50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 19)

Câu 1:

Hàm số nào sau đây có tập xác định là R

A. $y = \frac{x - 1}{2 x - 1}$

B. $y = x^{3} - 2 x^{2} + 1$

C. $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} + 1}$

D. $y = \sqrt{x^{3} + 1}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 2:

Đạo hàm của hàm số $y = e^{x} (\sin x - \cos x)$ là:

A. $y' = 2 e^{x} . \sin x$

B. $y' = - 2 e^{x} . \cos x$

C. $y' = 2 e^{x} . \cos x$

D. $y' = - 2 e^{x} . \sin x$

Xem đáp án

Đáp án A

$y' = [e^{x} (\sin x - \cos x)]' = e^{x} (\sin x - \cos x) + e^{x} (\sin x + \cos x) y' = 2 e^{x} . \sin x$

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D)$ đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao $A B = a .$ Gọi I và J lần lượt là trung điểm AB,CD . Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD).

A. a/3

B. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. a/2

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi I và J lần lượt là trung điểm AB,CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD).

$S A ⊥ A D, A B ⊥ (S A D),IJ// (S A D) \Rightarrow d (IJ; (S A D)) = d (I; (S A D)) = I A = \frac{a}{2}$

Câu 4:

Tứ diện đều ABCD số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. $60 °$

B. $45 °$

C. $30 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M là trung điểm CD

$\{\begin{cases} C D ⊥ B M \\ C D ⊥ A M \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (A B M) \Rightarrow C D ⊥ A B (C D; A B) = 90 °$

Câu 5:

Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Diện tích toàn phần tp $S_{t p}$ của hình trụ (T) là

A. $S_{t p} = π R l + π R^{2}$

B. $S_{t p} = π R l + 2 π R^{2}$

C. $S_{t p} = 2 π R l + 2 π R^{2}$

D. $S_{t p} = π R h + π R^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 6:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x + 1} (C)$ cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng

A. 5

B. 8

C. 7

D. 6

Xem đáp án

Đáp án B

Tinh chất: Tiếp tuyến bẩt kỳ của $y = \frac{a x + b}{c x + d} (C)$ luôn tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.

Áp dụng ta lấy $M (0; - 3)$ thuộc (C) (M bất kỳ) tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại $A (- 1; y_{A}), B (x_{B}; 1)$ nhận điểm M là trung điểm

$\Rightarrow \{\begin{cases} x_{B} = 2 x_{M} - x_{A} = 1 \\ y_{A} = 2 y_{M} - y_{B} = - 7 \end{cases} \Rightarrow A (- 1; - 7), B (1; 1)$

Giao hai tiệm cận $I (- 1; 1) \Rightarrow \vec{I A} = (0; - 8), \vec{I B} = (2; 0) \Rightarrow S_{I A B} = \frac{1}{2} . I A . I B = 8$

Câu 7:

Cho các hàm số $y = \log_{2} x, y = {(\frac{e}{π})}^{x}, y = \log_{\frac{1}{2}} x, y = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{x} .$ Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định của hàm số đó?

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Vì 2>1 nên hàm số $y = \log_{2} x$ đồng biến.

Vì $0 < \frac{e}{π}; \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$ nên các hàm số $y = {(\frac{e}{π})}^{x}, y = \log_{\frac{1}{2}} x, y = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{x}$ nghịch biến

Câu 8:

Cho hàm số $y = x^{3} + b x^{2} + c x + d (c < 0)$ có đồ thị (T) là một trong bốn hình dưới đây. Hỏi đồ thị (T ) là hình nào ?

A. Hình 3

B. Hình 2

C. Hình 1

D. Hình 4

Xem đáp án

Đáp án C

$y' = 3 x^{2} + 2 b x + c$ vì $c < 0 \Rightarrow y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} < 0 < x_{2} \Rightarrow$ hình 1

Câu 9:

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;5) Phép tịnh tiến theo véctơ $\vec{v} (1; 2)$ biến điểm A thành điểm nào ?

A. $A' (1; 6)$

B. $A' (4; 7)$

C. $A' (3; 1)$

D. $A' (3; 7)$

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử $T_{\vec{v}} (A) = A' \Rightarrow \vec{A A'} = \vec{v} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{A'} = 2 + 1 = 3 \\ y_{A'} = 5 + 2 = 7 \end{cases} \Rightarrow A' (3; 7)$

Câu 10:

Số nghiệm của phương trình $\sin 2 x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ trong khoảng $(0; 3 π)$ là

A. 2

B. 6

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình đã cho $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ 2 x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k π \\ x = \frac{2 π}{6} + k π \end{array}$

Vì $x \in (0; 3 π)$ nên $x \in \{\frac{π}{6}; \frac{7 π}{6}; \frac{13 π}{6}; \frac{π}{3}; \frac{4 π}{3}; \frac{7 π}{3}\}$

Câu 11:

Cho hàm số $f (x), f (- x)$ liên tục trên và thỏa mãn $2 f (x) + 3 f (- x) = \frac{1}{4 + x^{2}}$ Tính $I = \int_{- 2}^{2} f (x) d x$

A. $I = - \frac{π}{20}$

B. $I = - \frac{π}{10}$

C. $I = \frac{π}{20}$

D. $I = \frac{π}{10}$

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} \int_{- 2}^{2} [2 f (x) + 3 f (- x)] d x = \int_{- 2}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x \\ \Leftrightarrow 2 \int_{- 2}^{2} f (x) d x + 3 \int_{- 2}^{2} f (- x) d x = \int_{- 2}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x (1) \end{array}$

Đặt $t = - x \to d t = - d x .$ Đổi cận $x = 2 \to t = - 2, x = - 2 \to t = 2$

Ta có $\int_{- 2}^{2} f (- x) d x = \int_{2}^{- 2} f (t) d (- t) = \int_{- 2}^{2} f (t) d t = \int_{- 2}^{2} f (x) d x$

Thay vào $(1) \Rightarrow \int_{- 2}^{2} f (x) d x = \frac{1}{5} \int_{- 2}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x = \frac{π}{20}$

Câu 12:

Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên R

A. $y = x + \frac{1}{x + 3}$

B. $y = \frac{1}{x - 2}$

C. $y = x^{4} + x^{2} + 1$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 5$

Xem đáp án

Đáp án D

$(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 5)' = 3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 {(x - 1)}^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ$

Suy ra hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 5$ đồng biến trên R

Câu 13:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số đôi một khác nhau, trong đó các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải và chữ số 6 luôn đứng trước chữ số 5

A. 544320

B. 3888

C. 22680.

D. 630.

Xem đáp án

Đáp án C

Gỉa sử số cần tìm có 10 chữ số khác nhau tương ứng với 10 vị trí.

Vì chữ ố 0 không đứng vị tríi đầu tiên nên có 9 cách xếp vị trí cho chữ số 0 .

Có $A_{9}^{3}$ cách xếp các chữ số 7; 8 ;9 vào 9 vị trí còn lại .

Vì chữ số 6 đứng trước chữ số 5 nên có 5 cách xếp vị trí cho chữ số 6 và 1 cách xếp cho các chữ số 1;2;3;4;5 theo thứ tự tăng dần. Theo quy tắc nhân $9.5. A_{9}^{3} = 22680$ số thoảmãn.

Câu 14:

Cho $a > 0 v à a \neq 0$ ; x, y là hai số dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. $a^{\log_{a} x} = x$

B. $\log_{a} \frac{1}{x} = \frac{1}{\log_{a} x}$

C. $\log_{a} \frac{x}{y} = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} y}$

D. $\log_{a} x = \log_{b} a . \log_{a} x$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 15:

Giá trị của biểu thức $A = 2^{\log_{4} 9 + \log_{2} 5}$ là

A. $A = 86.$

B. $A = 405$

C. $A = 15$

D. $A = 8$

Xem đáp án

Đáp án C

$A = 2^{\log_{4} 9 + \log_{2} 5} = 2^{\log_{2} 3 + \log_{2} 5} = 2^{\log_{2} 15} = 15$

Câu 16:

Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình ${4.3}^{\log (100 x^{2})} + {9.4}^{\log (10 x)} = {13.6}^{1 + \log x}$

A. 100

B. 1

C. 0,1

D. 10

Xem đáp án

Đáp án B

$4. {(\frac{3}{2})}^{2 \log (10 x)} - 16. {(\frac{3}{2})}^{\log (10 x)} + 9 = 0 (1)$

Đặt $t = {(\frac{3}{2})}^{\log (10 x)}$ ta có $4. t^{2} - 16. t + 9 = 0$ có nghiệm $t_{2} > t_{1} > 0$ $x_{1}, x_{2}$ là 2 nghiệm của (1)

$\Rightarrow {(\frac{3}{2})}^{\log 10 x_{1}} {(\frac{3}{2})}^{\log 10 x_{2}} = t_{1} t_{2} \Leftrightarrow {(\frac{3}{2})}^{\log (100 x_{1} x_{2})} = \frac{9}{4} \Rightarrow \log (100 x_{1} x_{2}) = 2 \Rightarrow x_{1} x_{2} = 1$

Câu 17:

Tính tổng $S = {(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + ... + {(C_{n}^{n})}^{2}$ bằng

A. $n . {(C_{2 n}^{n})}^{2}$

B. $C_{2 n}^{n}$

C. ${(C_{2 n}^{n})}^{2}$

D. $n . C_{2 n}^{n}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có ${(1 + x)}^{2 n} = {(1 + x)}^{n} . {(1 + x)}^{n}$

Hệ số của số hạng chứ $x^{n}$ khi khai triển ${(1 + x)}^{2 n}$ là $C_{2 n}^{n}$

Hệ số của số hạng chứ $x^{n}$ khi khai triển ${(1 + x)}^{n} . {(1 + x)}^{n}$ là ${(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + ... + {(C_{n}^{n})}^{2}$

Vậy $S = {(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + ... + {(C_{n}^{n})}^{2} = C_{2 n}^{n}$

Câu 18:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $6^{x} + (3 + m) 2^{x} + m = 0$ có nghiệm thuộc $[0; 1]$

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $6^{x} + (3 + m) 2^{x} + m = 0 (1)$ có nghiệm $x \in [0; 1]$

$(1) \Leftrightarrow - m (2^{x} + 1) = 6^{x} + {3.2}^{x} \Leftrightarrow - m = \frac{6^{x} + {3.2}^{x}}{2^{x} + 1} \Leftrightarrow - m = \frac{3^{x} + 3}{2^{- x} + 1} = g (x)$

$g' (x) = \frac{3^{x} \ln 3 (1 + 2^{- x}) + 2^{- x} \ln 2 (3^{x} + 3)}{{(1 + 2^{- x})}^{2}} > 0 \Rightarrow g (x)$ đồng biến trên $(0; 1), g (0) = 2, g (1) = 4$

Câu 19:

Cho tam giác ABC vuông tại B có $A C = 2 a, B C = a,$ khi quay tam giác ABC quay quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ABC tạo thành một hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng

A. $3 π a^{2}$

B. $2 π a^{2}$

C. $4 π a^{2}$

D. $π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Hình nón có chiều cao AB và bán kính BC. Diện tích xung quanh của hình nón là $S = π a .2 a = 2 π a^{2}$

Câu 20:

Điều kiện của tham số m để phương trình $m \sin x - 3 \cos x = 5$ có nghiệm là

A. $- 4 \leq m \leq 4$

B. $m \geq 4$

C. $m \geq \sqrt{34}$

D. $[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow m^{2} + 3^{2} \geq 5^{2} \Leftrightarrow m^{2} \geq 16 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$

Câu 21:

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 2018. Biết M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh $A A', B B', C C'$ sao cho $A' M = M A, D N = 3 N D', C P = 2 P C' .$ Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

A. 5045/6

B. 7063/6

C. 5045/12

D. 5045/9

Xem đáp án

Đáp án A

Cho lăng trụ $A B C D . A' B' C' D'$ có $A M = a, B N = b, C P = c, S = S_{A B C} .$

Khi đó $V_{M N P . A B C} = \frac{a + b + c}{3} . S$

Đặt $A A' = a \Rightarrow A M = \frac{a}{2}, P C = \frac{2 a}{3};$

Ta có $D N + B Q = 2 I I' = M A + P C = \frac{7 a}{6}; S_{A B D} = S_{C B D} = S$

Áp dụng tính chất có

$\begin{array}{l} V_{M N P Q . A B C D} = V_{M N P . A D B} + V_{N Q P . C B C} = \frac{1}{3} (A M + B Q + D N) . S + \frac{1}{3} (D N + B Q + C P) . S \\ = \frac{1}{3} (3 A M + 3 P C) . S = \frac{7}{6} a . S = \frac{7}{12} V_{A B C D . A' B' C' D'} \Rightarrow V_{A' B' C' D' . M N P Q} = \frac{5}{12} V_{A B C D . A' B' C' D'} = \frac{5}{12} .2018 = \frac{5045}{6} \end{array}$

Câu 22:

Cho bất phương trình $\log_{3 a} 11 + (\log_{\frac{1}{7}} (\sqrt{x^{2} + 3 a x + 10} + 4)) . \log_{3 a} (x^{2} + 3 a x + 12) \geq 0.$ Giá trị thực của tham số a để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đây?

A. (1;2)

B. (-1;0)

C. $(2; + \infty)$

D. (0;1)

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $m = 3 a$ ta có $\log_{m} 11 + (\log_{\frac{1}{7}} (\sqrt{x^{2} + m x + 10} + 4)) . \log_{m} (x^{2} + m x + 12) \geq 0.$

Dk: $m > 0, m \neq 1, x^{2} + m x + 10 \geq 0$

Bpt đã cho tương đương với $\frac{1 - \log_{7} (\sqrt{x^{2} + m x + 10} + 4) . \log_{11} (x^{2} + m x + 12)}{\log_{m} 11} \geq 0 (*)$

Đặt $u = x^{2} + m x + 10, u \geq 0$

+ với $0 < m < 1 : (*) \Leftrightarrow f (u) = \log_{7} (\sqrt{u} + 4) . \log_{11} (u + 2) \geq 1$

$f (9) = 1$ và $f (u)$ là hàm số đồng biến nên ta có

$f (u) \geq f (9) \Leftrightarrow x^{2} + m x + 10 \geq 9 \Leftrightarrow x^{2} + m x + 1 \geq 0$

Vì phương trình trên có $Δ = m^{2} - 4 < 0$ với $0 < m < 1$ nên phương trình vô nghiệm

+Với $m > 1 : f (u) \leq 1 = f (9) \Leftrightarrow 0 \leq u \leq 9 \Leftrightarrow 0 \leq x^{2} + m x + 10 \leq 9 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + m x + 10 \geq 0 (1) \\ x^{2} + m x + 1 \leq 0 (2) \end{cases}$

Xét phương trình $x^{2} + m x + 1 \leq 0$ có $Δ = m^{2} - 4 < 0$

Nếu $m > 2 \Rightarrow Δ > 0 \Rightarrow p t$ vô nghiệm $(1), (2) \Rightarrow$ bpt vô nghiệm

Nếu $m = 2 \Rightarrow p t (2)$ trên có 2 nghiệm thỏa mãn $x = - 1 \Rightarrow$ bpt có nhiều hơn 1 nghiệm

Nếu $m = 2 \Rightarrow p t (2)$ có nghiệm duy nhất $x = - 1 \Rightarrow$ bpt có nghiệm duy nhất $x = - 1$

Vậy gtct của m là $m = 2 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$

Câu 23:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{1 - x} (C)$ và đường thẳng $d : y = x + m .$ Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt?

A. $m > - 1$

B. $- 5 < m < - 1$

C. $[\begin{array}{l} m < - 5 \\ m > - 1 \end{array}$

D. $m < - 5$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{2 x - 1}{1 - x} = x + m \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x^{2} + (m + 1) x - (m + 1) = 0 (1) \end{cases}$

Hai đồ thị có 2 giao điểm khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt

Suy ra $\{\begin{cases} Δ = {(m + 1)}^{2} + 4 (m + 1) > 0 \\ 1 + m + 1 + m \neq 0 \end{cases} \Rightarrow (m + 1) (m + 5) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 5 \\ m > - 1 \end{array}$

Câu 24:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\int 2 x d x = x^{2} + C$

B. $\int e^{x} d x = e^{x} + C$

C. $\int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C$

D. $\int \sin x d x = \cos x + C$

Xem đáp án

Đáp án D

$\int \sin x d x = - \cos x + C$

Câu 25:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a, S A = a$ và $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi M là trung điểm SB, N là điểm thuộc cạnh SD sao cho $S N = 2 S D .$ Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN

A. $V = \frac{a^{3}}{8}$

B. $V = \frac{a^{3}}{36}$

C. $V = \frac{a^{3}}{6}$

D. $V = \frac{a^{3}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{a^{3}}{3},$

Vì $O M / / S D \Rightarrow N D / / O M \Rightarrow N D / / (M A C)$

Vì $d (N, (A M C)) = d (D, (A M C)) = d (B, (A M C)) \Rightarrow V_{N . A M C} = V_{D . M A C} = V_{B . M A C} = \frac{1}{4} V_{S . A B C D} = \frac{a^{3}}{12}$

Câu 26:

Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y = \frac{\sqrt{m x^{2} + m x - 1}}{2 x + 1}$ có hai tiệm cận ngang.

A. m>0

B. Không có giá trị m.

C. $m = 0$

D. m<0

Xem đáp án

Đáp án A

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{m + \frac{m}{x} - \frac{1}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to + \infty} (\frac{\sqrt{m}}{2}) \\ \lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{m + \frac{m}{x} - \frac{1}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to - \infty} (- \frac{\sqrt{m}}{2}) \end{array}$

Đồ thị hàm số có 2TCN $\Leftrightarrow \sqrt{m}$ có nghĩa, suy ra m>0

Câu 27:

Số giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-2018;2018] để hàm số $y = \frac{\cot^{2} - 2 m \cot x + 2 m^{2} - 1}{\cot x - m}$ nghịch biến trên $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ là

A. 0

B. 2020

C. 2018

D. 2019

Xem đáp án

Đáp án B

Số giá trị nguyên của m thuộc đoạn $[- 2018; 2018]$ để hàm số $y = \frac{\cot^{2} - 2 m \cot x + 2 m^{2} - 1}{\cot x - m}$ nghịch biến trên $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ là

Đặt $t = \cot x, t \in (0; 1),$ ta có $y = \frac{t^{2} - 2 m t + 2 m^{2} - 1}{t - m}$ đồng biến trên (0;1) $y' = \frac{t^{2} - 2 m t + 1}{{(t - m)}^{2}}$

Để hàm số đồng biến trên $(0; 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} y' \geq 0, \forall t \in (0; 1) \\ m \in (- \infty; 0] \cup [1; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{t^{2} + 1}{t} \geq 2 m, \forall t \in (0; 1) (1) \\ m \in (- \infty; 0] \cup [1; + \infty) (2) \end{cases}$

Giải $(1) \Leftrightarrow g (t) = \frac{t^{2} + 1}{t} \geq 2 m, \forall t \in (0; 1); g' (x) = 1 - \frac{1}{t^{2}} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1$

Lập bảng biến thiên $\Rightarrow 2 m \leq 2 \Leftrightarrow m \leq 1,$ kết hợp $(2) \Rightarrow (- \infty; 0] \cup \{1\}$

Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thuộc đoạn $[- 2018; 2018]$ thỏa mãn

Câu 28:

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ có $A B = a, A D = 2 a, A A' = 3 a .$ Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A C B' D'$

A. $R = \frac{a \sqrt{14}}{2}$

B. $R = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

C. $R = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

D. $R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì qua 4 điểm không đồng phẳng tồn tại duy nhất mặt cầu do vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A B' C D'$ chính là mặt cầu ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

$\Rightarrow R = \frac{A C'}{2} = \frac{\sqrt{A B^{2} + A D^{2} +AA'^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{14}}{2}$

Câu 29:

Cho khối chóp S.ABCD có $S A = a, S B = a \sqrt{2}, S C = a \sqrt{3} .$ Thể tích lớn nhất của khối chóp là

A. $a^{3} \sqrt{6}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $α$ là góc giữa SA và $(S B C), \hat{B S C} = β .$

Ta có $V_{S A B C} = \frac{1}{6} . S C . S A . S B . \sin α . \sin β \leq \frac{1}{6} S A . S B . S C$

$V_{S A B C} \ln = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$ khi $\sin α = \sin β = 1 \to α = β = 90 ° \to S A, S B, S C$ đôi một vuông góc

Câu 30:

Tính $\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{\sqrt{2 x^{2} - 3}}$

A. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

B. $- \sqrt{2}$

C. $\sqrt{2}$

D. $- \frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

Đáp án B

$\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{\sqrt{2 x^{2} - 3}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{- \sqrt{2 - \frac{3}{x^{2}}}} = - \sqrt{2}$

Câu 31:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f' (x) = x^{2} (x^{2} - 3 x) (x^{2} - 9) (x^{2} + 4 x + 3) .$ Số điểm cực trị của f(x) là

A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

$f' (x) = x^{2} (x^{2} - 3 x) (x^{2} - 9) (x^{2} + 4 x + 3)$ khi đó $f' (x)$ đổi dấu khi đi qua điểm $x = 0, x = - 1$

Suy ra f(x) có 2 điểm cực trị

Câu 32:

Trong khai triển nhị thức ${(a + 2)}^{n + 6} (n \in ℝ)$ có tất cả 17 số hạng . Khi đó giá trị n bằng

A. 10

B. 11

C. 12

D. 17

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có ${(a + 2)}^{n + 6} = \sum_{0}^{n + 6} C_{n + 6}^{k} a^{k} 2^{n + 6 - k}$ có 17 số hạng nên $n + 6 + 1 = 17 \Rightarrow n = 10$

Câu 33:

Giá trị của $\int_{0}^{2} 2. e^{2 x} d x$ là

A. $e^{4} - 1$

B. $3 e^{4} - 1$

C. $e^{4}$

D. $4 e^{4}$

Xem đáp án

ĐÁP ÁN A

$\int_{0}^{2} 2. e^{2 x} d x = e^{2 x} |_{0}^{2} = e^{4} - 1$

Câu 34:

Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

A. $y = \cos x \tan 2 x$

B. $y = \sin 3 x$

C. $y = x \cos x$

D. $y = \frac{\tan x}{\sin x}$

Xem đáp án

Đáp án D

$y = \frac{\tan x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\cos x . \sin x} = \frac{1}{\cos x}$ có $y (- x) = y (x) = \frac{1}{\cos x}$ nên nó là hàm chẵn

Câu 35:

Cho a, b, c là các đường thẳng . Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây

A. Cho $a / / b .$ Mọi mặt phẳng $(α)$ chứa c trong đó $c ⊥ a, c ⊥ b$ thì đều vuông góc với mặt phẳng (a,b)

B. Cho $a ⊥ b .$ Mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a

C. Cho $a ⊥ b, a \subset (α) .$ Mọi mặt phẳng $(β)$ chứa b và vuông góc với a thì $(α) ⊥ (β)$

D. Nếu $a ⊥ b$ và mặt phẳng $(α)$ chứa a , mặt phẳng $(β)$ chứa b thì $(α) ⊥ (β)$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 36:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ thoả mãn $\{\begin{cases} u_{5} + 3 u_{3} - u_{2} = - 21 \\ 3 u_{7} - 2 u_{4} = - 34 \end{cases} .$ Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng là

A. -244

B. -274

C. -253

D. -285

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\{\begin{cases} u_{5} + 3 u_{3} - u_{2} = - 21 \\ 3 u_{7} - 2 u_{4} = - 34 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 4 d + 3 (u_{1} + 2 d) - u_{1} - d = - 21 \\ 3 (u_{1} + 6 d) - 2 (u_{1} + 3 d) = - 34 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 u_{1} + 9 d = - 21 \\ u_{1} + 12 d = - 34 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ d = - 3 \end{cases} \Rightarrow S_{15} = \frac{u_{1} + u_{15}}{2} .15 = \frac{u_{1} + u_{1} + 14 d}{2} .15 = - 285$

Câu 37:

Cho f, g là hai hàm số liên tục trên $[1; 3]$ thỏa mãn:

$\int_{1}^{3} [f (x) + 3 g (x)] d x = 10, \int_{1}^{3} [2 f (x) - g (x)] d x = 6.$ Tính $\int_{1}^{3} [f (x) + g (x)] d x$

A. 9

B. 8

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $\{\begin{cases} \int_{1}^{3} f (x) d x \\ \int_{1}^{3} g (x) d x \end{cases}$ ta có $\{\begin{cases} a + 3 b = 10 \\ 2 a - b = 6 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 4 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow \int_{1}^{3} [f (x) + g (x)] d x = a + b = 6$

Câu 38:

Trong các dãy số $(u_{n})$ sau đây dãy số nào bị chặn

A. $u_{n} = 2^{n} + 1$

B. $u_{n} = \sqrt{n^{2} + 1}$

C. $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$

D. $u_{n} = n + \frac{1}{n}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $u_{n} = \frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1; u_{n} > 0$ do đó dãy số $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ là dãy số nào bị chặn

Câu 39:

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và tam giác ABC vuông tại B, AH là đường cao của tam giác SAB . Khẳng định nào sau đây sai

A. $S A ⊥ B C$

B. $A H ⊥ A C$

C. $A H ⊥ S C$

D. $A H ⊥ B C$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ S A \\ B C ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow A H ⊥ B C$

LẠI CÓ $A H ⊥ S B \Rightarrow A H ⊥ (S B C)$

Các ý A, C, D đúng

Câu 40:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

A. $\log_{3} 5 > \log_{7} 4$

B. $\log_{\frac{1}{2}} 2 > 0$

C. $\log_{3} π = 1$

D. $\ln 3 < \log_{3} e$

Xem đáp án

Đáp án A

Dùng máy tính CASIO

Câu 41:

Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông có thể tích là V. Để diện tích toàn phần của lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ bằng

A. $\sqrt[3]{V^{2}}$

B. $\sqrt[3]{\frac{V}{2}}$

C. $\sqrt{V}$

D. $\sqrt[3]{V}$

Xem đáp án

Đáp án D

$V_{A B C D A' B' C' D'} = a^{2} b = V \Rightarrow b = \frac{V}{a^{2}}; S_{t p} = 2 a^{2} + 4 a b = 2 a^{2} + \frac{4 V}{a} = f (a)$

$f' (a) = 4 a + \frac{4 V}{a^{2}} = 0 \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{V} .$ Lập bảng biến thiên suy ra $S_{t p}$ nhỏ nhất khi $\sqrt[3]{V}$

Câu 42:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $d : 2 x + y - 3 = 0.$ Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số $k = 2$ biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau

A. $4 x - 2 y - 3 = 0$

B. $2 x + y + 3 = 0$

C. $4 x + 2 y - 5 = 0$

D. $2 x + y - 6 = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

phép vị tự tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó do đó $2 x + y + m = 0$

Gọi $A (0; 3) \in d \Rightarrow V_{(o; k)} (A) = A' \Rightarrow \vec{O A} = \vec{O A'} \Rightarrow A' (0; 6) \Rightarrow d' : 2 x + y - 6 = 0$

Câu 43:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{\log_{\frac{π}{\sqrt{13}}} (2 x - 1)}$

A. $D = [1; + \infty)$

B. $D = (\frac{1}{2}; 1]$

C. $D = (1; + \infty)$

D. $D = (\frac{1}{2}; 1)$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số xác định khi $\{\begin{cases} \log_{\frac{π}{\sqrt{13}}} (2 x - 1) \geq 0 \\ 2 x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 1 \leq 1 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x \leq 1$

Câu 44:

Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $(C) y = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1}$

A. $(0; 3)$

B. $(- 2; 1)$

C. $(3; 0)$

D. $(2; 1)$

Xem đáp án

ĐÁP ÁN A

Câu 45:

Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Diện tích xung quanh hình nón là

A. $20 π a^{2}$

B. $24 π a^{2}$

C. $12 π a^{2}$

D. $40 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

$S_{t p} = π r l = π r \sqrt{r^{2} + h^{2}} = 20 π a^{2}$

Câu 46:

Xếp 11 học sinh gồm 7 nam , 4 nữ thành hàng dọc. Xác suất để 2 học sinh nữ bất kỳ không xếp cạnh nhau là

A. $\frac{7! 4!}{11!}$

B. $\frac{7! A_{6}^{4}}{11!}$

C. $\frac{7! C_{8}^{4}}{11!}$

D. $\frac{7! A_{8}^{4}}{11!}$

Xem đáp án

Đáp án D

“Xếp 11 học sinh nữa thành 1 hàng dọc” Số phần tử không gian mẫu $n (Ω) = 11!$

A:"2 học sinh nữ bất kỳ không xếp cạnh nhau "

Có 7! Cách sắp xếp các học sinh nam thành 1 hàng:1N2N3N4N5N6N7N8

Khi đó có 8 vị trí xen kẽ các học sinh nam.

Để 2 học sinh nữ bất kỳ không xếp cạnh nhau ta sắp xếp 4 học sinh nữ vào 8 vị trí này có $A_{8}^{4}$ cách sắp xếp. $\Rightarrow n (A) = 7! . A_{8}^{4} .$ Vậy $P (A) = \frac{7! . A_{8}^{4} .}{11!}$

Câu 47:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2} (C)$ có các đường tiệm cận là

A $y = 1$ và $x = 2$

B. $y = - 1$ và $x = 2$

C. $y = 2$ và $x = 1$

D. $y = 1$ và $x = - 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 48:

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây

A. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau

B. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau

C. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau

D. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia

Xem đáp án

ĐÁP ÁN A

Câu 49:

Nhà của ba bạn A, B, C nằm ở ba vị trí tạo thành một tam giác vuông tại B (như hình vẽ), $A B = 10 k m; B C = 25 k m$ và ba bạn tổ chức họp mặt tại nhà bạn C. Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên đoạn đường BC. Giả sử luôn có xe buýt đi thẳng từ A đến M. Từ nhà bạn A đi xe buýt thẳng đến điểm hẹn M với tốc độ 30km/h và từ M hai bạn A, B di chuyển đến nhà bạn C theo đoạn đường MC bằng xe máy với vận tốc 50 km/h Hỏi $5 M B + 3 M C$ bằng bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất

A. 85 km

B. 100 km

C. 90 km

D. 95km

Xem đáp án

Đáp án C

$B M = x (k m), 0 < x < 25$ ta có

$A M = \sqrt{A B^{2} + B M^{2}} = \sqrt{x^{2} + 100} = \sqrt{x^{2} + 100} (k m), M C = B C - B M = 25 - x (k m)$

Thời gian bạn A đi xe buýt từ nhà đến điểm hẹnM là $t_{A} = \frac{\sqrt{x^{2} + 100}}{30} (h)$

Thời gian bạn A, B đi xe máy từ điểm hẹn M đến nhà bạn C là $t_{A B} = \frac{25 - x}{50} (h)$

Suy ra thời gian bạn A đi từ nhà đến nhà bạn C là $t (x) = t_{A} + t_{A B} = \frac{\sqrt{x^{2} + 100}}{30} + \frac{25 - x}{50} (h)$

Để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất thì hàm số t(x) đạt giá trị nhỏ nhất, với $0 < x < 25$

Ta có $t' (x) = \frac{x}{30 \sqrt{x^{2} + 100}} + \frac{1}{50}; t' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{15}{2}$

Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số t(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng $t (\frac{15}{2}) = \frac{23}{30} (h)$ khi $x = \frac{15}{2} (k m) = B M \Rightarrow M C = 25 - x = \frac{35}{2} (k m) .$

Khi đó $5 B M + 3 M C = 5. \frac{15}{2} + 3. \frac{35}{2} = 90$

Câu 50:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận.

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\lim_{x \to {(- 2)}^{+}} y = + \infty; \lim_{x \to - \infty} y = - 2; \lim_{x \to 2^{-}} y = + \infty$ nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang