac{1}{5}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $P = \sqrt{a . \sqrt[3]{a^{2} . \sqrt[4]{\frac{1}{a}}}} . \sqrt[24]{a^{7}} = \sqrt{a . \sqrt[3]{a^{2} . a^{- \frac{1}{4}}}} . a^{\frac{7}{24}}$

$= \sqrt{a . {(a^{\frac{7}{4}})}^{\frac{1}{3}}} : a^{\frac{7}{24}} = {(a^{\frac{19}{12}})}^{\frac{1}{2}} : a^{\frac{7}{24}} = a^{\frac{1}{2}} .$

Câu 28:

Biết $\log_{6} a = 2 (0 < a \neq 1) .$ Tính $I = \log_{a} 6$

A. $I = 36$

B. $I = \frac{1}{2}$

C. $I = 64$

D. $I = \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 29:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh 2a. Tính bán kính r của mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện

A. $r = \frac{\sqrt{6} a}{8}$

B. $r = \frac{\sqrt{6} a}{6}$

C. $r = \frac{\sqrt{6} a}{12}$

D. $r = \frac{\sqrt{6} a}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A xuống (BCD) và (ABC).

$A H \cap D K = O .$ Khi đó O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện

Ta có: $D H = \frac{2}{3} \sqrt{{(2 a)}^{2} - a^{2}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}; I K = \frac{1}{2} . \frac{2 a}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

$D K = \sqrt{D I^{2} - I K^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - a^{2} - {(\frac{a}{3})}^{2}} = \frac{2 a \sqrt{6}}{3}$

Ta có: $Δ D O H ~ Δ D I K \Rightarrow \frac{O H}{D H} = \frac{I K}{D K}$

$\Rightarrow O H = D H . \frac{I K}{D K} \Rightarrow r = O H = \frac{2 a}{\sqrt{3}} . \frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{\frac{2 a \sqrt{6}}{\sqrt{3}}} = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

Cách 2: Ta có: $\cos \hat{A I H} = \frac{H I}{A I} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow O H = H I \tan \frac{\hat{A I H}}{2} = \frac{2 a \sqrt{3}}{6} . \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{6} = r$

Câu 30:

Cho hàm số $y = e^{s inx} .$ Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $y' = \cos x . e^{s inx}$

B. $y' . \cos x - y . s inx-y''=1$

C. $y' . \cos x - y . s inx-y''=0$

D. $2 y' . s {inx=sin2x.e}^{s inx}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = \cos x . e^{s inx} \Rightarrow y'' = e^{s inx} c {os}^{2 x} - e^{s inx} \sin x$ .

Suy ra $y' . \cos x - y . s inx - y'' = 0.$

Câu 31:

Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là:

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi. Một khối đa diện là đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

Câu 32:

Biết $\log_{6} 2 = a, \log_{6} 5 = b .$ Tính $I = \log_{3} 5$ theo a,b.

A. $I = \frac{b}{1 + a}$

B. $I = \frac{b}{1 - a}$

C. $I = \frac{b}{a - 1}$

D. $I = \frac{b}{a}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $I = \log_{3} 5 = \frac{\log_{6} 5}{\log_{6} 3} = \frac{\log_{6} 5}{1 - \log_{6} 2} = \frac{b}{1 - a} .$

Câu 33:

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 1.$ Tiếp tuyến song song với đường thẳng $2 x + y - 3 = 0$ của đồ thị hàm số trên có phương trình là

A. $x + 2 y + 1 = 0$

B. $2 x + y + 1 = 0$

C. $2 x + y - 2 = 0$

D. $y = 2 x + 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = 3 x^{2} + 6 x - 2$

Tiếp tuyến song song với đường thẳng:

$x + y - 3 = 0 (y = 2 x + 3) \Rightarrow y' = - 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Với $x = 0 \Rightarrow y = - 1$

$\Rightarrow P T T T : y = - 2 x - 1 h a y 2 x + y + 1 = 0$

Với $x = 2 \Rightarrow y = 15$

$\Rightarrow P T T T : y = - 2 (x - 2) + 15 h a y 2 x + y - 19 = 0$

Câu 34:

Cáp tròn truyền dưới nước bao gồm một lõi đồng và bao quanh lõi đồng là một lõi cách nhiệt như hình vẽ. Nếu $x = \frac{r}{h}$ là tỉ lệ bán kính lõi và độ dày của vật liệu cách nhiệt thì bằng đo đạc thực nghiệm người ta thấy rằng vận tốc truyền tải tín hiệu được cho bởi phương trình $v = x^{2} \ln \frac{1}{x}$ với $0 < x < 1.$ Nếu bán kính lõi là 2cm thì vật liệu cách nhiệt có bề dày h(cm) bằng bao nhiêu để tốc độ truyền tải tín hiệu lớn nhất?

A. $h = 2 e (c m)$

B. $h = \frac{2}{e} (c m)$

C. $h = 2 \sqrt{e} (c m)$

D. $h = \frac{2}{\sqrt{e}} (c m)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $v = x^{2} \ln \frac{1}{x} = - x^{2} \ln x$

$\Rightarrow v' = - (2 x \ln x + x^{2} . \frac{1}{x}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (l o a i) \\ \ln x = - \frac{1}{2} \end{array} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{e}}$

Lại có: $\lim_{x \to 0} v = \lim_{x \to 1} v = 0; f (\frac{1}{\sqrt{e}}) = \frac{1}{2 e}$

$\Rightarrow \underset{(0; 1)}{M ax} v = \frac{1}{2 e} k h i x = \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{r}{h} = \frac{2}{h} \Rightarrow h = 2 \sqrt{e} .$

Câu 35:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = (m + 1) x^{4} - (m^{2} - 1) x^{2} - 1$ có đúng một cực trị.

A. $m \leq 1$

B. $m > - 1$

C. $m \leq 1, m \neq - 1$

D. $m < 1, m \neq - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Với $m = - 1 \Rightarrow y = - 1$ hàm số không có cực trị.

Với $m \neq 1.$

Hàm số có 1 cực trị $\Leftrightarrow a b = (m + 1) [(m^{2} - 1)] \geq 0$

$\Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} (m - 1) \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 1.$

Kết hợp 2 TH suy ra $m \leq 1, m \neq - 1.$

Câu 36:

Nguời ta nối trung điểm các cạnh của một hình hộp chữ nhật rồi cắt bỏ các hình chóp tam giác ở các góc của hình hộp nhu hình vẽ bên.

Hình còn lại là một đa diện có số đỉnh và số cạnh là:

A. 12 đỉnh, 24 cạnh

B. 10 đỉnh, 24 cạnh

C. 10 đỉnh, 48 cạnh

D. 12 đỉnh, 20 cạnh

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 37:

Hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số $y = x^{α}, y = x^{β}, y = x^{γ}$ (với x>0 ) và $α, β, γ$ là các số thực cho trước.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

C. $α > β > γ$

D. $β > γ > α$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $x^{α}$ nghịch biến do đó $0 < α < 1$ .

Các hàm số $x^{β}, x^{γ}$ là các hàm số đồng biến do đó $β, γ > 1$ .

Cho $x = 100 \Rightarrow 100^{β} > 100^{γ} \Rightarrow β > γ .$

Câu 38:

Mặt cầu tâm I bán kính R=11cm cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn đi qua ba điểm A, B, C. BiếtAB=8cm, AC=6cm, BC=10cm. Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng (P).

A. $d = \sqrt{21} c m$

B. $d = \sqrt{146} c m$

C. $d = 4 \sqrt{6} c m$

D. $d = 4 c m$

Xem đáp án

Đáp án C

$Δ A B C$ vuông tại A ta có: $r_{A B C} = \frac{B C}{2} = 5 c m$

$\Rightarrow d (I; (A B C)) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4 \sqrt{6} c m$

Câu 39:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, các mặt bên tạo với đáy một góc $60^{\circ}$ . Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

A. $S = \frac{25 π a^{2}}{3}$

B. $S = \frac{32 π a^{2}}{3}$

C. $S = \frac{8 π a^{2}}{3}$

D. $S = \frac{a^{2}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 40:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB=a, A'B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc $α$ . Biết thể tích lăng trụ ABC.A'B'C'là $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$ . Tính $α$ .

A. $α = 70^{\circ}$

B. $α = 30^{\circ}$

C. $α = 45^{\circ}$

D. $α = 60^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $S_{A B C} = \frac{A B^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2} \Rightarrow A A' = \frac{V}{S} = a \sqrt{3}$

Do $A A' ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{A' B A} = α$

$\Rightarrow \tan α = \frac{A A'}{A B} = \sqrt{3} \Rightarrow α = 60^{\circ}$

Câu 41:

Cho hàm số $y = \sqrt{x^{3} - 3 x}$ với $x \in [2; + \infty) .$

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.

B. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất.

C. Hàm số không có cả giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.

D. Hàm số có cả giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Đáp án A

Xét hàm số $y = f (x) = \sqrt{x^{3} - 3 x}$ trên $[2; + \infty)$ có :

$y' = \frac{3 (x^{2} - 1)}{2 \sqrt{x^{3} - 3 x}} > 0; \forall x \geq 2.$

Suy ra hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên $[2; + \infty)$

$\Rightarrow \min_{[2; + \infty)} f (x) = f (2) = \sqrt{2} .$

Câu 42:

Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tâm đối xứng?

A. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 5$

B. $y = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x$

C. $y = \sqrt{2 x + 1}$

D. $y = x^{2} - 2 x + 6$

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng.

Câu 43:

Theo số liệu từ Tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2015 là 91,7 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2015–2050 ở mức không đổi là 1,1%. Hỏi đến năm nào dân số Việt Nam sẽ đạt mức 120,5 triệu người?

A. 2042

B. 2041

C. 2039

D. 2040

Xem đáp án

Đáp án D

Theo bài ra, ta có:

$120, 5 = 91, 7. {(1 + 1, 1 %)}^{n} \Rightarrow n \approx 25$ năm.

Vậy đến năm 2015+25=2040 thì dân số Việt Nam sẽ đạt mức 120,5 triệu người.

Câu 44:

Cho khối chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnhSB, BC, CD, DA. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là $V_{0}$ . Tính thể tích V của khối chóp M.QPCN theo $V_{0}$ .

A. $V = \frac{3}{4} V_{0}$

B. $V = \frac{1}{16} V_{0}$

C. $V = \frac{3}{16} V_{0}$

D. $V = \frac{3}{8} V_{0}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $S_{Q P C N} = S_{A B C D} - S_{A B N Q} - S_{Δ P Q D}$

$= S_{A B C D} - \frac{1}{2} S_{A B C D} - \frac{1}{8} S_{A B C D} = \frac{3}{8} S_{A B C D}$

Khi đó: $V_{M . Q P C N} = \frac{1}{3} d (M; (A B C D)) .$

$S_{Q P C N} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} d (S; (A B C D)) . \frac{3}{8} S_{A B C D}$

$= \frac{3}{16} . \frac{1}{3} d (S; (A B C D)) . S_{A B C D} = \frac{3}{16} V_{0} .$

Vậy $V = \frac{3}{16} V_{0} .$

Câu 45:

Tìm số nguyên n lớn nhất thỏa mãn $n^{360} < 3^{480}$

A. $n = 3$

B. $n = 4$

C. $n = 2$

D. $n = 5$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $n^{360} < n^{480} \Leftrightarrow \ln n^{360} < \ln 3^{480}$

$\Leftrightarrow 360. \ln n > 480. \ln 3 \Leftrightarrow \ln n < \frac{4}{3} . \ln 3 \Leftrightarrow n < e^{\frac{4}{3} \ln 3} \approx 4, 326.$

Vậy giá trị nguyên n lớn nhất thỏa mãn là n=4

Câu 46:

Tính tổng $S = x_{1} + x_{2}$ biết $x_{1}, x_{2}$ là các giá trị thực thỏa mãn đẳng thức $2^{x^{2} - 6 x + 1} = {(\frac{1}{4})}^{x - 3}$

A. S = 4

B. S = 8

C. S = -5

D. S = 2

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình: $2^{x^{2} - 6 x + 1} = {(\frac{1}{4})}^{x - 3}$

$\Leftrightarrow 2^{x^{2} - 6 x + 1} = 2^{- 2 (x - 3)} \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 1 = - 2 x + 6.$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 5 = 0 \to S = x_{1} + x_{2} = 4.$

Câu 47:

Cho tứ diện OMNP có Om, ON, OP đôi một vuông góc. Tính thể tích V của khối tứ diện OMNP.

A. $V = \frac{1}{3} O M . O N . O P$

B. $V = \frac{1}{2} O M . O N . O P$

C. $V = \frac{1}{6} O M . O N . O P$

D. $V = O M . O N . O P$

Xem đáp án

Đáp án C

Thể tích tứ diện OMNP là:

$V_{O M N P} = \frac{1}{3} . O M . S_{Δ O N P} = \frac{1}{6} . O M . O N . O P .$

Câu 48:

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), $S A = a \sqrt{3}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. $V = a^{3}$

B. $V = \frac{a^{3}}{12}$

C. $V = \frac{a^{3}}{6}$

D. $V = \frac{a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Diện tích tam giacs ABC là:

$S_{Δ A B C} = \frac{A B^{2} \sqrt{3}}{4} = a^{2} \sqrt{3} \to V = \frac{1}{3} . S A . S_{Δ A B C} = a^{3} .$

Câu 49:

Cho Parabol $(P) : y = x^{2} + 2 x - 1$ , qua điểm M thuộc (P) kẻ tiếp tuyến với (P) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B. Có bao nhiêu điểm M để tam giác ABO có diện tích bằng $\frac{1}{4} .$

A. 2

B. 8

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $M (a; a^{2} + 2 a - 1) \in (P) \Rightarrow y' (a) = 2 a + 2$

suy ra phương trình tiếp tuyến của (P) tại M là :

$y - y (a) = y' (a) (x - a) \Leftrightarrow y - (a^{2} + 2 a - 1) = (2 a + 2) (x - a) \Leftrightarrow y = (2 a + 2) x - a^{2} - 1 (d)$

(d) cắt trục Ox tại $A (\frac{a^{2} + 1}{2 a + 2}; 0) \Rightarrow O A = \frac{a^{2} + 1}{2 |a + 1|}$

(d) cắt trục Oy tại $B (0; - a^{2} - 1) \Rightarrow O B = a^{2} + 1$

$\Rightarrow S_{Δ O A B} = \frac{1}{4} . \frac{{(a^{2} + 1)}^{2}}{|a + 1|} = \frac{1}{4}$ .

Vậy ${(a^{2} + 1)}^{2} = |a + 1| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 0 \\ a^{3} + 2 a - 1 = 0 \end{array} \overset{cas i o}{\to}$ 2 giá trị a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 50:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $x^{4} - 3 x^{2} - m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

A. $m > - 1$ hoặc $m = - \frac{13}{4}$

B. $m > - 1$

C. $m \geq - 1$ hoặc $m = - \frac{13}{4}$

D. $m \geq - 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét hàm số $f (x) = x^{4} - 3 x^{2},$

có $f' (x) = 4 x^{3} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \end{array}$ .

Tính các giá trị $f (0) = 0; f (\pm \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{9}{4}$

=> Đồ thị (C) của hàm số y=f(x) .

Để phương trình $f (x) = m + 1$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m + 1 > 0 \\ m + 1 = - \frac{9}{4} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > - 1 \\ m = - \frac{13}{4} \end{array}$