50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 10)

Câu 1:

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $2018^{2 (x^{2} - y + 1)} = \frac{2 x + y}{{(x + 1)}^{2}}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của biểu thức $P = 2 y - 3 x .$

A. $P_{\min} = \frac{1}{2}$

B. $P_{\min} = \frac{7}{8}$

C. $P_{\min} = \frac{3}{4}$

D. $P_{\min} = \frac{5}{6}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $2018^{2 (x^{2} - y + 1)} = \frac{2 x + y}{{(x + 1)}^{2}} \Leftrightarrow 2018^{2 {(x + 1)}^{2} - 2 (2 x + y)} = \frac{2 x + y}{{(x + 1)}^{2}}$

$\Leftrightarrow A^{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) = A^{2 x + y} (2 x + y), A = 2018^{2}$

Xét hàm số $F (t) = A^{'} t, t > 0 \Rightarrow$ $f' (t) = A' + t . A' \ln A > 0 \Rightarrow f (t)$ đồng biến với mọi $t > 0.$

Suy ra $A^{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) = A^{2 x + y} (2 x + y) \Leftrightarrow f ({(x + 1)}^{2}) = f (2 x + y) \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} = 2 x + y \Leftrightarrow y = x^{2} + 1.$

Ta có $P = 2 y - 3 x = 2 (x^{2} + 1) - 3 x = 2 x^{2} - 3 x + 2 = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{7}{8} \geq \frac{7}{8} \Rightarrow P_{\min} = \frac{7}{8}$

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;2;-2), B(-3;5;1), C(1;1;-2) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC ?

A. G(0;2;-1)

B. G(0;2;3)

C. G(0;-2;-1)

D. G(2;5;-2)

Xem đáp án

Đáp án A.

$G (\frac{2 - 3 + 1}{3}; \frac{2 + 5 - 1}{3}; \frac{- 2 + 1 - 2}{3}) = (0; 2; - 1) .$

Câu 3:

Biết S=[a;b] là tập nghiệm của bất phương trình ${3.9}^{x} - {10.3}^{x} + 3 \leq 0.$ Tìm $T = b - a$ .

A. $T = \frac{8}{3} .$

B. $T = 1$

C. $T = \frac{10}{3} .$

D. $T = 2$

Xem đáp án

Đáp án D

$B P T \Leftrightarrow 3 {(3^{x})}^{2} - 10 (10^{x}) + 3 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq 3^{x} \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 1 \Rightarrow \Rightarrow T = 2.$

Câu 4:

Đường thẳng $y = 3 x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt A và B. Tính độ dài của đoạn thẳng AB.

A. $A B = 4 \sqrt{6} .$

B. $A B = 4 \sqrt{10} .$

C. $A B = 4 \sqrt{15} .$

D. $A B = 4 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

PT hoành độ giao điểm là

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1} = 3 x + 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x^{2} = 4 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ x = - 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} A (2; 7) \\ B (- 2; - 5) \end{cases} \Rightarrow A B = 4 \sqrt{10} .$

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ $\vec{a} (0; 3; 1)$ và $\vec{b} (3; 0; - 1)$ . Tính $\cos (\vec{a,} \vec{b}) .$

A. $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = - \frac{1}{100} .$

B. $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{1}{100} .$

C. $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{1}{10} .$

D. $\cos (\vec{a,} \vec{b}) = \frac{1}{10} .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{- 1}{10} .$

Câu 6:

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' . Gọi M là trung điểm của BB' , N là điểm trên cạnh CC' sao cho $C N = N C'$ . Mặt phẳng ( AMN ) chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích V1 và V2 như hình vẽ. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}} .$

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{3} .$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{2} .$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{4}{3} .$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{7}{5} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có: $S_{B M C N} = \frac{B M + C N}{2} d (B B'; C C') = \frac{\frac{B B'}{2} + \frac{3}{4} C C'}{2} d (B B'; C C') = \frac{5}{8} B B' . d (B B'; C C')$

Do đó $V_{2} = \frac{5}{8} V_{A . B C C' B'} = \frac{5}{8} . \frac{2}{3} V$ (với $V = V_{A B C . A' B' C'}) = \frac{5}{12} V$

Suy ra $V_{1} = \frac{7}{12} V \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{7}{5} .$

Câu 7:

Tính tích phân $I = \int_{1}^{e} \frac{\sqrt{1 + 3 \ln x}}{x} d x$ bằng cách đặt $t = \sqrt{1 + 3 \ln x,}$ mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $I = \frac{2}{9} t^{3} |\begin{array}{l} ^{2} \\ _{1} \end{array} .$

B. $I = \frac{2}{9} \int_{1}^{2} t d t .$

C. $I = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} t^{2} d t .$

D. $I = \frac{14}{9} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt $t = \sqrt{1 + 3 \ln x} \Rightarrow t^{2} = 1 + 3 \ln x \Leftrightarrow 2 t d t = \frac{3}{x} d x, \{\begin{cases} x = 1 \to t = 1 \\ x = e \to t = 2 \end{cases} .$

Suy ra $I = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} t^{2} d t = \frac{2}{9} t^{3} |\begin{array}{l} ^{2} \\ _{1} \end{array} = \frac{14}{9} .$

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(0;1;4); B(3;-1;1); C(-2;3;2) Tính diện tích S của tam giác ABC.

A. $S = 2 \sqrt{62} .$

B. $S = 12$

C. $S = \sqrt{6} .$

D. $S = \sqrt{62} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Câu 9:

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = \frac{2}{\sqrt{2 x - 1}}$ thỏa mãn F(5)=7

A. $F (x) = 2 \sqrt{2 x - 1} .$

B. $F (x) = 2 \sqrt{2 x - 1} + 1.$

C. $F (x) = \sqrt{2 x - 1} + 4.$

D. $f (x) = \sqrt{2 x - 1} - 10.$

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt $t = \sqrt{2 x - 1} \Rightarrow t^{2} = 2 x - 1 \Rightarrow t d t = d x$

$\Rightarrow F (x) = \int_{}^{} \frac{2}{\sqrt{2 x - 1}} d x = \int_{}^{} \frac{2}{t} t d t = 2 t + C = 2 t + C = 2 \sqrt{2 x - 1} + C .$

$F (5) = 7 \Leftrightarrow 2 \sqrt{2.5 - 1} + C = 7 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f (x) = 2 \sqrt{2 x - 1} + 1.$

Câu 10:

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 1$ và đường thẳng $y = 2.$

A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có đồ thị hàm số $y = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 1$ như hình vẽ bên. Dễ thấy đường thẳng $y = 2$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 1$ tại 3 điểm phân biệt

Câu 11:

Cho tam giác AOB vuông tại O, có $\hat{O A B} = 30^{0}$ và AB = a. Quay tam giác AOB quanh trục AO ta được một hình nón. Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón đó.

A. $S_{x q} = \frac{π a^{2}}{2} .$

B. $S_{x q} = π a^{2} .$

C. $S_{x q} = \frac{π a^{2}}{4} .$

D. $S_{x q} = 2 π a^{2} .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Bán kính đáy hình nón $r = O B = A B \sin 30^{0} = \frac{a}{2}$

Độ dài đường sinh $l = A B = a \Rightarrow S_{x q} = π r l = \frac{π a^{2}}{2} .$

Câu 12:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên đoạn [1;3]

A. $max_{[1; 3]} y = 3.$

B. $max_{[1; 3]} y = 5.$

C. $max_{[1; 3]} y = 6$

D. $max_{[1; 3]} y = 4$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $y^{,} = 1 - \frac{4}{x^{2}} \Rightarrow y^{,} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2.$

Suy ra $y (1) = 5, y (2) = 4, y (3) = \frac{13}{3} \Rightarrow \max_{[1; 3]} y = 5.$

Câu 13:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {(x^{2} - 2 x + 1)}^{\frac{1}{3}} .$

A. $D = (0; + \infty) .$

B. $D = ℝ .$

C. $D = (1; + \infty) .$

D. $D = ℝ \ \{1\} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Hàm số xác định $\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 > 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow x \neq 1 \Rightarrow D = ℝ \ \{1\} .$

Câu 14:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. $V = \frac{32 \sqrt{3} π a^{3}}{27} .$

B. $V = \frac{32 \sqrt{3} π a^{3}}{9} .$

C. $V = \frac{8 \sqrt{3} π a^{3}}{27} .$

D. $V = \frac{32 \sqrt{3} π a^{3}}{81} .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Bán kính đường tròn đáy $r = \frac{B C}{2 \sin A} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ $R = \sqrt{{(\frac{h}{2})}^{2} + r^{2}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}} \Rightarrow V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{32 \sqrt{3} π a^{3}}{27} .$

Câu 15:

Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 3 x + 2} .$

A. 3.

B. 1

C. 2.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án B.

Hàm số có tập xác định $D = ℝ \ \{1; 2\} .$

Ta có $y = \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{(x - 2) (x - 3)}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{x - 3}{x - 1} \Rightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1, \lim_{x \to 1} y = \infty$

Đồ thị hàm số có TCĐ $x = 1.$

Câu 16:

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’ C’ có đáy là tam giác vuông tại A, $A C = a; \hat{A C B} = 60^{0}$ ; góc giữa BC’ và (AA’C) bằng $30^{0}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. $V = a^{3} \sqrt{6} .$

B. $V = \frac{2 a^{3}}{\sqrt{6}} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $\{\begin{cases} B A ⊥ AA' \\ B A ⊥ AC \end{cases} \Rightarrow B A ⊥ (A C C' A')$

Do đó góc giữa BC’ và (AA’C) bằng $\hat{A C' A} = 30^{0}$

Khi đó $A C' \tan 30^{0} = A B \Rightarrow A C' = \frac{A B}{\tan 30^{0}}$

Mặt khác $A B = A C \tan C = a \sqrt{3} \Rightarrow A C' = 3 a .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C C' = \sqrt{A C'^{2} - A C^{2}} = 2 a \sqrt{2} \\ \Rightarrow V = S_{A B C} . C C' = \frac{A B . A C}{2} . C C' = a^{3} \sqrt{6.} \end{array}$

Câu 17:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = (5 x + 1) e^{x}$ và $F (0) = 3.$ Tính F(1).

A. $F (1) = 11 e - 3.$

B. $F (1) = e + 3.$

C. $F (1) = e + 7.$

D. $F (1) = e + 2.$

Xem đáp án

Đáp án C.

Đặt $\{\begin{cases} u = 5 x + 1 \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 5 d x \\ v = e^{x} \end{cases}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} (5 x + 1) e^{x} d x = [(5 x + 1) e^{x}] |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} - 5 \int_{0}^{1} e^{x} d x = [(5 x + 1) e^{x}] |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} - 5 e^{x} |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array}$

Suy ra $\int_{1}^{1} (5 x + 1) e^{x} d x = e + 4 = F (1) - F (0) = F (1) - 3 \Rightarrow F (1) = e + 7.$

Câu 18:

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = 1 + s inx .$

B. $y = 1 - s inx .$

C. $y = s inx .$

D. $y = c osx.$

Xem đáp án

Đáp án D.

Câu 19:

Cho biểu thức $P = \sqrt{x} . \sqrt[3]{x} . \sqrt[6]{x^{5}} (x > 0) .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = x^{\frac{2}{3}} .$

B. $P = x^{\frac{5}{2}} .$

C. $P = x^{\frac{5}{3}} .$

D. $P = x^{\frac{7}{3}} .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $P = \sqrt{x .} \sqrt[3]{x} \sqrt[6]{x^{5}} = x^{\frac{1}{2}} . x^{\frac{1}{3}} . x^{\frac{5}{6}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6}} = x^{\frac{5}{3}} .$

Câu 20:

Tìm số nghiệm của phương trình $s inx = c os2x$ thuộc đoạn $[0; 20 π] .$

A. 40.

B. 30.

C. 60.

D. 20.

Xem đáp án

Đáp án B.

$\begin{array}{l} P T \Leftrightarrow s inx = 1 - 2 \sin^{2} x \Leftrightarrow [\begin{array}{l} s inx = \frac{1}{2} \\ s inx = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π (k \in ℤ) \\ x = - \frac{π}{2} k 2 π \end{array} \\ x \in [0; 20 π] \Rightarrow [\begin{array}{l} 0 \leq \frac{π}{6} + k 2 π \leq 20 π \\ 0 \leq \frac{5 π}{6} + k 2 π \leq 20 π \\ 0 \leq - \frac{π}{2} + k 2 π \leq \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 0, 08 \leq k \leq 9, 91 \\ - 0, 41 \leq k \leq 9, 58 \\ 0, 25 \leq k \leq 10, 25 \end{array} \end{array}$

Suy ra PT ban đầu có 30 nghiệm thuộc đoạn $[0; 20 π] .$

Câu 21:

Cho hàm $y = f (x)$ số xác định trên $ℝ \ \{\pm 1\},$ liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ sau.

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $f (x) = m$ vô nghiệm.

A. $[- 2; 1] .$

B. (-∞;-2]

C. [1;+ ∞).

D. [-2;1).

Xem đáp án

Đáp án D.

$P T f (x) = m$ vô nghiệm $\Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 1 \Leftrightarrow m \in [- 2; 1) .$

Câu 22:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{4} - 2 (m + 1) x^{2} + m^{2} - 1$ đạt cực tiểu tại $x = 0.$

A. m<-1

B. m=-1

C. $m \leq - 1.$

D. $[\begin{array}{l} m \leq - 1 \\ m \geq 1 \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $y' = 4 x^{3} - 4 (m + 1) x = 4 x (x^{2} - m - 1) .$

Hàm trùng phương với hệ số $a > 0$ có 2 dạng:

+) Có 2 cực tiểu và 1 cực đại tại $x = 0 \Rightarrow y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

+) có 1 cực tiểu tại $x = 0 \Rightarrow y' = 0$ có 1 nghiệm $x = 0.$

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 0 \Leftrightarrow m + 1 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 1.$

Câu 23:

Một hình trụ có bán kính đáy bằng với chiều cao của nó. Biết thể tích của khối trụ đó bằng 8π, tính chiều cao h của hình trụ.

A. $h = \sqrt[3]{4} .$

B. $h = 2.$

C. $h - 2 \sqrt{2} .$

D. $h = \sqrt[3]{32} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có: $h = r$ và $V = π r^{2} h = 8 π \Rightarrow h^{3} = 8 \Leftrightarrow h = 2.$

Câu 24:

Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a. Tính diện tích toàn phần $S_{t p}$ của khối trụ.

A. $S_{t p} = \frac{27 π a^{2}}{2} .$

B. $S_{t p} = \frac{13 a^{2} π}{6} .$

C. $S_{t p} = a^{2} π \sqrt{3} .$

D. $S = \frac{a^{2} π \sqrt{3}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Chiều cao của khối trụ $h = 3 a$ ; bán kính đáy $r = \frac{3 a}{2}$

Do đó $S_{t p} = 2 π r^{2} + 2 π r h = \frac{27}{2} π a^{2} .$

Câu 25:

Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC từng đôi một vuông góc và $O A = O B = O C = 6.$ Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

A. $R = 4 \sqrt{2} .$

B. $R = 2.$

C. $R = 3$

D. $R = 3 \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có: $R = \frac{\sqrt{O A^{2} + O B^{2} + O C^{2}}}{2} = 3 \sqrt{3} .$

Câu 26:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3^{x} .$

A. $\int_{}^{} 3^{x} d x = \frac{3^{x}}{\ln 3} + C .$

B. $\int_{}^{} 3^{x} d x = 3^{x} \ln 3 + C .$

C. $\int_{}^{} 3^{x} d x = 3^{x + 1} + C .$

D. $\int_{}^{} 3^{x} d x = \frac{3^{x + 1}}{x + 1} + C .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 27:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số $y = \sin x$ là hàm số chẵn.

B. Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

C. Hàm số $y = \tan x$ là hàm số chẵn.

D. Hàm số $y = \cot x$ là hàm số chẵn.

Xem đáp án

Đáp án B.

Câu 28:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 \sin x$ trên đoạn $[- \frac{π}{6}; \frac{5 π}{6}]$ . Tính M, m.

A. $M = 1, m = - 1.$

B. $M = 2, m = - 2.$

C. $M = 1, m = - 2.$

D. $M = 2, m = - 1.$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có $y' = c osx \Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow c osx=0 \Leftrightarrow x= \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ) \Rightarrow x_{0} = \frac{π}{2} \in [- \frac{π}{6}; \frac{5 π}{6}] .$

Suy ra $y (- \frac{π}{6}) = - 1, y (\frac{π}{2}) = 2, y (\frac{5 π}{6}) = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} M = 2 \\ m = - 1 \end{cases} .$

Câu 29:

Cho là các hàm số $y = f (x), y = g (x)$ có đạo hàm, liên tục trên [0;2] và $\int_{0}^{2} g (x) f' (x) d x = 2, \int_{0}^{2} g' (x) f (x) d x = 3$ Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} [f (x) g (x)]' d x .$

A. I=-1

B. I=6

C. I=5

D. I=1

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $I = \int_{0}^{2} {[f (x) g (x)]}^{'} d x = \int_{0}^{2} [f' (x) g (x) + g' (x) f (x)] d x$

$= \int_{}^{2} g (x) f' (x) d x + \int_{}^{2} g' (x) f (x) d x = 5.$

Câu 30:

Tìm nghiệm của phương trình $\log_{9} (x + 1) = \frac{1}{2} .$

A. x=-4

B. x=2

C. x=4

D. x=7/2

Xem đáp án

Đáp án B.

$P T \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1 = 3 \end{cases} \Rightarrow x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2.$

Câu 31:

Cho hàm số y=f(x). Đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình bên. Đặt $h (x) = f (x) - \frac{x^{2}}{2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Hàm số $y = h (x)$ đồng biến trên khoảng (-2;3)

B. Hàm số $y = h (x)$ đồng biến trên khoảng (0;4).

C. Hàm số $y = h (x)$ nghịch biến trên khoảng (0;1)

D. Hàm số $y = h (x)$ nghịch biến trên khoảng (2;4)

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có: $h' (x) = f' (x) - x > 0 \Leftrightarrow f' (x) > x$ tức là đồ thị $f' (x)$ nằm trên đường thẳng $y = x$

Dựa vào đồ thị suy ra $f' (x) > x \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 2 < x < 2 \\ x > 4 \end{array}$

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(- 2; 2); (4; + \infty)$ và nghịch biến trên $(2; 4); (- \infty; 0) .$

Câu 32:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?

A. $y = \sqrt{x^{3} + x} .$

B. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 2.$

C. $y = x^{2} + 2018.$

D. $y = \frac{x - 2018}{x + 2018} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 2 \Rightarrow y' = 3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 {(x - 1)}^{2} \geq 0 (\forall \in ℝ)$

Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm nên hàm số đồng biến trên R

Câu 33:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3 x + 2.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty) .$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty) .$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0) .$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0) .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có: $y' = 4 x^{3} 4 x > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 1 \\ - 1 < x < 0 \end{array}$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty) .$

Câu 34:

Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 26.$

A. (-2;26)

B. (4-10)

C. (2;-54)

D. (-4;54)

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có: $y' = 3 x^{2} + 6 x - 24 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 4 \Rightarrow y = 54 \\ x = 2 \Rightarrow y = - 54 \end{array}$

Do đó điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(2; - 54) .$

Câu 35:

Biết m là số thực thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x (\cos x + 2 m) d x = 2 π^{2} + \frac{π}{2} - 1.$ Mệnh đề nào sau dưới đây đúng ?

A. $m \leq 0.$

B. $0 < m \leq 3.$

C. $3 < m \leq 6.$

D. m>6

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có: $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x (cosx+2m) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 m x d x = I_{1} + I_{2}$

Ta có: $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x d \sin x = x \sin x |\begin{array}{l} ^{\frac{π}{2}} \\ _{0} \end{array} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x = \frac{π}{2} + c osx |\begin{array}{l} ^{\frac{π}{2}} \\ _{0} \end{array} = \frac{π}{2} - 1$

$I_{2} = m x^{2} |\begin{array}{l} ^{\frac{π}{2}} \\ 0 \end{array} = m \frac{π^{2}}{4} \Rightarrow I_{1} + I_{2} = \frac{m π^{2}}{4} + \frac{π}{2} - 1 \Rightarrow m = 8.$

Câu 36:

Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số $y = 2018 + \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x}}{x - 2} .$

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án C.

TXĐ: $D = (- \infty; - 2) \cup [0; + \infty)$

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} (2018 + \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x}}{x - 2}) = 2019$

$\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} (2018 + \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x}}{x - 2}) = 2017$

Do đó đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to 2^{-}} y = - \infty$ dó đó đò thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.

Câu 37:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc $60^{o}$ . Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích V khối chóp S.AEMF.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{36} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{9} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{18} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi H là tâm của hình vuông $A B C D; \hat{S B H} = 60^{0}; H B = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Khi đó là trọng tâm tam giác SAC.

Qua G dựng đường thẳng song song với BD cắt SB;SD lần lượt là E và F.

Do tính chất đối xứng ta có:

$\frac{V_{S . A E M F}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A E M}}{V_{S . A B C}} = \frac{S E}{S B} . \frac{S M}{S C} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} = \frac{1}{3} .$

Mặt khác $V_{A . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} H B \tan 60^{0} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6} .$

Do đó $V_{S . A E M F} = \frac{1}{3} . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{18} .$

Câu 38:

Cho $a > 0, a \neq 1.$ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Tập giá trị của hàm số $y = \log_{a} x$ là khoảng $(- \infty; + \infty) .$

B. Tập xác định của hàm số $y = a^{x}$ là khoảng $(0; + \infty) .$

C. Tập xác định của hàm số $y = \log_{a} x$ là khoảng $(- \infty; + \infty) .$

D. Tập giá trị của hàm số $y = a^{x}$ là khoảng $(- \infty; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Hàm số $y = a^{x}$ có tập giá trị là $(0; + \infty);$ tập giá trị của hàm số $y = \log_{a} x$ là khoảng $(- \infty; + \infty) .$

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $M = (3; 2; 8), N (0; 1; 3)$ và $P = (2; m; 4)$ . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N.

A. $m = 25.$

B. $m = 4$

C. $m = - 1$

D. $m = - 10$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có: $\{\begin{cases} \bar{N M} = (3; 1; 5) \\ \bar{N P} (2; m - 1; 1) \end{cases}$ do đó tam giác MNP vuông tại N khi

$\bar{N M} . \bar{N P} = 6 + 1. (m - 1) + 5 = 0$

$\Leftrightarrow m = - 10.$

Câu 40:

Giải phương trình $\sqrt{3} \tan 2 x - 3 = 0.$

A. $x = \frac{π}{3} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ) .$

B. $x = \frac{π}{3} + k π (k \in ℤ) .$

C. $x = \frac{π}{6} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ) .$

D. $x = \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ) .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có: $\sqrt{3} \tan 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2 x = \sqrt{3} \Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{3} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$

Câu 41:

Trong không gian với hệ tọa độ, Oxyz cho bốn điểm A(0;0;6); $B (0; 1; - 8),$ C(1;2;-5) và D(4;3;8) Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó ?

A. Vô số

B. 1 mặt phẳng.

C. 7 mặt phẳng

D. 4 mặt phẳng.

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $\bar{A B} = (0; 1; - 2); \bar{A C} = (1; 2; 1) \Rightarrow [\bar{A B}; \bar{A C}] = (5; - 2; - 1)$

Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) là $5 x - 2 y - z - 6 = 0.$

Do đó, điểm thuộc mặt phẳng (ABC).

Vậy có vô số mặt phẳng cách đều bốn điểm đã cho.

Câu 42:

Biết rằng đồ thị hàm số $y = a^{x}$ và đồ thị hàm số $y = \log_{b} x$ cắt nhau tại điểm $M (π; \frac{1}{e})$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $\{\begin{cases} 0 < a < 1 \\ 0 < b < 1 \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} 0 < a < 1 \\ b > 1 \end{cases} .$

C. $a, b > 1.$

D. $\{\begin{cases} a > 1 \\ 0 < b < 1 \end{cases} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Vì M thuộc đồ thị hàm số $y = a^{x} \Rightarrow \frac{1}{e} = a^{π} \Leftrightarrow a \sqrt[π]{\frac{1}{e}} \in (0; 1) .$

Và M thuộc đồ thị hàm số $y = \log_{b} x \Rightarrow \frac{1}{e} = \log_{b} π \Leftrightarrow b^{\frac{1}{e}} = π \Leftrightarrow b \sqrt[\frac{1}{e}]{π} > 1.$

Vậy hệ số $0 < a < 1$ và $b > 1.$

Câu 43:

Một cái bồn gồm hai nửa hình cầu đường kính 18dm và một hình trụ có chiều cao 36dm (như hình vẽ). Tính thể tích V của cái bồn đó.

A. $V = 9216 π d m^{3} .$

B. $V = \frac{1024 π}{9} d m^{3} .$

C. $V = \frac{16 π}{243} d m^{3} .$

D. $V = 3888 d m^{3} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Thể tích cần tính là $V = V_{t} + V_{c} = π R^{2} h + \frac{4}{3} π R^{2} = π {.9}^{2} .36 + \frac{4}{3} π {.9}^{3} = 3888 π d m^{3} .$

Câu 44:

Một vật chuyển động theo quy luật $S = \frac{1}{3} t^{3} - t^{2} 9 t,$ với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 89 m/s

B. 109 m/s

C. 71 m/s.

D. 25/3 m/.s

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $v (t) = s' (t) = t^{2} - 2 t + 9 \to f (t) = t^{2} - 2 t + 9.$

Xét hàm số $f (t) = t^{2} - 2 t + 9$ trên $(0; 10],$ có $f' (t) = 2 t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1.$

Tính các giá trị $f (0) = 9; f (1) = 8; f (10) = 89.$ Suy ra $max_{(0; 10]} f (t) = 89.$

Vậy vận tốc lớn nhất cần tính là 89 m/s.

Câu 45:

Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ , đáy là tam giác đều cạnh $a \sqrt{3}$ . Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.

A. $h = \frac{4 a}{3} .$

B. $h = \frac{a}{4} .$

C. $h = 4 a .$

D. $h = \frac{3 a}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $m {.3}^{x^{2} - 7 x + 12} - 1 + 3^{2 x - x^{2}} = {9.3}^{10 - 5 x} + m \Leftrightarrow m . (3^{x^{2} - 7 x + 12} - 1) = 3^{12 - 5 x} - 3^{2 x - x^{2} .}$

$\Leftrightarrow m . (3^{x^{2} - 7 x + 12} - 1) = 3^{2 x - x^{2}} (3^{x^{2} - 7 x + 12} - 1) \Leftrightarrow (3^{x^{2} - 7 x + 12} - 1) (3^{2 x - x^{2}} - m) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3^{x^{2} - 7 x + 12} = 1 \\ 3^{2 x - x^{2}} - m = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 7 x + 12 = 0 \\ 2 x - x^{2} = \log_{3} m \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4; x = 3 \\ 2 x - x^{2} = \log_{3} m (*) \end{array}$

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

(*) có nghiệm duy nhất khác $\{4; 3\} .$

(*) có hai ngiệm phân biệt, 1 nghiệm bằng 4, nghiệm còn lại khác 3.

(*) có hai nghiệm phân biệt, 1 nghiệm bằng 3, nghiệm còn lại khác 4.

Vậy có 3 giá trị m cần tìm.

Câu 46:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $m {.3}^{x^{2} - 7 x + 12} + 3^{2 x - x^{2}} = {9.3}^{10 - 5 x} + m$ có ba nghiệm thực phân biệt. Tìm số phần tử của.

A. 3

B. Vô số.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án A.

Diện tích tam giác đều cạnh a là $S \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Vậy thể tích khối lăng trụ cần tính là $V = S . h = a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

Câu 47:

Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

B. $V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{3} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Diện tích tam giác đều cạnh a là $S \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Vậy thể tích khối lăng trụ cần tính là $V = S . h = a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

Câu 48:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương A, B, C, D dưới đây.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = x^{4} + 4 x^{2} + 1.$

B. $y = x^{4} + 2 x^{2} + 1.$

C. $y = x^{4} - 4 x^{2} + 1.$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1.$

Xem đáp án

Đáp án C.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:

Hàm số có dạng $y =^{4} + b x^{2} + c$ (hàm số trùng phương)

Vì $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ suy ra hệ số $a > 0.$

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương $\Rightarrow c > 0.$

Hàm số có ba điểm cực trị suy ra $a b < 0.$

Vậy hàm số cần tìm là $y = x^{4} - 4 x^{2} + 1.$

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi I là trung điểm của $A B \Rightarrow S I ⊥ A B \Rightarrow S I ⊥ (A B C D) .$

Tam giác SAB đều cạnh $a \Rightarrow S I = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$ Diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = a^{2} .$

Vậy thể tích cần tính là $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S I . S_{A B C D} = \frac{a^{2}}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

Câu 50:

Cho phương trình $m . \sin x + 4 \cos x = 2 m - 5$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm?

A. 4.

B. 7.

C. 6.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án C.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

${(m . s inx+4cosx)}^{2} \leq (m^{2} + 4^{2}) (\sin^{2} x + c {os}^{2} x) = m^{2} + 16.$

Nên để phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow {(3 m - 5)}^{2} \leq m^{2} + 16 \Leftrightarrow 3 m^{2} 20 m + 9 \leq 0.$

Kết hợp với $m \in ℤ,$ ta được $m = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ là giá trị cần tìm.