50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 22)

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có $A C = 2 a \sqrt{2}, S A$ vuông góc với đáy, góc giữa SB với đáy bằng 60. Tính diện tích mặt cầu tâm S và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) .

A. $16 π a^{2}$

B. $24 π a^{2}$

C. $16 π a^{3}$

D. $48 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $2 A B^{2} = A C^{2} = {(2 a \sqrt{2})}^{2} \Rightarrow A B = 2 a$

Mặt cầu tâm tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính

$S A = A B \tan 60^{0} = 2 a \sqrt{3}$

Diện tích mặt cầu tâm S là: $S = 4 π {(2 a \sqrt{3})}^{2} = 48 π a^{2}$

Câu 2:

Tìm tập nghiệm của bất phương trình $l o g_{25} (x + 1) > \frac{1}{2}$

A. $S = (- 4; + \infty)$

B. $S = (- \infty; 4)$

C. $S = (- 1; 4)$

D. $S = (4; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Bất phương trình $\Leftrightarrow x + 1 > 25^{^{\frac{1}{2}}} = 5 \Leftrightarrow x > 4$

Câu 3:

Tìm tập xác định của hàm số $y = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

A. $D = ℝ$

B. $D = ℝ \ \{- 2\}$

C. $D = (2; + \infty)$

D. $D = (- 2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện $x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > - 2 \Rightarrow D = (- 2; + \infty)$

Câu 4:

Từ các chữ số 1;2;3;4;5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một?

A. 60

B. 30

C. 120

D. 40

Xem đáp án

Đáp án C

Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một là $5! = 120$

Câu 5:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 2}$ song song với đường thẳng $Δ : x + y + 1 = 0$ là:

A. $x + y = 0$

B. $x + y + 8 = 0$

C. $- x - y - 1 = 0$

D. $x + y - 7 = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(x_{0}; y_{0})$ là:

$k = y' (x_{0}) = \frac{- 4}{{(x_{0} - 2)}^{2}} = - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 4 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} y_{0} = - 1 \\ y_{0} = 3 \end{array}$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0; - 1)$ là: $y + 1 = - x \Leftrightarrow x + y + 1 = 0$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(4; 3)$ là: $y - 3 = - 1 (x - 4) \Leftrightarrow x + y - 7 = 0$

Câu 6:

Đồ thị bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

A. $y = \log_{2} x$

B. $y = 2^{x}$

C. $y = \sqrt{x}$

D. $y = 2^{- x}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 7:

Tìm m để bất phương trình: $x^{4} - 4 x^{2} - m + 1 \leq 0$ có nghiệm thực

A. $m \geq - 3$

B. $m \leq 1$

C. $m \geq 1$

D. $m \leq - 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Bất phương trình $\Leftrightarrow x^{4} - 4 x^{2} + 4 \leq {(x^{2} - 2)}^{2} \leq m + 3$

Để bất phương trình có nghiệm thực thì $m + 3 \geq \min {(x^{2} - 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow m \geq - 3$

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + 2 y + z - 4 = 0$ . Trong các vec tơ sau vec tơ nào không phải là véc tơ pháp tuyến của (P)?

A. $\vec{n} = (- 1; - 2; 1)$

B. $\vec{n} = (1; 2; 1)$

C. $\vec{n} = (- 2; - 4; - 2)$

D. $\vec{n} = (\frac{1}{2}; 1; \frac{1}{2})$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 9:

Tìm tập xác định hàm số $y = \log_{\frac{1}{5}} (x^{2} - 4 x + 3)$

A. $D = (1; 3)$

B. $D = [1; 3]$

C. $D = (- \infty; 1] \cup [3; + \infty)$

D. $D = (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: $x^{2} - 4 x + 3 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 3 \\ x < 1 \end{array} \Rightarrow D = (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$

Câu 10:

Hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 16}{\sqrt{x} - 2} k h i x > 4 \\ 3 x - m k h i x \leq 4 \end{cases}$ liên tục tại $x_{0} = 4$ khi m nhận giá trị là

A. 44

B. -20

C. 20

D. m bất kỳ

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\lim_{x \to 4^{-}} f (x) = \lim_{x \to 4^{-}} (3 x - m) = 12 - m$

$\lim_{x \to 4^{+}} f (x) = \lim_{x \to 4^{+}} \frac{x^{2} - 16}{\sqrt{x} - 2} = \lim_{x \to 4^{+}} \frac{(x - 4) (x + 4) (\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)} = \lim_{x \to 4^{+}} (x + 4) (\sqrt{x} + 2) = 32$

Để hàm số liên tục tại $x = 4$ thì $\lim_{x \to 4^{-}} f (x) = \lim_{x \to 4^{+}} f (x) = f (4) \Leftrightarrow 12 - m = 32 \Leftrightarrow m = - 10$

Câu 11:

Tính đạo hàm của hàm số $y = {(1 + 3 \sin 2 x)}^{4}$

A. $y' = 24 {(1 + 3 \sin 2 x)}^{3} \cos 2 x$

B. $y' = 24 {(1 + \sin 2 x)}^{3}$

C. $y' = 4 {(1 + 3 \sin 2 x)}^{3}$

D. $y' = 12 {(1 + 3 \sin 2 x)}^{3} \cos 2 x$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 4 {(1 + 3 \sin 2 x)}^{3} (1 + 3 \sin 2 x)' = 24 {(1 + 3 \sin 2 x)}^{3} \cos 2 x$

Câu 12:

Cho hình chóp $S . A B C : S A ⊥ (A B C)$ . Gọi H;K là trực tâm $Δ S B C, Δ A B C$ .Chọn mệnh đề sai?

A. $H K ⊥ (S B C)$

B. $B C ⊥ (S A B)$

C. $B C ⊥ (S A H)$

D. $S H, A K, B C$ đồng quy

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho $A (1; 2; 3), B (0; - 2; 1), C (1; 0; 1) .$ Gọi D là điểm sao cho C là trọng tâm tam giác ABD. Tính tổng các tọa độ của D

A. 1

B. 0

C. 7/3

D. 7

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $D (a; b; c) \Rightarrow \{\begin{cases} 1 + 0 + a = 3.1 \\ 2 + (- 2) + b = 3.0 \\ 3 + 1 + c = 3.1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 0 \\ c = - 1 \end{cases} \Rightarrow D (2; 0; - 1) \Rightarrow$ tổng các tọa độ của D là 1

Câu 14:

Cho tứ diện ABCD. Gọi G1G2G3 là trọng tâm các tam giác ABC; ACD; ABD. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. $(G_{1} G_{2} G_{3})$ cắt (BCD)

B. $(G_{1} G_{2} G_{3}) ∥ (B C D)$

C. $(G_{1} G_{2} G_{3}) ∥ (B C A)$

D. $(G_{1} G_{2} G_{3})$ không có điểm chung với (ACD)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\{\begin{cases} G_{1} G_{2} ∥ B D \\ G_{2} G_{3} ∥ B C \end{cases} \Rightarrow (G_{1} G_{2} G_{3}) ∥ (B C D)$

Câu 15:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{^{2}} - 5$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 6

B. Hàm số đạt cực đại tại $\pm 1$

C. Giá trị cực đại của hàm số bằng -5

D. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 4 x^{3} - 4 x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}$

Mặt khác $y " = 12 x^{2} - 4 \Rightarrow \{\begin{cases} y " (0) = - 4 \\ y " (\pm 1) = 8 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} y_{C T} = y (\pm 1) = - 6 \\ y_{C D} = y (0) = - 5 \end{cases}$

Câu 16:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$ trên đoạn [-1;1]

A. 1

B. 0

C. -1

D. 31/27

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y' = 3 x^{2} - 4 x + 1 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{1}{3} \end{array}$

Suy ra $y (- 1) = - 3, y (\frac{1}{3}) = \frac{31}{27}, y (1) = 1 \Rightarrow \max_{[- 1; 1]} y = \frac{31}{27}$

Câu 17:

Trong mặt phẳng Oxyz, cho đường thẳng $d : 2 x + y - 3 = 0$ . Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số $k = 2$ biến đường thẳng d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

A. $2 x + y + 3 = 0$

B. $4 x - 2 y - 3 = 0$

C. $4 x + 2 y - 5 = 0$

D. $2 x + y - 6 = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

$V_{0}^{2} : d \to d' ∥ d \Rightarrow d' : 2 x + y + m = 0$

Lấy $A (0; 3) \in d \Rightarrow V_{0}^{2} : A \to A' \Rightarrow \bar{O A'} = 2 \bar{O A} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{A'} = 2 x_{A} = 0 \\ y_{A'} = 2 y_{A} = 6 \end{cases}$

$\Rightarrow A' (0; 6) \in d' \Rightarrow 2.0 + 6 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 6$ $\Rightarrow d' : 2 x + y - 6 = 0$

Câu 18:

Rút gọn biểu thức $Q = b^{\frac{5}{3}} : \sqrt[3]{b^{2}}, b > 0$

A. $Q = b^{2}$

B. $Q = \sqrt[3]{b^{4}}$

C. $Q = b$

D. $Q = b^{\frac{1}{3}}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $Q = b^{\frac{5}{3}} : \sqrt[3]{b^{2}} = b^{\frac{5}{3}} : b^{\frac{2}{3}} = b^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} = b$

Câu 19:

Đường cong bên là đồ thị hàm số nào?

A. $y = x^{4} - 2 x^{2}$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 20:

Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng 3a và đường sinh bằng 5a. Thể tích khối nón là

A. $9 π a^{3}$

B. $12 π a^{3}$

C. $5 π a^{3}$

D. $15 π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Độ dài đường cao là $\sqrt{{(5 a)}^{2} - {(3 a)}^{2}} = 4 a$ . Thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3} π . {(3 a)}^{2} .4 a = 12 π^{3}$

Câu 21:

Giải phương trình $\cos 2 x = - \frac{1}{2}$

A. $x = \pm \frac{π}{6} + k π, (k \in ℤ)$

B. $x = \pm \frac{π}{3} + k π, (k \in ℤ)$

C. $x = \pm \frac{2 π}{3} + k 2 π, (k \in ℤ)$

D. $x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Xem đáp án

Đáp án B

PT $\Leftrightarrow 2 x = \pm \frac{2 π}{3} + k 2 π \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{3} + k π, (k \in ℤ)$

Câu 22:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ có bao nhiêu tiệm cận?

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số có tập xác định $D = ℝ \ \{- 2; 1\}$

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to - \infty} y = 0 \Rightarrow$ đồ thị hàm số có TCN $y = 0$

Mặt khác

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 3 x + 2} = \frac{x + 1}{(x + 2) (x - 1)} \Rightarrow (x + 2) (x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 1 \end{array}, \lim_{x \to - 2} y = \infty, \lim_{x \to 1} y = \infty$

Suy ra đồ thị hàm số có 2 TCĐ là $x = - 2, x = 1$

Câu 23:

Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ

Xét các mệnh đề sau

(I) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

(II) Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

(III) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2

(IV) Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0

Số mệnh đề đúng là:

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

+) $\lim_{x \to - \infty} y = - 1 \Rightarrow$ đồ thị hàm số có TCN $y = - 1$

+) $\lim_{x \to 1^{-}} y = - \infty \Rightarrow$ đồ thị hàm số có TCĐ $x = 1$

+) Hàm số không có giá trị lớn nhất vì $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$

+) Hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì $\lim_{x \to 1^{-}} y = - \infty$

Suy ra không có mệnh đề nào đúng

Câu 24:

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số: $y = {(\frac{1}{4})}^{x^{2} + 2 x}$

A.R

B. $(- \infty; - 1)$

C. $(- 1; + \infty)$

D. (-2;0)

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = - {(\frac{1}{4})}^{x^{2} + 2 x} (2 x + 2) \ln 4 \Rightarrow y' < 0 \Leftrightarrow - (2 x + 2) < 0 \Leftrightarrow x > - 1$

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$

Câu 25:

Tìm tập nghiệm của phương trình $3^{x^{2} + 4 x - 1} = 27$

A. $\{- 2\}$

B. $\{- 2 - 2 \sqrt{2}; - 2 + 2 \sqrt{2}\}$

C. $\{- 2 - \sqrt{7}; - 2 + \sqrt{7}\}$

D. $\{- 2 + 2 \sqrt{2}\}$

Xem đáp án

Đáp án B

PT $\Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 1 = 3 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 + 2 \sqrt{2} \\ x = - 2 - 2 \sqrt{2} \end{array} \Rightarrow S = \{- 2 - 2 \sqrt{2}; - 2 + 2 \sqrt{2}\}$

Câu 26:

Tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

A. $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$

B. (-1;1)

C. $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$

D. (0;2)

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2) \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 0 \end{array}$

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$

Câu 27:

Cho khối chóp S,ABC với tam giác ABC vuông cân tại B. $A C = 2 a, S A$ vuông góc với mặt phẳng (ABC) và $S A = a$ . Giả sử I là điểm thuộc cạnh SB sao cho $S I = \frac{1}{3} S B$ . Thể tích khối tứ diện $S A I C$ bằng

A. $\frac{a^{3}}{6}$

B. $\frac{2 a^{3}}{3}$

C. $\frac{a^{3}}{9}$

D. $\frac{a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\frac{V_{S . A I C}}{V_{S . A B C}} = \frac{S I}{S B} = \frac{1}{3} \Rightarrow V_{S . A I C} = \frac{1}{3} V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} S A . \frac{1}{2} B A . B C$

$= \frac{1}{18} a . B A^{2} = \frac{1}{18} a . \frac{{(2 a)}^{2}}{2} = \frac{a^{3}}{9}$

Câu 28:

Hàm số $y = 4 \sin x - 3 \cos x$ có giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m là

A. $M = 7, m = 1$

B. $M = 5, m = - 5$

C. $M = 1, m = - 7$

D. $M = 7, m = - 7$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y = 4 \sin x - 3 \cos x = 5 (\frac{4}{5} sinx - \frac{3}{5} \cos x) = 5 \sin (x - α)$ với $\{\begin{cases} \sin α = \frac{3}{5} \\ \cos α = \frac{4}{5} \end{cases}$

Ta có $- 1 \leq \sin (x - α) \leq 1 \Rightarrow - 5 \leq 5 \sin (x - α) \leq 5 \Rightarrow \{\begin{cases} M = 5 \\ m = - 5 \end{cases}$

Câu 29:

Biết đường thẳng $y = x - 2$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$ tại 2 điểm phân biệt A; B. Tìm hoành độ trọng tâm tam giác OAB

A. 2/3

B. 2

C. 4/3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

PT hoành độ giao điểm là

$\frac{x}{x - 1} = x - 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 \neq 0 \\ x^{2} - 3 x + 2 = x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x^{2} - 4 x + 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Suy ra $x_{A} + x_{B} = 4$

Gọi G là trọng tâm tam giác $O A B \Rightarrow x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{O}}{3} = \frac{4}{3}$

Câu 30:

Tìm m để bất phương trình $l o g^{_{2}} x + 3 \log x + m \geq 0$ nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định.

A. $m \geq \frac{9}{4}$

B. $m \leq \frac{9}{4}$

C. $m < \frac{9}{4}$

D. $m > - \frac{9}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện $x > 0$ , đặt $t = \log x \Rightarrow B P T \Leftrightarrow t^{2} + 3 t + m \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{9}{4} - {(t + \frac{3}{2})}^{2} (2)$

Ta có $\frac{9}{4} - {(t + \frac{3}{2})}^{2} \leq \frac{9}{4} \Rightarrow (2) \Leftrightarrow m \geq \frac{9}{4}$

Câu 31:

Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz , cho 2 điểm $A (0; 1; 2), B (0; - 1; 2)$ . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB

A. $z - 2 = 0$

B. $x - z + 2 = 0$

C. $x = 0$

D. $y = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Trung điểm của AB là: $I (0; 0; 2); \vec{n} = \vec{I A} = (0; 1; 0) \Rightarrow P T$ mặt phẳng trung trực của đoạn AB qua I và vuông góc với AB có PT là: $y = 0$

Câu 32:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vec tơ $\vec{u} = (1; 2; 0)$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\vec{u} = 2 \vec{i} + \vec{j}$

B. $\vec{u} = \vec{i} + 2 \vec{j}$

C. $\vec{u} = \vec{j} + 2 \vec{k}$

D. $\vec{u} = \vec{i} + 2 \vec{k}$

Xem đáp án

Đáp án B

$\vec{u} = (1; 2; 0) = \vec{i} + 2 \vec{j}$

Câu 33:

Đồ thị hàm số $y = \frac{1 - x}{1 + x}$ có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là

A. $x = - 1; y = - 1$

B. $x = 1; y = 1$

C. $x = 1; y = - 1$

D. $x = - 1; y = 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 34:

Một tổ có 6 nam và 5 nữ. Ta chọn tùy ý hai người. Xác suất để chọn được 1 nam và 1 nữ là

A. $\frac{C_{6}^{1} C_{5}^{1}}{C_{11}^{2}}$

B. $\frac{C_{5}^{2}}{C_{11}^{2}}$

C. $\frac{C_{6}^{2}}{C_{11}^{2}}$

D. $\frac{C_{6}^{1} + C_{5}^{1}}{C_{11}^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Chọn ra 2 người lấy bất kỳ có: $C_{11}^{2}$ cách chọn

Chọn được 1 nam và 1 nữ có: $C_{6}^{1} . C_{5}^{1}$ cách chọn

Do đó: $P = \frac{C_{6}^{1} . C_{5}^{1}}{C_{11}^{2}}$

Câu 35:

Trong khai triển ${(2 x^{2} + \frac{1}{x})}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} {.2}^{n - k} {(x^{2})}^{n - k} . {(\frac{1}{x})}^{k}, (x \neq 0)$ hệ số của $x^{3}$ là $2^{6} C_{n}^{9}$ . Tính n

A. $n = 12$

B. $n = 13$

C. $n = 14$

D. $n = 15$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có ${(2 x^{2} + \frac{1}{x})}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} {.2}^{n - k} . {(\frac{1}{x})}^{k} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} . 2^{n - k} x^{2 n - 3 k}$

Cho $2 n - 3 k = 3 \Rightarrow C_{n}^{k} {.2}^{n - k} = 2^{6} . C_{n}^{9}$ .

Giải hệ $\{\begin{cases} 2 n - 3 k = 3 \\ C_{n}^{k} {.2}^{n - k} = 2^{6} . C_{n}^{9} \end{cases}$

Hệ này tương đối khó giải, thử 4 đáp án ta được $\Leftrightarrow \{\begin{cases} n = 15 \\ k = 9 \end{cases}$

Câu 36:

Tổng các nghiệm của phương trình $\sin^{2} x - \sin 2 x + \cos^{2} x = 0$ trên đoạn $[0; 2018 π]$ là

A. $\frac{4071315 π}{2}$

B. $\frac{4067281 π}{2}$

C. $\frac{4075351 π}{2}$

D. $\frac{8142627 π}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có : $\sin^{2} x - \sin 2 x + \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow {(\sin x - \cos x)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π$

Với $x \in [0; 2018 π] \Rightarrow k = 0; 1; 2...2017$

Do đó $\sum = 2018. \frac{π}{4} + (1 + 2 + ... + 2017) π = 2018. \frac{π}{4} + \frac{2018.2017}{2} π = \frac{4071315 π}{2}$

Câu 37:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng tập hợp các giá trị của m để phương trình $f (|2 \sin x|) = f (m)$ có 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[- π; 2 π]$ là một khoảng $(a; b)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$

A. 5

B. 4

C. 10

D. 13

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = |2 \sin x| (2 \geq t \geq 0)$ dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy:

Với $t \in (0; 2)$ một giá trị của t có 6 giá trị của x

Với $t = 2$ một giá trị của t có 3 giá trị của x

Với $t = 0$ một giá trị của t có 4 giá trị của x

Dựa vào đồ thị ta thấy rằng PT $f (|2 \sin x|) = f (m)$ có 12 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow P T : f (t) = f (m)$

có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(0; 2) \Leftrightarrow f (m) \in (- \frac{27}{16}; 0) \Leftrightarrow m \in (0; 2) \Rightarrow T = 4$

Câu 38:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C) và hai điểm $M (0; 4), N (- 1; 2)$ . Gọi A;B là 2 điểm trên (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B song song đồng thời tổng khoảng cách từ M và từ N đến đường thẳng AB là lớn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng AB

A. $\frac{5 \sqrt{6}}{3}$

B. $\frac{4 \sqrt{13}}{3}$

C. $2 \sqrt{5}$

D. $\sqrt{65}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 39:

Ông A mua một ngôi nhà xây thô trị giá 2,5 tỉ nhưng chưa có tiền hoàn thiện.Ông vay ngân hàng 1 tỉ để hoàn thiện với lãi suất $0.5 %$ mỗi tháng. Biết sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay ông đều đặn trả ngân hàng mỗi tháng 20 triệu.Hỏi tháng cuối cùng trả hết nợ ông A còn dư cầm về bao nhiêu tiền?

A. 6.543.233 đồng

B. 6.000.000 đồng

C. 6.386.434 đồng

D. 6.937.421 đồng

Xem đáp án

Đáp án C

Cuối tháng n còn nợ:

$A {(1 + r)}^{n} - a {(1 + r)}^{n - 1} - a {(1 + r)}^{n - 2} - ... - a = A {(1 + r)}^{n} - a \frac{{(1 + r)}^{n} - 1}{r}$

Để hết nợ thì $A {(1 + r)}^{n} = a \frac{{(1 + r)}^{n} - 1}{r}$

Áp dụng với $A = 1000; r = 0, 5 %, a = 20 \Rightarrow n = 57, 68 \Rightarrow n = 58$ tháng

Do đó số tiền dư về là $a \frac{{(1 + r)}^{n} - 1}{r} - A {(1 + r)}^{r} = 6386434$ đồng

Câu 40:

Cho 2 số thực x;y thỏa mãn $x, y \geq 1$ và $\log_{3} {[(x + 1) (y + 1)]}^{y + 1} = 9 - (x - 1) (y + 1)$ Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{3} + y^{3} - 57 (x + y)$ là một số thực có dạng $a + b \sqrt{7}, (a, b \in ℤ)$ . Tính giá trị của a+b

A. -28

B. -29

C. -30

D. -31

Xem đáp án

áp án B

Ta có: $\log_{3} {[(x + 1) (y + 1)]}^{y + 1} = 9 - (x - 1) (y + 1) \Leftrightarrow (y + 1) \log_{3} [(x + 1) (y + 1)] + (x - 1) (y + 1) = 9$

$\Leftrightarrow (y + 1) \log_{3} [(c + 1) (y + 1)] + (x + 1) (y + 1) - 2 y = 11$

$\Leftrightarrow (y + 1) (\log_{3} [(c + 1) (y + 1)] - 2) = 9 - (x + 1) (y + 1) (*)$

Nếu $(x + 1) (y + 1) > 9 \Rightarrow V T (*) > 0; V P (*) < 0$

Ngược lại nếu $(x + 1) (y + 1) < 9 \Rightarrow V T (*) < 0; V P (*) > 0$

Do đó $(*) \Leftrightarrow (x + 1) (y + 1) = 9 \Leftrightarrow x y + x + y = 8$

Khi đó $P = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y) - 57 (x + y) = {(x + y)}^{3} - 3 (8 - x - y) (x + y) - 57 (x + y)$

Đặt $t = (x + y) \geq 2 \Rightarrow f (t) = t^{3} - 3 (8 - t) t - 57 t = t^{3} + 3 t^{2} - 81 t$

$\Rightarrow f' (t) = 3 t^{2} + 6 t - 81 = 0 \Rightarrow t = - 1 + 2 \sqrt{7} \Rightarrow P_{\min} = f (- 1 + 2 \sqrt{7}) = 83 - 112 \sqrt{7} \Rightarrow a + b = - 29$

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm số $y = f' (x)$ là hình vẽ bên. Đặt $g (x) = f (x) - \frac{x^{2}}{2}$ . Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số $y = g (x)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt là

A. $\{\begin{cases} g (0) > 0 \\ g (1) < 0 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} g (0) > 0 \\ g (1) < 0 \\ g (1) . g (- 2) > 0 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} g (0) > 0 \\ g (- 2) > 0 \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} g (0) > 0 \\ g (- 2) \leq 0 \\ g (1) \leq 0 \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $g (x) = f (x) - \frac{x^{2}}{2} \to g' (x) = f' (x) - x; \forall x \in ℝ$

Phương trình $g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = x$ . Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số $y = f' (x)$ cắt đường thẳng $y = x$ tại ba điểm phân biệt $x = - 2; x = 0; x = 1$

Do đó, để phương trình $g (x) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \{\begin{cases} g (0) > 0 \\ g (1) < 0, g (- 2) < 0 \end{cases}$

Câu 42:

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được $10 m^{3}$ nước. Tìm bán kính R của đáy bồn nước, biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất (bỏ qua độ dày của bồn)

A. $R = \sqrt[3]{\frac{5}{2 π}} m$

B. $R = \sqrt[3]{\frac{5}{π}} m$

C. $R = \sqrt[3]{\frac{10}{π}} m$

D. $R = \sqrt[3]{5 π} m$

Xem đáp án

Đáp án B

Yêu cầu bài toán “Tìm R để diện tích toàn phần của hình truh là nhỏ nhất”

Gọi h là chiều cao của hình trụ Thể tích khối trụ là $V = π R^{2} h = 10 \Rightarrow h = \frac{10}{π R^{2}} (1)$

Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S_{T P} = S_{x q} + 2 \times S_{d} = 2 π R h + 2 π R^{2} (2)$

Từ (1); (2) suy ra $S_{T P} = 2 π R^{2} + \frac{20}{R} = 2 π R^{2} + \frac{10}{R} + \frac{10}{R} \geq 3 \sqrt[3]{200 π}$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $2 π R^{2} = \frac{10}{R} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{\frac{5}{π}} m$

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích là V. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho $\frac{M A}{A B} = x, 0 < x < 1$ . Biết rằng mặt phẳng $(α)$ qua M và song song với (SBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần trong đó phần chứa điểm A thể tích bằng $\frac{4}{27} V$ . Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{1 - x}{1 + x}$

A. 1/2

B. 1/5

C. 1/3

D. 3/5

Xem đáp án

Đáp án A

Kẻ $M N ∥ B C (N \in C D), N P ∥ S C (P D), M Q ∥ S B (Q \in S A)$

$\Rightarrow m p (a)$ cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là MNPQ

Ta có $\frac{M A}{A B} = \frac{A Q}{S A} = \frac{N D}{C D} = x \Rightarrow \frac{S Q}{S A} = \frac{S P}{S D} = 1 - x$ (Định lý Thalet)

Mà $Δ A M N = Δ A D N \Rightarrow V_{Q . A M N} = V_{P . A D N} = x V_{S . A M N} = \frac{x}{2} V_{S . A M N D} = \frac{x^{2}}{2} V$

Và $S_{N . A P Q} = \frac{1}{3} d (N; (S A D)) . S_{Δ A P Q} = x (1 - x) \times V_{N . S A D} = \frac{x^{2} (1 - x)}{2} V$

Do đó $V_{A Q M . D P N} = V_{Q . A M N} + V_{P . A N D} + V_{N . A P Q} = \frac{3 x^{2} - x^{3}}{2} \times V = \frac{4}{27} V$

. $\Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} + \frac{8}{27} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ Vậy $P = {(\frac{1 - x}{1 + x})|}_{x = \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$

Câu 44:

Trong không gian với hệ toại độ Oxyz, cho ba điểm $A (1; 2; - 3), B (2; 0; 1), C (3; - 1; 1)$ . Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng Oyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 |\vec{M B} + \vec{M C}| + 2 |\vec{M A} + 2 \vec{M B}|$

A. $\frac{\sqrt{42}}{6}$

B. $\sqrt{42}$

C. $3 \sqrt{82}$

D. $\frac{\sqrt{82}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi I là trung điểm của $B C \Rightarrow I (\frac{5}{2}; - \frac{1}{2}; 1)$ và E thỏa mãn $\bar{E A} + 2 \bar{E B} = \bar{0} \Rightarrow E (\frac{5}{3}; \frac{2}{3}; - \frac{1}{3})$

Khi đó $P = 3 |\bar{M B} + \bar{M C}| + 2 |\bar{M A} + 2 \bar{M B}| = 3 |2 \bar{M I}| + 2 |3 \bar{M E}| = 6 (M I + M E)$

Dễ thấy I;E nằm cùng phía với mặt phẳng (Oyz)

Gọi F là điểm đối xứng E qua mp $(O y z) \Rightarrow F (- \frac{5}{3}; \frac{2}{3}; - \frac{1}{3})$

Do đó $P = 6 (M I + M E) = 6 (M I + M F) \geq 6 I F = 3 \sqrt{82}$ . Vậy $P_{\min} = 3 \sqrt{82}$

Câu 45:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, $A B = 3 a, A D = 4 a, \hat{B A D} = 120^{0}$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và $S A = 2 a \sqrt{3}$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(S C D)$

A. $45^{0}$

B. $\arccos \frac{17 \sqrt{2}}{26}$

C. $60 °$

D. $30 °$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựng trục tọa độ với $A (0; 0; 0); (0; 4 a; 0); S (0; 0; 2 a \sqrt{3})$

Ta có: $A H = A B \sin 60^{0} = \frac{3 a \sqrt{3}}{2}; B H = \frac{3 a}{2}$

Do đó $B = (\frac{3 a \sqrt{3}}{2}; - \frac{3 a}{2}; 0); C (\frac{3 a \sqrt{3}}{2}; \frac{5 a}{2}; 0)$

Khi đó $\bar{n_{S B C}} = k [\bar{S B}; \bar{B C}] = (4; 0; 3); \bar{n_{S C D}} = k [\bar{S C}; \bar{D C}] = (\sqrt{3}; 3; 2 \sqrt{3})$

Do đó $\cos \hat{(S B C; S C D)} = \frac{|10 \sqrt{3}|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}} \sqrt{24}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \hat{(S B C; S C D)} = 45^{0}$

Câu 46:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A = 2 a$ và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AMvà SC.

A. $\frac{a \sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$

C. $\frac{2 a \sqrt{21}}{21}$

D. $\frac{a}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi I;N lần lượt là trung điểm của AB và SC

Suy ra AMNI là hình bình hành $\Rightarrow A M ∥ I N \Rightarrow A M ∥ (S C I)$

Do đó $d (A M, S C) = d (A M, (S C I)) = d (A; (S C I)) = h$

Kẻ $A H ⊥ I C (H \in I C), A K ⊥ S H (K \in S H) \Rightarrow A K ⊥ (S C I)$

Ta có $S_{Δ A C I} = \frac{1}{2} S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . A H . I C \Rightarrow A H = \frac{a^{2}}{4} : \frac{a \sqrt{5}}{4} = \frac{a \sqrt{5}}{5}$

Tam giác SAH vuông tại A , có $\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} + \frac{1}{S A^{2}} \Rightarrow A K = \frac{2 a}{\sqrt{21}}$

Vậy khoảng cách cần tính là $h = \frac{2 a \sqrt{21}}{21}$

Câu 47:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{m - 1}{2} x^{2} + m x + m - 1$ . Gọi là tập hợp các giá trị của sao cho hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1 . Tính số phần tử của

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{m - 1}{2} x^{2} + m x + m - 1 \Rightarrow y' = x^{2} - (m - 1) x + m; \forall x \in ℝ$

Phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 1) x + m = 0 (*)$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1} - x_{2}| = 1$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ_{(*)} > 0 \\ {(x_{1} - x_{2})}^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(m - 1)}^{2} - 4 m > 0 \\ {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 6 m + 1 > 0 \\ {(m - 1)}^{2} - 4 m = 1 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 6 \end{array}$

Vậy số phần tử của tập S là 2

Câu 48:

Cho đa giác đều 20 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành một hình chữ nhật nhưng không phải hình vuông.

A. $\frac{8}{969}$

B. $\frac{12}{1615}$

C. $\frac{1}{57}$

D. $\frac{3}{323}$

Xem đáp án

Đáp án A

Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh trong 20 đỉnh có $C_{20}^{4}$ cách $\Rightarrow n (Ω) = 4845$

Đa giác 20 cạnh có 10 đường chéo đi qua tâm mà cứ 2 đường chéo đi qua tâm tạo thành một hình chữ nhật. Suy ra số hình chữ nhật tạo từ 10 đường chéo là $C_{10}^{2} = 45$

Tuy nhiên trong 45 hình chữ nhật này có 5 hình vuông Số hình chữ nhật cần tính là 40

Vậy xác suất cần tính là $P = \frac{40}{n (Ω)} = \frac{40}{4845} = \frac{8}{969}$

Câu 49:

Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{x}$ có đồ thị là (C) và đường thẳng $(d) : y = x + m$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn $[0; 2018]$ để đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A;B sao cho tam giác MAB cân tại M, với $M (\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .

A. 2016

B. 2017

C. 2019

D. 2018

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của )C) và(d) là

$\frac{x + 2}{x} = x + m \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ x^{2} + (m - 1) x - 2 = 0 (*) \end{cases}$

Để (C) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow m \in ℝ$

Khi đó, gọi $A (x_{1}; x_{1} + 1); B (x_{2}; x_{2} + m) \Rightarrow x_{1} + x_{2} = 1 - m$ là tọa độ giao điểm của (C) và(d)

Ta có: $\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}; x_{2} - x_{1}) \Rightarrow \vec{u_{A B}} = (1; 1)$ ; trung điểm AB là: $I (\frac{1 - m}{2}; \frac{1 + m}{2})$

$m = 0 \Rightarrow M, A, B$ thẳng hang (loại $m = 0$ )

Phương trình trung trực là: $x + y - 1 = 0$

Do $M \in d \Rightarrow Δ M A D$ luôn cân tại M

Kết hợp với $m \in ℤ$ và có 2018 giá trị m cần tìm

Câu 50:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} {|x|}^{3} - 2 x^{2} + (m - 1) |x| + 3$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số có đúng 5 điểm cực trị?

A. 5

B. 4

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Nhắc lại quy tắc vẽ đồ thị hàm số $y = f (|x|)$ từ đồ thị hàm số $y = f (x)$

- Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số $y = f (x)$ bên phải trục Oy (bỏ phần bên trái)

- Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số $y = f (x)$ bên phải trục O qua trục O

- Hợp của 2 phần, ta được đồ thị hàm số $y = f (|x|)$

Xét $y = f (|x|) = \frac{1}{3} {|x|}^{3} - 2 {|x|}^{2} + (m - 1) |x| + 3$ với $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + (m - 1) x + 3$

Để hàm số $y = f (|x|)$ có 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow y = f (x)$ có 2 điểm cực trị nằm phía bên phải trục Oy $\Leftrightarrow f' (x) = 0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow x^{2} - 4 x + m - 1 = 0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{1}, x_{2}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 0 \\ x_{1} x_{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 - m > 0 \\ m - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < m < 5$ . Kết hợp $m \in ℤ \to m = \{2; 3; 4\}$