50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 20)

Câu 1:

Cho lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có thể tích là V. Tính thể tích khối chóp A.BCC'B' theo V.

A. $\frac{2}{5} V$

B. $\frac{1}{2} V$

C. $\frac{1}{3} V$

D. $\frac{2}{3} V$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $V_{A . A' B' C'} = \frac{1}{3} A A' . S_{A' B' C'} = \frac{V}{3}$

$\Rightarrow V_{A . B C C' B'} = V - \frac{V}{3} = \frac{2 V}{3}$

Câu 2:

Nghiệm của phương trình $\sin x = - 1$ là

A. $x = - \frac{π}{2} + \frac{k π}{2}$

B. $x = - π + k 2 π$

C. $x = - \frac{π}{2} + k 2 π$

D. $x = - \frac{π}{2} + k π$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 3:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |x + 2|$ trên đoạn $[- 3; 3]$

A. -1

B. 0

C. -5

D. 1

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$|x + 2| \geq 0, x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \in [- 3; 3] \Rightarrow \min_{[- 3; 3]} y = 0$

Câu 4:

Số tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số có TCĐ là x=-2 và TCN y=1

Câu 5:

Nếu cạnh của hình lập phương tăng lên gấp 2 lần thì thể tích của hình lập phương đó sẽ tăng lên bao nhiêu lần?

A. 9

B. 6

C. 8

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 6:

Hình trụ tròn xoay có đường kính đáy 2a, là chiều cao là h=2a có thể tích là

A. $V = 2 π a^{3}$

B. $V = π a^{3}$

C. $V = 2 π a^{2}$

D. $V = 2 π a^{2} h$

Xem đáp án

Đáp án A

Bán kính đáy là r=a. Thể tích là $V = π r^{2} h = π a^{2} .2 a = 2 π a^{3}$

Câu 7:

Thể tích của một khối cầu có bán kính R là

A. $V = \frac{4}{3} π R^{3}$

B. $V = \frac{1}{3} π R^{3}$

C. $V = \frac{4}{3} π R^{2}$

D. $V = 4 π R^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 8:

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A. Hàm số $y = \log_{2} x$ đồng biến trên $[0; + \infty)$

B. Hàm số $y = \log_{2} x$ đồng biến trên $(0; + \infty)$

C. Hàm số $y = \log_{0, 2} x$ nghịch biến trên $(0; + \infty)$

D. Hàm số $y = \log_{2} (\sqrt{x} + 1)$ đồng biến trên $[0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 9:

Nghiệm của phương trình là: $\log_{2} x = 3$

A. 9

B. 6

C. 8

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\log_{2} x = 3 \Leftrightarrow x = 2^{3} \Leftrightarrow x = 8$

Câu 10:

Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = \frac{1}{x}$

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số có tập xác định $D = ℝ \ \{0\}$

Ta có: $y' = - \frac{1}{x^{2}} < 0, \forall x \in D \Rightarrow$ Hàm số đã cho không có cực trị

Câu 11:

Cho đường thẳng L cắt và không vuông với $Δ$ quay quanh thì ta được

A. Khối nón tròn xoay.

B. Mặt trụ tròn xoay.

C. Mặt nón tròn xoay.

D. Hình nón tròn xoay.

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 12:

Nghiệm của bất phương trình $3^{x - 2} \leq 243$ là

A. $x < 7$

B. $x \leq 7$

C. $x \geq 7$

D. $2 \leq x \leq 7$

Xem đáp án

Đáp án B

BPT $\Leftrightarrow x - 2 \leq 5 \Leftrightarrow x \leq 7$

Câu 13:

Trục đối xứng của đồ thị hàm số $y = - x^{4} + 4 x^{2} - 3$ là

A. Đường thẳng $x = 2$

B. Trục tung

C. Trục hoành.

D. Đường thẳng $x = - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 14:

Giải bất phương trình $\log_{3} (x - 1) > 2$

A. $0 < x < 10$

B. $x \geq 10$

C. $x < 10$

D. $x > 10$

Xem đáp án

Đáp án D

BPT $\Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 > 9 \end{cases} \Rightarrow x - 1 > 9 \Leftrightarrow x > 10$

Câu 15:

Tập xác định của hàm số là $y = \log_{3} (4 - x)$

A. $D = [4; + \infty)$

B. $D = (- \infty; 4]$

C. $D = (4; + \infty)$

D. $D = (- \infty; 4)$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số xác định $\Leftrightarrow 4 - x < 0 \Leftrightarrow x < 4 \Rightarrow D = (- \infty; 4)$

Câu 16:

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k (n - k)!}$

B. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

C. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)}$

D. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n + k)!}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 17:

Đồ thị hàm số $y = x^{3} + x^{2} + x + 1$ có bao nhiêu điểm uốn?

A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 3 x^{2} + 2 x + 1 \Rightarrow y'' = 6 x + 2 \Rightarrow y'' = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3} \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có 1 điểm uốn

Câu 18:

Đồ thị hàm số $y = 3 x^{3} - 6 x^{2} + 8 x - 5$ cắt trục tung tại điểm nào?

A. điểm $(0; - 5)$

B. điểm $(0; 5)$

C. điểm $(1; 0)$

D. điểm $(- 1; 0)$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 19:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

A. $y = x^{2} + 1$

B. $y = x^{4} + 1$

C. $y = \frac{x}{x + 1}$

D. $y = x + 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 20:

Giải bất phương trình $3^{x^{2}} < 2^{x}$

A. $x \in (0; + \infty)$

B. $x \in (0; 1)$

C. $x \in (0; \log_{2} 3)$

D. $x \in (0; \log_{3} 2)$

Xem đáp án

Đáp án D

BPT $\Leftrightarrow \log_{3} (3^{x^{2}}) < \log_{3} (2^{x}) \Leftrightarrow x^{2} - x \log_{3} 2 < 0$

$\Leftrightarrow 0 < x < \log_{3} 2 \Leftrightarrow x \in (0; \log_{3} 2)$

Câu 21:

Một hình đa diện có tối thiểu bao nhiêu đỉnh?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 22:

Hình chóp có một nửa diện tích đáy là S, chiều cao là 2h thì có thể tích là

A. $V = S h$

B. $V = \frac{4}{3} S h$

C. $V = \frac{1}{3} S h$

D. $V = \frac{1}{2} S h$

Xem đáp án

Đáp án B

Thể tích hình chóp là $V = \frac{1}{3} 2 S .2 h = \frac{4}{3} S h$

Câu 23:

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. Cho 2 cạnh của một tam giác vuông quay quanh cạnh còn lại thì ta được một hình nón tròn xoay.

B. Cho đường thẳng cắt L và $Δ$ quay quanh thì ta được một mặt nón tròn xoay.

C. Cho đường thẳng L song song với $Δ$ và quay quanh $Δ$ thì ta được một mặt trụ tròn xoay.

D. Một hình chóp bất kì luôn có duy nhất một mặt cầu ngoại tiếp.

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 24:

Tính giá trị của biểu thức $N = \log_{a} \sqrt{a \sqrt{a}}$ với $0 < a \neq 1$ .

A. $N = - \frac{3}{4}$

B. $N = \frac{4}{3}$

C. $N = \frac{3}{2}$

D. $N = \frac{3}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $N = \log_{a} \sqrt{a \sqrt{a}}$

$= \log_{a} \sqrt{a . a^{\frac{1}{2}}} = \log_{a} {(a^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}} = \log_{a} a^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}$

Câu 25:

Hình chóp lục giác có bao nhiêu mặt bên ?

A. 5

B. 6

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 26:

Cho hàm số $f (x) = \ln (x^{2} - 2 x) .$ Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{f^{2} (x)}$

A. $y' = \frac{2 x - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

B. $y' = \frac{4 x - 4}{(x^{2} - 2 x) \ln^{3} (x^{2} - 2 x)}$

C. $y' = \frac{x - 1}{2 (x^{2} - 2 x)}$

D. $y' = \frac{- 4 x + 4}{(x^{2} - 2 x) \ln^{4} (x^{2} - 2 x)}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y = \frac{1}{f^{2} (x)}$

$\Rightarrow y' = \frac{2 f' (x)}{f^{3} (x)} = - \frac{2 [\ln (x^{2} - 2 x)]}{\ln^{3} (x^{2} - 2 x)} = \frac{4 - 4 x}{(x^{2} - 2 x) \ln^{3} (x^{2} - 2 x)}$

Câu 27:

Hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a có thể tích là

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

B. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $2 O C^{2} = a^{2} \Rightarrow O C^{2} = \frac{a^{2}}{2}, S O^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2}$

$\Rightarrow S O = \frac{a}{\sqrt{2}} . S_{A B C D} = a^{2}$

Thể tích khối chóp là: $V - \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S O = \frac{1}{3} a^{2} . \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^{3}}{3 \sqrt{2}}$

Câu 28:

Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh 4a. Diện tích xung quanh của hình trụ là

A. $S = 4 π a^{2}$

B. $S = 16 π a^{2}$

C. $S = 8 π a^{2}$

D. $S = 24 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Chiều cao hình trụ là h=4a. Bán kính đáy hình trụ là r=2a

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S = 2 π r h = 2 π .2 a .4 a = 16 π a^{2}$

Câu 29:

Đạo hàm của hàm số $y = \sin^{2} 3 x$ là

A. $y = 3 \sin 6 x$

B. $y = 6 \sin^{2} x \cos 3 x$

C. $y = 6 \sin 6 x$

D. $y = - 3 \sin 6 x$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y = \sin^{2} 3 x$

$\Rightarrow y' = 2 \sin 3 x (\sin 3 x)' = 6 \sin 3 x \cos 3 x = 3 \sin 6 x$

Câu 30:

Chu kì tuần hoàn của hàm số $y = \sin 2 x$ là

A. $\frac{π}{2}$

B. $3 π$

C. $π$

D. $2 π$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 31:

Cho hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì ta có:

A. a, b chéo nhau

B. a // b

C. a và b có thể cắt nhau.

D. $a ⊥ b$

Xem đáp án

Đáp án C

Trong không gian a và b có thể cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Câu 32:

Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A. $A_{n}^{k} = k! C_{n}^{n - k}$

B. $A_{n}^{k} = k . A_{n}^{k}$

C. $A_{n}^{k} = k! A_{n}^{n - k}$

D. $A_{n}^{k} = k . C_{n}^{k}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $C_{k}^{n} = C_{k}^{n - k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

Câu 33:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ tại điểm M có hoành độ bằng -1 là

A. $y = 9 x + 5$

B. $y = - 9 x - 13$

C. $y = 9 x - 13$

D. $y = - 3 x - 7$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow y' (- 1) = 9, y (- 1) = - 4$

Vậy PTTT là: $y = 9 (x + 1) - 4 = 9 x + 5$

Câu 34:

Cho một cấp số cộng có $u_{4} = 2, u_{2} = 4$ . Hỏi $u_{1}$ bằng bao nhiêu?

A. $u_{1} = 5$

B. $u_{1} = 6$

C. $u_{1} = - 1$

D. $u_{1} = 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $u_{3} = \frac{u_{2} + u_{4}}{2} = 3 \Rightarrow d = - 1 \Rightarrow u_{1} = u_{2} - d = 5$

Câu 35:

Giá trị của $M = \log_{2} 2 + \log_{2} 4 + \log_{2} 8 + ... + \log_{2} 256$ là

A. 48

B. 36

C. 56

D. $8 \log_{2} 256$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $M = 1 + 2 + 3 + ... + 8 = 36$

Câu 36:

Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó là

A. $R = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

B. $R = 2 \sqrt{3}$

C. $R = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

D. $R = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh 2.

Khi đó bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó là: $R = R_{Δ} = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{2}{2 \sin 60 °} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Câu 37:

Một kỹ sư thiết một cây cột ăngten độc đáo gồm các khối cầu kim loại xếp chồng lên nhau sao cho khối cầu ở trên có bán kính bằng một nửa khối cầu ở dưới. Biết khối cầu dưới cùng có bán kính là R=2m. Hỏi cây cột ăngten có chiều cao như thế nào?

A. Cao hơn 10 mét

B. Không quá 6 mét

C. Cao hơn 16 mét

D. Không quá 8 mét

Xem đáp án

Đáp án D

Chiều cao cột ăngten là: $h = 2 (R + \frac{R}{2} + \frac{R}{4} + ... + \frac{R}{2^{n}})$

$h = 2 R . \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 - \frac{1}{2}} \overset{n \to + \infty}{\to} h = 2 R .2 = 4 R = 8$

Do đó cột ăng ten có chiều cao không quá 8 mét

Câu 38:

Gieo 2 con súc sắc 6 mặt. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện bằng 12

A. $p = \frac{1}{36}$

B. $p = \frac{2}{C_{6}^{2}}$

C. $p = \frac{1}{6}$

D. $p = \frac{1}{12}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: Không gian mẫu $|Ω_{A}| = 6.6 = 36$

Lại có: 12=6+6. Do đó để tổng số chấm xuất hiện bằng 12 thì có 1 cách duy nhất là cả 2 lần đều hiện lên mặt 6. Vậy xác suất cần tìm là $p = \frac{1}{36}$

Câu 39:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{1 - 2 x}}{x^{2} - 1}$ là

A. Đường thẳng $x = - 1$

B. Đường thẳng $y = 1$

C. Hai đường thẳng $x = \pm 1$

D. Đường thẳng $x = 1$

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: $D = (- \infty; \frac{1}{2}] \ \{- 1\}$ .

Mặc khác $\lim_{x \to (- 1)} y = \infty \Rightarrow$ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = - 1$

Câu 40:

Cho $\lim_{x \to 0} (\frac{x}{\sqrt[7]{x + 1} \sqrt{x + 4} - 2}) = \frac{a}{b}$ ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính tổng $L = a + b$

A. $L = 53$

B. $L = 23$

C. $L = 43$

D. $L = 13$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\lim_{x \to 0} (\frac{x}{\sqrt[7]{x + 1} \sqrt{x + 4} - 2}) = \frac{a}{b}$ (Dùng phím CALC $x = 0, 00001$ ta được $I = 1, 866666 ~ 1, 866666666 = \frac{5, 6}{3} = \frac{28}{15} \Rightarrow L = 43$ )

Cách 2: Ta có $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt[7]{x + 1} \sqrt{x + 4} - \sqrt[7]{x + 1} + \sqrt{x + 4} - 2}$

$\lim_{x \to 0} = \frac{x}{\sqrt{x + 4} (\frac{x + 1 - 1}{\sqrt[7]{{(x + 1)}^{6}} + \sqrt[7]{{(x + 1)}^{5}} + ... + 1}) + \frac{x}{\sqrt{x + 4} + 2}} = \frac{1}{2. \frac{1}{7} + \frac{1}{4}} = \frac{28}{15}$

Câu 41:

Ảnh của điểm $M (2; - 3)$ qua phép quay tâm $I (- 1; 2)$ góc quay $120 °$ là

A. $M' (\frac{- 5 \sqrt{3} + 5}{2}; \frac{3 \sqrt{3} + 9}{2})$

B. $M' (\frac{- 5 \sqrt{3} + 2}{2}; \frac{- 3 \sqrt{3} - 1}{2})$

C. $M' (\frac{5 \sqrt{3} + 5}{2}; \frac{3 \sqrt{3} + 9}{2})$

D. $M' (\frac{- 5 \sqrt{3} + 1}{2}; \frac{3 \sqrt{3} + 9}{2})$

Xem đáp án

Đáp án C

Bài toán tổng quát: Điểm $M (x'; y')$ là ảnh của điểm $M (x; y)$ qua phép quay tâm $I (a; b)$ , góc quay $φ$ suy ra $\{\begin{cases} x' = (x - a) . c o s φ + (y - b) . \sin φ + b \\ y' = (x - a) . \sin φ + (y - b) . c o s φ + b \end{cases}$

Áp dụng CT trên, ta được $M' (\frac{5 \sqrt{3} - 5}{2}; \frac{3 \sqrt{3} + 9}{2})$

Câu 42:

Có bao nhiêu cấp số nhân có 5 số hạng? Biết rằng tổng 5 số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1024.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Xét 5 số hạng $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}, u_{5}$ của cấp số nhân và công bội q

Theo bài ra, ta có:

$\{\begin{cases} \sum_{k = 1}^{5} u_{k} = 31 \\ \prod_{k = 1}^{5} u_{k} = 1024 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{u_{1} (1 - q^{5})}{1 - q} = 31 \\ u_{1}^{5} . q^{10} = 4 \end{cases} \Rightarrow \frac{4}{q^{2}} . \frac{1 - q^{5}}{1 - q} = 31 (*)$

Phương trình (*) có 4 nghiệm q phân biệt. Vậy có 4 cấp số nhân cần tìm

Câu 43:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có Sa=a và $\overset{⏜}{S A B} = \frac{11 π}{24}$ . Gọi Q là trung điểm cạnh SA. Trên các cạnh SB, Sc, SD lần lượt lấy các điểmM, N, P không trùng với các đỉnh hình chóp. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $A M + M N + N P + P Q$ theo a

A. $\frac{a \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{3} \sin \frac{11 π}{12}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{2} \sin \frac{11 π}{24}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Trải khối chóp đều S.ABCD ra mặt phẳng như hình vẽ bên:

Với điểm A=A' và H là trung điểm của AA'

Dễ thấy để $A M + M N + N P + P Q$ nhỏ nhất <=> các điểm A, M, N, P, Q thẳng hàng $\Rightarrow A M + M N + N P + P Q = A Q$

Tam giác SAA' có $\overset{⏜}{A S A} = 4 \overset{⏜}{A S B} = 4 (π - 2 \frac{11 π}{24}) = \frac{π}{3}$

Mà $S A = S A' \Rightarrow Δ S A A'$ là tam giác đều $\Rightarrow A Q = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Câu 44:

Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo của các mặt lần lượt là $\sqrt{5}, \sqrt{10}, \sqrt{13}$ . Tính thể tích của hình hộp đã cho.

A. $V = 6$

B. $V = 4$

C. $V = 8$

D. $V = \frac{\sqrt{5} \sqrt{10} \sqrt{18}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi a, b, c là kích thước 3 cạnh của hình hộp chữ nhật.

Theo giả thiết, ta có:

$\{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 5 \\ b^{2} + c^{2} = 10 \\ c^{2} + a^{2} = 13 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 4 \\ b^{2} = 1 \\ c^{2} = 9 \end{cases} \Rightarrow V_{H H} = a b c = \sqrt{a^{2} b^{2} c^{2}} = 6$

Câu 45:

Tính tổng: $S = \frac{1}{2018} {(C_{2018}^{1})}^{2} + \frac{2}{2017} {(C_{2018}^{2})}^{2} + ... + \frac{2017}{2} {(C_{2018}^{2017})}^{2} + \frac{2018}{1} {(C_{2018}^{2018})}^{2}$

A. $S = \frac{1}{2018} C_{4036}^{2018}$

B. $S = \frac{1}{2018} C_{4036}^{2018}$

C. $S = \frac{2018}{2019} C_{2018}^{1009}$

D. $S = \frac{2018}{2019} C_{4036}^{2018}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$\frac{k}{n} {(C_{n}^{k})}^{2} = \frac{k}{n} {(\frac{n!}{k! (n - k)!})}^{2} = C_{n}^{k} . \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k)!} = C_{n}^{k} . C_{n - 1}^{k - 1}$

Do đó: $C_{2018}^{0} . C_{2018}^{1} + C_{2018}^{1} . C_{2018}^{2} + ... + C_{2018}^{2017} . C_{2018}^{2018}$

Xét khai triển: ${(1 + x)}^{2018} . (x + 1) = {(1 + x)}^{4036}$

Hệ số chứa $x^{2017}$ trong khai triển ${(1 + x)}^{2018} . (x + 1)$ là:

$C_{2018}^{0} . C_{2018}^{1} + C_{2018}^{1} . C_{2018}^{2} + ... + C_{2018}^{2017} . C_{2018}^{2018} = S$

Hệ số chứa $x^{2017}$ trong khai triển ${(1 + x)}^{4036}$ là:

$C_{4036}^{2017} = \frac{4036!}{2017! .2019!} = \frac{4036!}{2018! .2018!} . \frac{2018}{2019} = \frac{2018}{2019} C_{4036}^{2018}$

Vậy $S = \frac{2018}{2019} C_{4036}^{2018}$

Câu 46:

Cho một đa diện có đỉnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 3 cạnh. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. m là một số lẻ.

B. m chia hết cho 5.

C. m chia hết cho 3.

D. m là một số chẵn.

Xem đáp án

Đáp án D

Xét tứ diện đều ABCD với đỉnh A là đỉnh chung của đúng 3 cạnh $\Rightarrow m = 4$

Câu 47:

Cho hàm số $y = {(x - m)}^{3} - 3 x + m^{2} (C_{m}) .$ Biết rằng điểm $M (a; b)$ là điểm cực đại của $(C_{m})$ ứng với một giá trị m thích hợp đồng thời là điểm cực tiểu của $(C_{m})$ ứng vơi một giá trị khác của m. Tính tổng $S = 2018 a + 2020 b$

A. $S = 5004$

B. $S = - 504$

C. $S = 504$

D. $S = 12504$

Xem đáp án

Đáp án C

Xét hàm số $y = {(x - m)}^{3} - 3 x + m^{2},$ có $y' = 3 {(x - m)}^{2} - 3 x, \forall x \in ℝ$

Phương trình $y' = 0$

$\Leftrightarrow {(x - m)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - m = 1 \\ x - m = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m + 1 \\ x = m - 1 \end{array}$

Suy ra với mọi $m \in ℝ$ đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị

Và hệ số $a = 1 > 0$

suy ta $x_{C T} > x_{C D} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{C T} = m + 1 \\ x_{C D} = m - 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} y_{C T} = m^{2} - 3 m - 2 \\ y_{C D} = m^{2} - 3 m + 2 \end{cases}$

Gọi $M (a; b)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán, khi đó:

$\{\begin{cases} a = m_{1} + 1 = m_{2} - 1 \\ b = m_{1}^{2} - 3 m_{1} - 2 = m_{2}^{2} - 3 m_{2} + 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} m_{1} - m_{2} = 2 \\ (m_{1} - m_{2}) (m_{1} + m_{2}) - 3 (m_{1} - m_{2}) = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m_{1} - m_{2} = - 2 \\ m_{1} + m_{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m_{1} = - \frac{1}{2} \\ m_{2} = - \frac{1}{4} \end{cases}$

Vậy $\{\begin{cases} a = m_{1} + 1 = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \\ b = m_{1}^{2} - 3 m_{1} - 2 = - \frac{1}{4} \end{cases}$

$\Rightarrow S = 2018 a + 2020 b = 2018. \frac{1}{2} + 2020. (- \frac{1}{4}) = 504$

Câu 48:

Giả sử x, y là những số thực dương thỏa mãn $\log_{16} (x + y) = \log_{9} x = \log_{12} y$ .Tính giá trị của biểu thức $P = 1 + \frac{x}{y} + {(\frac{x}{y})}^{2}$

A. $P = 16$

B. $P = 2$

C. $P = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

D. $P = 3 + \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\log_{16} (x + y) = \log_{9} x = \log_{12} y = t \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 9^{t} \\ y = 12^{t} \end{cases}$ và

Suy ra $9^{t} + 12^{t} = 16^{t}$

$\Leftrightarrow {(3 t)}^{2} + 3^{t} {.4}^{t} - {(4^{t})}^{2} = 0 \Leftrightarrow {[{(\frac{3}{4})}^{t}]}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{t} - 1 = 0$

Vậy $\frac{x}{y} = \frac{9^{t}}{12^{t}} = {(\frac{3}{4})}^{t}$

$\Rightarrow P = {[{(\frac{3}{4})}^{t}]}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{t} + 1 = 1 + 1 = 2$

Câu 49:

Ảnh của $M (- 2; 3)$ qua phép đối xứng trục $Δ : x + y = 0$ là

A. $M' (- 3; - 2)$

B. $M' (3; - 2)$

C. $M' (3; 2)$

D. $M' (- 3; 2)$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M' (x'; y')$ là ảnh của $M (- 2; 3)$ qua phép đối xứng trục.

Vì $M M' ⊥ Δ \Rightarrow$ phương trình đường thẳng $(M M')$ là $x - y + 5 = 0$

Giao điểm của hai đường thẳng $(M M')$ và $Δ$ là $I = (- \frac{5}{2}; \frac{5}{2})$

Mà I là trung điểm của $M M' \Rightarrow M' (- 3; 2)$

Câu 50:

Tìm m để phương trình $\sin 4 x = m \tan x$ có nghiệm $x \neq k π$

A. $- \frac{1}{2} \leq m < 4$

B. $- \frac{1}{2} \leq m \leq 4$

C. $- \frac{1}{2} < m < 4$

D. $- 1 < m < 4$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện $\cos x \neq 0$ . Phương trình đã cho trở thành:

$2 \sin 2 x . \cos 2 x = \frac{m . \sin x}{\cos x} \Leftrightarrow 4. \sin x . \cos x . \cos 2 x = m . \frac{\sin x}{\cos x} (*)$

Vì $x \neq k π \Rightarrow \sin x \neq 0$ , khi đó: $(*) \Leftrightarrow 4 \cos^{2} x (2 \cos^{2} x - 1) = m \Leftrightarrow m = 8 \cos^{4} x - 4 \cos^{2} x$

Đặt $t = \cos^{2} x,$ với $\{\begin{cases} x \neq k π \\ \cos x \neq 0 \end{cases}$ suy ra $t = \cos^{2} x \in (0; 1) \to m = 8 t^{4} - 4 t^{2} (I)$

Xét hàm số $f (t) = 8 t^{4} - 4 t^{2}$ trên $(0; 1)$ có:

$f' (t) = 32 t^{3} - 8 t; f' (t) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < t < 1 \\ 4 t^{3} - t = 0 \end{cases} \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$

Tính các giá trị $f (0) = 0; f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}; f (1) = 4$ .

Vậy (I) có nghiệm $\Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m < 4$