50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 9)

Câu 1:

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{2} - 2 x + m|$ trên đoạn [-1;2] bằng 5.

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Xét hàm số $f (x) = x^{2} - 2 x + m$ trên đoạn [-1;2]

Tạ có: $f' (x) = 2 x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$

Lại có: $f (0) = m; f (- 1) = m - 1; f (2) = m + 2$

Do đó $f (x) \in [m - 1; m + 2]$

Nếu $m - 1 \geq 0 \Rightarrow \max_{[0; 2]} |f (x)| = m + 2 = 5 \Leftrightarrow m = 3$

Nếu $m - 1 < 0$ suy ra $[\begin{array}{l} \max_{[0; 2]} |f (x)| = m + 2 \\ \max_{[0; 2]} |f (x)| = 1 - m \end{array}$

TH1: $\max_{[0; 2]} |f (x)| = m + 2 = 5 \Leftrightarrow m = 3 (k o_t / m)$

TH2: $\max_{[0; 2]} |f (x)| = 1 - m \Leftrightarrow m = - 4 \Rightarrow m + 1 = - 3 (t / m)$

Vậy $m = 3; m = - 4$ là giá trị cần tìm

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SD, N là trọng tâm tam giác SAB. Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (SBC) tại điểm I. Tính tỉ số $\frac{I N}{I M}$

A. 3/4

B. 1/3

C. 1/2

D. 2/3

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\frac{I E}{E D} = 1$

$\frac{I E}{E D} . \frac{S D}{S M} . \frac{M N}{N I} = 1 \Leftrightarrow 1.2. \frac{M N}{N I} = 1$

$\frac{M N}{N I} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{I N}{I M} = \frac{2}{3}$

Câu 3:

Cho $\log_{a b} b = 3$ (với $a > 0, b > 0, a b \neq 1$ ). Tính $\log_{\sqrt{a b}} (\frac{a}{b^{2}})$ .

A. 5

B. -4

C. -10

D. -16

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\log_{a b} b = 3 \Leftrightarrow \log_{b} a b = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \log_{b} a + 1 = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \log_{b} a = - \frac{2}{3}$

$\log_{\sqrt{a b}} (\frac{a}{b^{2}}) = 2 \log_{a b} (\frac{a}{b^{2}}) = 2 \log_{a b} a - 4 \log_{a b} b = \frac{2}{\log_{a} a b} = 4.3 = \frac{2}{1 + \log_{a} b} - 12 = \frac{2}{1 - \frac{3}{2}} - 12 = - 16$

Câu 4:

Tô màu các cạnh của hình vuông ABCD bởi 6 màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô?

A. 360

B. 480

C. 600

D. 630

Xem đáp án

Đáp án D

Chú ý 4 cạnh khác nhau

Có $C_{6}^{4}$ cách chọn 4 màu khác nhau. Từ mỗi bộ 4 màu thì có $4! = 24$ cách tô màu khác nhau

Có $C_{6}^{3}$ cách chọn 3 màu khác nhau. Từ mỗi bộ 3 màu, có $4.3 = 12$ cách tô

Có $C_{6}^{2}$ cách chọn 2 màu khác nhau khi đó có: $2.1 = 2$ cách tô

Tổng cộng: $24. C_{6}^{4} + 4.3 C_{6}^{3} + 2. C_{6}^{2} = 630$ cách

Câu 5:

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{2 x - 1} > 27$ là:

A. $(\frac{1}{2}; + \infty)$

B. $(3; + \infty)$

C. $(\frac{1}{3}; + \infty)$

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $3^{2 x - 1} > 27 \Leftrightarrow 3^{2 x - 1} > 3^{3} \Leftrightarrow 2 x - 1 > 3 \Leftrightarrow x > 2 \Rightarrow$ tập nghiệm của bất phương trình là $(2; + \infty)$

Câu 6:

Cho hình trụ có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

A. $π a^{2}$

B. $2 a^{2}$

C. $2 π a^{2}$

D. $4 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Diện tích xung quanh của hình trụ là $V = 2 π a .2 a = 4 π a^{2}$

Câu 7:

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính bằng 2 và mặt phẳng (P). Khoảng cách từ O đến (P) bằng 4. Từ điểm M thay đổi trên (P) kẻ các tiếp tuyến MA;MB;MC tới (S) với A;B;C là các tiếp điểm. Biết mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm I cố định. Tính độ dài đoạn OI.

A. $\sqrt{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. 1/2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 8:

Có bao nhiêu giá trị ngyên của tham số m để hàm số $y = \sqrt{5 - m \sin x - (m + 1) \cos x}$ xác định trên R ?

A. 6

B. 8

C. 7

D. 5

Xem đáp án

Đáp án B

Để hàm số xác định trên R thì $5 - m \sin x - (m + 1) \cos x \geq 0; \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow m \sin x + (m + 1) \cos x \leq 5; \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow m^{2} + {(m + 1)}^{2} \leq 25 \Leftrightarrow m^{2} + m - 12 \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 3.$

Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3\} \Rightarrow$ có tất cả 8 giá trị nguyên của m

Câu 9:

Giá trị cực tiểu của hàm số $y = e^{x} (x^{2} - 3)$ là:

A. 6/e

B. $\frac{6}{e^{3}}$

C. -3e

D. -2e

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y' = e^{x} (x^{2} - 3) + 2 x e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 x - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 3 \end{array}$

$y'' = e^{x} (x^{2} + 2 x - 3) + e^{x} (2 x + 2) = e^{x} (x^{2} + 4 x - 1)$

$y'' (- 3) = - 4 e^{- 3} < 0 \Rightarrow x = - 3$ là điểm cực đại;

$y'' (1) = 4 e > 0 \Rightarrow x = 1$ là điểm cực tiểu $\Rightarrow$ giá trị cực tiểu là $y (1) = - 2 e$

Câu 10:

Hàm số y= f(x) có đồ thị $y = f' (x)$ như hình vẽ. Khi đó số điểm cực trị của hàm số

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Ta thấy $f' (x)$ đổi dấu qua 1 điểm $x_{0} \Rightarrow$ hàm số có 1 cực trị

Câu 11:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ trên đoạn [-1;1] là

A. -5

B. 4

C. -1

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 6 x^{2} + 6 x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \end{array}$

Suy ra $y (- 1) = 0, y (0) = - 1, y (1) = 4 \Rightarrow \min_{[- 1; 1]} = - 1$

Câu 12:

Cho hàm số $y = e^{x} (x^{2} + m x)$ . Biết $y' (0) = 1.$ Tính $y' (1)$

A. 6e

B. 3e

C. 5e

D. 4e

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = e^{x} (x^{2} + m x) + (2 x + m) e^{x} = e^{x} (x^{2} (m + 2) x + m)$

$y' (0) = 1 \Rightarrow m = 1 \Rightarrow y' = e^{x} (x^{2} + 3 x + 1) \Rightarrow y' (1) = 5 e$

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B. Biết $S A = A B = B C .$ Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $\arccos \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi I là trung điểm của AC. Ta có: $A I ⊥ (S A C)$

Khi đó $(S B; (S A C)) = \overset{⏜}{B S I}$

Đặt $S A = A B = B C = a .$ . Ta có $B I = \frac{a \sqrt{2}}{2}; S B = a \sqrt{2}$

$\sin \overset{⏜}{B S I} = \frac{B I}{S B} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \overset{⏜}{B S I} = 30 °$

Câu 14:

Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó.

A. 20

B. 11

C. 12

D. 10

Xem đáp án

Đáp án B

Giả sử đáy của hình chóp có n cạnh $\Rightarrow 2 n = 20 \Leftrightarrow n = 10 \Rightarrow$ số mặt là $10 + 1 = 11$

Câu 15:

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a, điểm M thuộc cạnh SC sao cho $S M = 2 M C$ . Mặt phẳng (P)chứa AM và song song với BD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (P).

A. $\frac{\sqrt{3} a^{2}}{5}$

B. $\frac{4 \sqrt{26} a^{2}}{15}$

C. $\frac{2 \sqrt{26} a^{2}}{15}$

D. $\frac{2 \sqrt{3} a^{2}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án C

Vì $(P) / / B D$ nên $(P) \cap (S B D) = I E / / B D$

Ta có $B D ⊥ S O, B D ⊥ A C \Rightarrow B D ⊥ (S A C) \Rightarrow B D ⊥ A M$

$\Rightarrow I E ⊥ A M$

Ta có $\frac{S M}{M C} . \frac{A C}{A O} . \frac{O K}{K S} = 1 \Leftrightarrow 2.2. \frac{O K}{K S} = 1 \Leftrightarrow \frac{O K}{K S} = \frac{1}{4}$

$\frac{S M}{M C} . \frac{I E}{B D} = \frac{S K}{S O} = \frac{4}{5} \Rightarrow I E = \frac{4}{5} B D = \frac{4 a \sqrt{2}}{5}$

Vì $A C^{2} = S A^{2} + S C^{2}$ nên $Δ S A C$ vuông tại S

$S M = \frac{2}{3} a; A M = \sqrt{a^{2} + {(\frac{2}{3} a)}^{2}} = \frac{a \sqrt{13}}{3}$

$S_{A E M I} = \frac{1}{2} E I . A M = \frac{1}{2} . \frac{4 a \sqrt{2}}{5} . \frac{a \sqrt{13}}{3} = \frac{2 \sqrt{26} a^{2}}{15}$

Câu 16:

Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau.

A. $y = \sin^{2} x$

B. $y = x \cos 2 x$

C. $y = x \sin x$

D. $y = \cos x$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 17:

Trong không gian, tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Xem đáp án

ĐÁP ÁN D

Câu 18:

Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{2}^{2} x - \log_{2} 9. \log_{2} x = 3$ là

A. 2

B. 8

C. 17/2

D. -2

Xem đáp án

Đáp án C

PT $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ {(\log_{2} x)}^{2} - 2 \log_{2} x - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ [\begin{array}{l} \log_{2} x = - 1 \\ \log_{2} x = 3 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x = 8 \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} = \frac{1}{2} \\ x_{2} = 8 \end{cases} \Rightarrow x_{1} + x_{2} = \frac{17}{2}$

Câu 19:

Ông A vay ngân hàng 96 triệu đồng với lãi suất 1% một tháng theo hình thức mỗi tháng trả góp số tiền giống nhau sao cho sau đúng 2 năm thì hết nợ. Hỏi số tiền ông phải trả hàng tháng là bao nhiêu? (làm tròn đến hai chữ ố sau dấu phẩy)

A. 4,53 triệu đồng.

B. 4,54 triệu đồng.

C. 4,51 triệu đồng

D. 4,52 triệu đồng.

Xem đáp án

Đáp án D

Số tiền phải trả hằng tháng bằng $\frac{96.1 % . {(1 + 1 %)}^{24}}{{(1 + 1 %)}^{24} - 1} \approx 4, 52$ triệu đồn

Câu 20:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{m x^{2} + 1} + x^{2}}{x (x - 1)}$ có hai đường tiệm cận ngang.

A. $m \in \emptyset$

B. m<0

C. $m \geq 0$

D. m>0

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to - \infty} y = 1$ nên đồ thị hàm số chỉ có duy nhất đường TCN $y = 1$

Câu 21:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + m x k h i x \leq 1 \\ \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} k h i x > 1 \end{cases}$ . Tìm m để hàm số đã cho liên tục tại $x = 1$

A. 1/3

B. -3/4

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{1}{4}, \lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + m x) = m + 1, y (1) = m + 1$

Hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow \lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to 1^{-}} y = y (1) \Leftrightarrow m + 1 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = - \frac{3}{4}$

Câu 22:

Thể tích khối bát diện đều cạnh a là

A. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

B. $\sqrt{2} a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Khối bát diện được tạo bởi 2 khối chóp tứ giác đều

Chiều cao của khối chóp là $h = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Thể tích của khối chóp là: $V = \frac{1}{3} a^{2} . \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^{3}}{3 \sqrt{2}}$

Thể tích khối bát diện đều là $V_{1} = 2 V = 2. \frac{a^{3}}{3 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}$

Câu 23:

Cho hai cấp số cộng $(a_{n}) : a_{1} = 4; a_{2} = 7; ...; a_{100}$ và $(b_{n}) : b_{1} = 1; b_{2} = 6; ...; b_{100}$ . Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên?

A. 32

B. 20

C. 33

D. 53

Xem đáp án

Đáp án B

$(a_{n})$ là cấp số cộng có công sai $d = 3 \Rightarrow a_{n} = 4 + 3 (n - 1)$ là số hạng tổng quát của $(b_{n})$

$(b_{n})$ là cấp số cộng có công sai $d = 5 \Rightarrow b_{n} = 1 + 5 (n - 1)$ là số hạng tổng quát của $(b_{n})$

Suy ra $a_{n} = b_{n} \Leftrightarrow 4 + 3 (n_{1} - 1) = 1 + 5 (n_{2} - 1) \Leftrightarrow 5 n_{2} - 3 n_{1} = 5$

Suy ra $(3 n_{1}) ⋮ 5,$ đặt $(3 n_{1}) = 5 x \Rightarrow x ⋮ 3 \Rightarrow 5 n_{2} = 5 x = 5 \Leftrightarrow n_{2} - x = 1$

$1 \leq n_{1} \leq 100 \Rightarrow \frac{3}{5} \leq x \leq 60, x ⋮ 3, x \in ℕ \Rightarrow$ có $\frac{60 - 3}{3} + 1 = 20$ giá trị x thỏa mãn.

Suy ra có 20 số xuất hiện trọng cả hai dãy số trên

Câu 24:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{\log_{2} (5 - x)}$

A. $(- \infty; 5) \ \{4\}$

B. $(5; + \infty)$

C. $(- \infty; 5)$

D. $[5; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số xác định $\{\begin{cases} 5 - x > 0 \\ \log_{2} (5 - x) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 5 \\ 5 - x \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 5 \\ x \neq 4 \end{cases} \Rightarrow D = (- \infty; 5) \ \{4\}$

Câu 25:

Tính $\lim \frac{1 - 2 n}{3 n + 1}$

A. -5

B. 7

C. -2/3

D. 1/3

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\lim \frac{1 - 2 n}{3 n + 1} = \lim \frac{\frac{1}{n} - 2}{3 + \frac{1}{n}} = - \frac{2}{3}$

Câu 26:

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?

A. $y = {(x^{2} - 2)}^{2} - 1$

B. $y = {(x^{2} + 2)}^{2} - 1$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 3$

D. $y = - x^{4} + 4 x^{2} + 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 27:

Tính thể tích của khối lăng trụ đều $A B C . A' B' C'$ có $A B = A A' = a$

A. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{6}$

C. $a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án A

Thể tích khối lăng trụ là $V = S_{A B C} . A A' = \frac{1}{2} a^{2} \sin 60 ° . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Câu 28:

Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a. Mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng a/2. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi (P)

A. $2 \sqrt{3} a^{2}$

B. $a^{2}$

C. $4 a^{2}$

D. $π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Diện tích thiết diện của hình trụ là $S = 2 a .2 \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = 2 \sqrt{3} a^{2}$

Câu 29:

Cho $\log_{3} (a + 1) = 3$ . Tính $3^{\log_{9} (a - 1)}$

A. 5

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\log_{3} (a + 1) = 3 \Leftrightarrow a = 26 \Rightarrow 3^{\log_{9} (a - 1)} = 3^{\log_{9} 25} = 3^{\log_{3} 5} = 5$

Câu 30:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ tại điểm $A (2; 3)$ là

A. $y = - 3 x + 9$

B. $y = - x + 5$

C. $y = 3 x - 3$

D. $y = x + 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} \Rightarrow y' (2) = - 1$

Suy ra PTTT tại $A (2; 3)$ là $- (x - 2) + 3 \Leftrightarrow y = - x + 5$

Câu 31:

Biết điểm M(0;4)là điểm cực đại của đồ thị hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2} .$ Tính f(3)

A. 17

B. 49

C. 34

D. 13

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f' (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b, f'' (x) = 6 x + 2 a$

Theo đề bài ta có $\{\begin{cases} a^{2} = 4 \\ b = 0 \\ 2 a < 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 2 \\ b = 0 \end{cases} \Rightarrow f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 4 \Rightarrow f (3) = 13$

Câu 32:

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = e^{2 x},$ biết F(0)=1

A. $F (x) = e^{2 x}$

B. $F (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

C. $F (x) = 2 e^{2 x} - 1$

D. $F (x) = e^{x}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $F (x) = \int e^{2 x} d x = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

$F (0) = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2} \Rightarrow F (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Câu 33:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=x ln x Tính $F'' (x)$

A. $F'' (x) = 1 - \ln x$

B. $F'' (x) = \frac{1}{x}$

C. $F'' (x) = 1 + \ln x$

D. $F'' (x) = x + \ln x$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $F'' (x) = f' (x) = 1 + \ln x$

Câu 34:

Trong các hàm số $y = \frac{x - 1}{3 x + 2}, y = 5^{x}, y = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1, y = \tan x + x$ có bao nhiêu hàm số đồng biến trên

A. 2

B. 4

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án A

Các hàm số $y = 5^{x}, y = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ đồng biến trên R

Câu 35:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ là trọng tâm của 4 mặt của tứ diện ABCD. Thể tích của khối tứ diện $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ là

A. V/27

B. V/18

C. V/4

D. V/12

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $d (G_{1}; (G_{2} G_{3} G_{4})) = \frac{1}{2} d (A; (G_{2} G_{3} G_{4}))$

$= \frac{1}{2} . \frac{2}{3} d (A; (M N P)) = \frac{1}{3} d (A; (M N P))$

$S_{G_{2} G_{3} G_{4}} = {(\frac{2}{3})}^{2} S_{M N P} = \frac{4}{9} . \frac{1}{4} S_{A B C} = \frac{1}{9} S_{A B C}$

Thể tích của khối tứ diện $G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}$ là

$V = \frac{1}{3} d (G_{1}; (G_{2} G_{3} G_{4})) . S_{G_{2} G_{3} G_{4}} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} d (A; (M N P)) . \frac{1}{9} S_{A B C}$

$= \frac{1}{27} V_{A B C D} = \frac{V}{27}$

Câu 36:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x \sin x$ là

A. $F (x) = - x \cos x - \sin x + C$

B. $F (x) = x \cos x - \sin x + C$

C. $F (x) = - x \cos x + \sin x + C$

D. $F (x) = x \cos x + \sin x + C$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = \sin x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \cos x \end{cases} \Rightarrow F (x) = \int x \sin x d x = - x \cos x + \int \cos x d x = - x \cos x + \sin x + C$

Câu 37:

Hàm số $F (x) = \cos 3 x$ là nguyên hàm của hàm số

A. $f (x) = \frac{\sin 3 x}{3}$

B. $f (x) = - 3 \sin 3 x$

C. $f (x) = 3 \sin 3 x$

D. $f (x) = - \sin 3 x$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f (x) = F' (x) = {(\cos 3 x)}^{'} = - 3 \sin 3 x$

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B, biết $S A = A C = 2 a .$ Tính thể tích khối chóp S.ABC

A. $\frac{2}{3} a^{3}$

B. $\frac{1}{3} a^{3}$

C. $\frac{2 \sqrt{2}}{3} a^{3}$

D. $\frac{4}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $2 A B^{2} = A C^{2} = {(2 a)}^{2} \Rightarrow A B^{2} = 2 a^{2}; S_{A B C} = \frac{1}{2} A B^{2} = a^{2}$

Thể tích khối chóp S.ABC là $V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} .2 a . a^{2} = \frac{2}{3} a^{3}$

Câu 39:

Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển ${(1 - 2 x)}^{10}$

A. 120

B. -960

C. 960

D. -120

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có ${(1 - 2 x)}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(1)}^{10 - k} {(- 2 x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(- 2)}^{k} {(x)}^{k}$

Số hạng chứa $x^{3} \Leftrightarrow k = 3 \Rightarrow a_{3} = C_{10}^{3} {(- 2)}^{3} x^{3} = - 960 x^{3}$

Câu 40:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y' = - 3 x^{2} + 6 x = - 3 x (x - 2) \Rightarrow \{\begin{cases} y' > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2 \\ y' < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 0 \end{array} \end{cases}$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;2), nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$

Câu 41:

Cho quả địa cầu có độ dài đường kinh tuyến $30 °$ Đông là $40 π$ cm. Độ dài đường xích đạo là

A. $40 \sqrt{3} π$ cm

B. 40 cm

C. $80 π$ cm

D. $\frac{80 π}{\sqrt{3}}$ cm

Xem đáp án

Đáp án C

Độ dài đường xích đạo gấp 2 lần độ dài đường kinh tuyến bất kì

Câu 42:

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích là V. Điểm M là trung điểm của cạnh AA'. Tính theo V thể tích khối chóp $M . B C C' B'$

A. 2V/3

B. 3V/4

C. V/3

D. V/2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $V_{A B C . A' B' C'} = V_{M . A B C} + V_{M . A' B' C'} + V_{M . B C C' B'} = \frac{1}{3} V_{A B C . A' B' C'} + V_{M . B C C' B'} \Rightarrow V_{M . B C C' B'} = \frac{2 V}{3}$

Câu 43:

Cho tứ diện ABCD có thể tích là V. Điểm M thay đổi trong tam giác BCD Các đường thẳng qua M và song song với $A B, A C, A D$ lần lượt cắt các mặt phẳng $(A C D), (A B D), (A B C)$ tại N;P;Q. Giá trị lớn nhất của thể tích khối đa diện MNPQ là

A. V/27

B. V/16

C. V/8

D. V/18

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử tứ diện ABCD có AB;AC'AD đội một vuông góc $\Rightarrow V_{A B C D} = \frac{A B . A C . A D}{6}$

Khi đó tứ diện MNPQ có MN;MP;MQ đội một vuông góc $\Rightarrow V_{M . N P Q} = \frac{M N . M P . M Q}{6}$

Ta chứng minh được $\frac{M N}{A B} + \frac{M P}{A C} + \frac{M Q}{A D} = 1$ ( dựa vào định lý Thalet), khi đó

$M N . M P . M Q = A B . A C . A D . \frac{M N}{A B} . \frac{M P}{A C} . \frac{M Q}{A D} \leq A B . A C . A D . \frac{{(\frac{M N}{A B} + \frac{M P}{A C} + \frac{M Q}{A D})}^{3}}{27} = \frac{A B . A C . A D}{27}$

Vậy $V_{M . N P Q} = \frac{M N . M P . M Q}{6} \leq \frac{1}{27} . \frac{A B . A C . A D}{6} = \frac{V}{27} \to V_{\max} = \frac{V}{27}$

Câu 44:

Cho đa giác đều 20 đỉnh. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh. Tính xác suất để 3 đỉnh đó là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân.

A. 2/35

B. 17/114

C. 8/57

D. 3/19

Xem đáp án

Đáp án C

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 20 đỉnh có $C_{20}^{3}$ cách $\Rightarrow n (Ω) = 1140$

Gọi X là biến cố “3 đỉnh đó là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân”

Đa giác đều 20 đỉnh có 10 đường chéo đi qua tâm đa giác mà cứ 2 đường chéo tạo thành 1 hình chữ nhật và 1 hình chữ nhật tạo thành 4 tam giác vuông số tam giác vuông là $4. C_{10}^{2} = 180$

Tuy nhiên, trong $C_{10}^{2}$ hình chữ nhật có 5 hình vuông nên số tam giác vuông cân là $5.4 = 20$

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố X là $n (X) = 180 - 20 = 160$ . Vậy $P = \frac{n (X)}{n (Ω)} = \frac{8}{57}$

Câu 45:

Cho đồ thị (C) $(C) : y = 3^{x}$ . Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. Đồ thị (C) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

B. Đồ thị (C)nằm về phía trên trục hoành.

C. Đồ thị (C)đi qua điểm (0;1)

D. Đồ thị (C)nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị (C) không có tiềm cận đứn

Câu 46:

Cho hình thang vuông ABCD tại A và D; AD=CD=a; AB=a Quay hình thang ABCD xung quanh đường thẳng CD. Thể tích khối tròn xoay thu được là

A. $\frac{5 π a^{3}}{3}$

B. $\frac{7 π a^{3}}{3}$

C. $\frac{4 π a^{3}}{3}$

D. $π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi V là thể tích của khối tròn xoay cần tính, khi đó $V = V_{1} - V_{2}$ với

V1 là thể tích khối trụ có chiều cao $h_{1} = A B$ , bán kính $R = A D \to V_{1} = π R^{2} h_{1} = 2 π a^{3}$

$V_{2}$ là thể tích khối trụ có chiều cao $h_{1} = A B - C D$ , bán kính $R = A D \to V_{2} = \frac{1}{3} π r^{2} h_{2} = \frac{π a^{3}}{3}$

Vậy thể tích cần tính là $V = V_{1} - V_{2} = 2 π a^{3} - \frac{π a^{3}}{3} = \frac{5 π a^{3}}{3}$

Câu 47:

Biết đồ thị hàm số $y = x^{4} - (m - 1) x^{2} + m^{2} - m - 1$ cắt trục hoành tại đúng ba điểm phân biệt. Khi đó giá trị của tham số m thuộc khoảng

A. $(- 1; 0)$

B. $(- 2; 1)$

C. (0;1)

D. (1;2)

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là $x^{4} - (m - 1) x^{2} + m^{2} - m - 1 = 0 (*)$

Đặt $t = x^{2} \geq 0,$ khi đó $(*) \Leftrightarrow t^{2} - (m - 1) t + m^{2} - m - 1 = 0 (I)$

Để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (I)$ có hai nghiệm phân biệt $t_{2} = 0, t_{2} > 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = m - 1 > 0 \\ 0^{2} - (m - 1) .0 + m^{2} - m - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ m^{2} - m - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \in (1; 2)$

Câu 48:

Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S) Tính thể tích lớn nhất của khối nón (N)

A. $\frac{32 π R^{3}}{81}$

B. $\frac{32 R^{3}}{81}$

C. $\frac{32 π R^{3}}{27}$

D. $\frac{32 R^{3}}{27}$

Xem đáp án

Đáp án A

Theo bài ra, ta có khối nón (N) nội tiếp khối cầu (S).

Giả sử khối nón (N) có đỉnh A, tâm đáy I như hình vẽ bên với $h = I A$ là chiều cao và bán kính đáy $r = I K$

Tam giác AMK vuông tại K, có $I K^{2} = I A . I M \Leftrightarrow r^{2} = h (2 R - h)$

Suy ra $V_{(N)} = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{π}{3} h^{2} (2 R - h) = \frac{π}{3} . (2 R h^{2} - h^{3})$

Xét hàm số $f (h) = 2 R h^{2} - h^{3}$ trên khoảng $(0; 2 R) \to \max f (h) = \frac{32 R^{3}}{27}$

Vậy thể tích cần tính là $V = \frac{π}{3} . \frac{32 R^{3}}{27} = \frac{32 π R^{3}}{81}$

Câu 49:

Số nghiệm thuộc đoạn $[0; \frac{5 π}{2}]$ của phương trình $2 \sin x - 1 = 0$ là

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $2 \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Mặt khác $0 \leq x \leq \frac{5 π}{2}$ suy ra $x = \{\frac{π}{6}; \frac{13 π}{6}; \frac{5 π}{6}\}$ . Vậy phương trình có 3 nghiệm

Câu 50:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị trong hình vẽ bên.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $|f (x)| = m$ có đúng hai nghiệm phân biệt.

A. $m > 5, 0 < m < 1$

B. m<1

C. $m = 1, m = 5$

D. $1 < m < 5$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào đồ thị hàm số $y = |f (x)|$ , để phương trình $|f (x)| = m$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 5 \\ 0 < m < 1 \end{array}$