50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 14)

Câu 1:

Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có độ dài cạnh đáy bằng a, góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng $60^{\circ}$ .Tính thể tích khối chóp đã cho.

A. $\frac{\sqrt{3 a^{3}}}{12}$

B. $\frac{\sqrt{3 a^{3}}}{6}$

C. $\frac{\sqrt{3 a^{3}}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{3 a^{3}}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi H là hình chiếu của S lên lên (ABCD).

$A H = \frac{2}{3} \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{3} S H = A H \tan 60^{\circ} = \frac{a \sqrt{3}}{3} . \sqrt{3} = a$

Thể tích khối chóp là:

$V = \frac{1}{3} S_{A B C} \cdot S H = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^{2} \sin 60 ° . a = a^{3} . \frac{\sqrt{3}}{12}$

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 z - 4 y - 6 z = 0$ .Tính diện tích mặt cầu(S).

A. $42 π$

B. $36 π$

C. $9 π$

D. $12 π$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \div {(z - 3)}^{2} = 9 \Rightarrow (S)$ có bán kính $R = 3$

Diện tích mặt cầu (S) là: $4 π \cdot 3^{2} = 36 π$ .

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với độ dài đường chéo bằng $\sqrt{2 a}$ cạnh SA có độ dài bằng 2a và vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. $\frac{\sqrt{6 a}}{2}$

B. $\frac{2 \sqrt{6 a}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{6 a}}{12}$

D. $\frac{\sqrt{6 a}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi I là trung điểm của SC. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có: $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} + {(\sqrt{2 a})}^{2}} = a \sqrt{6}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

$R = \frac{S C}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Câu 4:

Cho đồ thị (C) của hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 2$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. (C) không có điểm cực trị

B. (C) có hai điểm cực trị

C. (C) có ba điểm cực trị

D. (C) có một điểm cực trị

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x - 5 = 0 v ô n g h i ệ m \Rightarrow$ (C) không có cực trị.

Câu 5:

Từ một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 dm, người ta cắt bỏ bốn tam giác bằng nhau là AMB, BNC, CPD và DQA. Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất?

A. $\frac{3 \sqrt{2}}{2} d m$

B. $\frac{5}{2} d m$

C. $2 \sqrt{2} d m$

D. $\frac{5 \sqrt{2}}{2} d m$

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử

Câu 6:

Cho a, b là các số dương phân biệt khác 1 và thỏa mãn $a b = 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\log_{a} b = 1$

B. $\log_{a} (b + 1) < 0$

C. $\log_{a} b = - 1$

D. $\log_{a} (b + 1) > 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\log_{a} a b = \log_{a} 1 \Leftrightarrow 1 + \log_{a} b = 0 \Leftrightarrow \log_{a} b = - 1.$

Câu 7:

Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1]. Biết $f (x) . f (1 - x) = 1$ mọi x thuộc [0;1].. Tính giá trị $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)}$ .

A. 3/2

B. 1/2

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Cách 1: Do $f (x) . f (1 - x) = 1$ nên ta chọn $f (x) = 1 \Rightarrow f (1 - x) = 1 \Rightarrow I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{2} = \frac{1}{2} .$

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCvới các mặt (SAB);(SAC);(SBC) vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là $4 a^{2}, a^{2}, 9 a^{2} .$

A. $2 \sqrt{2} a^{3}$

B. $3 \sqrt{3} a^{3}$

C. $2 \sqrt{3} a^{3}$

D. $3 \sqrt{2} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\{\begin{cases} S A . S B = 2.4 a^{2} = 8 a^{2} \\ S B . S C = 2 a^{2} \\ S C . S A = 2.9 a^{2} = 18 a^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow S A . S B . S C = \sqrt{8 a^{2} .2 a^{2} .18 a^{2}} = 12 \sqrt{2} a^{3}$

Thể tích khối chóp S.ABC là:

$V = \frac{1}{6} S A . S B . S C = \frac{1}{6} .12. \sqrt{2} a^{3} = 2 \sqrt{2} a^{3} .$

Câu 9:

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{x + 1}{2^{x}}$ là

A. $y' = \frac{1 - (x + 1) \ln 2}{4^{x}}$

B. $y' = \frac{1 - (x + 1) \ln 2}{2^{x}}$

C. $y' = - \frac{x}{4^{x}}$

D. $y' = - \frac{x}{2^{x}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = \frac{2^{x} - (x + 1) 2^{x} \ln 2}{2^{2 x}} = \frac{1 - (x + 1) \ln 2}{2^{x}} .$

Câu 10:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x .$ Tìm m để hàm số f(x) đạt cực đại tại $x_{0} = 1$ .

A. $\{\begin{cases} m \neq 0 \\ m \neq 2 \end{cases}$

B. $m = 2$

C. $m = 0$

D. $[\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 2 \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f' (x) = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1) .$ Để hàm số đạt cực đại tại $x_{0} = 1$ thì điều kiện đầu tiên là: $f' (1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 2 \end{array}$

Nếu $m = 0$ thì $f' (x) = 3 x^{2} - 3, f'' (x) = 6 x \Rightarrow f'' (1) = 6 > 0 \Rightarrow x = 1$ là điểm cực tiểu.

Nếu $m = 2$ thì $f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \Rightarrow f'' (x) = 6 x - 12 \Rightarrow f'' (1) < 0 \Rightarrow x = 1$ là điểm cực đại.

Câu 11:

Hàm số $y = \log_{2} (4^{x} - 2^{x} + m)$ có tập xác định là R thì

A. $m < \frac{1}{4}$

B. $m > 0$

C. $m \geq \frac{1}{4}$

D. $m > \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số có tập xác định là $ℝ \Leftrightarrow 4^{x} - 2^{x} + m > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow m > 2^{x} - 4^{x} (\forall x \in ℝ)$

Đặt $t = 2^{x} > 0 \Rightarrow m > t - t^{2} (\forall t > 0) \Leftrightarrow m > \max_{t > 0} f (t) \Leftrightarrow m > \frac{1}{4} .$

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình bình hành ABCD. Biết $A (2; 1; - 3), B (0; - 2; 5) v à C (1; 1; 3) .$ Diện tích hình bình hành ABCD là

A. $2 \sqrt{87}$

B. $\frac{\sqrt{349}}{2}$

C. $\sqrt{349}$

D. $\sqrt{87}$

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử $D (a; b; c)$ .Vì ABCD là hình bình hành nên

$\vec{C D} = \vec{B A} = (2; 3; - 8) \Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 1 = 2 \\ b - 1 = 3 \\ c - 3 = - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 4 \\ c = - 5 \end{cases}$

$\Rightarrow D (3; 4; - 5) .$ Ta có: $\vec{A B} (- 2; - 3; 8), \vec{A D} (1; 3; - 2)$

Diện tích hình bình hành ABCD là: $S = |[\vec{A B}, \vec{A D}]| = \sqrt{349} .$

Câu 13:

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. $\int_{0}^{1} \sin (1 - x) d x = \int_{0}^{1} s i n x d x$

B. $\int_{0}^{1} c os (1 - x) d x = - \int_{0}^{1} cosx d x$

C. $\int_{0}^{\frac{π}{2}} c os \frac{x}{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} c osx d x$

D. $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin \frac{x}{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin d x$

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = 1 - x \Rightarrow d t = - d x,$ đổi cận $|\Rightarrow I = \int_{0}^{1} \sin (1 - x) d x = - \int_{1}^{0} \sin t d t = \int_{0}^{1} \sin t d t .$

Câu 14:

Xét các hình chóp S.ABC có $S A = S B = S C = A B = B C = a .$ Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{3 \sqrt{3} a^{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3}}{12}$

D. $\frac{a^{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $A C = x (x > 0)$

Gọi H là trung điểm của AC khi đó $\{\begin{cases} B H ⊥ A C \\ S H ⊥ A C \end{cases}$

Suy ra $A C ⊥ (S H B)$ . Gọi E là trung điểm của SB ta có: $C E = A E = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Do tam giác EAC cân tại E nên

$E H ⊥ A C \Rightarrow H E = \sqrt{C E^{2} - C H^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4}} .$

Ta có: $V_{A B C D} = V_{C . S H B} + V_{A . S H B} = \frac{1}{3} . A C . S_{S H B} = \frac{1}{3} x . \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4} . \frac{a}{2}}$

Lại có $\sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4}} . x = 2. \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4}} . \frac{x}{2} \leq (\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4})$

$= \frac{3 a^{2}}{4} \Rightarrow V_{S . A B C} \leq \frac{a^{3}}{8} \Rightarrow V_{m ax} = \frac{a^{3}}{8} .$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow 3 a^{2} = 2 x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

Câu 15:

Cho đồ thị (C)của hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1.$ Phương trình tiếp tuyến của (C)song song với đường thẳng $y = 3 x + 1$ là phương trình nào sau đây?

A. $y = 3 x - 1$

B. $y = 3 x$

C. $y = 3 x - \frac{29}{3}$

D. $y = 3 x + \frac{29}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại $M (x_{0}; y_{0})$ thỏa mã đề bài.

Ta có $y' = x^{2} - 4 x + 3 \Rightarrow y' (x_{0}) = {x_{0}}^{2} - 4 x_{0} + 3 = k_{d}$ là hệ số góc của d.

$d / / y = 3 x + 1 \Rightarrow k_{d} = 3 \Leftrightarrow {x_{0}}^{2} - 4 x_{0} + 3 = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 4 \end{array} .$

Với $x_{0} = 0 \Rightarrow M (0; 1) \Rightarrow d : y = 3 (y - 0) + 1 \Leftrightarrow d : y = 3 x + 1 \equiv y = 3 x + 1.$

Với $x_{0} = 4 \Rightarrow M (4; \frac{7}{3}) \Rightarrow d : y = 3 (y - 4) + \frac{7}{3} \Leftrightarrow d : y = 3 x - \frac{29}{3} .$

Suy ra $d : y = 3 x - \frac{29}{3} .$

Câu 16:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x^{2} - 9}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số có tập xác định $D = ℝ \ \{\pm 3\}$

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to - \infty} y = 0 \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có TCN $y = 0$ .

Mặt khác $x^{2} - 9 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3, \lim_{x \to 3} y = \infty, \lim_{x \to - 3} y = \infty \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có TCĐ $x = 3, x = - 3$ .

Câu 17:

Cho lăng trụ đứng $A B C . A' B' C'$ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $A B = a, A A' = 2 a .$ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $(A' B C) .$

A. $2 \sqrt{5} a$

B. $\frac{2 \sqrt{5} a}{5}$

C. $\frac{\sqrt{5} a}{5}$

D. $\frac{3 \sqrt{5} a}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là hình chiếu của A lên A’B.

Khi đó $d (A; (A' B C)) = A H$

Ta có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A A'^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} = \frac{1}{{(2 a)}^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$

Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp $A B C D . A' B' C' D' .$ Biết $A (2; 4; 0), B (4; 0; 0), C (- 1; 4; - 7) v à D' (6; 8; 10) .$ Tọa độ điểm B' là

A. $B' (8; 4; 10)$

B. $B' (6; 12; 0)$

C. $B' (10; 8; 6)$

D. $B' (13; 0; 17)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\vec{D' C'} = \vec{A B} = (2; - 4; 0) \Rightarrow C' (8; 4; 10) . \vec{C' B'} = \vec{C B} = (5; - 4; 7) \Rightarrow B' (13; 0; 17)$

Câu 19:

Cho hàm số $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + 2} .$ Khi đó tổng $f (0) + f (\frac{1}{10}) + ... + f (\frac{19}{10})$ có giá trị bằng

A. 59/6

B. 10

C. 19/2

D. 28/3

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f (x) + f (1 - x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + 2} + \frac{2^{2 - x}}{2^{2 - x} + 2} = \frac{2^{x}}{2^{x} + 2} + \frac{2^{2 - x + x - 1}}{2^{2 - x + x - 1} + {2.2}^{x - 1}} = \frac{2^{x}}{2^{x} + 2} + \frac{2}{2^{x} + 2} = 1$

Do đó $f (\frac{1}{10}) + f (\frac{19}{10}) + f (\frac{2}{10}) + f (\frac{18}{10}) ... + f (0) + f (1) = 9 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{59}{6} .$

Câu 20:

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $2 C_{n}^{0} + 5 C_{n}^{1} + 8 C_{n}^{2} + ... + (3 n + 2) C_{n}^{n} = 1600.$

A. 5

B. 7

C.10

D. 8

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $S = 2 (C_{n}^{0} + ... + C_{n}^{n}) + 3 (C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 3 C_{n}^{3} + ... + n C_{n}^{n})$

Xét khai triển ${(1 + x)}^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + ... + C_{n}^{n} x^{n}$

Đạo hàm 2 vế ta có: $n {(1 + x)}^{n - 1} = C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} x + 3 C_{n}^{3} x^{2} + ... + n C_{n}^{n} x^{n - 1}$

Cho $x = 1$ ta có: $2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n}; n {.2}^{n - 1} = C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 3 C_{n}^{3} + ... + n C_{n}^{n}$

Do đó $S = {2.2}^{n} + 3. n 2^{n - 1} = 1600 \overset{S H I F T - C A L C}{\to} n = 7.$

Câu 21:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn $\int_{0}^{2018} f (x) d x = 2.$ Khi đó giá trị của tích phân $I = \int_{0}^{\sqrt{e^{2018} - 1}} \frac{x}{x^{2} + 1} f (\ln (x^{2} + 1)) d x$ bằng

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = \ln (x^{2} + 1) \Rightarrow d t = \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x, \{\begin{cases} x = 0 \to t = 0 \\ x = \sqrt{e^{2018} - 1} \to t = 2018 \end{cases}$

Suy ra $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{2018} f (t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{2018} f (x) d x = 1.$

Câu 22:

Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có một tấm mang số chia hết cho 10.

A. 99/66 7

B. 8/11

C. 3/11

D. 99/167

Xem đáp án

Đáp án A

Chọn 10 tấm bất kỳ có: $C_{30}^{10}$ , trong 30 thẻ có 15 thẻ mang số chẵn, 15 thẻ mang số lẻ và 3 số chia hết cho 10.

Ta chọn 10 tấm thẻ lấy ra 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có một tấm mang số chia hết cho 10 có: $C_{15}^{5} . C_{3}^{1} . C_{12}^{4}$ cách.

Do đó xác suất cần tìm là: $\frac{C_{15}^{5} . C_{3}^{1} . C_{12}^{4}}{C_{30}^{10}} = \frac{99}{667} .$

Câu 23:

Nguyên hàm của hàm số $y = e^{- 3 x + 1}$ là

A. $\frac{1}{3} e^{- 3 x + 1} + C$

B. $- 3 e^{- 3 x + 1} + C$

C. $- \frac{1}{3} e^{- 3 x + 1} + C$

D. $3 e^{- 3 x + 1} + C$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\int e^{- 3 x + 1} d x = - \frac{1}{3} \int e^{- 3 x + 1} d (- 3 x + 1) = - \frac{1}{3} e^{- 3 x + 1} + C$

Câu 24:

Cho các số thực a, b khác 0. Xét hàm số $f (x) = \frac{a}{{(x + 1)}^{3}} + b x e^{x}$ với $\forall x \neq - 1.$ Biết $f' (x) = f (0) = - 22 v à \int_{0}^{1} f (x) d x = 5 .$ Tính $a + b$ .

A. 19

B. 7

C. 8

D. 10

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} \frac{a}{{(x + 1)}^{3}} d x + \int_{0}^{1} b x e^{x} d x = {- \frac{a}{2} \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}|}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} b x e^{x} d x = \frac{3 a}{8} + \int_{0}^{1} b x e^{x} d x .$

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = e^{x} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = e^{x} \end{cases} \Rightarrow \int_{0}^{1} b x e^{x} d x = b x e^{x}| {}_{0}^{1}- \int_{0}^{1} b e^{x} d x = b x e^{x} |_{0}^{1} - {b e^{x}|}_{0}^{1} = b .$

Suy ra $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{3 a}{8} + b = 5 (1) .$

Mặt khác $f' (x) = - \frac{3 a}{{(x + 1)}^{4}} + b e^{x} + b x e^{x} \Rightarrow f' (0) = - 3 a + b = - 22 (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $a = 8; b = 2 \Rightarrow a + b = 10.$

Câu 25:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết $A B = B C = a \sqrt{3}, \hat{S A B} = \hat{S C B} = 90 °$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $a \sqrt{2} .$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

A. $16 π a^{2}$

B. $12 π a^{2}$

C. $8 π a^{2}$

D. $2 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựng hình vuông ABCH

Ta có: $\{\begin{cases} A B ⊥ A H \\ A B ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ S H$ , tương tự $B C ⊥ S H$

Do đó $S H ⊥ (A B C)$

Lại có $A H / / B C \Rightarrow d (A; (S B C)) = d (H; (S B C))$

Dựng $H K ⊥ S C \Rightarrow d (H; (S B C)) - H K = a \sqrt{2}$

Do đó $\frac{1}{S H^{2}} = \frac{1}{H K^{2}} - \frac{1}{H C^{2}} \Rightarrow S H = a \sqrt{6} .$

Tứ giác ABCH nội tiếp nên $R_{S . A B C} = R_{S . A B C H} = \sqrt{\frac{S H^{2}}{4} + {r^{2}}_{d}}$

$= \sqrt{\frac{S H^{2}}{4} + {(\frac{A C}{2})}^{2}} = a \sqrt{3} \Rightarrow S = 4 π R^{2} = 12 π a^{2} .$

Câu 26:

Cho lăng trụ $A B C D . A' B' C' D'$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A B = a, A D = a \sqrt{3} .$ Hình chiếu vuông góc của A' lên $(A B C D)$ trùng với giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng $(A' B D) .$

A. $a \sqrt{3}$

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án C

Do $A B' \cap A' B$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó $d_{B'} = d_{A} = d_{C}$

+) Dựng $C H ⊥ B D \Rightarrow C H ⊥ (A' B D)$

+) Do đó: $d (B'; A' B D) = d (C; A' B D) = C H$

$= \frac{B C . C D}{B D} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Câu 27:

Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày 1,5cm, thành xung quanh cốc dày 0,2cm và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là $480 π c m^{3}$ thì người ta cần ít nhất bao nhiêu $c m^{3}$ thủy tinh?

A. $75, 66 π c m^{3}$

B. $80, 16 π c m^{3}$

C. $85, 66 π c m^{3}$

D. $70, 16 π c m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi x và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của cốc, ta có

$(0, 4 < x)$ và ${(x - 0, 2)}^{2} (h - 1, 5) π = 480 π \Leftrightarrow h = \frac{480}{{(x - 0, 2)}^{2}} + 1, 5$

Thể tích thủy tinh cần là: $V = π x^{2} h = 480 π = x^{2} [\frac{480}{{(x - 0, 2)}^{2}} + 1, 5] - 480 π$

$\Rightarrow V' = \frac{2 x}{{(x - 0, 2)}^{3}} [1, 5 {(x - 0, 2)}^{3} - 480.0, 2] π; V' = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{480.0, 2}{1, 5}} + 0, 2 = 4, 2$

Câu 28:

Anh Nam dự định sau 8 năm (kể từ lúc gửi tiết kiệm lần đầu) sẽ có đủ 2 tỉ đồng để mua nhà. Mỗi năm anh phải gửi tiết kiệm bao nhiêu tiền (số tiền mỗi năm gửi như nhau ở thời điểm cách lần gửi trước 1 năm)? Biết rằng lãi suất là 8%/năm, lãi hàng năm được nhập vào vốn và sau kì gửi cuối cùng anh đợi đúng 1 năm để có đủ 2 tỉ đồng.

A. $2 \frac{0, 08}{{(1, 08)}^{9} - 1, 08}$ đồng

B. $2 \frac{0, 08}{{(1, 08)}^{8} - 1, 08}$ đồng

C. $2 \frac{0, 08}{{(1, 08)}^{7} - 1}$ đồng

D. $2 \frac{0, 08}{{(1, 08)}^{7} - 1}$ đồng

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi số tiền cần gửi vào mỗi năm là a đồng, ta có $a {(1, 08)}^{8} + a {(1, 08)}^{7} + ... + a {(1, 08)}^{1} = 2$

$\Leftrightarrow 1, 08 a \frac{1 - {(1, 08)}^{8}}{1 - 1, 08} = 2 \Leftrightarrow a = 2 \frac{0, 08}{{(1, 08)}^{9} - 1, 08}$ đồng.

Câu 29:

Xét tập hợp A gồm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ A. Tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính từ trái sang phải).

A. 74/411

B. 62/431

C. 1/216

D. 3/350

Xem đáp án

Đáp án C

Số các số tự nhiên có 5 chữ số là: $9.9.8.7.6 = 27216.$

Số thỏa mãn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính từ trái sang phải ) là $\bar{a b c d e}$ suy ra $a \neq 0 \Rightarrow b, c, d, e \neq \neq 0$

Với mỗi cách chọn ra 5 số trong 9 số từ 1 đến 9 ta được 1 số thỏa mãn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước. Vậy có $C_{9}^{5} = 126$ số.

Vậy xác suất là: $\frac{126}{27216} = \frac{1}{126} .$

Câu 30:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $a \sqrt{3},$ các cạnh bên thỏa mãn $S A = S B = S C = S D = \sqrt{2} a$ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $2 B H^{2} = {(a \sqrt{3})}^{2} \Rightarrow B H^{2} = \frac{3 a^{2}}{2}$

$S H = \sqrt{S B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{2} a)}^{2} - \frac{3 a^{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a}{\sqrt{2}} . {(a \sqrt{3})}^{2} = \frac{a^{3}}{\sqrt{2}}$

Câu 31:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M' , N', P', Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD) Tính tỉ số $\frac{S M}{S A}$ để thể tích khối đa diện $M N P Q . M' N' P' Q'$ đạt giá trị lớn nh

A. 2/3

B. 1/2

C. 1/3

D. 3/4

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\frac{S M}{S A} = x = \frac{M N}{A B} \Rightarrow M N = x . A B$

Tương tự $M Q = x A D$

$\frac{M M'}{S H} = \frac{A M}{S A} = 1 - x \Rightarrow M M' = (1 - x) S H$

Do đó $V_{M N P Q . M' N' P' Q'} = x^{2} (1 - x) . A B . A D . S H .$

Xét hàm số $f (x) = x^{2} (1 - x) = x^{2} - x^{3} \Rightarrow f' (x) = 2 x - 3 x^{2}$

Do đó $f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3} .$

Vậy $V_{M N P Q . M' N' P' Q'} = x^{2} (1 - x) . A B . A D . S H$ lớn nhất khi $\frac{S M}{S A} = \frac{2}{3} .$

Câu 32:

Cho đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{2 x + 2}{x - 1} .$ Tọa độ điểm M nằm trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất là

A. $[\begin{array}{l} M (- 1; 0) \\ M (3; 4) \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} M (- 1; 0) \\ M (0; - 2) \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} M (2; 6) \\ M (3; 4) \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} M (0; - 2) \\ M (2; 6) \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $M (a; \frac{2 a + 2}{a - 1})$ , tiệm cận đứng $x = 1$ ; tiệm cận ngang $y = 2$ .

Khi đó $d = d (M; T C D) + d (M; T C N) = |a - 1| + \frac{4}{|a - 1|} \geq 4$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 3 \\ a = - 1 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} M (- 1; 0) \\ M (3; 4) \end{array} .$

Câu 33:

Biết rằng phương trình $3 \log_{2}^{2} x - \log_{2} x - 1 = 0$ có hai nghiệm là a, b. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $a + b = \frac{1}{3}$

B. $a b = - \frac{1}{3}$

C. $a b = \sqrt[3]{2}$

D. $a + b = \sqrt[3]{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

$3 {\log_{2}}^{2} - \log_{2} x - 1 = 0 \Rightarrow \log_{2} x_{1} + \log_{2} x_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow \log_{2} (x_{1} x_{2}) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x_{1} x_{2} = \sqrt[3]{2} .$

Câu 34:

Tìm điều kiện của a, b hàm số bậc bốn $f (x) = a x^{4} + b x^{2} + 1$ có đúng một điểm cực trị và điểm cực trị đó là cực tiểu?

A. $a < 0, b \leq 0$

B. $a > 0, b \geq 0$

C. $a > 0, b < 0$

D. $a < 0, b > 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Để hàm số bậc bốn có đúng một điểm cực trị và điểm cực trị đó là cực tiểu $\{\begin{cases} a b \geq 0 \\ a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ b \geq 0 \end{cases} .$

Câu 35:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3) .$ Tập hợp các điểm M thỏa $M A^{2} = M B^{2} + M C^{2}$ là mặt cầu có bán kính

A. $R = 2$

B. $R = \sqrt{3}$

C. $R = 3$

D. $R = \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $M B^{2} + M C^{2} - M A^{2} = {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} - {\vec{M A}}^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2} - {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2}$

$= M I^{2} + 2 \vec{M I} (\vec{I B} + \vec{I C} - \vec{I A}) + I B^{2} + I C^{2} - I A^{2}$

Gọi I là điểm thỏa mãn $\vec{I B} + \vec{I C} - \vec{I A} = \vec{0} \Rightarrow I (- 1; 2; 3)$

Suy ra $M B^{2} + M C^{2} - M A^{2} = M I^{2} + I B^{2} + I C^{2} - I A^{2} = 0 \Leftrightarrow M I = \sqrt{I A^{2} - I B^{2} - I C^{2}} = \sqrt{2}$

Câu 36:

Cho hàm số $f (x) = \frac{3 x + 1}{- x + 1} .$ Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. $f (x)$ nghịch biến trên R

B. $f (x)$ đồng biến trên $(- \infty; 1) v à (1; + \infty)$

C. $f (x)$ nghịch biến trên $(- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$

D. $f (x)$ đồng biến trên R

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f' (x) = \frac{4}{{(- x + 1)}^{2}} > 0 (\forall x \neq 1)$

Do đó f(x) đồng biến trên $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Câu 37:

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\vec{a} = (2; 3; 1), \vec{b} = (- 1; 5; 2), \vec{c} = (4; - 1; 3)$ và $\vec{x} = (- 3; 22; 5) .$ Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau?

A. $\vec{x} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} - \vec{c}$

B. $\vec{x} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} + \vec{c}$

C. $\vec{x} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} - \vec{c}$

D. $\vec{x} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} + \vec{c}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\vec{x} = m . \vec{a} + n . \vec{b} + p . \vec{c} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 m - n + 4 p = - 3 \\ 3 m + 5 n - p = 22 \\ m + 2 n + 3 p = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 2 \\ n = 3 \\ p = - 1 \end{cases} .$

Câu 38:

Cho hàm số $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ . Giá trị f'(1) bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $1 + \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $f' (x) = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow f' (1) = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Câu 39:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $A B = 3 a, B C = 4 a$ , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết $S B = 2 \sqrt{3} a, \hat{S B C} = 30 °$ . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) .

A. $6 \sqrt{7} a$

B. $\frac{6 \sqrt{7} a}{7}$

C. $\frac{3 \sqrt{7}}{14}$

D. $a \sqrt{7}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $A C = 5 a,$ dựng $S H ⊥ B C \Rightarrow S H ⊥ (S B C)$

Khi đó: $S H = S B \sin 30^{\circ} = a \sqrt{3}; H B = S B c os 30^{\circ} = 3 a$

Suy ra $B C = 4 H C \Rightarrow d (B; (S A C)) = d (H; (S A C))$

$d (B; A C) = 4 d (H; A C) \Rightarrow d (H; A C) = H E = \frac{3 a}{5} .$

Khi đó $H F = \frac{S H . H E}{\sqrt{S H^{2} + H E^{2}}} = \frac{3 a \sqrt{7}}{14} \Rightarrow d_{B} = \frac{6 a \sqrt{7}}{7} .$

Câu 40:

Hàm số nào sau đây có chiều biến thiên khác với chiều biến thiên của các hàm số còn lại

A. $h (x) = x^{3} + x - \sin x - 4$

B. $h (x) = x^{3} + x - \sin x - 4$

C. $h (x) = x^{3} + x - \sin x - 4$

D. $h (x) = x^{3} + x - \sin x - 4$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $h' = 3 x^{2} + 1 - \cos x \geq 0 (\forall x \in ℝ); k' = 2 > 0 (\forall x \in ℝ)$

$\begin{array}{l} g' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15 > 0 (\forall x \in ℝ) \\ f (x) = - x - 1 + \frac{6}{x + 1} \Rightarrow f' (x) = - 1 - \frac{6}{{(x + 1)}^{2}} < 0. \end{array}$

Câu 41:

Với giá trị nào của m thì đường thẳng $y = 2 x + m$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x - 1}$

A. $m \neq 2 \sqrt{2}$

B. $m = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

C. $m \neq \pm 2$

D. $m = \pm 2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Để đồ thị (C)tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi $\{\begin{cases} \frac{2 x - 3}{x - 1} = 2 x + m \\ (\frac{2 x - 3}{x - 1})' = (2 x + m)' \end{cases}$ có nghiệm

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 \neq 0 \\ 2 x - 3 = (x - 1) (2 x + m) \\ 2 {(x - 1)}^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ m = \frac{2 x - 3}{x - 1} - 2 x \end{cases} \Rightarrow m = \pm 2 \sqrt{2}$

Câu 42:

Phương trình $2^{\sin^{2} x} + 2^{1 + c {os}^{2} x} = m$ có nghiệm khi và chỉ khi

A. $- 4 \leq m \leq 3 \sqrt{2}$

B. $3 \sqrt{2} \leq m \leq 5$

C. $0 \leq m \leq 5$

D. $4 \leq m \leq 5$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 43:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm DD'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A. 4a/3

B. a/3

C. 2a/3

D. 3a/4

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $A' D / / B' C \Rightarrow A' D / / (B' K C) \Rightarrow d (C K; A' D) = d (D; (B " K C))$

$= d (D'; (B " K C)) = \frac{1}{2} x d (C'; (B " K C)) = \frac{3 x V_{K . B' C' C}}{2 S_{Δ B' K C}} .$

Thể tích khối chóp KB'C'C là $V = \frac{1}{3} . d (K; (B' C' C)) . S_{Δ B' C' C} = \frac{a^{2}}{6}$

Tam giác B’KCcó $C K = \frac{a \sqrt{5}}{2}; B' C = a \sqrt{2}; B' K = \frac{3 a}{2}$

=>Diện tích $Δ B' K C$ là $S_{Δ B' K C} = \frac{3 a^{2}}{4} .$ Vậy $d (C K; A' D) = \frac{a}{3}$

Câu 44:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{2} (3 - 2 x - x^{2})$ là

A. $D = (- 1; 3)$

B. $D = (0; 1)$

C. $D = (- 1; 1)$

D. $D = (- 3; 1)$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số đã cho xác định $\Leftrightarrow 3 - 2 x - x^{2} > 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 1.$ Vậy $D = (- 3; 1)$

Câu 45:

Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là $2 π m^{3} .$ Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất?

A. $R = 2 m, h = \frac{1}{2}$

B. $R = 4 m, h = \frac{1}{8}$

C. $R = \frac{1}{2} m, h = 8 m$

D. $R = 1 m, h = 2 m$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của thùng phi.

Thể tích của thùng phi là $V = 2 π \Rightarrow π R^{2} h = 2 π \Rightarrow h = \frac{2}{R^{2}} .$

Diện tích toàn phần của thùng phi là $S_{t p} = S_{x q} + 2 x S_{d} = 2 π R h + 2 π R^{2}$

Ta có $R h + R^{2} = R . \frac{2}{R^{2}} + R^{2} = R^{2} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \geq 3 \sqrt[3]{R^{2} . \frac{1}{R} . \frac{1}{R}} = 3 \Rightarrow S_{t p} \geq 6 π m^{2} .$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $R^{2} = \frac{1}{R} \Leftrightarrow R = 1 \to h = 2.$

Câu 46:

Cho số nguyên dương n, tính tổng $S = \frac{- C_{n}^{1}}{2.3} + \frac{2 C_{n}^{2}}{3.4} - \frac{3 C_{n}^{3}}{4.5} + ... + \frac{{(- 1)}^{n} n C_{n}^{n}}{(n + 1) (n + 2)}$

A. $\frac{- n}{(n + 1) (n + 2)}$

B. $\frac{2 n}{(n + 1) (n + 2)}$

C. $\frac{n}{(n + 1) (n + 2)}$

D. $\frac{- 2 n}{(n + 1) (n + 2)}$

Xem đáp án

Đáp án A

Giải trắc nghiệm: $n = 2 \Rightarrow S = - \frac{1}{6}$ nên đáp án B và Csai.

Với $n = 2$ thay vào A được $= - \frac{1}{6}$ thay vào D được $= - \frac{1}{3}$ .

Câu 47:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm $A (2; - 3; 7), B (0; 4; l),$ $C (3; 0; 5), D (3; 3; 3) .$ Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz)sao cho biểu thức $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ M là

A. $M (0; 1; - 4)$

B. $M (2; 1; 0)$

C. $M (0; 1; - 2)$

D. $M (0; 1; 4)$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $I (a; b; c)$ thỏa mãn $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0} \Rightarrow I (2; 1; 4)$

Khi đó $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D}| = |4 \vec{M I} + \underset{0}{\underset{⏟}{\vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D}}}| = 4 |\vec{M I}| = 4 M I$

Suy ra $M I_{\min} \Leftrightarrow M$ là hình chiếu của I trên $(O y z) \Rightarrow M (0; 1; 4)$

Câu 48:

Bất phương trình $\ln (2 x^{2} + 3) > \ln (x^{2} + a x + 1)$ nghiệm đúng với mọi số thực x khi

A. $- 2 \sqrt{2} < a < 2 \sqrt{2}$

B. $0 < a < 2 \sqrt{2}$

C. $0 < a < 2$

D. $- 2 < a < 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\ln (2 x^{2} + 3) > \ln (x^{2} + a x + 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + a x + 1 > 0 \\ 2 x^{2} + 3 > x^{2} + a x + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + a x + 1 > 0 (1) \\ x^{2} - a x + 2 > 0 (2) \end{cases} .$

Giải (1), ta có $x^{2} + a x + 1 > 0; \forall x \in ℝ \Leftrightarrow Δ = a^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < a < 2.$

Giải (2), ta có $x^{2} - a x + 2 > 0; \forall x \in ℝ \Leftrightarrow Δ = {(- a)}^{2} - 8 < 0 \Leftrightarrow - 2 \sqrt{2} < a < 2 \sqrt{2} .$

Vậy $a \in (- 2; 2)$ là giá trị cần tìm.

Câu 49:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newtơn $P (x) = {(x^{2} + \frac{1}{x})}^{15}$

A. 4000

B. 2700

C. 3003

D. 3600

Xem đáp án

Đáp án C

Xét khai triển ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{15} = \sum_{k = 0}^{15} C_{15}^{k} . {(x^{2})}^{15 - k} . {(\frac{1}{x})}^{k} = \sum_{k = 0}^{15} C_{15}^{k} . x^{30 - 3 k} .$

Số hạng không chứa x ứng với $x^{30 - 3 k} = x^{0} \to k = 10.$

Vậy số hạng cần tìm là $C_{15}^{10} = 3003.$

Câu 50:

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ có $A B = a, A D = 2 a, A A' = a .$ Gọi M là điểm trên đoạn AD với $\frac{A D}{M D} = 3$ . Gọi x là độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng AD', B 'C và y là độ dài khoảng cách từ M đến mặt phẳng $(A B' C)$ . Tính giá trị xy

A. $\frac{5 a^{5}}{3}$

B. $\frac{a^{2}}{2}$

C. $\frac{3 a^{2}}{4}$

D. $\frac{3 a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $d (D; (A B' C)) = d (B; (A B' C))$ mà $\frac{A M}{A D} = \frac{3}{4}$

Và $\frac{1}{d^{2} (B; (A B' C))} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{B C^{2}} + \frac{1}{B B'} \Rightarrow d (M; (A B' C)) = \frac{a}{2} .$

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD’, B’C.

Suy ra EF là đoạn vuông góc chung cuả AD’, B’C.

Do đó $d (A D'; B' C) = E F = A B = a .$ Vậy $x y = a . \frac{a}{2} = \frac{a^{2}}{2} .$