50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 11)

Câu 1:

Cho a, b, c với a, b là các số thực dương khác 1;c>0 Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\log_{a} b . \log_{b} a = 1$

B. $\log_{a} c = \frac{\log_{b} c}{\log_{b} a}$

C. $\log_{a} c = \frac{1}{\log_{c} a}$

D. $\log_{a} c = \log_{a} b . \log_{b} c$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 2:

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A. $\int \sin x d x = C - \cos x$

B. $\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C$

C. $\int x^{3} d x = \frac{x^{4} + C}{4}$

D. $\int 2 e^{x} d x = 2 (e^{x} + C)$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 3:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = sin x; y= cos x và các đường thẳng $x = 0, x = π$ bằng

A. $3 \sqrt{2}$

B. $\sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{2}$

D. - $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Giải phương trình: $s inx = \cos x \Rightarrow x = \frac{π}{4}$ (vì $0 \leq x \leq π$ )

$S = \int_{0}^{π} |s inx - \cos x| d x = 2 \sqrt{2}$

Câu 4:

Tổng S các nghiệm của phương trình: $2 c {os}^{2} 2 x + 5 c os 2 x - 3 = 0$ trong khoảng $(0; 2 π)$ là

A. $S = 5 π$

B. $S = \frac{11 π}{6}$

C. $S = 4 π$

D. $S = \frac{7 π}{6}$

Xem đáp án

Đáp án C

$2 c {os}^{2} 2 x + 5 c os 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow c os 2 x = \frac{1}{2};$ hoặc $c os 2 x = - 3 (l o a i), c os 2 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k π .$

Do $x \in (0; 2 π)$ . Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0; 2 π)$ là: $S = \frac{π}{6} + \frac{7 π}{6} + \frac{5 π}{6} + \frac{11 π}{6} = 4 π$

Câu 5:

Phương trình $5^{x^{2} - 3 x + 2} = 3^{x - 2}$ có 1 nghiệm dạng $x = \log_{a} b$ với a, b là các số nguyên dương lớn hơn 4 và nhỏ hơn 16. Khi đó $a + 2 b$ bằng

A. 35

B. 30

C. 40

D. 25

Xem đáp án

Đáp án A

$5^{x^{2} - 3 x + 2} = 3^{x - 2} \Leftrightarrow (x - 2) (x - 1) = (x - 2) \log_{5} 3 \Leftrightarrow x = 2; x = \log_{5} 15 \Rightarrow a = 5; b = 15 \Rightarrow a + 2 b = 35.$

Câu 6:

Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy là cấp số cộng?

a) Dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = 4 n$ b) Dãy số $(v_{n})$ với $v_{n} = 2 n^{2} + 1$

c) Dãy số $(w_{n})$ với $w_{n} = \frac{n}{3} - 7$ d) Dãy số $(t_{n})$ với $t_{n} = \sqrt{5} - 5 n$

A. 4

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

ĐÁP ÁN D

Câu 7:

Tìm tập hợp tất cả các nghiệm thực của bất phương trình ${(\frac{9}{7})}^{3 x - 2 x^{2}} \geq \frac{9}{7} .$

A. $x \in [\frac{1}{2}; 1]$

B. $x \in (\frac{1}{2}; 1)$

C. $x \in (- \infty; \frac{1}{2}] \cup [1; + \infty)$

D. $x \in (- \infty; \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

${(\frac{9}{7})}^{3 x - 2 x^{2}} \geq \frac{9}{7} \Leftrightarrow 3 x - 2 x^{2} \geq 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 3 x + 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq x \leq 1$

Câu 8:

Cho hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x - 3} .$ Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0;2] lần lượt là M và m. Khi đó $m + M$ có giá trị là

A. 4

B. -14/3

C. 14/3

D. 3/5

Xem đáp án

Đáp án B

$y' = \frac{- 8}{{(x - 3)}^{2}} < 0; M = f (0) = \frac{1}{3}; m = f (2) = - 5.$ Vậy $M + m = \frac{14}{3}$ .

Câu 9:

Cho hàm số f(x) có tính chất $f' (x) \geq 0 \forall x \in (0; 3)$ và $f' (x) = 0 \forall x \in (1; 2)$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng (0;3)

B. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng (0;1)

C. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng (2;3)

D. Hàm số $f (x)$ là hàm hằng ( tức là không đổi) trên khoảng (1;2)

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 10:

Trong không gian cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Đường thẳng c cắt cả hai đường a và b. Có bao nhiêu mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

(I) a, b, c luôn đồng phẳng

(II) a, b đồng phẳng

(III) a, c đồng phẳng

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và $S A = S B = S C = a .$ Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa 2 đường thẳng SM và BC.

A. $30 °$

B. $60 °$

C. $90 °$

D. $120 °$

Xem đáp án

Đáp án B

$c os (S M; B C) = |c os (\vec{S M}; \vec{B C})| = \frac{|\vec{S M} . \vec{B C}|}{S M . B C},$ ta có $S M = \frac{a \sqrt{2}}{2}; B C = a \sqrt{2};$

$\vec{S M} . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{S B} + \vec{S A}) (\vec{S C} - \vec{S B}) = - \frac{1}{2} S B^{2} = - \frac{1}{2} a^{2}; c os (\hat{S M; B C}) = \frac{1}{2} \Rightarrow (\hat{S M; B C}) = 60^{\circ}$

Câu 12:

Số cách chia 8 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho có một người được 2 đồ vật và 2 người còn lại mỗi người được 3 đồ vật là

A. 1680

B. 840

C. 3360

D. 560

Xem đáp án

Đáp án A

Có $C_{3}^{1}$ cách chọn người được 2 đồ vật. Có $C_{8}^{2}$ cách chọn đồ vật đưa cho người đó

Có $C_{6}^{3}$ cách đưa đồ vật cho 2 người còn lại mà mỗi người 3 đồ vật.

Vậy có $C_{3}^{1} C_{8}^{2} C_{6}^{3} = 1680$ cách chọn.

Câu 13:

Trong không gian Oxyz cho $\vec{a} (1; 2; 1), \vec{b} (- 1; 1; 2), \vec{c} (x; 3 x; x + 2) .$ Nếu 3 véc tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng thì x bằng

A. -1

B. 1

C. -2

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng khi $[\vec{a}; \vec{b}] \vec{c} = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Câu 14:

Với x là số thực tùy ý xét các mệnh đề sau

$1) x^{n} = \underset{n t h u a s o}{\underset{⏟}{x . x ... x}} (n \in ℕ, n \geq 1)$ $2) {(2 x - 1)}^{0} = 1$

$3) {(4 x + 1)}^{- 2} = \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}}$ $4) {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x - 1} + \sqrt{5 - x} = 2$

Số mệnh đề đúng:

A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

$x^{n} = \underset{n s o}{\underset{⏟}{x . x .... x}} (n \geq 1)$ đúng; ${(2 x - 1)}^{0} = 1$ sai khi $x = \frac{1}{2}$

${(4 x + 1)}^{- 2} = \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}}$ sai khi $x = \frac{- 1}{4}; {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x - 1} + \sqrt{5 - x} = 2$ Sai: ví dụ $x = 1$ là nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{x - 1} + \sqrt{5 - x} = 2$ nhưng không là nghiệm của PT ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} = 2.$

Câu 15:

Cho tứ diện ABCD các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Không thể kết luận được điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD trong trường hợp

A. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$

B. $4 \vec{P G} = \vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D}$ với P là điểm bất kỳ

C. $G M = G N$

D. $\vec{G M} + \vec{G N} = \vec{0}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 16:

Cho hàm số $y = \frac{1}{x} .$ Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $y'' . y^{3} = 2$

B. $y'' y + 2 {(y')}^{2} = 0$

C. $y'' y = 2 {(y')}^{2}$

D. $y'' y^{3} + 2 = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

$y' = - \frac{1}{x^{2}}; y'' = \frac{2}{x^{3}} .$ Vậy: $y'' y = 2 {(y')}^{2}$

Câu 17:

Đây là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$

B. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

C. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 2$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 18:

Trong không gian Oxyz cho $\vec{a}, \vec{b}$ tạo với nhau 1 góc $120 °$ và $|\vec{a}| = 3; |\vec{b}| = 5.$ Tìm $T = |\vec{a} - \vec{b}| .$

A. 5

B. 6

C. 7

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

$T^{2} = {\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} = 9 + 25 - 2.3.5 c os 120^{\circ} = 49 \Rightarrow T = 7$

Câu 19:

Số nghiệm của phương trình: $\log_{2} x + \log_{2} (x - 6) = \log_{2} 7$ là

A.0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

ĐK $x > 6 (1) \Rightarrow x^{2} - 6 x = 7 \Leftrightarrow x = - 1 (l o a i); x = 7 (t m) .$ PT có 1 nghiệm.

Câu 20:

Tìm điều kiện xác định của hàm số $y = \tan x + \cot x$

A. $x \neq k π, k \in ℤ$

B. $x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$

C. $x \neq \frac{k π}{2}, k \in ℤ$

D. $x \in ℝ$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 21:

Trong phòng làm việc có 2 máy tính hoạt động độc lập với nhau khả năng hoạt động tốt trong ngày của 2 máy này tương ứng là $75 % v à 85 % .$ Xác suất để có đúng một máy hoạt động không tốt trong ngày là

A. 0,525

B. 0,425

C. 0,625

D. 0,325

Xem đáp án

Đáp án D

Xác suất để có đúng một máy hoạt động không tốt là $0, 75. (1 - 0, 85) + (1 - 0, 75) 0, 85 = 0, 325$

Câu 22:

Trong không gian Oxyz cho $\vec{O A} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} - 5 \vec{k} .$ Tọa độ điểm A là

A. A(3;4;-5)

B. A(3;4;5)

C. A( -3;-4;5)

D. A(-3;4;5)

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 23:

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a, hàm số f(x) liên tục tại $x = a$ nếu

A. f(x) có giới hạn hữu hạn khi $x \to a$

B. $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = \lim_{x \to a -} f (x) = a$

C. $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = \lim_{x \to a -} f (x) = + \infty$

D. $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 24:

Biết tổng các hệ số trong khai triển ${(3 x - 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... a_{n} x_{n}$ là $2^{11} .$ Tìm $a_{6}$ .

A. $a_{6} = - 336798$

B. $a_{6} = 336798$

C. $a_{6} = - 112266$

D. $a_{6} = 112266$

Xem đáp án

Đáp án A

Cho $x = 1$ vào 2 vế ${(3 x - 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... a_{n} x^{n}$ ta được $2^{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n}$

Vậy $n = 11 \Rightarrow a_{6} = C_{11}^{5} 3^{6} {(- 1)}^{5} = - 336798$

Câu 25:

Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 16} .$

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

$y = \frac{(x + 1) (x - 4)}{(x - 4) (x + 4)} \Rightarrow \lim_{x \to 4} f (x) = \frac{5}{8}; \lim_{x \to 4^{+}} f (x) = - \infty; \lim_{x \to 4^{-}} f (x) = + \infty$ đồ thị có 1 tiệm cận đứng.

Câu 26:

Đặt $\int_{1}^{2} I = (2 m x + 1) d x$ (m là tham số thực). Tìm m để I=4

A. -1

B. -2

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

$\int_{1}^{2} (2 m x + 1) = {(m x^{2} + x)|}_{1}^{2} = 4 \Leftrightarrow m = 1$

Câu 27:

Hàm số nào sau đây có đúng 1 cực trị?

A. $y = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - x$

B. $y = \frac{x - 1}{x + 2}$

C. $y = x^{\frac{4}{3}}$

D. $y = x - 4 \ln x$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 28:

Một hồ bơi hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 50m. Lượng nước trong hồ cao 1,5m. Thể tích nước trong hồ là

A. $1875 m^{3}$

B. $2500 m^{3}$

C. $1250 m^{3}$

D. $3750 m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

$V = 1, 5.50.50 = 3750 m^{3}$

Câu 29:

Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 6 và diện tích xung quanh bằng $60 π$ Tính thể tích V của khối nón (N).

A. $V = 288 π$

B. $V = 96 π$

C. $V = 432 \sqrt{6} π$

D. $V = 144 \sqrt{6} π$

Xem đáp án

Đáp án B

$S_{x q} = π l r = 60 π \Rightarrow l = 10, h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = 8. V_{n o n} = \frac{1}{3} π r^{2} h = 96 π .$

Câu 30:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho vectơ $\vec{v} = (2; - 1)$ và điểm $M (- 3; 2) .$ Tìm tọa độ ảnh M' của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ .

A. $M' (5; 3)$

B. $M' (1; - 1)$

C. $M' (- 1; 1)$

D. $M' (1; 1)$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 31:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x)$ liên tục trên [0;2] và $f (2) = 3; \int_{0}^{2} f (x) d x = 3.$ Tính $\int_{0}^{2} x . f' (x) d x$

A. 0

B. -3

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C

$\int_{0}^{2} x f' (x) d x = \int_{0}^{2} x d (f (x)) = x f (x) |_{0}^{2} - \int_{0}^{2} f (x) d x = 2 f (2) - 3 = 6 - 3 = 3.$

Câu 32:

Trong không gian Oxyz cho $A (1; 2; 0), B (3; - 1; 1) v à C (1; 1; 1) .$ Tính diện tích S của tam giác ABC.

A. $S = 1$

B. $S = \sqrt{3}$

C. $S = \frac{1}{2}$

D. $S = \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 33:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x)$ trên khoảng $(- \infty; + \infty) .$ Đồ thị của hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số $y = {(f (x))}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu?

A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

B. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu

D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại

Xem đáp án

Đáp án B

$y = f^{2} (x) \Rightarrow y' = 2 f (x) f' (x) y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 0 \\ f' (x) = 0 \end{array}$

$f (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = 1; x = 3; f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = x_{1}, x = 1; x = x_{2}$ trong đó $0 < x_{1} < 1 < x_{2} < 3$

Dấu của f(x)và f'(x)

Từ bảng xét dấu y’ ta có hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0; x = 1; x = 3$ , đạt cực đại tại $x = x_{1}$ và $x = x_{2}$ . Hàm số có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu.

Câu 34:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c \in ℝ, a \neq 0)$ có đồ thị (C). Biết đồ thị (C)đi qua A(1;4) và đồ thị hàm số $y' = f (x)$ cho bởi hình vẽ.

Giá trị $f (3) - 2 f (1)$ là

A. 30

B. 27

C. 25

D. 26

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 35:

Trong không gian Oxyz cho $A (1; - 1; 2), B (- 2; 0; 3), C (0; 1; - 2) . M (a; b; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức $S = \vec{M A} . \vec{M B} + 2 \vec{M B} . \vec{M C} + 3 \vec{M C} . \vec{M A}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $T = 12 a + 12 b + c$ có giá trị là

A. -1

B. 3

C. -3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi I là điểm sao cho $4 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 5 \vec{I C} = \vec{0} \Rightarrow I (- \frac{1}{6}; \frac{1}{12}; \frac{1}{3})$

$\begin{array}{l} \vec{M A} . \vec{M B} + 2 \vec{M B} . \vec{M C} + 3 \vec{M C} . \vec{M A} = (\vec{I A} - \vec{I M}) (\vec{I B} - \vec{I M}) + \\ 2 (\vec{I B} - \vec{I M}) (\vec{I C} - \vec{I M}) + 3 (\vec{I C} - \vec{I M}) (\vec{I A} - \vec{I M}) \\ = \vec{I A} . \vec{I B} + 2 \vec{I B} . \vec{I C} + 3 \vec{I C} . \vec{I A} - \vec{I M} (4 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 5 \vec{I C}) + 6 I M^{2} \end{array}$

Do $\vec{I A} . \vec{I B} + 2 \vec{I B} . \vec{I C} + 3 \vec{I C} . \vec{I A}$ là hằng số và $\vec{I M} (4 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 5 \vec{I C}) = 0$ Nên $S_{\min} k h i I M_{\min} \Leftrightarrow M$ là hình chiếu của I lên mặt phẳng $(O x y) \Rightarrow M (- \frac{1}{6}; \frac{1}{12}; 0) \Rightarrow T = - 2 + 1 = - 1$

Câu 36:

Cho hàm số y=f(x) liên tuc trên R và thỏa mãn f(0)<0<f(-1) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f (x), y = 0, x = - 1 v à x = 1.$ Xét các mênh đề sau

$1. S = \int_{- 1}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{1} |f (x)| d x 2. S = \int_{- 1}^{1} |f (x)| d x 3. S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x 4. S = |\int_{- 1}^{1} f (x) d x|$

Số mệnh đề đúng là

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Do $f (0) < 0 < f (- 1)$ nên phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm $x \in (- 1; 0)$

Đáp án đúng là $S = \int_{- 1}^{1} |f (x)| d x$

Câu 37:

Gọi k1;k2;k3 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị các hàm số $y = f (x); y = (x); y = \frac{f (x)}{g (x)}$ tại $x = 2$ và thỏa mãn $k_{1} = k_{2} = 2 k_{3} \neq 0$ khi đó

A. $f (2) \leq \frac{1}{2}$

B. $f (2) > \frac{1}{2}$

C. $f (2) < \frac{1}{2}$

D. $f (2) \geq \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

$y = \frac{f (x)}{g (x)} \Rightarrow y' = \frac{f' (x) g (x) - f (x) . g' (x)}{g^{2} (x)}; k_{3} = \frac{k_{1} g (2) - k_{2} f (2)}{g^{2} (2)} \Rightarrow 1 = \frac{2 g (2) - 2 f (2)}{g^{2} (2)}$

$\Rightarrow P T : t^{2} - 2 t + 2 f (2) = 0$ có nghiệm $t = g (2)$

$\Leftrightarrow Δ' \geq 0 \Leftrightarrow 1 - 2 f (2) \geq 0 \Leftrightarrow f (2) \leq \frac{1}{2}$

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuống tại A và D có $A B = 2 A D = 2 C D .$ Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuống góc với đáy. Gọi I là trung điểm AD. Biết khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBD) bằng 1cm Tính diện tích hình thang ABCD.

A. $S = \frac{200}{27} (c m^{2})$

B. $S = \frac{10}{3} (c m^{2})$

C. $S = \frac{5}{3} (c m^{2})$

D. $S = \frac{19}{2} (c m^{2})$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $A D = x (x > 0)$ . Gọi J là trung điểm BD ta có $IS ⊥ I D; I S ⊥ I J; I D ⊥ I J$ .

Tứ diện SIJD vuông tại I. Gọi h là khoảng cách từ I đến mặt phẳng $(S B D)$ ta có.

$1 = \frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{S I^{2}} + \frac{1}{I D^{2}} + \frac{1}{I J^{2}} = \frac{1}{{(\frac{x \sqrt{3}}{2})}^{2}} + \frac{1}{{(\frac{x}{2})}^{2}} + \frac{1}{{(\frac{x}{2})}^{2}} + \frac{1}{x} \Rightarrow h = \frac{\sqrt{57}}{19} x .$

Từ giả thiết $\Rightarrow x = \frac{\sqrt{57}}{3} (c m)$

Vậy $S_{A B C D} = \frac{1}{2} (A B + D C) . A D = \frac{19}{2}$

Câu 39:

Cho tứ diện ABCD có AB = 5 các cạnh còn lại bằng 3, khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và CD bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD $Δ A N B$ cân tại N nên $M N ⊥ A B$ $Δ A D B = Δ A C B (c . c . c)$ . Nên $M D = M C \Rightarrow Δ M D C$ cân tại M $\Rightarrow M N ⊥ C D (2)$

Từ (1), (2) ta có MN là đoạn vuông góc chung của AB và DC.

Vậy khoảng cách giữa AB và CD bằng MN. $M N = \sqrt{A N^{2} - A M^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 40:

Để tiết kiệm năng lượng mốt cống ty điên lực đề xuất bán điên sinh hoạt; cho dân theo hình thức lũy tiến (bậc thang) như sau: Mỗi bậc gồm 10 số; bậc 1 từ số thứ 1 đến số thứ 10, bậc 2 từ số thứ 11 đến số thứ 20, bậc 3 từ số thứ 21 đến số thứ 30,... Bậc 1 có giá là 800 đống/1 số, giá của mỗi số ở bậc thứ n +1 tăng so với giá của mỗi số ở bậc thứ n là 2,5%. Gia đình ông A sử dụng hết 347 số trong tháng 1, hỏi tháng 1 ông A phải đóng bao nhiêu tiền ?( đơn vị đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. $x \approx 433868, 89$

B. $x \approx 402903, 08$

C. $x \approx 402832, 28$

D. $x \approx 415481, 84$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi u1là số tiền phải trả cho 10 số điện đầu tiên. $u_{1} = 10.800 = 8000$ (đồng)

u2 là số tiền phải trả cho các số điện từ 11 đến 20: $u_{2} = u_{1} (1 + 0, 025)$

u3 là số tiền phải trả cho các số điện từ 331 đến 340: $u_{34} = u_{1} {(1 + 0.025)}^{33}$

Số tiền phải trả cho 340 số điện đầu tiên là: $S_{1} = u_{1} = \frac{1 - {(1 + 0, 025)}^{34}}{1 - (1 + 0, 025)} = 420903, 08$

Số tiền phải trả cho các số điện từ 341 đến 347 là: $S_{2} = 7.800 {(1 + 0, 025)}^{34} = 12965, 80$

Vậy tháng 1 gia đình ông A phải trả số tiền là: $S = S_{1} + S_{2} = 433868, 89$ đồng.

Câu 41:

n là số tự nhiên thỏa mãn phương trình $3^{x} - 3^{- x} = 2 \cos n x$ có 2018 nghiệm. Tìm số nghiệm của phương trình: $9^{x} + 9^{- x} = 4 + 2 c os 2 n x$

A. 4036

B. 4035

C. 2019

D. 2018

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $9^{x} + 9^{- x} - 2 = 2 (1 + c os2nx) \Leftrightarrow {(3^{x} - 3^{- x})}^{2} = 4 c {os}^{2} n x \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3^{x} - 3^{- x} = 2 \cos n x (a) \\ 3^{x} - 3^{- x} = - 2 \cos n x (b) \end{array}$

Nhận xét x1 là nghiệm của $P T (a) \Rightarrow - x_{1}$ là nghiệm PT(b)

Giả sử 2PT $(a); (b)$ có chung nghiệm x0 khi đó $\{\begin{cases} 3^{x_{0}} - 3^{- x_{0}} = 2 \cos n x_{0} \\ 3^{- x_{0}} - 3^{x_{0}} = 2 \cos n x_{0} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3^{x_{0}} - 3^{- x_{0}} = 2 \cos n x_{0} \\ 3^{- x_{0}} - 3^{x_{0}} = - 2 \cos n x_{0} \end{cases} \Rightarrow 3^{x_{0}} = 3^{- x_{0}} \Rightarrow x_{0} = 0$ thay vào PT $(a) 3^{0} - 3^{0} = - 2 c os 0 \Rightarrow 0 = 1$ vô lý

PT (a); (b) không có nghiệm chung. PT có $2.2018 = 4036$ nghiệm.

Câu 42:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S. Có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích V của khối chóp S.ABI.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{12}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{24}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{8}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi O là hình chiếu của S lên $(A B C); S O = \sqrt{S B^{2} - B O^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{a \sqrt{33}}{3}$

$V = \frac{1}{3} S_{Δ A B I} . S O = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{8} . \frac{a \sqrt{33}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{24}$

Câu 43:

Cho khối lăng trụ tam giác đều $A B C . A ’ B ’ C ’$ có cạnh đáy bằng $a \sqrt{2}$ và mỗi mặt bên có diện tích bằng $4 a^{2} .$ Thể tích khối lăng trụ đó là

A. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

B. $a^{3} \sqrt{6}$

C. $2 a^{3} \sqrt{6}$

D. $\frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

$h = \frac{4 a^{2}}{a \sqrt{2}} = 2 \sqrt{2 a}; V = 2 \sqrt{2} a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = a^{3} \sqrt{6}$

Câu 44:

Cho hình hộp chữ nhật $A B C . D A ’ B ’ C ’ D ’$ có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm $Δ B C D' .$ Thể tích V của khối chóp $G . A B C'$ là

A. 1/3

B. 1/6

C. 1/12

D. 1/18

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi I là trung điểm BC, $d (G; (A B C')) = \frac{2}{3} d (I; (A B C')) = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} d (C; (A B C')) = \frac{1}{3} d (C; (A B C'))$

Câu 45:

Cho hình chóp S.ABCDđáy là hình chữ nhật. Biết $S A = A B = a,$ $A D = 2 a,$ $S A ⊥ (A B C D)$ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. $\frac{2 a \sqrt{39}}{13}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{3 a \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi I là trung điểm của SC do $Δ S A C$ vuông tại A, $Δ S C D$ vuông tại D, $Δ S B C$ vuông tại B nên ta có: $I S = I A = I B = I C = I D \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S . A B C D . R = \frac{1}{2} S C = \frac{1}{2} \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Câu 46:

Cho lục giác đều ABCDEF có cạnh bằng 4. Quay lục giác đều đó quanh đường thẳng AD. Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra.

A. $V = 128 π$

B. $V = 32 π$

C. $V = 16 π$

D. $V = 64 π$

Xem đáp án

Đáp án D

Khi quay lục giác đều đã cho quanh AD ta được 2 hình nón và 1 hình trụ

Hình trục có chiều cao $h = B C = 4.$

Bán kính đáy $r = B H = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} .$

Hình nón có chiều cao $h' = A H = 2,$ bán kính đáy $r = B H = 2 \sqrt{3}; V = π r^{2} h + \frac{2}{3} π r^{2} h' = 64 π$

Câu 47:

Cho các hàm số

$\begin{array}{l} 1) y = x^{4} - 2 x^{2} - 3 2) y = x^{2} - 2 |x| - 3 \\ 3) y = - x^{4} + 2 x^{2} - 3 4) y = |x^{2} - 1| - 4 \end{array}$

Số hàm số có bảng biến thiên trên là

A. 4

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Đáp án: Hàm số $y = x^{2} - 2 |x| - 3$ không có đạo hàm tại $x = 0$

Hàm số $y = |x^{2} - 1| - 4$ không có đạo hàm tại $x = \pm 1.$ Hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 3$ có $\lim_{x \to \pm \infty} = - \infty$

Nên bảng biến thiên trên không là bảng biến thiên của 3 hàm số trên. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

Kiểm tra ta có đó là bảng biến thiên của hàm số: $y = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

Câu 48:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C với $C A = C B = a$ . Trên đường chéo CA' lấy hai điểm M, N. Trên đường chéo AB' lấy được hai điểm P, Q sao cho MPNQ tạo thành một tứ diện đều. Tính thể tích khối lăng trụ

A. $2 a^{3}$

B. $\frac{a^{3}}{6}$

C. $a^{3}$

D. $\frac{a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì MPNQ là tứ diện đều nên $M N ⊥ P Q \Rightarrow \vec{C A'} ⊥ \vec{A B'} \Rightarrow \vec{C A'} . \vec{A B'} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\vec{C A} + \vec{A A'}) (\vec{A B} + \vec{B B'}) = 0 \Leftrightarrow (\vec{C A} + \vec{C C'}) (\vec{C B} - \vec{C A} + \vec{C C'}) = 0 \Leftrightarrow C C'^{2} - C A^{2} = 0 \Rightarrow C C' = C A = a . \\ V = C C' . S_{A B C} = \frac{a^{3}}{2} \end{array}$

Câu 49:

Giả sử $\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x^{4}} d x = \frac{1}{c} (a \sqrt{a} - \frac{b}{b + c} \sqrt{b}) (a; b; c \in ℕ 1 \leq a, b, c \leq 9) .$ Tính giá trị biểu thức $S = C_{2 a + c}^{b - a} .$

A. 165

B. 715

C. 5456

D. 35

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $t = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ ta được $\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x^{4}} d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} d x = \frac{1}{2} \int_{\frac{5}{4}}^{2} \sqrt{t} d t = \frac{1}{3} (2 \sqrt{2} - \frac{5}{8} \sqrt{5})$

$a = 2; b = 5; c = 3 \Rightarrow S = C_{7}^{3} = 35.$

Câu 50:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ

Gọi m là số nghiệm thực của phương trình $f (f (x)) = 1$ khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 6

B. 7

C. 5

D. 9

Xem đáp án

Đáp án B

Từ đồ thị ta có PT $f (f (x)) = 1 \Leftrightarrow f (x) = t_{1}$ hoặc $f (x) = t_{2}$ hoặc $f (x) = t_{3}$

Với $- 1 < t_{1} < 0 < t_{2} < 2 < t_{3} .$

Đường thẳng $y = t_{2}$ với $- 1 < t_{2} < 2$ cắt (C)tại 3 điểm phân biệt nên $P T f (x) = t_{1}$ có 3 nghiệm phân biệt .

Đường thẳng $y = t_{2}$ với $- 1 < t_{2} < 2$ cắt (C) tại (C)tại 3 điểm phân biệt nên $P T f (x) = t_{2}$ có 3 nghiệm phân biệt, đường thẳng $y = t_{3}; t_{3} > 2$ cắt (C)tại 1điểm nên $P T f (x) = t_{3}$ có 1 nghiệm.

Các nghiệm này không trùng nhau. Vậy phương trình $f (f (x)) = 1$ có 7 nghiệm.