50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 17)

Câu 1:

Số mặt đối xứng của hình tứ diện đều là bao nhiêu?

A. 1

B. 8

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 2:

Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} - 3$ ?

A. $N (- 1; - 5)$

B. $K (2; - 5)$

C. $M (- 2; 5)$

D. $E (1; 4)$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 3:

Đồ thị hàm số $y = \frac{3 x + 2}{x - 2}$ có tiệm cận đứng là

A. $x = - 2$

B. $x = 2$

C. $y = - 3$

D. $y = 3$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 4:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng xác định của nó?

A. $y = x^{\sqrt{5}}$

B. $y = \log_{0, 5} x$

C. $y = \log_{3} x$

D. $y = 5^{x}$

Xem đáp án

Đáp án B

Vì $0 < 0, 5 < 1$ nên hàm số $y = \log_{0, 5} x$ nghịch biến trên TXĐ của nó.

Câu 5:

Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 3}{5 - x}$ là:

A. $I (- 5; 2)$

B. $I (- 2; 5)$

C. $I (5; 2)$

D. $I (5; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án D

TCĐ: $x = 5$ , TCN: $y = - 2 \Rightarrow$ giao điểm của 2 tiệm cân là: $I (5; - 2)$

Câu 6:

Phương trình $7^{x} = 5$ có nghiệm là

A. $\log_{7} 5$

B. $\frac{5}{7}$

C. $\frac{7}{5}$

D. $\log_{5} 7$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 7:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{2 x + 1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $- \frac{1}{2}$

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Đáp án D

$y = 0 \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Câu 8:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x + 1) = 2$ là

A. $S = \{\frac{7}{2}\}$

B. $S = \{4\}$

C. $S = \{\frac{5}{2}\}$

D. $S = \emptyset$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình:

$\Leftrightarrow 2 x + 1 = 9 \Leftrightarrow 2 x = 8 \Leftrightarrow x = 4 \Rightarrow S = \{4\}$

Câu 9:

Cho hàm số $y = 2^{x}$ có đồ thị là (C). Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Trục tung là tiệm cận đứng của (C).

B. (C) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1

C. (C) không có điểm cực trị

D. (C) nằm phía trên trục hoành

Xem đáp án

Đáp án A

Đồ thị hàm số không có TCĐ.

Câu 10:

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là $30 a^{2}$ và thể tích là $180 a^{3}$ . Chiều cao h của khối lăng trụ đã cho là

A. $h = 6$

B. $h = 6 a$

C. $h = 18 a$

D. $h = 18$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $h = \frac{180 a^{3}}{30 a^{2}} = 6 a .$

Câu 11:

Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B, chiều cao h là $V = B h$

B. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B, chiều cao h là $V = \frac{1}{3} B h$

C. Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a là $V = a^{3}$

D. Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là $V = \frac{1}{3} a b c$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 12:

Biết hình vẽ bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây.

Tìm hàm số đó.

A. $y = x^{4} + 4 x^{2} + 2$

B. $y = x^{4} - x^{2} + 2$

C. $y = x^{4} - 4 x^{2} + 2$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 13:

Giá trị cực tiểu của hàm số $y = \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + 1$ là

A. -1

B. -3

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 2 \end{array}$

Mặt khác:

$y'' = 3 x^{2} - 4 \Rightarrow \{\begin{cases} y'' (0) = - 4 \\ y'' (\pm 2) = 8 \end{cases} \Rightarrow y_{C T} = y (\pm 2) = - 3.$

Câu 14:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ trên đoạn $[- 5; - 2]$ là

A. 0

B. $\frac{5}{4}$

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall x \in ℝ \ \{- 1\} \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên đoạn $[- 5; - 2]$ . Suy ra $\max_{[- 5; - 2]} y = y (- 2) = 2$

Câu 15:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{3} + m x^{2} - m x$ đồng biến trên R.

A. $- 3 \leq m \leq 0$

B. $- 3 < m < 0$

C. $[\begin{array}{l} m \leq - 3 \\ m \geq 0 \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} m < - 3 \\ m > 0 \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 3 x^{2} + 2 m x - m$ .

Hàm số đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in ℝ$

$\Rightarrow Δ' (y') \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} + 3 m \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 0.$

Câu 16:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} + x - 2$ có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung có phương trình là

A. $y = x - 2$

B. $y = x$

C. $y = - x + 2$

D. $y = x + 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $M (0; - 2)$ là giao điểm của (C) và trục tung.

Ta có: $y' = - 3 x^{2} + 6 x + 1 \Rightarrow y (0) = 1.$

Suy ra PTTT với (C) tại $M (0; - 2)$ là:

$y = (x - 0) - 2 \Leftrightarrow y = x - 2.$

Câu 17:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $\log_{a} 2 = b, \log_{a} 3 = c$ . Khi đó $(b + c) \log_{6} a$ bằng

A. 5

B. 6

C. 7

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$(b + c) \log_{6} a = (\log_{a} 2 + \log_{a} 3) \log_{6} a = \log_{a} 6. \log_{6} a = 1.$

Câu 18:

Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{(x^{2} - 1) (x - 2)}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số có tập xác định $D = (- 1; + \infty) \ \{1; 2\} .$

Ta có: $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} (x - 1) (x - 2)}$

Suy ra đồ thị hàm số có 2 TCĐ $x = \pm 1, x = 2.$

Câu 19:

Cho các số thực a, b thỏa mãn $\log_{0, 2} a > \log_{0, 2} b .$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a > b > 0$

B. $b > a > 0$

C. $a > b > 1$

D. $b > a > 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 20:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{m x + 9}{x + m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định?

A. 6

B. 7

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = \frac{m^{2} - 9}{{(x + m)}^{2}} .$

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

$\Leftrightarrow y' < 0, \forall x \in D \Rightarrow m^{2} - 9 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 3$

$m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 2; - 1; 0; 1; 2\} .$

Câu 21:

Tập nghiệm của phương trình $\log^{2} x - 1009 \log x^{2} + 2017 = 0$ là

A. $S = \{10; 10^{2017}\}$

B. $S = \{10\}$

C. $S = \{10; 2017^{10}\}$

D. $S = \{10; 20170\}$

Xem đáp án

Đáp án A

$P T \Leftrightarrow {(\log x)}^{2} - 2108 \log x + 2017 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log x = 1 \\ \log x = 2017 \end{array} \Rightarrow S = \{10; 10^{2017}\}$

Câu 22:

Khối cầu bán kính 3a có thể tích là

A. $108 π a^{3}$

B. $12 π a^{2}$

C. $36 π a^{3}$

D. $36 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $V = \frac{4}{3} π {(3 a)}^{3} = 36 π a^{3}$

Câu 23:

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{S A . S B . S C}{6}$

B. $S A . S B . S C$

C. $\frac{S A . S B . S C}{3}$

D. $\frac{S A . S B . S C}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 24:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ \ \{- 3\}$ và có bảng biến thiên

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang.

B. Hàm số đạt cực đại tại điểm x=2 .

C. $\underset{(0; + \infty)}{m i n} f (x) = - 7.$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 3)$ và nghịch biến trên khoảng $(- 3; 0) .$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 25:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 3$ trên đoạn $[0; 3]$ là

A. 1

B. -3

C. -1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$y' = 4 x^{3} - 8 x = 4 x (x^{2} - 2) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{array} .$

Suy ra: $y (0) = 3, y (\sqrt{2}) = - 1, y (3) = 48 \Rightarrow \min_{[0; 3]} y = - 1.$

Câu 26:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $4^{x} - 2^{x + 3} + 15 = 0.$ Khi đó $x_{1} + x_{2}$ bằng

A. $\log_{2} 15$

B. 3

C. $\log_{3} 2 + \log_{5} 2$

D. $\log_{2} \frac{3}{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

$P T \Leftrightarrow {(2^{x})}^{2} - 8 (2^{x}) + 15 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x} = 3 \\ 2^{x} = 5 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \log_{2} 3 \\ x = \log_{2} 5 \end{array} \Rightarrow \{x_{1} + x_{2} = \log_{2} 3 + \log_{2} 5 = \log_{2} 15$

Câu 27:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = m \sin x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ đạt cực đại tại điểm $x = \frac{π}{3}$ .

A. $m = 0$

B. $m = 1$

C. $m = - 2$

D. $m = 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = m \cos x + c os 3 x, y'' = m \sin x - 3 \sin 3 x .$

Hàm số đạt cực đại tại $x = \frac{π}{3}$

$\Rightarrow y' (\frac{π}{3}) = 0 \Leftrightarrow m c os (\frac{π}{3}) + c os (3 \frac{π}{3}) = 0 \Rightarrow m = 2.$

Với $m = 2 \Rightarrow y'' = - 2 \sin x - 3 \sin 3 x \Rightarrow y'' (\frac{π}{3}) = - \sqrt{3} .$

Suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm $x = \frac{π}{3}$ khi m=2.

Câu 28:

Cho hàm số $y = m x^{3} - m x^{2} + (2 m + 1) x + 1$ , với m là tham số thực. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục tung khi và chỉ khi

A. $[\begin{array}{l} m < - \frac{1}{2} \\ m > 0 \end{array}$

B. $m \neq 0$

C. $- \frac{1}{2} < m < 0$

D. $m < 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = 3 m x^{2} - 2 m x + 1.$ Khi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của PT $y' = 0.$ Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung $\Leftrightarrow x_{1} . x_{2} < 0 \Leftrightarrow \frac{2 m + 1}{m} < 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m < 0.$

Câu 29:

Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A' B' C'$ có cạnh đáy bằng 2a; O là trọng tâm tam giác ABC và $A' O = \frac{2 a \sqrt{6}}{3}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ $A B C . A' B' C'$ .

A. $V = 4 a^{3}$

B. $V = 2 a^{3}$

C. $V = \frac{4 a^{3}}{3}$

D. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $A O = \frac{2}{3} \sqrt{(2 a^{2}) - a^{2}} = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

$\begin{array}{l} A' A = \sqrt{{(\frac{2 a \sqrt{6}}{3})}^{2} - {(\frac{2 a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}} \\ S_{A B C} = \frac{1}{2} . {(2 a)}^{2} \sin 60^{\circ} = a^{2} \sqrt{3} \end{array}$

Thể tích khối lăng trụ là: $V = S_{A B C} . A' A = a^{2} \sqrt{3} . \frac{2 a}{\sqrt{3}} = 2 a^{3} .$

Câu 30:

Đạo hàm của hàm số $y = x {.2}^{x}$ là

A. $y' = 2^{x} + x^{2} 2^{x - 1}$

B. $y' = 2^{x} (1 + x)$

C. $y' = 2^{x} \ln 2$

D. $y' = 2^{x} (1 + x \ln 2)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $(x {.2}^{x})' = 2^{x} + x {.2}^{x} \ln 2 = 2^{x} (1 + x \ln 2) .$

Câu 31:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ ?

A. $y = - x^{3} + 3 x$

B. $y = \frac{2 x - 5}{x - 3}$

C. $y = - x^{2} + 1$

D. $y = {(x^{2} - 1)}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = {(x^{2} - 1)}^{2} \Rightarrow y' = 2 x (x^{2} - 1) > 0 (\forall x > 1)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$

Câu 32:

Tập xác định của hàm số $y = {(9 - x^{2})}^{\sqrt{2}}$ là

A. $(- 3; 3)$

B. $ℝ \ \{- 3; 3\}$

C. $ℝ$

D. $(- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

Do $\sqrt{2} \notin ℤ$ nên hàm số đã cho xác định khi $9 - x^{2} > 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 3.$

Câu 33:

Cho hàm số $y = {(e^{x} + 1)}^{3}$ Khi đó phương trình $y' = 144$ có nghiệm là:

A. $\ln 3$

B. $\ln 2$

C. $\ln 47$

D. $\ln (4 \sqrt{3} - 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 3 {(e^{x} + 1)}^{2} . e^{x} = 144$

$\Leftrightarrow {(e^{x})}^{3} + 2 {(e^{x})}^{2} + e^{x} - 48 = 0 \Leftrightarrow e^{x} = 3 \Leftrightarrow x = \ln 3.$

Câu 34:

Đường thẳng nào sau đây cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ tại hai điếm phân biệt?

A. $y = - x + 2$

B. $y = x + 1$

C. $x = 1$

D. $y = 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Loại C và D (vì các đường thẳng này là các đường tiệm cận).

Xét PT $\frac{x + 1}{x - 1} = x + 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ \frac{1}{x - 1} = 1 \Leftrightarrow x = 2 \end{array} .$

Do đó đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt.

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, $\overset{⏜}{B A C} = 60^{\circ}, S O ⊥ (A B C D)$ và $S O = \frac{3 a}{4} .$ Tính thế tích V của khối chóp S.ABCD

A. $V = a^{3} \sqrt{2}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

D. $V = a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C \sin A = a^{2} \sqrt{3} \Rightarrow S_{A B C D} = 2 a^{2} \sqrt{3}$

Do đó $V = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

Câu 36:

Hàm số nào sau đây không có cực trị?

A. $y = x^{3} - 3 x$

B. $\frac{4 x - 3}{7 - x}$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

D. $y = - 3 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 37:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Luôn tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình tứ diện bất kì.

B. Luôn tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình lăng trụ có đáy là tứ giác lồi.

C. Luôn tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình hộp chữ nhật.

D. Luôn tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp đa giác đều.

Xem đáp án

Đáp án B

Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp được trong đường tròn mới tồn tại mặt cầu.

Câu 38:

Chi hàm số $y = \log_{2} x$ . Khi đó $x y'$ bằng.

A. $\ln 2$

B. 0

C. 1

D. $\log_{2} e$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $x y' = x . \frac{1}{x \ln 2} = \frac{1}{\ln 2} = \log_{2} e .$

Câu 39:

Cho hình vuông ABCD cạnh 3a.Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông tại A lấy điểm S sao cho tam giác SBD là tam giác đều. Tính thể tích của khối chop S.ABCD

A. $9 a^{3} \sqrt{3}$

B. $\frac{9 a^{3}}{2}$

C. $\frac{243 a^{3} \sqrt{3}}{4}$

D. $9 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Do $Δ S B D$ đều nên $S B = S D = B D = 3 a \sqrt{2} .$

Do đó:

$S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = 3 a \Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = 9 a^{3} .$

Câu 40:

Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng $3 \sqrt{3} c m$ . Tính thế tích khối lập phương đó.

A. $1 c m^{3}$

B. $27 c m^{3}$

C. $8 c m^{3}$

D. $64 c m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi a là cạnh khối lập phương ta có:

$a \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} \Rightarrow a = 3 \Rightarrow V = a^{3} = 27 c m^{3}$

Câu 41:

Cho hàm số $y = x^{3} - 12 x + 4$ . Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên $ℝ$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty) .$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 2; 2) .$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Xét hàm số $y = x^{3} - 12 x + 4$ ,ta có $y' = 3 x^{2} - 12; \forall x \in ℝ$ .

Phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 12 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array} .$

Suy ra hàm số đông biến trên $(- \infty; - 2)$

Câu 42:

Cho tam giác ABC vuông tại A có $B C = 2 a v à \overset{⏜}{A B C} = 30^{\circ}$ . Quay tam giác vuông này quanh cạnh AB, ta được một hình nón đỉnh B. Gọi $S_{1}$ là diện tích xung quanh của hình nón đó và $S_{2}$ là diện tích mặt cầu có đường kính AB. Khi đó, tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ là

A. $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 1$

B. $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2}{3}$

C. $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{2}$

D. $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Tam giác ABC vuông tại A có:

$\{\begin{cases} \sin \overset{⏜}{A B C} = \frac{A C}{B C} \Rightarrow A C = \sin 30^{\circ} .2 a = a \\ c os \overset{⏜}{A B C} = \frac{A C}{B C} \Rightarrow A B = c os 30^{\circ} .2 a = a \sqrt{3} \end{cases}$ .

Quay $Δ A B C$ quanh trục AB ta được hình nón có bán kính đáy $r = A C = a .$

=> Diện tích xung quanh hình nón trên là $S_{1} = π r l = π . a .2 a = 2 π a^{2}$ . Và diện tích mặt cầu đường kính AB là: $S_{2} = 4 π R^{2} = 4 π {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} = 3 π a^{2}$ $\Rightarrow \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2 π a^{2}}{3 π a^{2}} = \frac{2}{3} .$

Câu 43:

Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh bằng 4. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón. Tính bán kính của mặt cầu.

A. $\sqrt{3}$

B. 4

C. $4 \sqrt{3}$

D. $2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Hình nón có thiết diện qua trục là $Δ$ đều cạnh 4

=> Bán kính đáy r=2 độ dài đường sinh l=4.

Suy ra diện tích toàn phần của hình nón là: $S_{t p} = π r l + π r^{2} = π .2.4 + π {.2}^{2} = 12 π .$

Vậy bán kính mặt cầu là: $S = 4 π R^{2} \Rightarrow R = \sqrt{\frac{S}{4 π}} = \sqrt{\frac{12 π}{4 π}} = \sqrt{3}$

Câu 44:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 \sin x + c os 2 x$ trên đoạn $[0; π] .$ Khi đó $2 M + m$ bằng

A. 4

B. $\frac{5}{2}$

C. $\frac{7}{2}$

D. 5

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y = 2 s i nx+cos 2 x$

$= 2 \sin x + 1 - 2 \sin^{2} x \overset{t \to s inx}{\to} y = f (x) = - 2 t^{2} + 2 t + 1.$

Với $x \in [0; π] \Rightarrow t \in [0; 1] .$

Xét hàm số $f (t) = - 2 t^{2} + 2 t + 1$ trên $[0; 1]$ có $f' (t) = - 4 t + 2.$

Ta có: $f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} .$

Tính $f (0) = 1; f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}; f (1) = 1.$

Vậy $\{\begin{cases} M = \frac{3}{2} \\ m = 1 \end{cases} \Rightarrow 2 M + m = 4.$

Câu 45:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, BC=2AB=2AD=2a. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang ABCD quanh cạnh AB là

A. $\frac{7 π a^{3}}{3}$

B. $7 π a^{3}$

C. $\frac{π a^{3}}{3}$

D. $\frac{7 π a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Khi quay hình thang ABCD quanh cạnh AB ta được khối nón cụt có

Bán kính hai đáy lần lượt là $\{\begin{cases} r = A D = a \\ R = B C = 2 a \end{cases}$ .

Chiều cao $h = A B = a .$ $\Rightarrow V = \frac{π h}{3} (R^{2} + r^{2} + R . r) = \frac{7 π a^{3}}{3} .$

Câu 46:

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn ${(\frac{5}{4})}^{2 x - 5 y} \geq {(\frac{2}{\sqrt{5}})}^{6 y - 2 x} .$ Khi đó giá trị nhỏ nhất của $\frac{x}{y}$ là

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: ${(\frac{5}{4})}^{2 x - 5 y} \geq {(\frac{2}{\sqrt{5}})}^{6 x - 2 y}$

$\Leftrightarrow {(\frac{5}{4})}^{2 x - 5 y} \geq {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2 x - 6 y} \Leftrightarrow {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{4 x - 10 y} \geq {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2 x - 6 y}$

$\Leftrightarrow 4 x - 10 y \geq 2 x - 6 y \Leftrightarrow 2 x \geq 4 y \Leftrightarrow \frac{x}{y} \geq 2$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\frac{x}{y}$ là 2.

Câu 47:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $x . \log_{2} (x - 1) + m = m . \log_{2} (x - 1) + x$ có hai nghiệm thực phân biệt.

A. $m > 1 v à m \neq 2$

B. $m \neq 3$

C. $m > 1 v à m \neq 3$

D. $m > 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $x . \log_{2} (x - 1) + m = m . \log_{2} (x - 1) + x$

$\Leftrightarrow (x - m) . \log_{2} (x - 1) = x - m .$

$\Leftrightarrow (x - m) [\log_{2} (x - 1) - 1] \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - m = 0 \\ \log_{2} (x - 1) = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m \\ x - 1 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m \\ x = 3 \end{array} (*)$

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm duy nhất $x > 1; x \neq 3.$ Vậy $m > 1 v à m \neq 3$ là giá trị cần tìm.

Câu 48:

Cường độ một trận động đất M (độ Richte) được cho bởi công thức $M = \log A - \log A_{0}$ , với A là biên độ rung chấn tối đa và $A_{0}$ là một biên độ chuẩn (hằng số, không đổi đối với mọi trận động đất). Vào tháng 2 năm 2010, một trận động đất ở Chile có cường độ 8,8 độ Richte. Biết rằng, trận động đất năm 2014 gây ra sóng thần tại châu Á có biên độ rung chấn tối đa mạnh gấp 3,16 lần so với biên độ rung chấn tối đa của trận động đất ở Chile, hỏi cường độ của trận động đất ở châu Á là bao nhiêu ? (làm tròn số đến hàng phần chục).

A. 9,3 độ Richte

B. 9,2 độ Richte

C. 9,1 độ Richte

D. 9,4 độ Richte

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $A_{1}, A_{2}$ lần lượt là biên độ rung chấn tối đa của động đất ở Chile và Châu Á.

Theo bài ra, ta có: $\frac{A_{2}}{A_{1}} = 3, 16 \Leftrightarrow A_{1} = \frac{A_{2}}{3, 16}$

mà $M_{1} = \log \frac{A_{1}}{A_{0}} = \log \frac{A_{2}}{3, 16 A_{0}} = \log \frac{A_{2}}{A_{0}} - \log_{3, 16}$ .

Suy ra: $M_{1} = M_{2} - \log 3, 16$

$\Rightarrow M_{2} = M_{1} + \log 3, 16 = 8, 8 + 0, 5 = 9, 3.$

Câu 49:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB=1 và AD=2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh đường thẳng MN, ta được một hình trụ. Tính thể tích của khối trụ

A. $\frac{2 π}{3}$

B. $\frac{π}{3}$

C. $π$

D. $\frac{10 π}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Khối trụ tạo thành có bán kính đáy $R = \frac{A D}{2} = 1;$ và chiều cao $h = A B = 1.$ Vậy thể tích khối trụ cần tính là $V = π R^{2} h = π {.1}^{2} .1 = π .$

Câu 50:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{2 a}{3}$ . Tính thể tích của khối chóp

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{15}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{10}}{15}$

C. $\frac{2 a^{3} \sqrt{5}}{15}$

D. $\frac{2 a^{3} \sqrt{10}}{15}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow S H ⊥ A B \Rightarrow S H ⊥ (A B C D) .$

Kẻ $H K ⊥ S B (K \in S B)$ mà $B C ⊥ (S A B) \Rightarrow H K ⊥ (S B C) .$

Mà $A D / / (S B C)$

$\Rightarrow d (D; (S B C)) = d (A; (S B C)) = 2 d (H; (S B C)) = \frac{2 a}{3} .$

Tam giác SBH vuông tại H,có:

$\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{B H^{2}} \Rightarrow \frac{B H . H K}{\sqrt{B H^{2} - H K^{2}}} = \frac{a \sqrt{5}}{5} .$

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{5}}{5} .2 a^{2} = \frac{2 a^{3} \sqrt{5}}{15} .$