50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 18)

Câu 1:

Tích phân $I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\sin^{2} x}$ bằng

A. $\cot \frac{π}{3} - \cot \frac{π}{4}$

B. $\cot \frac{π}{3} + \cot \frac{π}{4}$

C. $- \cot \frac{π}{3} + \cot \frac{π}{4}$

D. $- \cot \frac{π}{3} - \cot \frac{π}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $I = - \cot x |\begin{array}{l} \frac{π}{3} \\ \frac{π}{4} \end{array} = \cot \frac{π}{4} - \cot \frac{π}{3}$

Câu 2:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 3}{4 - x}$ . Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:

A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

B. Hàm số đồng biến trên R

C. Hàm số nghịch biến trên R

D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = \frac{5}{{(4 - x)}^{2}} > 0, \forall x \neq 4$ hàm số đồng biến trên các khoàng $(- \infty; 4)$ và $(4; + \infty)$

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của x thỏa mãn đẳng thức $\log_{3} x = 3 \log_{3} 2 + \log_{9} 25 - \log_{\sqrt{3}} 3.$

A. 20/3

B. 40/9

C. 25/9

D. 28/3

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

$\log_{3} x = \log_{3} 2^{3} + \log_{3^{2}} 25 - \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3 = \log_{3} 8 + \log_{2} 5 - \log_{3} 9 = \log_{3} \frac{8.5}{9} = \log_{3} \frac{40}{9} \Leftrightarrow x = \frac{40}{9}$

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi $V_{1}$ là thể tích của khối chóp S.AMPQ. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{V_{1}}{V}$ .

A. 1/8

B. 2/3

C. 8/3

D. 1/3

Xem đáp án

Giả sử $\vec{S D} = m \vec{S M}, \vec{S B} = n \vec{S N}$

Ta có $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D} (= 2 \vec{S I})$

Vì $A, M, N, P$ đồng phẳng nên tồn tại các số x;y sao cho $\vec{A P} = x \vec{A M} + y \vec{A N}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} (\vec{A S} + \vec{A C}) = x (\vec{A S} + \vec{S M}) + y (\vec{A S} + \vec{S N})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} (\vec{A S} + \vec{A S} + \vec{S B} + \vec{A S} + \vec{S D}) = x (\vec{A S} + \vec{S M}) + y (\vec{A S} + \vec{S N})$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2} \vec{A S} + \frac{1}{2} \vec{S B} + \frac{1}{2} \vec{S D} = (x + y) \vec{A S} + \frac{x}{m} \vec{S M} + \frac{y}{n} \vec{S N}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = \frac{3}{2} \\ \frac{x}{m} = \frac{1}{2} \\ \frac{y}{n} = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow m + n = 3.$

Ta có: $\frac{V_{S . A N P}}{V_{S . A B C}} = \frac{S N}{S B} . \frac{S P}{S C} \Rightarrow V_{S . A N P} = \frac{S N}{S B} . \frac{S P}{S C} . V_{S . A B C} = \frac{S N}{S B} . \frac{1}{2} . \frac{V}{2} (1)$

$\frac{V_{S . A M P}}{V_{S . A D C}} = \frac{S M}{S D} . \frac{S P}{S C} \Rightarrow V_{S . A M P} = \frac{S M}{S D} . \frac{S P}{S C} . V_{S . A D C} = \frac{S M}{S D} . \frac{1}{2} . \frac{V}{2} (2)$

Từ (1) và (2) $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4} (\frac{S B}{S B} + \frac{S M}{S D}) = \frac{1}{4} (\frac{1}{n} + \frac{1}{m}) \geq \frac{1}{m + n} = \frac{1}{3}$

Câu 5:

Cho hàm số $y = \log_{2} (2 x^{2} - x - 1)$ . Hãy chọn phát biểu đúng

A. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - \frac{1}{2})$ đồng biến trên $(1; + \infty)$

B. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - \frac{1}{2})$ và $(1; + \infty)$

C. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - \frac{1}{2})$ và $(1; + \infty)$

D. Hàm số đồng biến trên nghịch biến $(- \infty; - \frac{1}{2})$ trên $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện để hàm số xác định là $2 x^{2} - x - 1 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 1 \\ x < - \frac{1}{2} \end{array} (*)$

Với điều kiện $(*)$ ta có $\frac{4 x - 1}{(2 x^{2} - x - 1) \ln 2} > 0 \Leftrightarrow x \in (1; + \infty), y' < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - \frac{1}{2}) \Rightarrow$

Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - \frac{1}{2})$ , đồng biến trên $(1; + \infty)$

Câu 6:

Phương trình nào trong số các phương trình sau có nghiệm?

A. $\cos x + 3 = 0$

B. $\sin x = 2$

C. $2 \sin x - 3 \cos x = 1$

D. $\sin x + 3 \cos x = 6$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 7:

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?

A. ${(- \frac{3}{4})}^{0}$

B. ${(- 4)}^{- \frac{1}{3}}$

C. ${(- 3)}^{- 4}$

D. $1^{- \sqrt{2}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và có đạo hàm trên $ℝ \ \{\pm 1\}$ . Hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số $y = f (x)$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Các đường tìm cận đứng là $x = - 1$ và $x = 1$ . Các đường tiệm cận ngang là $y = - 3$ và $y = 3$

Câu 9:

Hàm số $F (x) = \frac{1}{27} e^{3 x + 1} (9 x^{2} - 24 x + 17) + C$ là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A. $f (x) = (x^{2} + 2 x - 1) e^{3 x + 1}$

B. $f (x) = (x^{2} - 2 x - 1) e^{3 x + 1}$

C. $f (x) = (x^{2} - 2 x + 1) e^{3 x + 1}$

D. $f (x) = (x^{2} - 2 x - 1) e^{3 x - 1}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $F' (x) = \frac{1}{27} [3 e^{3 x + 1} (9 x^{2} - 24 x + 17) + e^{3 x + 1} (18 x - 24)] = \frac{1}{27} e^{3 x + 1} (27 x^{2} - 54 x + 27)$

$= e^{3 x + 1} (x^{2} - 2 x + 1)$

Câu 10:

Cho khối chóp tam giác đều. Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi 4 lần thì thể tích của khối chóp đó sẽ là:

A. Không thay đổi

B. Tăng lên hai lần

C. Giảm đi ba lần

D. Giảm đi hai lần

Xem đáp án

Đáp án A

Nếu tăng cạnh đáy lên 2 lần thì diện tích đáy sẽ tăng lên 4 lần. Gọi diện tích đáy lúc đầu là $S \Rightarrow$ diện tích đáy sau khi tăng là 4S.

Gọi chiều cao lúc đầu là $h \Rightarrow$ chiều cao sau khi giảm là $\frac{h}{4} \Rightarrow$ Thể tích lúc đầu bằng thể tích lúc sau $= \frac{S h}{3} \Rightarrow$ thể tích không thay đổi.

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại $C, A B = a \sqrt{5}, A C = a .$ Cạnh bên $S A = 3 a$ và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. $2 a^{3}$

B. $3 a^{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{5}}{3}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $B C = \sqrt{{(a \sqrt{5})}^{2} - a^{2}} = 2 a; S_{A B C} = \frac{1}{2} a .2 a = a^{2}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} .3 a . a^{2} = a^{3}$

Câu 12:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục, luôn dương trên [0;3] và thỏa mãn $I = \int_{0}^{3} f (x) d x = 4$ . Khi đó giá trị của tích phân $K = \int_{0}^{3} (e^{1 + \ln f (x)} + 4) d x$ là

A. $4 + 12 e$

B. $12 + 4 e$

C. $3 e + 14$

D. $14 e + 3$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $K = \int_{0}^{3} (e^{1 + \ln f (x)} + 4) d x = \int_{0}^{3} (e . f (x) + 4) d x = e \int_{0}^{3} f (x) d x + 4 \int_{0}^{3} d x = 4 e + 4 x |\begin{array}{l} 3 \\ 0 \end{array} = 4 e + 12$

Câu 13:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x - m}{x + 1}$ với m là tham số. Biết $\min_{[0; 3]} f (x) + \max_{[0; 3]} f (x) = - 2$ . Hãy chọn kết luận đúng.

A. $m = 2$

B. $m > 2$

C. $m = - 2$

D. $m < - 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f (0) = - m, f (3) = \frac{3 - m}{4} \Rightarrow \min_{[0; 3]} f (x) + \max_{[0; 3]} f (x) = \frac{3 - m}{4} - 3 = - 2 \Rightarrow m = \frac{11}{5}$

Câu 14:

Giới hạn nào dưới đây có kết quả là 1/2?

A. $\lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$

B. $\lim_{x \to + \infty} \frac{x}{2} (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$

C. $\lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2} (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$

D. $\lim_{x \to + \infty} \frac{x}{2} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

$\lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + 1} = \frac{1}{2}$

Câu 15:

Cho biết đồ thị bên là đồ thị của một trong bốn hàm số ở các phương án A, B, C, D.

Đó là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - x^{3} + 3 x - 1$

B. $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$

C. $y = - x^{3} + 3 x - 1$

D. $y = - x^{3} + 3 x - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 16:

Nếu ${(7 + 4 \sqrt{3})}^{a - 1} < 7 - 4 \sqrt{3}$ thì

A. a<1

B. a>1

C. a>0

D. a<0

Xem đáp án

Đáp án D

BPT $\Leftrightarrow {(7 + 4 \sqrt{3})}^{a - 1} < {(7 + 4 \sqrt{3})}^{- 1} \Rightarrow a - 1 < - 1 \Leftrightarrow a < 0$

Câu 17:

Tìm nguyên hàm $F (x) = \int π^{2} d x$

A. $F (x) = π^{2} x + C$

B. $F (x) = π x + C$

C. $F (x) = \frac{π^{3}}{3} + C$

D. $F (x) = \frac{π^{2} x^{2}}{2} + C$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $F (x) = \int π^{2} d x = π^{2} x + C$

Câu 18:

Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau

$(\sqrt{2 \log_{x}^{2} \frac{22}{3} - 2 \log_{x} \frac{22}{3} + 5} - \sqrt{13} + \sqrt{\frac{2}{\log_{\frac{22}{3}}^{2} x} - \frac{4}{\log_{\frac{22}{3}} x} + 4}) (24 x^{6} - 2 x^{5} + 27 x^{4} - 2 x^{3} + 1997 x^{2} + 2016) \leq 0$

A. 12,3

B. 12

C. 12,1

D. 12,2

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện $x > 0, x \neq 1$

Đặt $t = \log_{x} \frac{22}{3}$

$\Rightarrow (\sqrt{2 t^{2} - 2 t + 5} + \sqrt{2 t^{2} - 4 t - + 4} - \sqrt{13}) (26 x^{6} - 2 x^{5} + 27 x^{4} - 2 x^{3} + 1997 x^{2} + 2016) \leq 0 (1)$

Ta có

$\sqrt{t^{2} - t - \frac{5}{2}} + \sqrt{t^{2} - 2 t + 2} = \sqrt{{(t - \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + \sqrt{{(1 - t)}^{2} + 1} \geq \sqrt{{(t - \frac{1}{2} + 1 - t)}^{2} + {(\frac{3}{2} + 1)}^{2}} = \sqrt{\frac{13}{2}}$

Suy ra $\sqrt{2 t^{2} - 2 t + 5} + \sqrt{2 t^{2} - 4 t - + 4} - \sqrt{13} \geq 0$

Có $26 x^{6} - 2 x^{5} + 27 x^{4} - 2 x^{3} + 1997 x^{2} + 2016 = 23 x^{6} + (x^{6} - 2 x^{5} + x^{4}) + (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}) + 25 x^{4} + 1996 x^{2} + 2016$

$= 23 x^{6} + 25 x^{5} + 1996 x^{2} + {(x^{3} - x^{2})}^{2} + (x^{2} - x^{2}) + 2016 > 0$

Suy ra $(\sqrt{2 t^{2} - 2 t + 5} + \sqrt{2 t^{2} - 4 t - + 4} - \sqrt{13}) (26 x^{6} - 2 x^{5} + 27 x^{4} - 2 x^{3} + 1997 x^{2} + 2016) \geq 0$

Suy ra $(1) \Leftrightarrow \sqrt{2 t^{2} - 2 t + 5} + \sqrt{2 t^{2} - 4 t + 4} - \sqrt{13} = 0 \Leftrightarrow \frac{t - \frac{1}{2}}{1 - t} = \frac{3}{2} \Rightarrow t = \frac{4}{5}$

Suy ra $\log_{x} \frac{22}{3} = \frac{4}{5} \Rightarrow x = {(\frac{22}{3})}^{\frac{5}{4}} \approx 12, 1$

Câu 19:

Cho $m = \log_{a} (\sqrt[3]{a b}),$ với $a > 1, b > 1$ và $P = \log_{a}^{2} b + 16 \log_{b} a .$ Tìm m sao P cho đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 1/2

B. 4

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $m = \log_{a} (\sqrt[3]{a b}) = \frac{1}{3} (1 + \log_{a} b) \Rightarrow \log_{a} b = 3 m - 1$

Suy ra $P = \log_{a}^{2} b + 16 \log_{b} a = {(3 m - 1)}^{2} + \frac{16}{3 m - 1}$

Ta có $P' (m) = 6 (3 m - 1) - \frac{48}{{(3 m - 1)}^{2}} \Rightarrow P' (m) = 0 \Leftrightarrow 3 m - 1 = 2 \Leftrightarrow m = 1$

Ta có bảng biến thiên hàm số $y = P (m)$ như sau

Từ bảng biến thiên, suy ta $\min P = 12 \Leftrightarrow m = 1$

Câu 20:

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm $f (x) = \sin 2 x$ và $F (\frac{π}{4}) = 1.$ Tính $F (\frac{π}{6}) .$

A. $F (\frac{π}{6}) = \frac{5}{4}$

B. $F (\frac{π}{6}) = 0$

C. $F (\frac{π}{6}) = \frac{3}{4}$

D. $F (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x |\begin{array}{l} \frac{π}{4} \\ \frac{π}{6} \end{array} = \frac{1}{4} = F (\frac{π}{4}) - F (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Câu 21:

Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của hình trụ, $A B = 4 a, A C = 5 a .$ Thể tích của khối trụ là:

A. $16 π a^{3}$

B. $12 π a^{3}$

C. $4 π a^{3}$

D. $8 π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Chiều cao của khối trụ là $A D = \sqrt{{(5 a)}^{2} - {(4 a)}^{2}} = 3 a$ . Thể tích của khối trụ là: $V = π R^{2} h = π {(\frac{4 a}{2})}^{2} .3 a = 12 π a^{3}$

Câu 22:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai khối lăng trụ có chiều cao bằng nhau thì thể tích bằng nhau.

B. Hai khối đa diện có thể tích bằng nhau thì bằng nhau.

C. Hai khối chóp có hai đáy là hai đa giác bằng nhau thì thể tích bằng nhau.

D. Hai khối đa diện bằng nhau có thể tích bằng nhau.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 23:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông $B, A B = 3 a, B C = 4 a$ và $S A ⊥ (A B C)$ . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng $60 ° .$ Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng

A. $5 \sqrt{3} a$

B. $\frac{5 a}{2}$

C. $\frac{5 \sqrt{3} a}{\sqrt{79}}$

D. $\frac{10 \sqrt{3} a}{\sqrt{79}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi N là trung điểm của BC

Ta có $A B / / M N \Rightarrow d (A B; S M) = d (A; (S M N))$

$S A = A C \tan 60 ° = 5 a \sqrt{3}$

$S M = \sqrt{{(5 a \sqrt{3})}^{2} + {(\frac{5 a}{2})}^{2}} = \frac{5 a \sqrt{13}}{2}$

$S N^{2} = S B^{2} + B N^{2} = S A^{2} + A B^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} = {(5 a \sqrt{3})}^{2} + {(3 a)}^{2} + {(2 a)}^{2} = 88 a^{2}$

$\Rightarrow S N = 2 a \sqrt{22}$

$M N = \frac{A B}{2} = \frac{3 a}{2}$

Ta có:

$S M^{2} = N S^{2} + N M^{2} - 2 N S . N M . c o s \hat{M N S} \Leftrightarrow {(\frac{5 a \sqrt{13}}{2})}^{22} = 88 a^{2} + {(\frac{3 a}{2})}^{2} - 2.2 a . \sqrt{22} . \frac{3 a}{2} c o s \hat{M N S}$

$c o s \hat{M N S} = \frac{3}{2 \sqrt{22}} \Rightarrow \sin \hat{M N S} = \sqrt{\frac{79}{88}}$

$S_{S M N} = \frac{1}{2} N M . N S . s i n \overset{⏜}{M N S} = \frac{1}{2} . \frac{3 a}{2} .2 a \sqrt{22} . \sqrt{\frac{79}{88}} = \frac{3 a^{2} \sqrt{79}}{4}$

$S_{A M N} = \frac{1}{4} S_{A B C} = \frac{1}{4} . \frac{1}{2} .3 a .4 a = \frac{3 a^{2}}{2}; V_{S . A M N} = \frac{1}{3} S A . S_{A M N} = \frac{1}{3} .5 a \sqrt{3} . \frac{3 a^{2}}{2} = \frac{5 a^{3} \sqrt{3}}{2}$

$d (A; (S M N)) = \frac{3 V_{S . A M N}}{S_{S M N}} = \frac{3. \frac{5 a^{3} \sqrt{3}}{2}}{\frac{3 a^{2} \sqrt{79}}{4}} = \frac{10 a \sqrt{3}}{\sqrt{79}}$

Câu 24:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau. Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$

C. Hàm số có ba điểm cực trị

D. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 25:

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Hình có đáy là hình tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 26:

Khoảng cách từ điểm (-5;1) đến đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 2 x}$ là

A. 5

B. $\sqrt{26}$

C. 9

D. 1

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số có tập xác định $D = (- 1; 1) \ \{0\}$

Ta có $x^{2} + 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 0 \end{array}, \lim_{x \to 0} y = \infty \Rightarrow$ đồ thị hàm số có TCĐ $x = 0$

Suy ra $d (A; x = 0) = |- 5| = 5$

Câu 27:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (x^{2} + 2) \leq 3$ là

A. $S = (- \infty; - 5] \cup [5; + \infty)$

B. $S = \emptyset$

C. $S = ℝ$

D. $S = [- 5; 5]$

Xem đáp án

Đáp án D

BPT $\Leftrightarrow x^{2} + 2 \leq 27 \Leftrightarrow x^{2} \leq 25 \Leftrightarrow - 5 \leq x \leq 5 \Rightarrow S = [- 5; 5]$

Câu 28:

Cho khối tứ diện ABCD. Lấy điểm M nằm giữa A và B, điểm N nằm giữa C và D. Bằng hai mặt phẳng (CDM) và (ABN), ta chia khối tứ diện đó thành bốn khối tứ diện nào sau đây ?

A. MANC, BCDN, AMND, ABND.

B. MANC, BCMN, AMND, MBND.

C. ABCN, ABND, AMND, MBND.

D. NACB, BCMN, ABND, MBND.

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 29:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {(x^{2} + x - 2)}^{- 3}$

A. $D = (0; + \infty)$

B. $D = ℝ$

C. $D = (- \infty; - 2) \cup (1; + \infty)$

D. $D = ℝ \ \{- 2; 1\}$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số xác định $\Leftrightarrow x^{2} + x - 2 \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 2 \\ x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow D = ℝ \ \{- 2; 1\}$

Câu 30:

Hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 1$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. (1;4)

B. (1;3)

C. (-3;-1)

D. (-1;3)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3) \Rightarrow y' < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3$

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Câu 31:

Cho tứ diện OABC biết OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, biết $O A = 3, O B = 4$ và thể tích khối tứ diện OABC bằng 6. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng:

A. 3

B. $\frac{\sqrt{41}}{12}$

C. $\frac{144}{\sqrt{41}}$

D. $\frac{12}{\sqrt{41}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $V_{O . A B C} = \frac{1}{6} O A . O B . O C = 6 \Rightarrow O C = 3$

Lại có $\frac{1}{d_{(O; (A B C))}^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} \Rightarrow d (O; (A B C)) = \frac{12}{\sqrt{41}}$

Câu 32:

Một chất điểm chuyển động có phương trình vận tốc là $v (t) = e + e^{t^{2} - 2 t} (m / s)$ (t: giây là thời gian chuyển động). Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, vân tốc nhỏ nhất của chất điểm là bao nhiêu?

A. $v = e + 1 (m / s)$

B. $v = e + \frac{1}{e^{2}} (m / s)$

C. $v = e + \frac{1}{e} (m / s)$

D. $v = e + \frac{1}{e^{4}} (m / s)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $v' (t) = (2 t - 2) e^{t^{2} - 2 t} = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Hàm số $v (t) = e + e^{t^{2} - 2 t} (m / s)$ xác định và liên tục trên đoạn $[0; 10]$

Ta có: $v (0) = e + 1; v (1) = e + \frac{1}{e}; v (10) = e + e^{80}$

Vậy $v_{\min} = v (1) = e + \frac{1}{e}$

Câu 33:

Cho khối lăng trụ đứng $A B C . A' B' C'$ có đáy là tam giác cân ABC với $A B = A C = a, \overset{⏜}{B A C} = 120 °$ , mặt phẳng $(A B' C')$ tạo với đáy một góc $30 ° .$ Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{a^{3}}{6}$

B. $V = \frac{a^{3}}{8}$

C. $V = \frac{3 a^{3}}{8}$

D. $V = \frac{9 a^{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Gọi M là trung điểm của $B' C'$ khi đó

$\{\begin{cases} B' C' ⊥ A' M \\ B' C' ⊥ A A' \end{cases} \Rightarrow B' C' ⊥ (A' M A)$

Suy ra $\overset{⏜}{A' M A} = \overset{⏜}{((A B' C')' (A' B' C'))} = 30 °$

Lại có $A' M = A' B \sin 30 ° = \frac{a}{2} \Rightarrow A A' = A' M t a n 30 ° = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$

$\Rightarrow V_{A B C . A' B' C'} = S_{A B C} . A A' = \frac{a^{3}}{8}$

Câu 34:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, $Δ S A B$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có diện tích $84 π c m^{2} .$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là:

A. $\frac{2 \sqrt{21}}{7} c m .$

B. $\frac{3 \sqrt{21}}{7} c m .$

C. $\frac{\sqrt{21}}{7} c m .$

D. $\frac{6 \sqrt{21}}{7} c m .$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

G là trọng tâm tam giác đều SBC

Đường thẳng qua O vuông góc với (ABC cắt đường thẳng qua G vuông góc với (SBC) tại I

Khi đó $R_{S . A B C D} = S I = \sqrt{G I^{2} + O H^{2}} = \sqrt{\frac{S}{4 π}}$

Đặt $A D = A B = a \Rightarrow S G = \frac{a \sqrt{3}}{3}; O H = \frac{a}{2}$

Suy ra $\sqrt{\frac{a^{2}}{3} + \frac{a^{2}}{4}} = \sqrt{21} \Rightarrow a = 6$

Dựng $A x / / B D; H E ⊥ A x, H F ⊥ (S A E) \Rightarrow d_{(B D; S A)} = d (B; (S A x)) = 2 d_{H} = 2 E F$

Lại có $A E = A H \sin 45 ° = \frac{3 \sqrt{2}}{2}; S H = 3 \sqrt{3} \Rightarrow H F = \frac{S H . H E}{\sqrt{S H^{2} + H E^{2}}} = \frac{2 \sqrt{21}}{7}$

Do đó $d (S A; B D) = \frac{6 \sqrt{21}}{7}$

Câu 35:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ sau:Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x - 2017) - 2018 x + 2019$ là:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y = f (x - 2017) - 2018 x + 2019 \Rightarrow y' (x - 2017) (x - 2017)' - 2018$

$= f' (x - 2017) - 2018$

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f' (x)$ suy ra PT $f' (x - 2017) = f (t) = 2018$ có 1 nghiệm bội lẻ duy nhất

Suy ra hàm số $y = f (x - 2017) - 2018 x + 2019$ có 1 điểm cực trị

Câu 36:

Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy r, chiều cao h và đường sinh l. Kết luận nào sau đây sai?

A. $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

B. $S_{t p} = π r l + π r^{2}$

C. $h^{2} = r^{2} + l^{2}$

D. $S_{x q} = π r l$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $l^{2} = r^{2} + h^{2}$

Câu 37:

Cho tứ diện đều ABCD;M là trung điểm của cạnh BC Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng bằng $\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

A. $(A B; D M)$

B. $(A D; D M)$

C. $(A M; D M)$

D. $(A B; A M)$

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử cạnh tứ diện là a và G là trọng tâm tam giác BCD

Ta có $\overset{⏜}{(A D; D M)} = \overset{⏜}{A D M}$ và $\cos \overset{⏜}{A D M} = \frac{G D}{A D} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\overset{⏜}{(A M; D M)} = \overset{⏜}{A M G}, c o s \overset{⏜}{A M G} = \frac{M G}{A M} = \frac{1}{3}$

$\overset{⏜}{A B; A M} = \overset{⏜}{M A B} = 30 °$

Sử dụng PP loại trừ

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $A B = a \sqrt{3}$ và AD = a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a .$ . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD bằng?

A. $\frac{5 π a^{3} \sqrt{5}}{6}$

B. $\frac{5 π a^{3} \sqrt{5}}{24}$

C. $\frac{3 π a^{3} \sqrt{5}}{25}$

D. $\frac{3 π a^{3} \sqrt{5}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Do ABCD là hình chữ nhật nên khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD chính là khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Khi đó

$R = \frac{S C}{2} = \frac{\sqrt{S A^{2} + A B^{2} + A D^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{5}}{2} \Rightarrow V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{5 π a^{3} \sqrt{5}}{6}$

Câu 39:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 2}$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là?

A. $y = 4 x - 1$

B. $y = - 4 x + 7$

C. $y = 4 x + 1$

D. $y = 4 x - 7$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = \frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}} \Rightarrow y' (1) = - 4; y (1) = - 3$

Do đó PTTT tại điểm có hoành độ bằng 1 là: $y = - 4 (x - 1) - 3 = - 4 x + 1$

Câu 40:

Tính đạo hàm của hàm số sau $y = \frac{\sin x}{\sin x - \cos x}$

A. $y' = \frac{- 1}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

B. $y' = \frac{1}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

C. $y' = \frac{- 1}{{(\sin x + \cos x)}^{2}}$

D. $y' = \frac{1}{{(\sin x + \cos x)}^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = \frac{\cos x (\sin x - \cos x) - (\cos x + \sin x) \sin x}{{(\sin x - \cos x)}^{2}} = \frac{- \cos^{2} x - \sin^{2} x}{{(\sin x - \cos x)}^{2}} = \frac{- 1}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

Câu 41:

Cho đồ thị của hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ dưới đây

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |f (x + 2018) + \frac{1}{3} m^{2}|$ có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các giá trị của các phần tử của tập S bằng

A. 7

B. 6

C. 5

D. 9

Xem đáp án

Đáp án A

Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có 3 điểm cực trị Đồ thị hàm số $y = f (x + 2018)$ có 3 điểm cực trị

Dựa vào ĐTHS $y = f (x) \Rightarrow y = |f (x + 2018)|$ có 7 điểm cực trị

Do đó, để hàm số $y = |f (x + 2018) + \frac{1}{3} m^{2}|$ có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi $3 \leq \frac{1}{3} m^{2} \leq 6$

Kết hợp với điều kiện $m \in ℤ^{+}$ suy ra $m = \{3; 4\}$

Chú ý: Đồ thị hàm số $y = f (x) + C$ được cho bởi cách tịnh tiến đồ thị hàm số theo trục Oy C đơn vị

Câu 42:

Cho hàm số $f (x) = m x^{2} - 4 x + m^{2} .$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đạo hàm $f' (x) < 0$ với mọi $x \in (- 1; 2)$

A. $m \leq 1$

B. $- 2 \leq m \leq 1, m \neq 0$

C. $m \geq - 2$

D. $- 2 \leq m \leq 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f (x) = m x^{2} - 4 m + m^{2} \to f' (x) = 2 m x - 4, \forall x \in ℝ$

Bất phương trình $f' (x) < 0; \forall x \in (- 1; 2) \Leftrightarrow m x - 2 < 0; \forall x \in (- 1; 2) \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 1$

Câu 43:

Khối đa diện đều loại $\{3; 5\}$ là khối

A. Tứ diện đều.

B. Hai mươi mặt đều.

C. Tám mặt đều.

D. Lập phương.

Xem đáp án

Đáp án B

Khối đa diện đều loại $\{3; 5\}$ là khối hai mươi mặt đều

Câu 44:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, $S A = 2 a \sqrt{3} .$ Gọi I là trung điểm của mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với SD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).

A. $\frac{3 \sqrt{5}}{16} a^{2}$

B. $\frac{3 \sqrt{15}}{16} a^{2}$

C. $\frac{15 \sqrt{3}}{16} a^{2}$

D. $\frac{5 \sqrt{3}}{16} a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Kẻ $I M ⊥ S D$ tại M Đường thẳng $I M \subset m p (P)$

ABCD là hình vuông $\Rightarrow C D ⊥ A D$ mà $S A ⊥ C D \Rightarrow C D ⊥ (S A D)$

Ta có $(P) ⊥ A D$ mà $C D ⊥ A D \Rightarrow C D / / m p (P)$

Qua I kẻ đường thẳng song song với CD, cắt BC tại P

Qua M kẻ đường thẳng song song với CD, cắt SC tại N

Suy ra mặt phẳng (P) cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là hình thang vuông IMNP tại M và I.

Tam giác SAD vuông tại A có $d (A; S D) = a \sqrt{3} \Rightarrow I M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác IMD vuông tại M có $M D = \sqrt{I D^{2} - I M^{2}} = \frac{a}{2} \Rightarrow \frac{S M}{S D} = \frac{7}{8} \Rightarrow M N = \frac{7 a}{4}$

Vậy diện tích hình thang IMNP là $S = I M . \frac{M N + I P}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{1}{2} . (\frac{7 a}{4} + 2 a) = \frac{15 \sqrt{3}}{16} a^{2}$

Câu 45:

Phương trình $\cos^{2} 2 x + \cos 2 x - \frac{3}{4} = 0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $(- 2 π; 7 π)$

A. 16

B. 20

C. 18

D. 19

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\cos^{2} 2 x + \cos 2 x - \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow \cos 2 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$

Vì $x \in (- 2 π; 7 π)$ suy ra $\pm \frac{π}{6} + k π \in (- 2 π; 7 π) \Rightarrow$ Phương trình có tất cả 18 nghiệm

Câu 46:

Trên một giá sách có 9 quyển sách Văn, 6 quyển sách Anh. Lấy lần lượt 3 quyển và không để lại vào giá. Xác suất để lấy được 2 quyển đầu là Văn và quyển thứ 3 sách Anh là

A. 72/455

B. 73/455

C. 74/455

D. 71/455

Xem đáp án

Đáp án A

Lấy quyển đầu tiên là Văn trong 9 quyển Văn có $C_{9}^{1}$ cách

Lấy quyển đầu tiên là Văn trong 8 quyển Văn có $C_{8}^{1}$ cách

Lấy quyển đầu tiên là Anh trong 6 quyển Anh có $C_{6}^{1}$ cách

Suy ra số kết quả thuận lợi của biến cố là $n (X) = 9.8.6 = 432$

Vậy xác suất cần tính là $P = \frac{n (X)}{n (Ω)} = \frac{432}{15.14.13} = \frac{72}{455}$

Câu 47:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, S A ⊥ (A B C)$ và AHlà đường cao của tam giác SAB Khẳng định nào sau đây sai

A. $S B ⊥ B C$

B. $A H ⊥ B C$

C. $S B ⊥ A C$

D. $A H ⊥ S C$

Xem đáp án

Đáp án C

Tam giác ABC vuông tại $B \Rightarrow A B ⊥ B C$

Mà $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B$

Và $A H ⊥ B C$ mà $A H ⊥ S B \Rightarrow A H ⊥ (S B C) \Rightarrow \{\begin{cases} A H ⊥ B C \\ A H ⊥ S C \end{cases}$

Vậy hai đường thẳng $S B, A C$ chéo nhau.

Câu 48:

Đầu mỗi tháng anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất kép là 0,6 % mỗi tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A có được số tiền cả lãi và gốc nhiều hơn 100 triệu đồng biết lãi suất không đổi trong quá trình gửi.

A. 31 tháng.

B. 35 tháng.

C. 30 tháng.

D. 40 tháng.

Xem đáp án

Đáp án A

Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là $T_{n} = \frac{a}{m} [{(1 + m)}^{n} - 1] (1 + m)$

Với a là số tiền gửi vào hàng tháng, m là lãi suất mỗi tháng và n là số tháng gửi

Theo bài ra, ta có $\frac{3}{0, 06 %} . [{(1 + 0, 06 %)}^{n} - 1] (1 + 0, 06 %) > 100 \Leftrightarrow 1, 006^{n} > \frac{603}{503} \Leftrightarrow n > 30, 3$ tháng

Vậy sau ít nhất 31 tháng thì anh A có được số tiền lớn hơn 100 triệu đồng.

Câu 49:

Rút gọn biểu thức $A = \frac{\sqrt[3]{a^{5}} . a^{\frac{7}{3}}}{a^{4} . \sqrt[7]{a^{- 2}}}$ với $a > 0$ ta được kết quả $A = a^{\frac{m}{n}}$ trong đó $m, n \in ℕ^{*}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $m^{2} - n^{2} = 25$

B. $m^{2} - n^{2} = 43$

C. $3 m^{2} - 2 n = 2$

D. $2 m^{2} + n = 15$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $A = \frac{\sqrt[3]{a^{5}} . a^{\frac{7}{3}}}{a^{4} . \sqrt[7]{a^{- 2}}} = \frac{a^{\frac{5}{3}} \times a^{\frac{7}{3}}}{a^{4} \times a^{- \frac{2}{7}}} = \frac{a^{\frac{5}{3} + \frac{7}{3}}}{a^{4 - \frac{2}{7}}} = \frac{a^{4}}{a^{\frac{26}{7}}} = a^{\frac{2}{7}} = a^{\frac{m}{n}} \Rightarrow \{\begin{cases} m = 2 \\ n = 7 \end{cases} .$ Vậy $2 m^{2} + n = 15$

Câu 50:

Gọi V1 là thể tích của khối lập phương $A B C D . A' B' C' D', V_{2}$ là thể tích khối tứ diện A'ABD Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. $V_{1} = 4 V_{2}$

B. $V_{1} = 6 V_{2}$

C. $V_{1} = 2 V_{2}$

D. $V_{1} = 8 V_{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $V_{2} = \frac{1}{3} A A' . S_{Δ A B D} = \frac{1}{3} A A' . \frac{1}{2} S_{A B C D} = \frac{1}{6} A A' . S_{A B C D} = \frac{V_{1}}{6} \Leftrightarrow V_{1} = 6 V_{2}$