50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 25)

Câu 1:

Đồ thị hàm số $y = \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - \sqrt{4 x^{2} + 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y = \frac{4 x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} + \sqrt{4 x^{2} + 1}} \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{4 x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} + \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{4 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}} = 1 \Rightarrow y = 1$ là TCN.

$\lim_{x \to - \infty} = \lim_{x \to - \infty} = \frac{4 x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} + \sqrt{4 x^{2} + 1}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 4 - \frac{2}{x}}{\sqrt{4 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}} = - 1 \Rightarrow y = - 1$ là TCN.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCN.

Câu 2:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Độ dài cạnh bên bằng 4a. Mặt phẳng $(B C C' B')$ vuông góc với đáy và $\hat{B' B C} = 30^{\circ}$ .Thể tích khối chóp $A . C C' B'$ là

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{18}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó $B I ⊥ (B C C' B') .$

Ta có: $A I = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l} S_{B' C' C} = \frac{1}{2} . a .4 a . \sin 30^{\circ} = a^{2} \\ V_{A . C C' B'} = \frac{1}{3} A I . S_{B' C' C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} . \end{array}$

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu: $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ và mặt phẳng $(P) : 4 - 3 y - = 0.$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P)và mặt cầu (S) có đúng 1 điểm chung.

A. $m = 1$

B. $m = - 1$ hoặc $m = - 21$

C. $m = 1$ hoặc $m = 21$

D. $m = - 9$ hoặc $m = 31$

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt cầu (S)tâm $I (2; - 1; - 2)$ và bán kính $R = 2.$ . Để mặt phẳng (P)và mặt cầu (S)có đúng 1 điểm chung thì $d (I; (P)) = R \Leftrightarrow \frac{|4.2 - 3 (- 1) - m|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 21 \end{array} .$

Câu 4:

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?

A. $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ với $k \in ℝ$

B. $\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x, f (x); g (x)$ liên tục trên R

C. $\int x^{α} d x = \frac{1}{α + 1} x^{α + 1} + C$ với $α \neq - 1$

D. $(\int f (x) d x)' = f (x)$

Xem đáp án

Đáp án A

Nếu $k = 0 \Rightarrow \int 0 d x = C; k \int f (x) d x = 0.$

Câu 5:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, MC. Thể tích của khối chóp N.ABCD là:

A. V/6

B. V/4

C. V/2

D. V/3

Xem đáp án

Đáp án B

Vì $N C = M N$ và $M A = M S$ nên $d (N; (A B C D)) = \frac{1}{2} d (M; (A B C D))$

Thể tích khối chóp N.ABCD là: $V = \frac{1}{3} d (N; (A B C D)) . S_{A B C D} = \frac{1}{4} . \frac{1}{3} d (S; (A B C D)) . S_{A B C D} = \frac{V}{4}$

Câu 6:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{3}} (x - 1) + \log_{3} (11 - 2 x) \geq 0$ là:

A. $S = (1; 4]$

B. $S = (- \infty; 4]$

C. $S = (3; \frac{11}{2})$

D. $S = (1; 4)$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $\{\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 11 - 2 x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < x < \frac{11}{2} (*)$

Với điều kiện (*) thì bất phương trình trở thành:

$\log_{3} (11 - 2 x) - \log_{3} (x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow \log_{3} \frac{11 - 2 x}{x - 1} \geq 0$ $\Leftrightarrow \frac{11 - 2 x}{x - 1} \geq 1 \Leftrightarrow 11 - 2 x \geq x - 1 \Leftrightarrow x \leq 4.$

So sánh với (*) ta có: $1 < x \leq 4.$

Câu 7:

Biết $\int_{0}^{4} x \ln (x^{2} + 9) d x = a \ln 5 + b \ln 3 + c$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức $T = a + b + c$ là:

A. 10

B. 9

C. 8

D. 11

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln (x^{2} + 9) \\ d v = x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x \\ v = \frac{x^{2} + 9}{2} \end{cases} \Rightarrow \int_{0}^{4} x \ln (x^{2} + 9) d x = \frac{x^{2} + 9}{2} \ln (x^{2} + 9) |{}_{0}^{4}- \int_{0}^{4} x d x$

$= 25 \ln 5 - 9 \ln 3 - 8 \Rightarrow a = 25; b = - 9; c = - 8 \Rightarrow a + b + c = 8.$

Câu 8:

Số điểm cực trị của hàm số $y = {(x - 1)}^{2017}$ là

A. 0

B. 2017

C. 1

D. 2016

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 2017 {(x - 1)}^{2016} \geq 0 \forall x \Rightarrow$ hàm số không có cực trị.

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, cho véc tơ $\vec{a}$ biểu diễn của các véc tơ đơn vị là $\vec{a} = 2 \vec{i} + \vec{k} - 3 \vec{j}$ . Tọa độ của véc tơ $\vec{a}$ là:

A. $(1; 2; - 3)$

B. $(2; - 3; 1)$

C. $(2; 1; - 3)$

D. $(1; - 3; 2)$

Xem đáp án

Đáp án B

$\vec{a} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} + \vec{k}$

Câu 10:

Hàm số nào trong bốn hàm số liệt kê ở dưới nghịch biến trên các khoảng xác định của nó?

A. $y = {(\frac{1}{3})}^{- x}$

B. $y = {(\frac{e}{2})}^{- 2 x + 1}$

C. $y = {(\frac{3}{e})}^{x}$

D. $y = 2017^{x}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 11:

Đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x + 3}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A. $A B = \sqrt{34}$

B. $A B = 8$

C. $A B = 6$

D. $A B = \sqrt{17}$

Xem đáp án

Đáp án A

PT hoành độ giao điểm là $x + 1 = \frac{x + 3}{x - 1} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x^{2} - x - 4 = 0 \end{cases}, Δ = \sqrt{17} > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 1 \\ y_{A} + y_{B} = - 4 \end{cases}$

Suy ra $\{\begin{cases} A (x_{A}; x_{A} + 1) \\ B (x_{B}; x_{B} + 1) \end{cases} \Rightarrow A B = \sqrt{2 {(x_{A} - x_{B})}^{2}} = \sqrt{2 {(x_{A} + x_{B})}^{2} - 8 x_{A} x_{B}} = \sqrt{2 {(1)}^{2} - 8 (- 4)} = \sqrt{34}$

Câu 12:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = e^{x^{2} - 2 x} .$

A. $D = ℝ$

B. $D = [0; 2]$

C. $D = ℝ \ \{0; 2\}$

D. $D = \emptyset$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 13:

Tìm tập nghiệm S của phương trình $4^{x + \frac{1}{2}} - {5.2}^{x} + 2 = 0.$

A. $S = \{- 1; 1\}$

B. $S = \{- 1\}$

C. $S = \{1\}$

D. $S = (- 1; 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

$P T \Leftrightarrow {(2^{x})}^{2} 2 - 5 (2^{x}) + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x} = 2 \\ 2^{x} = \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array} \Rightarrow S = \{- 1; 1\}$

Câu 14:

Giải phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) = - 2.$

A. $x = 2$

B. $x = \frac{5}{2}$

C. $x = \frac{3}{2}$

D. $x = 5$

Xem đáp án

Đáp án D

$P T \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 = 4 \end{cases} \Rightarrow x - 1 = 4 \Leftrightarrow x = 5.$

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm $B (2; 1; - 3),$ đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(Q) : x + y + 3 z = 0, (R) : 2 x - y + z = 0$ là:

A. $4 x + 5 y - 3 z + 22 = 0$

B. $4 x - 5 y - 3 z - 12 = 0$

C. $2 x + y - 3 z - 14 = 0$

D. $4 x + 5 y - 3 z - 22 = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Các vtpt của (Q)và (R)lần lượt là: $\vec{n_{1}} (1; 1; 3)$ và $\vec{n_{2}} (2; - 1; 1)$

=> vtpt của (P)là: $\vec{n} = [\vec{n_{1}}; \vec{n_{2}}] = (4; 5; - 3)$

$\Rightarrow (P) : 4 (x - 2) + 5 (y - 1) - 3 (z + 3) h a y (P) : 4 x + 5 y - 3 z - 22 = 0.$

Câu 16:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$

B. $y = x^{3} - 3 x + 2$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 2$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 17:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = {(2 - x)}^{2} e^{x}$ trên đoạn [1;3] là

A. e

B. 0

C. $e^{3}$

D. $e^{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 2 (x - 2) e^{x} + {(x - 2)}^{2} e^{x} = x (x - 2) e^{x} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Suy ra $y (1) = e, y (2) = 0, y (3) = e^{3} \Rightarrow \underset{[1; 3]}{m ax} y = e^{3} .$

Câu 18:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{m}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + (m - 2) x - 3 m$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ .

A. $- \frac{1}{4} \leq m < 0$

B. $m \leq - \frac{1}{4}$

C. m<0

D. m>0

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = m x^{2} - 2 (m + 1) x + m - 2.$ Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; + \infty) \Leftrightarrow y' \leq 0, \forall x \in (- \infty; + \infty) .$

TH1: $m = 0 \Rightarrow y' \leq 0 \Leftrightarrow - 2 x - 2 \leq 0 \Leftrightarrow x \geq - 1 \Rightarrow$ hàm số không nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$

TH2: $m \neq 0 \Rightarrow y' \leq 0, \forall x \in (- \infty; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 0 \\ Δ' (y') \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 0 \\ {(m + 1)}^{2} - 3 m (m - 2) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 0 \\ m \leq - \frac{1}{4} \end{cases} \Rightarrow m \leq - \frac{1}{4}$ Kết hợp 2 TH, suy ra $m \leq - \frac{1}{4} .$

Câu 19:

Hình bên có bao nhiêu mặt?

A. 10

B. 7

C. 9

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 20:

Tập nghiệm S của bất phương trình $5^{x + 2} < {(\frac{1}{25})}^{- x}$ là

A. $S = (- \infty; 2)$

B. $S = (- \infty; 1)$

C. $S = (1; + \infty)$

D. $S = (2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

$B P T \Leftrightarrow 5^{x + 2} < 5^{2 x} \Leftrightarrow x + 2 < 2 x \Leftrightarrow x > 2 \Rightarrow S = (2; + \infty)$

Câu 21:

Biết f(x) là hàm liên tục trên R và $\int_{0}^{9} f (x) d x = 9.$ Khi đó giá trị của $\int_{1}^{4} f (3 x - 3) d x$ là

A. 27

B. 3

C. 24

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = 3 x - 3 \Rightarrow d t = 3 d x \Rightarrow \{\begin{cases} x = 1, t = 0 \\ x = 4, t = 9 \end{cases} \Rightarrow \int_{1}^{4} f (3 x - 3) d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{9} f (t) d t = \frac{1}{3} \int_{0}^{9} f (x) d x = 3$

Câu 22:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 2} .$ Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 2$

B. Hàm số có cực trị.

C. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;3)

D. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 23:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(- \infty; - 1)$

B. $(- \infty; + \infty)$

C. $(- 1; 1)$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1) \Rightarrow y' < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1.$

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1).

Câu 24:

Hàm số $y = \log_{2} (x^{2} - 2 x)$ đồng biến trên

A. $(1; + \infty)$

B. $(- \infty; 0)$

C. $(0; + \infty)$

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số có tập xác định $D = (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$

Ta có $y' = \frac{2 x - 2}{(x^{2} - 2 x) \ln 2} \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow x > 1$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$

Câu 25:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 5.$ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là

A. $y = 3 x + 9$

B. $y = 3 x + 3$

C. $y = 3 x + 12$

D. $y = 3 x + 6$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M (a; b)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài.

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x + 6 \Rightarrow y' (a) = 3 a^{2} - 6 a + 6 = 3 {(a - 1)}^{2} + 3 \geq 3 \Rightarrow \min y' (a) = 3 \Leftrightarrow a = 1$

Suy ra $y (1) = 9 \Rightarrow P T T T$ tại $M (1; 9)$ là $y = 3 (x - 1) + 9 y = 3 x + 6$

Câu 26:

Tam giác ABC vuông cân đỉnh A có cạnh huyền là 2. Quay hình tam giác ABC quanh trục BC thì được khối tròn xoay có thể tích là:

A. $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$

B. $\frac{4}{3} π$

C. $\frac{2}{3} π$

D. $\frac{1}{3} π$

Xem đáp án

Đáp án C

Khối tròn xoay tạo thành 2 khối nón, đó là: khối nón đỉnh B, đường sinh AB và khối nón đỉnh C đường sinh CA. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành là: $V = 2. \frac{1}{3} π {.1}^{2} .1 = \frac{2 π}{3} .$

Câu 27:

Có bao nhiêu số thực b thuộc $(π; 3 π)$ sao cho $\int_{π}^{b} 4 c os 2 x d x = 1 ?$

A. 8

B. 2

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\int_{π}^{b} 4 c os 2 x d x = 2 \sin 2 x |{}_{π}^{b} = 2 \Leftrightarrow \sin (2 b) = 1 \sin (2 b) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = \frac{π}{12} + k π \\ b = \frac{5 π}{12} + k π \end{array} (k \in ℤ)$

$b \in (π; 3 π) \Rightarrow [\begin{array}{l} π < \frac{π}{12} + k_{1} π < 3 π \\ π < \frac{5 π}{12} + k_{2} π < 3 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{11}{12} < k_{1} < \frac{35}{12} \\ \frac{7}{12} < k_{2} < \frac{31}{12} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} k_{1} \{1; 2\} \\ k_{2} \{1; 2\} \end{array}$

Suy ra có 4 giá trị thực của b thuộc $(π; 3 π)$ thỏa mãn đề bài.

Câu 28:

Cho hình trụ có diện tích toàn phần là $4 π$ và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Tính thể tích khối trụ.

A. $\frac{π \sqrt{6}}{9}$

B. $\frac{4 π \sqrt{6}}{9}$

C. $\frac{π \sqrt{6}}{12}$

D. $\frac{4 π}{9}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi bán kính đáy là R=>độ dài đường sinh là: 2R

Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S_{t p} = 2 π R^{2} + 2 π R .2 R = 6 π R^{2} = 4 π \Leftrightarrow R = \frac{2}{\sqrt{6}}$

Thể tích khối trụ là: $V = π R^{2} .2 R = 2 π {(\frac{2}{\sqrt{6}})}^{3} = \frac{4 π \sqrt{6}}{9} .$

Câu 29:

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $y = {(x^{2} + m)}^{\sqrt{2}}$ có tập xác định là R.

A. $\forall m \in ℝ$

B. $m \neq 0$

C. m>0

D. $m \geq 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số có tập xác định $D = ℝ \Leftrightarrow x^{2} + m > 0 \Rightarrow m > 0$

Câu 30:

Hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây không có cực trị?

A. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

B. $y = x^{4}$

C. $y = - x^{3} + x$

D. $y = |x|$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 31:

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v (t) = 7 t (m / s) .$ Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 35 (m / s^{2}) .$ Tính quãng đường của ô tô đi được tính từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

A. $87.5 m é t$

B. $96.5 m é t$

C. $102.5 m é t$

D. $105 m é t$

Xem đáp án

Đáp án D

Sau 5s đầu người lái xe đi được $\int_{0}^{5} 75 d t = 87, 5 m$

Vận tốc đạt được sau 5s là: $s = v (5) = 35 m / s$

Khi gặp chướng ngại vật, vận tốc của vật giảm theo PT: $v = 35 - 35 t$

Quãng đường vật đi được từ khi gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn là: $s = \int_{0}^{1} (35 - 35 t) d t = 17, 5 m$

Do đó $\sum s = 105 m é t$

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x) = 2018 \ln (e^{\frac{x}{2018}} + \sqrt{e}) .$ Tính giá trị biểu thức $T = f' (1) + f' (2) + ... + f' (2017) .$

A. $T = \frac{2019}{2}$

B. $T = 1009$

C. $T = \frac{2017}{2}$

D. $T = 1008$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $f' (x) = 2018. \frac{(e^{\frac{x}{2018} + \sqrt{e}})'}{e^{\frac{x}{2018}} + \sqrt{e}} = \frac{e^{\frac{x}{2018}}}{e^{\frac{x}{2018}} + \sqrt{e}} = g (x)$

Lại có: $g (a) + g (2018 - a) = \frac{e^{\frac{a}{2018}}}{e^{\frac{a}{2018}} + \sqrt{e}} + \frac{e^{1 - \frac{a}{2018}}}{e^{1 - \frac{a}{2018}} + \sqrt{e}} = \frac{e^{\frac{a}{2018}}}{e^{\frac{a}{2018}} + \sqrt{e}} + \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{a}{2018}} + \sqrt{e}} = 1$

Do đó $T = g (1) + g (2017) + g (2) + g (2016) + ... + g (1010) + g (1009) = 1008 + g (1009)$

$= 1008 + \frac{1}{2} = \frac{2017}{2} .$

Câu 33:

Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương (a,b)để hàm số $y = \frac{2 x - a}{4 x - b}$ có đồ thị trên $[1; + \infty)$ như hình vẽ bên?

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = \frac{- 2 b + 4 a}{{(4 x - b)}^{2}}$

Hàm số liên tục và nghịch biến trên $[1; + \infty)$ nên $\{\begin{cases} \frac{b}{4} < 1 \\ - 2 b + 4 a < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b < 4 \\ b > 2 a \end{cases} \overset{a, b \in ℕ^{*}}{\to} \{a; b\} = \{1; 3\}$

Câu 34:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Tam giác SAB có diện tích bằng $2 a^{2} .$ Thể tích khối nón có đỉnh là S và đường tròn đáy nội tiếp ABCD là

A. $\frac{π a^{3} \sqrt{7}}{8}$

B. $\frac{π a^{3} \sqrt{7}}{7}$

C. $\frac{π a^{3} \sqrt{7}}{4}$

D. $\frac{π a^{3} \sqrt{15}}{24}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $S_{S A B} = \frac{1}{2} S H . A B = 2 a^{2} \Rightarrow S H = 4 a$

$\Rightarrow S O = \sqrt{S H^{2} - O H^{2}} = \frac{3 a \sqrt{7}}{2}$

$V_{(N)} = \frac{1}{3} π R^{2} h = \frac{1}{3} . {(\frac{a}{2})}^{2} . \frac{3 a \sqrt{7}}{2} = \frac{π a^{3} \sqrt{7}}{8}$

Câu 35:

Cho a,b,c>1 Biết rằng biểu thức $P = \log_{a} (b c) + \log_{b} (a c) + 4 \log_{c} (a b)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi $\log_{b} c = n .$ Tính giá trị $m + n$ .

A. 12

B. 25/2

C. 14

D. 10

Xem đáp án

Đáp án A

$P = \log_{a} (b c) + \log_{b} (a c) + 4 \log_{c} (a b) = \log_{a} b + \log_{a} c + \log_{b} a + 4 \log_{b} c + 4 \log_{c} b$

Ta có: $\log_{a} b + \log_{b} a \geq 2; \log_{a} c + 4 \log_{c} a \geq 4; \log_{b} c + 4 \log_{c} b \geq 4$

Khi đó $P \geq 10 = m$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ \log_{a} c = 4 \log_{c} a \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ \log_{a} c = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ \log_{b} c = 2 \end{cases}$

Vậy $m + n = 12.$

Câu 36:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $x^{3} - 3 x^{2} - m^{3} + 3 m^{2} = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

A. $m = 2$

B. $\{\begin{cases} - 1 < m < 3 \\ m \neq 0; m \neq 2 \end{cases}$

C. m>1

D. không có m

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow (x - m) (x^{2} + x m + m^{2}) - 3 (x - m) (x + m) = 0$

$\Leftrightarrow (x - m) (x^{2} + m x - 3 x + m^{2} - 3 m) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = m \\ g (x) = x^{2} + (m - 3) x + m^{2} - 3 m \end{cases}$

PT có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g (x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác m

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = {(m - 3)}^{2} - 4 (m^{2} - 3 m) > 0 \\ g (m) = 3 m^{2} - 6 m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 m^{2} + 6 m + 9 > 0 \\ m \neq 0; m \neq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 < m < 3 \\ m \neq 0; m \neq 2 \end{cases}$

Câu 37:

Cho hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} - 2.$ Tìm số thực dương m để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ.

A. $m = 2$

B. $m = \frac{3}{2}$

C. $m = 3$

D. $m = 1$

Xem đáp án

ĐAp án A

Phương trình hoành độ giao điểm là: $x^{4} - 3 x^{2} - 2 - m = 0 (1)$

Gọi $A (x; m); B (- x; m)$ là tọa độ giao điểm

Khi đó $Δ O A B$ vuông tại O khi $\bar{O A} . \bar{O B} = - x^{2} + m^{2} = 0 \Leftrightarrow |x| = |m|$

Khi đó $m^{4} - 3 m^{2} - 2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2$ (thỏa mãn).

Câu 38:

Số giá trị nguyên của m để phương trình $(m + 1) {.16}^{x} - 2 (2 m - 3) {.4}^{x} + 6 m + 5 = 0$ có 2 nghiệm trái dấu là

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = 4^{x} > 0 \Rightarrow (m + 1) t^{2} - 2 (2 m - 3) + 6 m + 5 = 0$

ĐK để PT có 2 nghiệm là: $\{\begin{cases} \frac{2 m - 3}{m + 1} > 0 \\ \frac{6 m + 5}{m + 1} > 0 \\ Δ' = {(2 m - 3)}^{2} - (m + 1) (6 m + 5) \end{cases} (*)$

Khi đó: $4^{x_{1}} = t_{1}; 4^{x_{2}} = t_{2} \Rightarrow x_{1} x_{2} = \log_{4} t_{1} . \log_{4} t_{2} < 0 \Leftrightarrow 0 < t_{1} < 1 < t_{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (t_{1} - 1) (t_{2} - 1) < 0 \Leftrightarrow t_{1} t_{2} - t_{1} - t_{2} + 1 < 0 \\ \Leftrightarrow \frac{6 m + 5}{m + 1} - 2 \frac{2 m - 3}{m + 1} + 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{3 m + 12}{m + 1} < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < - 4 \end{array}$

Kết hợp (*) $\Rightarrow m = - 2; m = - 3.$

Câu 39:

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{2 x - 3} .$ Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng

A. $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$

B. $d = 1$

C. $d = \sqrt{2}$

D. $d = \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $I (\frac{3}{2}; \frac{1}{2}) .$ PTTT tại điểm M bất kì là: $y = \frac{- 1}{{(2 x_{0} - 3)}^{2}} (x - x_{0}) + \frac{x_{0} - 1}{2 x_{0} - 3} (Δ)$

Khi đó: $d (I; Δ) = \frac{|\frac{1}{2 (2 x_{0} - 3)} + \frac{x_{0} - 1}{2 x_{0} - 3} - \frac{1}{2}|}{\sqrt{(\frac{1}{2 x_{0} - 3} + 1)}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{{(2 x_{0} - 3)}^{2}} + {(2 x_{0} - 2)}^{2}}} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D), A B C D$ là hình chữ nhật. $S A = A D = 2 a .$ Góc giữa (SBC)và mặt đáy ABCD là $60 °$ . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Thể tích khối chóp S.AGD là

A. $\frac{32 a^{3} \sqrt{3}}{27}$

B. $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{27}$

C. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{9}$

D. $\frac{16 a^{3}}{9 \sqrt{3}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của BC ta có: $\frac{S G}{S M} = \frac{2}{3}$

Do $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S B A) \Rightarrow \hat{S B A} = \hat{(S B C; A B C)} = 60^{\circ}$

Ta có: $A B \tan 60^{\circ} = S A \Rightarrow A B = \frac{2 a}{\sqrt{3}} .$

$\begin{array}{l} S_{A M B} = \frac{1}{2} A B . A D = \frac{2 a^{2}}{\sqrt{3}} \Rightarrow V_{S . A M D} = \frac{1}{3} S A . S_{A M B} = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{9} \\ V_{S . A M D} = \frac{2}{3} V_{S . A M D} = \frac{8 \sqrt{3} a^{3}}{27} \end{array}$

Câu 41:

Biết $\int_{1}^{e} \frac{(x + 1) \ln x + 2}{1 + x \ln x} d x = a . e + b . \ln (\frac{e + 1}{e})$ trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó, tỷ số a/blà

A. 1/2

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\int_{1}^{e} \frac{(x + 1) \ln x + 2}{1 + x \ln x} d x = \int_{1}^{e} \frac{1 + x \ln x + 1 + \ln x}{1 + x \ln x} d x = \int_{1}^{e} (1 + \frac{1 + \ln x}{1 + x \ln x}) d x = \int_{1}^{e} d x + \int_{1}^{e} \frac{1 + \ln x}{1 + x \ln x} d x$

$= x| {}_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{d (1 + x \ln x)}{1 + x \ln x} = e - 1 + \ln |1 + x \ln x| |{}_{1}^{e} = e - 1 + \ln (e + 1) = e + \ln (\frac{e + 1}{e}) \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \end{cases} .$

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCcó tam giác ABC có góc A bằng $120 °$ và $B C = 2 a$ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a.

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R_{Δ A B C} = \frac{B C}{2. \sin A} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$ (định lí sin)

Vì $S A = S B = S C$ suy ra hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C \Rightarrow I A = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Tam giác SAI vuông tại I, có $S I = S A^{2} - I A^{2} = \frac{2 a \sqrt{6}}{3}$

Áp dụng CTTN, bán kính mặt cầu cần tính là $R_{S . A B C} = \frac{S A^{2}}{2. S I} = 4 a^{2} : (2. \frac{2 a \sqrt{6}}{3}) = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm $M (1; 2; 3)$ và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.

A. $6 x + 3 y - 2 z - 6 = 0$

B. $x + 2 y + 3 z - 14 = 0$

C. $x + 2 y + 3 z - 11 = 0$

D. $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 3$

Xem đáp án

Đáp án B

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và M là trực tâm $Δ A B C \Rightarrow O M ⊥ (A B C)$

Suy ra mp $(A B C)$ nhận $\vec{O M}$ làm véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm M(1;2;3)

Vậy phương trình $m p (P) : 1. (x - 1) + 2. (y - 2) + 3. (z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 14 = 0$

Câu 44:

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B. Đặt $α$ là góc giữa AB và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện OO’AB đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau đây là đúng ? Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a.

A. $\tan α = \sqrt{2}$

B. $\tan α = \frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $\tan α = \frac{1}{2}$

D. $\tan α = 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Kẻ đường sinh AA’, gọi D là điểm đối xứng A’ qua tâm O’.

Kẻ BH vuông góc với $A' D \Rightarrow B H ⊥ (A O O' A') \Rightarrow V_{O O' A B} = \frac{1}{3} . B H . S_{Δ O O' A}$

Mà $S_{Δ O O' A} = \frac{1}{2} . O O' . O A = 2 a^{2} \Rightarrow V_{O O' A B} = \frac{2 a^{2}}{3} x B H$

Để $V_{O O' A B}$ lớn nhất $\Leftrightarrow B H = B O' (H \equiv O') \Rightarrow A' B = 2 a \sqrt{2}$

Tam giác AA’B vuông tại A’, có $\tan \hat{A B A'} = \frac{A A'}{A' B} = \frac{2 a}{2 a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy $\hat{A B; (O')} = \hat{(A B; A' B)} = \hat{A B A'} = α \Rightarrow \tan α = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Câu 45:

Biết rằng phương trình $\sqrt{2 - x} + \sqrt{2 + x} - \sqrt{4 - x^{2}} = m$ có nghiệm khi m thuộc [a;b] với $a, b \in ℝ$ . Khi đó giá trị của biểu thức $T = (a + 2) \sqrt{2} + b$ là

A. $T = 3 \sqrt{2} + 2$

B. $T = 6$

C. $T = 8$

D. $T = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = \sqrt{2 - x} + \sqrt{2 + x} \Leftrightarrow t^{2} = 4 + 2 \sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = \frac{t^{2} - 4}{2}$ và $x \in [- 2; 2] \Rightarrow t \in [2; 2 \sqrt{2}]$

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: $t - \frac{t^{2} - 4}{2} = m \Leftrightarrow 2 m = - t^{2} + 2 t + 4 = f (t) .$

Xét hàm số $f (t) = - t^{2} + 3 t + 4$ trên đoạn $[2; 2 \sqrt{2}] \Rightarrow \min_{[2; 2 \sqrt{2}]} f (t) = - 4 + 4 \sqrt{2}; \underset{[2; 2 \sqrt{2}]}{m a x} f (t) = 4$

Do đó, để phương trình $f (t) = 2 m$ có nghiệm $\Leftrightarrow - 2 + 2 \sqrt{2} \leq m \leq 2 \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 2 + 2 \sqrt{2} \\ b = 2 \end{cases}$

Vậy $T = (a + 2) \sqrt{2} + b (- 2 + 2 \sqrt{2} + 2) \sqrt{2} + 2 = 6$

Câu 46:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (- 2; 3; 1), B (2; 1; 0)$ và $C (- 3; - 1; 1) .$ Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và $S_{A B C D} = 3 S_{Δ A B C} .$

A. $D (8; 7; - 1)$

B. $[\begin{array}{l} D (- 8; - 7; 1) \\ D (12; 1; - 3) \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} D (8; 7; - 1) \\ D (- 12; - 1; 3) \end{array}$

D. $D (- 12; - 1; 3)$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì ABCD là hình thang $\Rightarrow A D / / B C \Rightarrow {\vec{u}}_{_{A D}} = {\vec{u}}_{B C} = (- 5; - 2; 1)$

=>Phương trình đường thẳng AD là $\frac{x + 2}{- 5} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 1}{1} \Rightarrow D (- 5 t - 2; - 2 t + 3; t + 1)$

Ta có $S_{A B C D} = 3 S_{Δ A B C} \Leftrightarrow S_{Δ A B C} + S_{Δ A C D} = 3 S_{Δ A B C} \Leftrightarrow S_{Δ A C D} = 2 S_{Δ A B C}$

Mà diện tích tam giác ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} |[\bar{A B}; \bar{A C}]| = \frac{\sqrt{341}}{2} \Rightarrow S_{Δ A C D} = \sqrt{341}$

Mặt khác $|[\bar{A D}; \bar{A C}]| = \sqrt{341 t^{2}} \Rightarrow \frac{1}{2} \sqrt{341 t^{2}} = \sqrt{341} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = - 2 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} D (- 12; - 1; 3) \\ D (8; 7; - 1) \end{array}$

Vì ABCD là hình thang $\to D (- 12; - 1; 3)$

Câu 47:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (0; 0; - 1), B (- 1; 1; 0),$ $C (1; 0; 1) .$ Tìm điểm M sao cho $3 M A^{2} + 2 M B^{2} - M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $M (\frac{3}{4}; \frac{1}{2}; - 1)$

B. $M (- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}; 2)$

C. $M (- \frac{3}{4}; \frac{3}{2}; - 1)$

D. $M (- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $I (x_{I}; y_{I}; z_{I})$ thỏa mãn điều kiện $3 \bar{I A} + 2 \bar{I B} - \bar{I C} = \bar{0} \Rightarrow I (- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}; - 1)$

Ta có $P = 3 M A^{2} + 2 M B^{2} - M C^{2} = 3 {(\bar{M I} + \bar{I A})}^{2} + 2 {(\vec{M I} + \bar{I B})}^{2} - {(\bar{M I} + \bar{I C})}^{2}$

$= 4 M I^{2} + 2 \bar{M I} \underset{0}{\underset{⏟}{(3 \bar{I A} + 2 \bar{I B} - \bar{I C})}} + 3 I A^{2} + 2 I B^{2} - I C^{2} = 4 M I^{2} + 3 I A^{2} + 2 I B^{2} - I C^{2}$

Suy ra $P_{\min} \Leftrightarrow M I \min \Rightarrow M$ trùng với điểm I. Vậy $M (- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}; - 1)$

Câu 48:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2.$ Diện tích S của tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có giá trị là

A. 3

B. 1/2

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 4 x^{3} - 4 x; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y (0) = 2 \\ x = \pm 1 \Rightarrow y (\pm 1) = 1 \end{array}$

Suy ra 3 điểm cực trị của ĐTHS là $A (0; 2), B (1; 1), C (- 1; 1)$

Khi đó $A B = A C = \sqrt{2}, B C = 2 \Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B^{2} = \frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{2} = 1$

Câu 49:

Trên đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 5}{3 x - 1}$ có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên?

A. 4

B. vô số

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc ĐTHS là $A (0; 5), B (- 4; 1) .$

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (1; - 6; 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + 7 = 0.$ Điểm B thay đổi thuộc Oz, điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm B là

A. $B (0; 0; 1)$

B. $B (0; 0; - 2)$

C. $B (0; 0; - 1)$

D. $B (0; 0; 2)$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi M, N lần lượt là hai điểm đối xứng với A qua Oz và mặt phẳng (P) ( hình vẽ bên: Điểm A nằm giữa Oz, (P) vì O, A cùng phía với (P) và $d (O z; (P) > d (A; (P)))$ .

Khi đó $C_{Δ A B C} = A B + B C + A C = B M + B C + C N$

Suy ra ${\{B M + B C + C N\}}_{\min} \Rightarrow B, C, M, N$ thẳng hàng.

Hay B là hình chiếu của A trên Oz, Vậy $B (0; 0; 1)$