50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 15)

Câu 1:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Độ dài cạnh bên của hình chóp bằng bao nhiêu để góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60 °$ ?

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

B. a/6

C. $\frac{a \sqrt{3}}{6}$

D. 2a/3

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $A H = \frac{2}{3} \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$S A = \frac{A H}{\cos 60^{0}} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Câu 2:

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ¡

A. $y = x^{4} + 2 x^{2} + 3$

B. $y = \frac{x}{x + 2}$

C. $y = x^{3} + 3 x + 2$

D. $y = 2 x^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Xét hàm số $y = x^{3} + 3 x + 2$ Ta có: $y' = 3 x^{2} + 3 > 0 \forall x \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên R

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAB)và (SAD)cùng vuông góc với đáy. Biết diện tích đáy bằng m, thể tích V của khối chóp S.ABCD là:

A. $V = \frac{1}{3} m S A$

B. $V = \frac{1}{3} m S B$

C. $V = \frac{1}{3} m S C$

D. $V = \frac{1}{3} m S D$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) \\ (S A D) ⊥ (A B C D) \end{cases} \Rightarrow (S A B) \cap (S A D) = S A ⊥ (A B C D)$

Thể tích của khối chóp S.ABCD là: $V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} m S A$

Câu 4:

Đồ thị hàm số $y = x^{4} - 5 x^{2} - 1$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm là: $x^{4} - 5 x^{2} - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = \frac{5 + \sqrt{29}}{2} \\ x^{2} = \frac{5 - \sqrt{29}}{2} < 0 (L) \end{array} \Leftrightarrow \pm \sqrt{\frac{5 + \sqrt{29}}{2}}$

Câu 5:

Cho a là số thực dương, khác 1. Khi đó $\sqrt[4]{a^{\frac{2}{3}}}$ bằng:

A. $a^{\frac{8}{3}}$

B. $\sqrt[6]{a}$

C. $\sqrt[3]{a^{2}}$

D. $a^{\frac{3}{8}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\sqrt[4]{a^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{2}{3} . \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{6}}$

Câu 6:

Cho hàm số $f (x) = \sin 2 x$ . Tính $f' (x)$

A. $f' (x) = 2 \sin 2 x$

B. $f' (x) = \cos 2 x$

C. $f' (x) = 2 \cos 2 x$

D. $f' (x) = - \frac{1}{2} \cos 2 x$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 7:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$ . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = 2$ là:

A. 6

B. 0

C. -6

D. -2

Xem đáp án

Đáp án B

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = 2$ là $y' (2) = 0$

Câu 8:

Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 4, diện tích xung quanh bằng $48 π$ . Thể tích của hình trụ đó bằng:

A. $24 π$

B. $96 π$

C. $32 π$

D. $72 π$

Xem đáp án

Đáp án B

Độ dại đường cao là: $\frac{48 π}{2 π .4} = 6$ Thể tích của hình trụ là : $V = π {.4}^{2} .6 = 96 π$

Câu 9:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 1$ trên đoạn $[0; 2018]$ bằng:

A. -5

B. 0

C. -5/3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = x^{2} + 4 x - 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 5 \notin [0; 2018] \end{array}$ Vì hàm số nghịch biến trên (0;1) và đồng biến trên (1;2018) nên $y_{\min} = y (1) = - \frac{5}{3}$

Câu 10:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A. $(1; + \infty)$

B. (0;3)

C. $(- \infty; + \infty)$

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 11:

Hệ phương trình $\{\begin{cases} 2^{x + y} = 8 \\ 2^{x} + 2^{y} = 5 \end{cases}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

HPT $\Leftrightarrow \{\begin{cases} P = (2^{x}) (2^{y}) = 8 \\ S = 2^{x} + 2^{y} = 5 \end{cases} \Rightarrow S^{2} - 4 P = - 7 < 0 \Rightarrow$ Hệ PT vô nghiệm

Câu 12:

Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC đôi một vuông góc, biết $O A = a, O B = 2 a, O C = a \sqrt{3}$ Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC)

A. $\frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

B. $\frac{a}{\sqrt{9}}$

C. $\frac{a \sqrt{17}}{\sqrt{19}}$

D. $\frac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{19}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi H là hình chiếu của O xuống (ABC)

Ta có: $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(2 a)}^{2}} + \frac{1}{{(a \sqrt{3})}^{2}} = \frac{19}{12 a^{2}} \Rightarrow O H = \frac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{19}}$

Câu 13:

Cho hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 1$ . Điểm cực tiểu của hàm số là

A. $x = 1$

B. $(0; - 1)$

C. $x = - 1$

D. $x = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = - 4 x^{3} + 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}; y " = - 12 x^{2} + 4$

Câu 14:

Một người gửi 75 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất $5, 4 %$ một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi sau 6 năm thì người đó nhận về số tiền là bao nhiêu kể cả gốc và lãi? (làm tròn đến nghìn đồng)

A. $97.860.000$

B. $150.260.000$

C. $102.826.000$

D. $120.628.000$

Xem đáp án

Đáp án C

Số tiền nhận được là: ${75.10}^{6} {(1 + 5, 4 %)}^{6} \approx 102.826.000$ đồng

Câu 15:

Cho a là số thực dương khác 1. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $\log_{a} 2. \log_{2} a = 1$

B. $\log_{a} 1 = 0$

C. $\log_{a} 2 = \frac{1}{\log_{a} 2}$

D. $\log_{a} a = 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\log_{a} 2 = \frac{1}{\log_{2} a}$

Câu 16:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Khi quay tam giác (kể cả các điểm trong) quanh cạnh AC ta được:

A. Khối nón

B. Mặt nón

C. Khối trụ

D. Khối cầu

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. I là trung điểm SC

B. I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD

C. I là giao điểm của AC và BD

D. I là trung điểm SA.

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 18:

Một vật chuyển động theo quy luật $s = - \frac{1}{2} t^{2} + 20 t$ với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 8$ giây bằng bao nhiêu?

A. 40m/s

B. 152m/s

C. 22m/s

D. 12m/s

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $v (t) = s' (t) = - t + 20 \Rightarrow v (8) = 12 (m / s)$

Câu 19:

Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC đôi một vuông góc và $O A = a, O B = b, O C = c$ . Tính thể tích khối tứ diện OABC.

A. abc

B. abc/3

C. abc/6

D. abc/2

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 20:

Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 2}{x - 1}$ thỏa mãn tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó có hệ số góc bằng 2018?

A. 1

B. 0

C. vô số

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thỏa mãn đề bài

Ta có: $y' = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} \Rightarrow y' (x_{0}) = - \frac{1}{{(x_{0} - 1)}^{2}} = k_{d}$ là hệ số góc của d

Suy ra: $- \frac{1}{{(x_{0} - 1)}^{2}} = 2018 \Rightarrow x_{0} \in \emptyset$

Suy ra không có điểm nào thuộc đồ thị thỏa mãn đề bài

Câu 21:

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ có diện tích các mặt $A B C D, B C C' B', C D D' C'$ lần lượt là $2 a^{2}, 3 a^{2}, 6 a^{2}$ . Tính thể tích khối hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ .

A. $36 a^{3}$

B. $6 a^{3}$

C. $36 a^{6}$

D. $6 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi độ dài 3 chiều của hình hộp lần lượt là x;y;z . ta có: $\{\begin{cases} x y = 2 a^{2} \\ y z = 3 a^{2} \Rightarrow x y z = 6 a^{3} \\ z x = 6 a^{2} \end{cases}$

Thể tích khối tứ diện là: $V = x y z = 6 a^{3}$

Câu 22:

Đồ thị hình bên dưới là của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = 2 x^{3} - x^{2} - 3$

B. $y = 2 x^{4} - 4 x^{2} - 3$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

D. $y = - 2 x^{4} + 4 x^{2} - 3$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 23:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = (x - 1) (3 - x)$ . Điểm cực đại của hàm số $y = f (x)$ là:

A. $x = 1$

B. $x = 2$

C. $x = 3$

D. $x = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $f' (x) = (x - 1) (3 - x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$

$f' (x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x = 3$ , suy ra điểm cực đại của hàm số $y = f (x)$ là $x = 3$

Câu 24:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f' (1)$

A. -8/27

B. 2/9

C. 8/27

D. - 4/27

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f' (x) = - \frac{2}{{(2 x - 1)}^{2}} \Rightarrow f " (x) = \frac{8}{{(2 x - 1)}^{3}} \Rightarrow f " (- 1) = - \frac{8}{27}$

Câu 25:

Nghiệm của phương trình $\log_{2017} (2018 x) = 0$ là

A. $x = \frac{1}{2018}$

B. $x = 2018$

C. $x = 2017^{2018}$

D. $x = 1$

Xem đáp án

Đáp án A

PT $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2018 x > 0 \\ 2018 x = 1 \end{cases} \Rightarrow 2018 x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2018}$

Câu 26:

Cho a là số thực dương khác 1. Biểu thức $P = \log_{a} 2018 + \log_{\sqrt{a}} 2018 + ... + \log_{\sqrt[2018]{a}} 2018$ bằng

A. $1009.2019. \log_{a} 2018$

B. $2018.2019. \log_{a} 2018$

C. $2018. \log_{a} 2018$

D. $2019. \log_{a} 2018$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $P = \log_{a} 2018 + 2 \log_{a} 2018 + ... + 2018 \log_{a} 2018 = (1 + 2 + ... + 2018) \log_{a} 2018$

$= 2018 \frac{2018 + 1}{2} \log_{a} 2018 = 1009.2019. \log_{a} 2018$

Câu 27:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $60^{0}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

C. $\frac{a^{3}}{6}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $2 B I^{2} = a^{2} \Rightarrow B I = \frac{a}{\sqrt{2}}; S I = B I \tan 60^{0} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Thể tích khối chóp S.ABCD là

$V = \frac{1}{3} S I . S_{A B C D} = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{2}} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

Câu 28:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty, + \infty)$

B. . $(1; + \infty)$

C. $(- 1; 1)$

D. $(- \infty; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow y' < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1$

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)

Câu 29:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại A, $A B = A A' = a, A C = 2 a$ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

A. $\frac{a^{3}}{3}$

B. $\frac{2 a^{3}}{3}$

C. $a^{3}$

D. $2 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Thể tích khối lăng trụ là: $V = A A' . S_{A B C} = a . \frac{1}{2} a .2 a = a^{3}$

Câu 30:

Tập nghiệm của phương trình $4^{x - x^{2}} = {(\frac{1}{2})}^{x}$ là

A. $\{0; \frac{2}{3}\}$

B. $\{0; \frac{1}{2}\}$

C. $\{0; 2\}$

D. $\{0; \frac{3}{2}\}$

Xem đáp án

Đáp án D

PT $\Leftrightarrow 2^{2 x - 2 x^{2}} = 2^{- x} \Leftrightarrow 2 x - 2 x^{2} = - x \Leftrightarrow 2 x^{2} - 3 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{3}{2} \end{array} \Rightarrow S = \{0; \frac{3}{2}\}$

Câu 31:

Tìm tập xác định của hàm số $y = {(3 x - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$

A. $D = ℝ$

B. $D = (- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$

C. $D = ℝ \ \{0; 3\}$

D. $D = (0; 3)$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số đã cho xác định khi $3 x - x^{3} > 0 \Leftrightarrow 3 > x > 0$

Câu 32:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 4}{x + 2}$

A. $x = 2$

B. $y = 2$

C. $x = - 2$

D. $y = - 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 33:

Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{x + 1} (C)$ . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung là

A. $y = - x + 2$

B. $y = - x + 1$

C. $y = x - 2$

D. $y = - x - 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = \frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}}; (C) \cap O y = (0; 2) \Rightarrow y' (0) = - 1$

Do đó PTTT là: $y = - x + 2$

Câu 34:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng 10. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(A D D' A')$ và $(B C C' B')$

A. $\sqrt{10}$

B. 100

C. 10

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, $S A = a \sqrt{3}$ . Tính thể tích V của khối chóp S,ABC

A. $V = \frac{a^{3}}{2}$

B. $V = \frac{3 a^{3}}{4}$

C. $V = \frac{a^{3}}{12}$

D. $V = \frac{a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{4}$

Câu 36:

Cho phương trình $4^{x} - m {.2}^{x + 1} + m + 2 = 0$ , m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho phương trình trên có hai nghiệm dương phân biệt. Biết S là một khoảng có dạng (a;b) tính a-b

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = 2^{x} > 0 \Rightarrow t^{2} - 2 m t + m + 2 = 0$

ĐK PT có 2 nghiệm phân biệt là: $\{\begin{cases} Δ' = m^{2} - m - 2 > 0 \\ S = 2 m > 0 \\ P = m + 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > 2$

Khi đó: $\{\begin{cases} 2^{x_{1}} = t_{1} \\ 2^{x_{2}} = t_{2} \end{cases} \Rightarrow x_{1} = \log_{2} t_{1}; x_{2} = \log_{2} t_{2}$

Để $x_{1}; x_{2} > 0 \Leftrightarrow t_{1} > 1; t_{2} > 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} + t_{2} > 2 \\ (t_{1} - 1) (t_{2} - 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m > 2 \\ m + 2 - 2 m + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < m < 3$

Vậy $m \in (2; 3)$

Câu 37:

Cho a;b là hai số thực dương thỏa mãn $\log_{5} (\frac{4 a + 2 b + 5}{a + b}) = a + 3 b - 4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$

A. 1/2

B. 5/2

C. 3/2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\log_{5} (\frac{4 a + 2 b + 5}{a + b}) = a + 3 b - 4$

$\Leftrightarrow \log_{5} (4 a + 2 b + 5) + (4 a + 2 b + 5) = \log_{5} (5 a + 5 b) + 5 a + 5 b$

Xét hàm số $f (t) = \log_{5} t + t (t > 0) \Rightarrow f (t)$ đồng biến trên $(0; + \infty)$

Do đó $f (4 a + 2 b + 5) = f (5 a + 5 b) \Leftrightarrow 4 a + 2 b + 5 = 5 a + 5 b$

$\Leftrightarrow a + 3 b = 5 \Rightarrow T = {(5 - 3 b)}^{2} + b^{2} = 10 b^{2} - 30 b + 25 = 10 {(b - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{5}{2} \geq \frac{5}{2}$

Câu 38:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của $A B, B C, C' D'$ và DD'. Tính thể tích khối tứ diện MNPQ

A. 3/8

B. 1/8

C. 1/12

D. 1/24

Xem đáp án

Đáp án C

Dựng hình như hình vẽ

Ta có: $V_{M N P Q} = \frac{1}{2} V_{P . M N E} = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} .1. S_{M N E}$

Do $M N / / A C; M E / / B D \Rightarrow M N ⊥ M E; M N = \frac{\sqrt{2}}{2}; M E = \sqrt{2}$

Do đó $S_{M N E} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{M N P Q} = \frac{1}{12}$

(ngoài ra các em có thể gắn các hệ trục tọa độ)

Câu 39:

Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi M;N;P;Q lần lượt là trọng tâm tam giác $A B C, A C D, A B D$ và BCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng:

A. 4V/9

B. V/27

C. V/9

D. 4V/27

Xem đáp án

Đáp án B

Vé hình ta thấy khối tứ diện MNPQ đồng dạng với tứ diệnABCD theo tỷ số $k = \frac{1}{3}$

Do đó $\frac{V_{M N P Q}}{V_{A B C D}} = {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{27}$

Câu 40:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - m x + 2$ , m là tham số. Biết hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 10 (x_{1} + x_{2})$

A. -1

B. 1

C. -18

D. -22

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $f' (x) = x^{2} - 2 (m + 1) x - 2 m + 1$

Hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow Δ' = {(m + 1)}^{2} + 8 m - 4 = m^{2} + 12 m - 3 > 0 (*)$

Khi đó gọi $x_{1}; x_{2}$ là hoành độ các điểm cực trị ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 \\ x_{1} x_{2} = - 2 m + 1 \end{cases}$

Khi đó: $T = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 10 (x_{1} + x_{2}) - 2 x_{1} x_{2} = {(2 m + 2)}^{2} - 10 (2 m + 2) + 4 m - 2$

$\Leftrightarrow T = 4 m^{2} - 8 m - 18 = 4 {(m - 1)}^{2} - 22 \geq - 22$ . dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m = 1 (t / m *)$

Câu 41:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - m x + 2$ với m là tham số. Biết đồ thị hàm số $y = f (x)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ là a, b, c.Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{1}{f' (a)} + \frac{1}{f' (b)} + \frac{1}{f' (c)}$

A. 0

B. 1/3

C. $29 - 3 m$

D. 3- m

Xem đáp án

Đáp án A

Vì a, b, c là 3 nghiệm của $f (x) = 0 \Rightarrow f (x) = (x - a) (x - b) (x - c) (*)$

Đạo hàm 2 vế của (*), ta được $f' (x) = (x - a) (x - b) + (x - b) (x - c) + (x - c) (x - a)$

$\Rightarrow \{\begin{cases} f' (a) = (a - b) (a - c) \\ f' (b) = (b - c) (b - a) \\ f' (c) = (c - a) (c - b) \end{cases} \Rightarrow P = \frac{1}{(a - b) (a - c)} + \frac{1}{(b - c) (b - a)} + \frac{1}{(c - a) (c - b)} = 0$

Câu 42:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình $\frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1} \geq m$ nghiệm đúng với mọi $x \in [0; 1]$

A. $m \geq 3$

B. $m \leq \frac{7}{2}$

C. $m \geq \frac{7}{2}$

D. $m \leq 3$

Xem đáp án

Đáp án D

Để bất phương trình $m \leq f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1}; \forall x \in [0; 1] \Leftrightarrow m \leq \min_{[0; 1]} f (x)$

Xét hàm số $f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1}$ trên $[0; 1]$ $\Rightarrow \min_{[0; 1]} f (x) = 3$ . Vậy $m \leq 3$

Câu 43:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết $A A = A B = A C = a$ . Tính thể tích khối lăng trụ $A B C . A' B' C'$

A. $\frac{3 a^{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta thấy $A' . A B C$ là tứ diện đều cạnh $a \to V_{A' . A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Vậy thể tích khối lăng trụ $A B C . A' B' C'$ là $V = 3 \times V_{A' . A B C} = 3. \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

Câu 44:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x (x - 16)}$ là

A. 1

B. 2

C. 0

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Tập xác định của hàm số không chứa $\infty$ nên ĐTHS không có tiệm cận ngang

Ta có $\underset{x \to 0}{\lim y} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x (x - 16)} = \infty \Rightarrow x = 0$ là tiệm cận đứng của ĐTHS

Câu 45:

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, (S) là mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD, M là điểm thay đổi trên mặt cầu (S). Tính tổng $T = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}$ .

A. $\frac{3 a^{2}}{8}$

B. $a^{2}$

C. $4 a^{2}$

D. $2 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Với tứ diện đều ABCD thì mặt cầu (S) là mặt cầu có tâm trùng với tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và là trọng tâm của tứ diện đều cạnh a, đồng thời có bán kính $R = \frac{a \sqrt{2}}{4}$

Gọi G là trọng tâm của tứ diện $\Rightarrow \bar{G A} + \bar{G B} + \bar{G C} + \bar{G D} = \bar{0}$

Ta có:

$T = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2} = {(\bar{M G} + \bar{G A})}^{2} + {(\bar{M G} + \bar{G B})}^{2} + {(\bar{M G} + \bar{G C})}^{2} + {(\bar{M G} + \bar{G D})}^{2}$

$= 4 M G^{2} + 2 \bar{M G} (\underset{0}{\underset{⏟}{\bar{G A} + \bar{G B} + \bar{G C} + \bar{G D}}}) + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + G D^{2} = 4 M G^{2} + 4 G A^{2}$

$= 4 {(\frac{a \sqrt{2}}{4})}^{2} + 4 {(\frac{a \sqrt{6}}{4})}^{2} = 2 a^{2}$ . Vậy $T = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2} = 2 a^{2}$

Câu 46:

Cho đồ thị hàm số $y = e^{- x^{2}}$ như hình vẽ, ABCD là hình chữ nhật thay đổi sao cho B,C luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho và A,D nằm trên trục hoành. Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật ABCD

A. $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}}$

B. 2/e

C. $\frac{\sqrt{2}}{e}$

D. $\frac{2}{\sqrt{e}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Theo hình vẽ , gọi $D (t; 0), A (- t; 0)$ và $C (t; e^{- t^{2}}), B (- t; e^{- t^{2}})$ với t>0

Suy ra $\bar{A B} = (0; e^{- t^{2}}) \Rightarrow A B = e^{- t^{2}}$ và $B C = 2 t \to S_{A B C D} = A B . B C = 2 t . e^{- t^{2}}$

Xét hàm số $f (t) = \frac{t}{e^{t^{2}}}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ , có $f' (t) = (1 - 2 t^{2}) e^{- t^{2}}$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số $f (t)$ là $\max_{(0; + \infty)} f (t) = \frac{1}{\sqrt{2 e}}$ . Vậy $S_{\max} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}}$

Câu 47:

Cho hình chóp S,ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

B. a

C. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

D. a/2

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi h là trung điểm của $A B \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

Kẻ $H K ⊥ S A (K \in S A) \Rightarrow H K ⊥ (S A D) \Rightarrow d (H; (S A D)) = H K$

Vì $A D / / B C \Rightarrow B C / / m p (S A D) \Rightarrow d (S A; B C) = d (B C; (S A D))$

$= d (B; (S A D)) = 2 \times d (H; (S A D)) = 2 H K$

Tam giác SAH vuông tại H, có $H K = \frac{S H . H A}{\sqrt{S H^{2} + H A^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

Vậy $d (S A; B C) = 2 H K = 2. \frac{a \sqrt{3}}{4} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Câu 48:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ

Hỏi phương trình $|f (x + 2017) - 2018| = 2019$ có tất cả bao nhiêu nghiệm

A. 6

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Chú ý: Cho (C) là đồ thị của hàm số $y = f (x)$ và p>0 , ta có

Tịnh tiến (C)sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số $y = f (x + p)$

Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số $y = f (x - p)$

Ta có

$|f (x + 2017) - 2018| - 2019 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x + 2017) - 2018 = 2019 \\ f (x + 2017) - 2018 = - 2019 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x + 2017) = 4037 (1) \\ f (x + 2017) = - 1 (2) \end{array}$

Dựa vào chú ý và BBT, đồ thị hàm số $y = f (x + 2017)$ bản chất chính là đồ thị hàm số $y = f (x)$ dịch chuyển theo trục Ox, do đó phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt

Câu 49:

Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích của khối cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính $\frac{V_{1}}{V_{2}}$

A. 4

B. 2

C. 8

D. 16

Xem đáp án

Đáp án C

Xét thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều ABC cạnh a

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối nón là bán kính đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C \Rightarrow R = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối nón là bán kính đường tròn nội tiếp $Δ A B C \Rightarrow r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Vậy tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}} = R^{3} : r^{3} = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} : {(\frac{\sqrt{3}}{6})}^{3} = 2^{3} = 8$

Câu 50:

Cho hàm số $y = \sqrt{\log_{2} (\ln x)}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = e$

B. Tập xác định của hàm số là $[1; + \infty)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;e)

D. hàm số đồng biến trên khoảng $(e; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = \sqrt{\log_{2} (\ln x)}$ xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0; \ln x > 0 \\ \log_{2} (\ln x) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \ln x \geq 1 \Leftrightarrow x \geq e$

Ta có $y' = \frac{(\log_{2} (\ln x))'}{2 \sqrt{\log_{2} (\ln x)}} = \frac{1}{2 \ln 2} . \frac{1}{x . \ln x . \sqrt{\log_{2} (\ln x)}} > 0; \forall x > e$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(e; + \infty)$