50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 13)

Câu 1:

Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 2 x + 1} - \sqrt{1 - 2 x}}{x} .$

A. 2

B. -1

C. -2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án D

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 2 x + 1} - \sqrt{1 - 2 x}}{x} . = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 2 x + 1} - 1}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - 2 x}}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} - 2 x}{(\sqrt{4 x^{2} - 2 x + 1} + 1)} + \lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x (\sqrt{1 - 2 x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{4 x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 2 x + 1} + 1} + \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 2 x} + 1} = - 1 + 1 = 0$

Câu 2:

Cho tứ diện OABCcó $O A = a, O B = 2 a; O C = 3 a$ đôi vuông góc với nhau tại O. Lấy M là trung điểm của cạnh CA; N nằm trên cạnh CB sao cho $C N = \frac{2}{3} C B .$ Tính theo a thể tích khối chóp OAMNB

A. $2 a^{3}$

B. $\frac{1}{6} a^{3}$

C. $\frac{2}{3} a^{3}$

D. $\frac{1}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $S_{C M N} = \frac{1}{2} S_{N A C} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} S_{A B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} \Rightarrow S_{A M N B} = \frac{2}{3} S_{A B C}$

Thể tích khối chóp OAMNB là: $V = \frac{1}{3} d (O; (A B C)) . S_{A M N B}$

$= \frac{1}{3} d (O; (A B C)) . \frac{2}{3} S_{A B C} = \frac{2}{3} S_{A B C} = \frac{2}{3} V_{O . A B C} = \frac{2}{3} . \frac{1}{6} a .2 a .3 a = \frac{2}{3} a^{3}$

Câu 3:

Tìm số giao điểm của đường thẳng $y = 1 - 2 x$ với đồ thị (C) của hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 4.$

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 4 = 1 - 2 x$ có 3 nghiệm phân biệt nên 2 đồ thị có 3 giao điểm.

Câu 4:

Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng $60 °$ , diện tích xung quanh bằng $6 π a^{2} .$ Tính theo a thể tích V của khối nón đã cho.

A. $V = \frac{3 π a^{3} \sqrt{2}}{4}$

B. $V = π a^{3}$

C. $V = \frac{π a^{3} \sqrt{2}}{4}$

D. $V = 3 π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi bán kính đáy là $r \Rightarrow$ độ dài đường sinh là: 2r.

Ta có: $π r .2 r = 6 π a^{2} \Rightarrow r = a \sqrt{3}$

Chiều cao là: $h = \sqrt{{(2 r)}^{2} - r^{2}} = r \sqrt{3} = 3 a$

Thể tích khối nón là: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {(a \sqrt{3})}^{2} .3 a = 3 π a^{3}$

Câu 5:

Tính theo a thể tích của khối lăng trụ đứng $A B C D . A ’ B ’ C ’ D ’$ có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng $60 °$ và cạnh bên AA’ bằng a.

A. $\frac{9}{2} a^{3}$

B. $\frac{1}{2} a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Diện tích đáy là: $S_{A B C D} = a^{2} \sin 120^{\circ} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

Thể tích khối lăng trụ đứng là : $V = A A' . S_{A B C D} = a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Câu 6:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \sqrt{\frac{1 - s inx}{1 + s inx}} .$

A. $D = ℝ \ \{- \frac{π}{2} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ\}$

B. $D = ℝ \ \{- k π; k \in ℤ\}$

C. $D = ℝ \ \{- \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ\}$

D. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ\}$

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện: $\frac{1 - s inx}{1 + s inx} \geq 0 \Leftrightarrow s inx \neq -1 \Leftrightarrow x \neq - \frac{π}{2} \Rightarrow$ TXĐ: $D = ℝ \ \{- \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$

Câu 7:

Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương a và b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 8 a b ?$

A. $\log (a + b) = \frac{1}{2} (1 + \log a + \log b)$

B. $\log (a + b) = 1 + \log a + \log b$

C. $\log (a + b) = \frac{1}{2} (\log a + \log b)$

D. $\log (a + b) = \frac{1}{2} + l o g a + \log b$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$a^{2} + b^{2} = 8 a b \Leftrightarrow {(a + b)}^{2} = 10 a b \Rightarrow \log {(a + b)}^{2} = \log (10 a b) \Leftrightarrow 2 \log (a + b) = 1 + \log a + \log b$

$\Leftrightarrow \log (a + b) = \frac{1}{2} (1 + \log a + \log b) .$

Câu 8:

Cho hình trụ có bán kính đáy băng 5cm và khoảng cách giữa hai đáy là 7cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Tính diện tích S của thiết diện được tạo thành.

A. $S = 55 (c m^{2})$

B. $S = 56 (c m^{2})$

C. $S = 53 (c m^{2})$

D. $S = 46 (c m^{2})$

Xem đáp án

Đáp án B

Thiết diện tạo thành là 1 hình chữ nhật có 1 chiều bằng 7cm.Chiều còn lại là: $2 \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 8 (c m)$

Diện tích thiết diện là: $S = 7.8 = 56 (c m^{2})$

Câu 9:

Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.

A. $V = 144$

B. $V = 576 \sqrt{2}$

C. $V = 576$

D. $V = 144 \sqrt{6}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi chiều cao của hình chóp là $9 + x, x \geq 0$ , cạnh của hình chóp là $a, a \leq 9 \sqrt{2}$

Diện tích đáy của hình chóp là: $V = \frac{1}{3} .2 (81 - x^{2}) (9 + x) = \frac{2}{3} (9 - x) = \frac{2}{3} (9 - x) (9 + x) (9 + x)$

$= \frac{1}{3} (18 - 2 x) (9 + x) (9 + x) = \frac{1}{3} \leq \frac{1}{3} {(\frac{18 - 2 x + 9 + x + 9 + x}{3})}^{3} = \frac{1}{3} {.12}^{3} = 576$

Câu 10:

Cho lăng trụ đứng tam giác $M N P . M ’ N ’ P ’$ có đáy MNP là tam giác đều cạnh a, đường chéo MP’ tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng $60 °$ Tính theo a thể tích của khối lăng trụ $M N P . M ’ N ’ P ’$ .

A. $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{3} a^{3}$

C. $\frac{3}{4} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{4} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $M M' = a \tan 60^{\circ} = a \sqrt{3}; S_{M N P} = \frac{1}{2} a^{2} \sin 60^{\circ} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Thể tích khối lăng trụ là: $V = M M' . S_{M N P} = a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} = \frac{3 a^{3}}{4} .$

Câu 11:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

A. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Vì $A B / / C D$ nên $d (A B; S C) = d (A B; (S C D))$

$= d (A; (S C D)) = 2 d (O; (S C D)) = 2 O H$ , trong đó I là trung điểm của CD và H là hình chiếu vuông góc của O xuống SI.

Ta có: $O I = \frac{a}{2}; S I = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}; S O = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{1}{O I^{2}} = \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} + \frac{1}{{(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{6}{a^{2}} \Rightarrow O H = \frac{a}{\sqrt{6}}$

$\Rightarrow d (A B; S C) = 2. \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Câu 12:

Hàm số $y = \ln (x^{2} + m x + 1)$ xác định với mọi giá trị của x khi

A. $m < 2$

B. $- 2 < m < 2$

C. $[\begin{array}{l} m < - 2 \\ m > 2 \end{array}$

D. m>2

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số xác định với mọi giá trị của x $\Leftrightarrow x^{2} + m x + 1 > 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow Δ = m^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2$

Câu 13:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = x^{3} - 3 x + 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x - 1$

C. $y = x^{3} - 3 x - 1$

D. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 14:

Tìm nghiệm của phương trình ${(7 + 4 \sqrt{3})}^{2 x + 1} = 2 - \sqrt{3}$

A. $x = \frac{1}{4}$

B. $x = - 1 + \log_{7 + 4 \sqrt{3}} (2 - \sqrt{3})$

C. $x = - \frac{3}{4}$

D. $x = \frac{25 - 15 \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

$P T \Leftrightarrow {(2 + \sqrt{3})}^{2 (2 x + 1)} = {(2 + \sqrt{3})}^{- 1} \Leftrightarrow 4 x + 2 = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{4}$

Câu 15:

Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến?

A. $y = {(\frac{1}{2 + \sqrt{5}})}^{x}$

B. $y = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{x}$

C. $y = e^{- x}$

D. $y = {(\frac{1}{\sqrt{5} - 2})}^{x}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 16:

Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được 6 điểm.

A. $1 - 0, 25^{20} .0, 75^{30}$

B. $0, 25^{30} .0, 75^{20}$

C. $0, 25^{20} .0, 75^{30}$

D. $0, 25^{30} .0, 75^{20} C_{50}^{20}$

Xem đáp án

Đáp án D

Để được 6 điểm học sinh đó cần trả lời đúng 30 câu.

Khi đó xác suất sẽ bằng $C_{50}^{30} 0, 25^{30} 0, 75^{20} .$

Câu 17:

Tìm hệ số góc tiếp tuyến k của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{1 - x}$ tại giao điểm của nó với trục hoành.

A. $k = - 3$

B. $k = - \frac{1}{3}$

C. $k = \frac{1}{3}$

D. $k = 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Giao điểm của đồ thị hàm số số với trục hoành là A(-2;0).

Ta có $y' = \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} \Rightarrow k = y' (- 2) = \frac{1}{3}$

Câu 18:

Tính đạo hàm của hàm số $y = {(x^{2} - x + 1)}^{3}$ tại điểm $x = - 1$ .

A. 27

B. -27

C. 81

D. -81

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y' = 3 {(x^{2} - x + 1)}^{2} (2 x - 1) \Rightarrow y (- 1) = - 81$

Câu 19:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác cân $A B = A C = a,$ góc BAC bằng $120 °$ cạnh bên $S A = a \sqrt{3}$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.

A. $\frac{\sqrt{3}}{12} a^{3}$

B. $\frac{3}{4} a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{3}$

D. $\frac{1}{4} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} a^{2} . \sin 120^{\circ} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Thể tích khối chóp S.ABCD là: $V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{4}$

Câu 20:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y = \frac{\sin x + 2 \cos x + 1}{\sin x+ \cos x + 2} .$

A. -2

B. -3

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y = \frac{s inx + 2 \cos x + 1}{s inx + \cos x + 2} \Leftrightarrow (y - 1) s inx + (y - 2) \cos x = 1 - 2 y (1) .$

PT (1) có nghiệm $\Leftrightarrow {(y - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \geq {(1 - 2 y)}^{2} \Leftrightarrow 2 y^{2} + 2 y - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq y \leq 1 \Rightarrow M = 1.$

Câu 21:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ . Tìm mệnh đề đúng.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

D.Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2) \Rightarrow \{\begin{cases} y' > 0 \\ y' < 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 0 \end{array}$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên khoảng (0;2)

Câu 22:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sin^{6} x + c {os}^{6} x + 3 \sin^{2} x c {os}^{2} x .$

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y = \sin^{6} x + \cos^{6} x + 3 \sin^{2} x c {os}^{2} x = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2 x + \frac{3}{4} \sin^{2} 2 x = 1 \Rightarrow y' = 0.$

Câu 23:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{3 - 2 x} .$ Tìm phát biểu đúng về đường tiệm cân của đồ thị hàm số.

A. $x = \frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng

B. $x = 1$ là tiệm cận ngang

C. $x = \frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng

D. $x = 1$ là tiệm cận đứng

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 24:

Tìm nghiệm của phương trình $3^{x} + 3^{x + 1} = 2^{x + 2} .$

A. $x = \log_{2} 3$

B. $x = 0$

C. $x = \frac{2}{3}$

D. $x = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow {4.3}^{x} = {4.2}^{x} \Leftrightarrow 3^{x} = 2^{x} \Leftrightarrow {(\frac{3}{2})}^{x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.$

Câu 25:

Tìm số nghiệm của phương trình $\log_{2} x + \log_{2} (x - 1) = 2.$

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \\ \log_{2} [x (x - 1) = 2] \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 1 \\ x (x - 1) = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 1 \\ x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} \Rightarrow x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \end{cases}$

Câu 26:

Một hình trụ có bán kính đáy là r. Gọi O, O' là tâm của hai đáy với $O O' = 2 r .$ Mặt cầu (S)tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O'. Phát biểu nào dưới đây sai?

A. Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ

B. Diện tích mặt cầu bằng 2/3diện tích toàn hình trụ

C. Thể tích khối cầu bằng 2/3thể tích khối trụ

D. Thể tích khối cầu bằng 3/4 thể tích khối trụ

Xem đáp án

Đáp án D

Bán kính mặt cầu (S)là: $R = r \Rightarrow V_{(S)} = \frac{4}{3} π r^{3} .$ Mà $V_{r} = π r^{2} .2 r \Rightarrow V_{(S)} = \frac{2}{3} V_{r}$ .

Câu 27:

Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng (0;1)

A. $2 x^{3} - 3 x + 4 = 0$

B. ${(x - 1)}^{5} - x^{7} - 2 = 0$

C. $3 x^{4} - 4 x^{2} + 5 = 0$

D. $3 x^{2017} - 8 x + 4 = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $f (x) = V P$ , chỉ có ý D ta có: $f (0) . f (1) < 0$ do đó PT có nghiệm thuộc khoảng (0;1).

Câu 28:

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh 2a.

A. $\frac{2 \sqrt{2}}{3} a^{3}$

B. $2 \sqrt{2} a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{4} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $B H = \frac{2}{3} \sqrt{{(2 a)}^{2} - a^{2}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}; A H = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(\frac{2 a}{\sqrt{3}})}^{2}} = \frac{2 a \sqrt{6}}{3}$

$\begin{array}{l} S_{B C D} = \frac{1}{2} {(2 a)}^{2} \sin 60^{\circ} = a^{2} \sqrt{3} \\ V_{A B C D} = \frac{1}{3} A H . S_{B C D} = \frac{1}{3} . \frac{2 a \sqrt{6}}{3} . a^{2} \sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3} . \end{array}$

Câu 29:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2}$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

A. m<1

B. $0 < m < \sqrt[3]{4}$

C. m>0

D. $0 < m < 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y' = 4 x^{3} - 4 m x = 4 x (x^{2} - m)$ .

Hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt, suy ra $m > 0 (1) .$

Suy ra tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là

$A (0; 0), B (\sqrt{m}; - m^{2}), C (- \sqrt{m}; - m^{2}) \Rightarrow \{\begin{cases} \bar{A B} = (\sqrt{m}; - m^{2}) \\ \bar{A C} = (- \sqrt{m}; - m^{2}) \\ \bar{B C} = (2 \sqrt{m}; 0) \end{cases} .$

Suy ra tam giác ABC cân tại A.

Gọi $H (0; - m^{2})$ là trung điểm của $B C \Rightarrow \bar{A H} = (0; - m^{2}) \Rightarrow A H = m^{2}$ .

Suy ra $S_{A B C} = \frac{1}{2} A H . B C = \frac{1}{2} m^{2} 2 m^{2} = m^{4} < 1 \Leftrightarrow - 1 < m < 1 (2) .$

Từ (1), (2) $\Rightarrow 0 < m < 1.$

Câu 30:

Tìm số nghiệm thuộc đoạn $[2 π; 4 π]$ của phương trình $\frac{\sin 2 x}{\cos x + 1} = 0.$

A. 5

B. 6

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

$P T \Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x + 1 \neq 0 \\ \sin 2 x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x \neq - 1 \\ 2 x = k π \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq π + k 2 π \\ x = k \frac{π}{2} \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k π \end{array} (k \in ℤ) .$

$x \in [2 π; 4 π] \Rightarrow [\begin{array}{l} 2 π \leq k 2 π \leq 4 π \\ 2 π \leq \frac{π}{2} + k π \leq 4 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 1 \leq k \leq 2 \\ \frac{3}{2} \leq k \leq \frac{7}{2} \end{array}$

Suy ra PT có 4 nghiệm thuộc đoạn $[2 π; 4 π] .$

Câu 31:

Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?

A. 345600

B. 518400

C. 725760

D. 103680

Xem đáp án

Đáp án D

Có $3! (3! 4! 5!) = 103680$ cách.

Câu 32:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với $A B = 3 a, B C = 4 a, S A = 12 a$ và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

A. $R = \frac{13 a}{2}$

B. $R = \frac{5 a}{2}$

C. $R = \frac{17 a}{2}$

D. $R = 6 a$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $R_{S A B C D} = \sqrt{\frac{S A^{2}}{4} + {r^{2}}_{d}} = \frac{\sqrt{S A^{2} + A B^{2} + A C^{2}}}{2} = \frac{13 a}{2} .$

Câu 33:

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao $h = 20 c m$ , bán kính đáy $r = 25 c m$ . Mặt phẳng $(α)$ đi qua đỉnh của hình nón cách tâm của đáy 12cm Tính diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng $(α)$

A. $S = 400 (c m^{2})$

B. $S = 406 (c m^{2})$

C. $S = 300 (c m^{2})$

D. $S = 500 (c m^{2})$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\frac{1}{d^{2} (I; (α))} = \frac{1}{d^{2}} + \frac{1}{h^{2}}$ trong đó d là khoảng cách từ tâm của đáy đến giao tuyến của $(α)$ và đáy.

Khi đó $d = 15 \Rightarrow$ độ dài dây cung $a = 2 \sqrt{r^{2} - d^{2}} = 40;$ đường cao thiết diện $= \sqrt{h^{2} + d^{2}} = 25$

Do đó $A = \frac{1}{2} a . h' = \frac{1}{2} .40.25 = 500 c m^{2} .$

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a$ ; mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.

A. $\frac{1}{12} a^{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{12} a^{3}$

D. $\frac{1}{4} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi H là trung điểm của AB suy ra $S H ⊥ A B$

Do $Δ S A B$ vuông cân tại S nên $S H = \frac{A B}{2} = \frac{a}{2}; S_{A B C} = \frac{a^{2}}{2} \Rightarrow V = \frac{a^{3}}{12} .$

Câu 35:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = x (\ln x - 1) .$

A. $y' = \ln x$

B. $y' = 1$

C. $y' = 1 - \frac{1}{x}$

D. $y' = \ln x - 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = \ln x - 1 + x . \frac{1}{x} = \ln x$

Câu 36:

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ cạnh a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC) theo a.

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\frac{1}{d^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A A'^{2}} = \frac{2}{a^{2}} \Rightarrow d = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Câu 37:

Tìm nghiệm của phương trình $\frac{\cos x - \sqrt{3} s inx}{2 \sin x - 1} = 0$

A. $x = \frac{π}{6} + k π; k \in ℤ$

B. $x = \frac{7 π}{6} + k 2 π; k \in ℤ$

C. $x = \frac{7 π}{6} + k π; k \in ℤ$

D. $x = \frac{π}{6} + k 2 π; k \in ℤ$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$P T \Leftrightarrow \{\begin{cases} s inx \neq \frac{1}{2} \\ \sqrt{3} s inx = \cos x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} s inx \neq \frac{1}{2} \\ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \frac{π}{6} + k 2 π \\ x \neq \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{cases} \end{cases}$

Vậy $x = \frac{7 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ .$

Câu 38:

Tìm số tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 10.$

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 10 \\ x = \pm 1 \Rightarrow y = 9 \end{array}$

Vậy có 2 tiếp tuyến song song với trục hoành là $y = 9; y = 10.$

Câu 39:

Cho hàm số $y = |\log_{\frac{1}{2}} x| .$ Tìm khẳng định đúng.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y = [\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} x k h i 0 < x < 1 \\ - \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{2} x k h i x > 1 \end{array}$ . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1)

Câu 40:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x - 8}{x - 2} k h i x \neq 2 \\ 2 m + 1 k h i x = 2 \end{cases} .$ Tìm m để hàm số liên tục tại điểm $x_{0} = 2$ .

A. 3/2

B. 13/2

C. 11/2

D. -1/2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\lim_{x \to 2} y = \lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x^{2} + 2 x + 4) = 12$

Hàm số liên tục tại điểm $x_{0} = 2 \Leftrightarrow 2 m + 1 = 12 \Leftrightarrow m = \frac{11}{2} .$

Câu 41:

Tìm m để đường thẳng $y = 2 m x + m + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ tại hai điểm phân biệt.

A. m>1

B. $m = 0$

C. m<0

D. $m = 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm là: $\frac{2 x - 1}{2 x + 1} - 2 m x + m + 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \neq - \frac{1}{2} \\ g (x) = 4 m x^{2} + 4 m x + m + 2 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ Δ' = 4 m^{2} - 4 m (m + 2) > 0 \\ g (- \frac{1}{2}) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < 0$

Câu 42:

Tìm giá trị thực của tham số m đê hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (m^{2} - 4) x + 3$ đạt cực đại tại $x = 3$ .

A. $m = - 7$

B. $m = 5$

C. $m = - 1$

D. $m = 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 \to y'' = 2 x - 2 m; \forall x \in ℝ .$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} y' (3) = 0 \\ y'' (3) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 3 \\ m^{2} - 6 m + 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = 5$

Câu 43:

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triên của biêu thức ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{40}$ .

A. $C_{40}^{37}$

B. $C_{40}^{31}$

C. $C_{40}^{4}$

D. $C_{40}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét khai triển ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{40} = \sum_{k = 0}^{40} C_{40}^{k} . x^{40 - k} . {(\frac{1}{x^{2}})}^{k} = \sum_{k = 0}^{40} C_{40}^{k} . x^{40 - k} . x^{- 2 k} = \sum_{k = 0}^{40} C_{40}^{k} . x^{40 - 3 k} .$

Hệ số của số hạng $x^{31}$ ứng với $31 = 40 - 3 \Leftrightarrow k = 3.$ Vậy hệ số cần tìm là $C_{40}^{3} = 9880$

Câu 44:

Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó có được gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 9

B. 10

C. 7

D. 8

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $T = A {(1 + 8, 4 %)}^{n}$ mà $T = 2 A$ suy ra $1, 084^{n} = 2 \Rightarrow n = \log_{1, 084} 2 \approx 8, 6$ năm

Câu 45:

Tìm tập nghiệm S của phương trình $\log |x| = |\log x| .$

A. $S = (1; + \infty)$

B. $S = (0; + \infty)$

C. $S = \{1; 10\}$

D. $S = [1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\log |x| = |\log x| \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ \log x = |\log x| \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \log x \geq 0 \\ [\begin{array}{l} \log x = \log x \\ \log x = - \log x \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ \log x = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x = 10 \end{array}$

Câu 46:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ trên đoạn [-1;2].

A. 11

B. 15

C. 6

D. 10

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ trên đoạn $[- 1; 2]$ , có $f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

Phương trình $f' (x) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 \leq x \leq 2 \\ x^{2} + x - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1$

Tính giá trị $f (- 1) = 15; f (1) = - 5; f (2) = 6.$ Vậy $\underset{[- 1; 2]}{m ax} f (- 1) = 15$

Câu 47:

Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{6^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}} {.3}^{1 + \sqrt{5}}} .$

A. 1

B. $6^{- \sqrt{5}}$

C. 18

D. 9

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $A = \frac{6^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}} {.3}^{1 + \sqrt{5}}} = \frac{2^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}}} . \frac{3^{3 + \sqrt{5}}}{3^{1 + \sqrt{5}}} = 2^{1} {.3}^{2} = 18.$

Câu 48:

Chi đoàn lớp 12A có 20 đoàn viên trong đó có 12 đoàn viên nam và 8 đoàn viên nữ. Tính xác suất khi chọn 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên nữ.

A. $\frac{271}{285}$

B. $\frac{230}{285}$

C. $\frac{243}{285}$

D. $\frac{251}{285}$

Xem đáp án

Đáp án B

Chọn 3 đoàn viên trong 20 đoàn viên có $C_{20}^{3}$ cách $\Rightarrow n (Ω) = C_{20}^{3} .$

Gọi X là biến cố “chọn được 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên nữ”

TH1: Chọn được 2 nam và 1 nữ => có $C_{12}^{2} . C_{8}^{1} = 528$ cách.

TH2: Chọn được 1 nam và 2 nữ => có $C_{12}^{1} . C_{8}^{2} = 336$ cách.

TH3: Chọn được 0 nam và 3 nữ => có $C_{12}^{0} . C_{8}^{3} = 56$ cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến có X là $n = 528 + 336 + 56 = 920.$

Vậy xác suất cần tính là: $P = \frac{n (X)}{n (Ω)} = \frac{920}{C_{20}^{3}} = \frac{46}{57} .$

Câu 49:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $2 \sin^{2} x - (2 m + 1) \sin x + 2 m - 1 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $(- \frac{π}{2}; 0)$ .

A. $- 1 < m < 0$

B. $0 < m < 1$

C. $1 < m < 2$

D. $- \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $t = \sin x$ , vì $x \in (- \frac{π}{2}; 0) \Rightarrow t \in (- 1; 0)$ .Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

$2 t^{2} - (2 m + t) t + 2 m - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} - t - 1 - 2 m (t - 1) = 0 \Leftrightarrow (t - 1) (2 t + 1 - 2 m) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2 m - 1}{2} .$

Mặt khác $t \in (- 1; 0) \to - 1 < \frac{2 m - 1}{2} < 0 \Leftrightarrow - 2 < 2 m - 1 < 0 \Leftrightarrow m \in (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) .$

Câu 50:

Cho hình hộp $A B C D . A' B' C' D' .$ Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện $A' C' B D$ và khối hộp đã cho.

A. 1/3

B. 1/6

C. 1/2

D. 1/4

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi V là thể tích của khối hộp $A B C D . A' B' C' D'$ . Khi đó

$V_{A B C D . A' B' C' D'} = V_{A' . A B C D} + V_{C . B C D} + V_{D . A' C' D'} + V_{B . A' B' C'} + V_{A . C' B D}$

$= \frac{V}{6} + \frac{V}{6} + \frac{V}{6} + \frac{V}{6} + V_{A . C' B D} = \frac{2 V}{3} + V_{A' . C' B D} \to V_{A' . C' B D} = \frac{V}{3}$

Vậy tỉ số cần tính là $\frac{V_{A' C' B D}}{V_{A B C D . A' B' C' D'}} = \frac{1}{3} .$