50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 24)

Câu 1:

Số nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - x} = 1$ là

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình đã cho $\Leftrightarrow x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow x (x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$

Câu 2:

Tập xác định của hàm số $y = \tan (2 x - \frac{π}{3})$ là

A. $ℝ \ \{\frac{5 π}{12} + k \frac{π}{2}\}, k \in ℤ$

B. $ℝ \ \{\frac{5 π}{12} + k π\}, k \in ℤ$

C. $ℝ \ \{\frac{5 π}{6} + k \frac{π}{2}\}, k \in ℤ$

D. $ℝ \ \{\frac{5 π}{6} + k π\}, k \in ℤ$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $c os (2 x - \frac{π}{3}) \neq 0 \Leftrightarrow 2 x - \frac{π}{3} \neq \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x \neq \frac{5 π}{12} + \frac{k π}{2}$

TXĐ: $D = ℝ \ 5 \{\frac{π}{12} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ\} .$

Câu 3:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x$ đạt cực tiểu tại x=?

A. -2

B. -1

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.$

$y'' = 6 x .$ Mà $y'' (1) = 6 > 0 \Rightarrow x = 1$ là điểm cực tiểu.

Câu 4:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4.$ Phép vị tự tâm O (với O là gốc tọa độ) tỉ số $k = 2$ biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8.$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8.$

C. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16.$

D. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16.$

Xem đáp án

Đáp án D

(C) có tâm I(1;1)và bán kính $R = 2$

Giả sử ${V^{2}}_{O} : (C) \to (C')$ , trong đó (C')có tâm $I' (a; b)$ , bán kính R'

Ta có: $\{\begin{cases} a = 2.1 = 2 \\ b = 2.1 = 2 \end{cases} \Rightarrow I' (2; 2)$ và $R' = 2.2 = 4 \Rightarrow (C') : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$

Câu 5:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ . Xét các phát biểu sau đây

+) Đồ thị hàm số nhận điểm $I (- 1; 1)$ làm tâm đối xứng.

+) Hàm số đồng biến trên tập $ℝ \ \{- 1\}$ .

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là điểm $A (0; - 2)$

+) Tiệm cận đứng là $y = 1$ và tiệm cận ngang là $x = - 1$

Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Phát biểu đúng là phát biểu 2.

Câu 6:

Một hình cầu có bán kính bằng 2(m). Hỏi diện tích của mặt cầu bằng bao nhiêu

A. $4 π (m^{2})$

B. $16 π (m^{2})$

C. $8 π (m^{2})$

D. $π (m^{2})$

Xem đáp án

Đáp án B

Diện tích mặt cầu là: $S = 4 π {.2}^{2} = 16 π (m^{2}) .$

Câu 7:

Đạo hàm của hàm số $y = s i n 2 x$ là

A. $y' = 2 \cos x$

B. $y' = 2 c os 2 x$

C. $y' = - 2 c os 2 x$

D. $y' = c os 2 x$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = 2 c os 2 x$

Câu 8:

Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh $(n \geq 2, n \in ℕ) .$ Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là 1/5. Tìm n .

A. 5

B. 4

C. 10

D. 8

Xem đáp án

Đáp án D

Số tam giác tạo thành khi chọn ngẫu nhiên 3 điểm là: $C_{2 n}^{3}$

Số đường chéo đi qua tâm là $n \Rightarrow$ số hình chữ nhật nhận 2 đường chéo đi qua tâm làm 2 đường chéo là: $C_{n}^{2}$

Số tam giác vuông được tạo thành là $4 C_{n}^{2}$

Ta có: $\frac{4 C_{n}^{2}}{C_{2 n}^{3}} = \frac{1}{5} \Rightarrow n = 8.$

Câu 9:

Nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{5}} (2 x - 3) > - 1$ là

A. $x < 4$

B. $x > \frac{3}{2}$

C. $4 > x > \frac{3}{2}$

D. $x > 4$

Xem đáp án

Đáp án C

Bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow 0 < 2 x - 3 < 5 \Leftrightarrow \frac{3}{2} < x < 4$

Câu 10:

Kết quả của $\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} d x$ bằng

A. 4

B. 5

C.2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \frac{d (2 x + 1)}{\sqrt{2 x + 1}} = \sqrt{2 x + 1}| {}_{0}^{4}= 2.$

Câu 11:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;10] và thỏa mãn $\int_{0}^{10} f (x) d x = 7$ và $\int_{2}^{6} f (x) d x = 3$ . Tính $P = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{6}^{10} f (x) d x$

A. 7

B. -1

C. 4

D. 10

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $P = (\int_{6}^{2} f (x) d x + \int_{10}^{6} f (x) d x + \int_{0}^{10} f (x) d x) + \int_{6}^{10} f (x) d x = \int_{0}^{10} f (x) d x - \int_{2}^{6} f (x) d x = 7 - 3 = 4.$

Câu 12:

Cho $a = \log 2, b = \ln 2.$ Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10 e}$

B. $\frac{a}{b} = \frac{e}{10}$

C. $10^{a} = e^{b}$

D. $10^{b} = e^{a}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\{\begin{cases} a = \log 2 \Rightarrow 2 = 10^{a} \\ b = \ln 2 \Rightarrow 2 = e^{b} \end{cases} \Rightarrow 10^{a} = e^{b} .$

Câu 13:

Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau?

A. 45

B. 90

C. 35

D. 55

Xem đáp án

Đáp án A

Số đoạn thẳng được tạo thành là $C_{10}^{2} = 45.$

Câu 14:

Một khối nón có diện tích xung quanh bằng $2 π (c m^{2})$ và bán kính đáy $\frac{1}{2} (c m)$ .Khi đó độ dài đường sinh là

A. $2 (c m)$

B. $3 (c m)$

C. $1 (c m)$

D. $4 (c m)$

Xem đáp án

Đáp án D

Độ dài đường sinh là: $l = \frac{2 π}{π . \frac{1}{2}} = 4 (c m) .$

Câu 15:

Kết quả của giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ bằng

A. 0

B.4

C. -4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4.$

Câu 16:

Cho $y = (m - 3) x^{3} + 2 (m^{2} - m - 1) x^{2} + (m + 4) x - 1$ . Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Oy. S có mấy phần tử?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 3 (m - 3) x^{2} + 4 (m^{2} - m - 1) x + m + 4.$

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục $O y \Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm trái dấu.

Suy ra $x_{1} x_{2} < 0 \Leftrightarrow \frac{m + 4}{3 (m - 3)} < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 3. m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2\} .$

Câu 17:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của chúng?

A. $y = \ln x$

B. $y = e^{- x}$

C. $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$

D. $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 18:

Kết quả của m để hàm số sau $y = \frac{x + m}{x + 2}$ đồng biến trên từng khoảng xác định là

A. $m \leq 2$

B. m>2

C. m<2

D. $m \geq 2$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = \frac{2 - m}{{(x + 2)}^{2}} .$ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $y' > 0, \forall x \in D \Leftrightarrow 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2$ .

Câu 19:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau đươc lập từ các chữ số 1;2;3;4;5;6?

A. 90 số

B. 20 số

C. 720 số

D. 120 số

Xem đáp án

Đáp án D

Số các số thỏa mãn đề bài là $A {}_{6}^{3}= 120.$

Câu 20:

Tổng các nghiệm của phương trình $\log (x^{2} - 3 x + 1) = - 9$ bằng

A. -3

B. 9

C. $10^{- 9}$

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

$P T \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 3 x + 1 > 0 \\ x^{2} - 3 x + 1 = 10^{- 9} \end{cases} \Rightarrow x^{2} - 3 x + 1 = 10^{- 9} \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 1 - 10^{- 9} = 0$

$Δ > 0 \Rightarrow$ PT có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2} \Rightarrow x_{1} + x_{2} = 3.$

Câu 21:

Cho hình hộp $A B C D . A ’ B ’ C ’ D ’ .$ Biết $\vec{M A'} = k \vec{M C}, \vec{N C'} = l . \vec{N D}$ . Khi MN song song với BD’ thì khẳng định nào sau đây đúng

A. $k - l = - \frac{3}{2}$

B. $k + l = - 3$

C. $k + l = - 4$

D. $k + l = - 2$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 22:

Một người gửi tiết kiệm với số tiền gửi là A đồng với lãi suất là 6% một năm, biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Sau 10 năm người đó rút ra được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn số tiền ban đầu là 100 triệu đồng. Hỏi người đó phải gửi số tiền A bằng bao nhiêu?

A. $145037058, 3$ đồng

B. $55839477, 69$ đồng

C. $126446589$ đồng

D. $111321563, 5$ đồng

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi số tiền ban đầu là A đồng, ta có ${(1 + 6 %)}^{10} - A = 100 \Rightarrow A \approx 1264465989$ đồng.

Câu 23:

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;2) Phép tịnh tiến theo vecto $\vec{u} = (- 3; 4)$ biến điểm M thành điểm M' có tọa độ là

A. $M' (- 2; 6)$

B. $M' (2; 5)$

C. $M' (2; - 6)$

D. $M' (4; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\{\begin{cases} x_{M'} = 1 + (- 3) = - 2 \\ y_{M'} = 2 + 4 = 6 \end{cases} \Rightarrow M' (- 2; 6) .$

Câu 24:

Hàm số $y = \sin 2 x$ có chu kì là

A. $T = 2 π$

B. $T = \frac{π}{2}$

C. $T = π$

D. $T = 4 π$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 25:

Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\ln (a b) = \ln a + \ln b$

B. $\ln \frac{a}{b} = \ln b - \ln a$

C. $\ln (a b) = \ln a . \ln b$

D. $\ln \frac{a}{b} = \frac{\ln a}{\ln b}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 26:

Cho dãy số $u_{1} = 1, u_{n} = u_{n - 1} + 2 (n \in ℕ, n > 1)$ . Kết quả nào đúng ?

A. $u_{5} = 9$

B. $u_{3} = 4$

C. $u_{2} = 2$

D. $u_{6} = 13$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $u_{2} = 3, u_{3} = 5, u_{5} = 9, u_{6} = 11.$

Câu 27:

Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2} - 2 x - 8}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số có tập xác định $D = [- 3; 3] \ \{- 2\} \Rightarrow$ đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có $x^{2} - 2 x - 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 \\ x = - 2 \end{array}, \lim_{x \to 2} y = \infty \Rightarrow$ đồ thị hàm số có TCĐ $x = - 2$ .

Câu 28:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x^{3} - 9$

A. $\frac{1}{2} x^{4} - 9 x + C$

B. $4 x^{4} - 9 x + C$

C. $\frac{1}{4} x^{4} + C$

D. $4 x^{3} - 9 x + C$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 29:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3.$ Chọn phương án đúng trong các phương án sau.

A. $\max_{[0; 2]} y = 3, \min_{[0; 2]} y = 2$

B. $\max_{[0; 2]} y = 11, \min_{[0; 2]} y = 3$

C. $\max_{[0; 2]} y = 11, \min_{[0; 2]} y = 2$

D. $\max_{[0; 2]} y = 2, \min_{[0; 2]} y = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 4 x^{3} - 4 x = 4 x (x^{2} - 1) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}$

Suy ra $y (0) = 3, y (1) = 2, y (2) = 11 \Rightarrow \underset{[0; 2]}{m ax} y = 11, \min_{[0; 2]} y = 2$ .

Câu 30:

Phương trình $(\sqrt{3} \tan x + 1) (\sin^{2} x + 1) = 0$ có nghiệm là

A. $x = \frac{π}{3} + k 2 π$

B. $x = - \frac{π}{6} + k π$

C. $x = \frac{π}{6} + k π$

D. $x = - \frac{π}{6} + k 2 π$

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \tan x = - \frac{1}{\sqrt{3}} \end{cases} \Rightarrow \tan x = - \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$

Câu 31:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ v à f (2) = 16, \int_{0}^{2} f (x) d x = 4 .$ Tính $I = \int_{0}^{1} x . f' (2 x) d x .$

A. 13

B. 12

C. 20

D. 7

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = f' (2 x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \frac{f (2 x)}{2} \end{cases}$

Khi đó: $I = {x \frac{f (2 x)}{2}|}_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (2 x) d x = \frac{f (2)}{2} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1} f (2 x) d (2 x) = 8 - \frac{1}{4} \int_{0}^{2} f (t) d t = 8 - 1 = 7.$

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi phương trình $m = f (x) + 1$ với m<2 có bao nhiêu nghiệm?

A. 3

B. Vô nghiệm

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

$m = f (x) + 1 \Leftrightarrow f (x) = m - 1$

Do $m < 2 \Rightarrow m - 1 < 1$ nên PT $f (x) = m - 1$ có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 33:

Một Ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 20 (m/s) rồi hãm phanh chuyển động chậm dần đều với vận tốc là $v (t) = - 2 t + 20 (m / s),$ trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Tính quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối cùng đến khi dừng hẳn.

A. 100m

B. 75m

C. 200m

D. 125m

Xem đáp án

Đáp án C

Thời gian ô tô phanh đến khi dừng hẳn là $t = 10 s$

Do đó $s = 20.5 + \int_{0}^{10} (- 2 t + 20) d t = 100 + (20 t - t^{2})| {}_{0}^{10}= 200 m$

Câu 34:

Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc tại O và $O A = 2, O B = 3, O C = 6.$ Thể tích của khối chóp bằng

A. 12

B. 6

C. 24

D. 36

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $V_{O A B C} = \frac{1}{6} O A . O B . O C = 6.$

Câu 35:

Phương trình $c os 3 x - c os 2 x + 9 \sin x - 4 = 0$ trên khoảng $(0; 3 π)$ có tổng các nghiệm là

A. $\frac{25 π}{6}$

B. $6 π$

C. Kết quả khác

D. $\frac{11 π}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $P T \Leftrightarrow 4 c {os}^{3} x - 3 \cos x + 2 \sin^{2} x + 9 \sin x - 5 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos x (4 c {os}^{2} x - 3) + 2 \sin^{2} x + 9 \sin x - 5 = 0 \\ \Leftrightarrow \cos x (1 - 4 \sin^{2} x) + (2 \sin x - 1) (s inx + 5) = 0 \Leftrightarrow (2 \sin x - 1) (\cos x + 2 \sin x \cos x + s inx + 5) = 0 \\ \Leftrightarrow (2 \sin x - 1) (s inx + \cos x + \sin 2 x + 5) = 0 \Leftrightarrow 2 \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow s inx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} \end{array}$

Với $x \in (0; 3 π) \Rightarrow x = \{\frac{π}{6}; \frac{5 π}{6}; \frac{π}{6} + 2 π; \frac{5 π}{6} + 2 π\} \Rightarrow T = 6 π$ .

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành. I là trung điểm của SA, thiết diện của hình chóp S.ABCDcắt bởi mặt phẳng (IBC)là

A. $Δ I B C$

B. Hình thang IJBC (J là trung điểm của SD)

C. Hình thang IGBC (G là trung điểm của SB)

D. Tứ giác IBCD

Xem đáp án

Đáp án B

Do $A D / / B C$

Do đó \ $(I B C) \cap (S A D) = IJ \Rightarrow I J / / A D / / B C$

Câu 37:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên đoạn SB sao cho $S N = 2 N B .$ Mặt phẳng chứa MN cắt đoạn SD tại Q và cắt đoạn SC tại P. Tỉ số $\frac{V_{S . M N P Q}}{V_{S . A B C D}}$ lớn nhất bằng

A. 2/5

B. 1/3

C. 1/4

D. 3/8

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\frac{V_{S . M N P}}{V_{S . A B C}} = \frac{2 V_{S . M N P}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S P}{S C} = \frac{1}{3} . \frac{S P}{S C}$

Tương tự $\frac{V_{S . M P Q}}{V_{S . A C D}} = \frac{2 V_{S . M P Q}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{2} . \frac{S P}{S C} . \frac{S Q}{S D}$

Do đó $\frac{2 V_{S . M N P Q}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{3} \frac{S P}{S C} + \frac{1}{2} . \frac{S P}{S C} . \frac{S Q}{S D}$

Đặt $\frac{S P}{S C} = x (0 < x \leq 1)$ , ta chứng minh được $\frac{S A}{S M} + \frac{S C}{S P} = \frac{S B}{S N} + \frac{S D}{S Q} = 2 \frac{S O}{S I}$

Do đó $\frac{S D}{S Q} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \Rightarrow 2 k = x (\frac{1}{3} + \frac{x}{x + 2}) = \frac{2}{3}$

Do $0 < x \leq 1$ nên ${(2 k)}_{m ax} = f (1) = \frac{2}{3} \Rightarrow k = \frac{1}{3} .$

Câu 38:

Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là $3 a^{2}$ và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối chóp bằng

A. $6 a^{3}$

B. $2 a^{3}$

C. $3 a^{3}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

$V = \frac{1}{3} S h = 2 a^{3}$

Câu 39:

Cho hình lăng trụ đứng $A B C D . A' B' C' D'$ có đáy là hình thoi, biết $A A' = 4 a, A C = 2 a, B D = a .$ Thể tích của khối lăng trụ là

A. $2 a^{3}$

B. $8 a^{3}$

C. $\frac{8 a^{3}}{3}$

D. $4 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

$V = A A' . S_{A B C D} = A A' . \frac{A C . B D}{2} = 4 a^{3} .$

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA vuông góc với đáy và $S A = a .$ Tính khoảng cách từ điểm A đến mp (SBD)

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{a}{\sqrt{3}}$

C. $\frac{a}{2 \sqrt{3}}$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\frac{1}{{d^{2}}_{(A; (S B D))}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} = \frac{3}{a^{2}} \Rightarrow d_{(A; (S B D))} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} \frac{|2 x^{2} - 7 x + 6|}{x - 2} k h i x < 2 \\ a + \frac{1 - x}{2 + x} k h i x \geq 2 \end{cases} .$ Biết a là giá trị để hàm số f(x) liên tục tại $x_{0} = 2,$ tìm nghiệm nguyên của bất phương trình $- x^{2} + a x + \frac{7}{4} > 0$ .

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{|2 x^{2} - 7 x + 6|}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} |\frac{2 x^{2} - 7 x + 6}{x - 2}| = \lim_{x \to 2^{-}} (- |2 x - 3|) = - 1$

Và $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (a + \frac{1 - x}{2 + x}) = a - \frac{1}{4}; f (2) = a - \frac{1}{4} .$

Theo bài ra, ta có $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = f (2) \Rightarrow a = - \frac{3}{4}$

Do đó, bất phương trình $- x^{2} + a x + \frac{7}{4} > 0 \Leftrightarrow - x^{2} - \frac{3}{4} x + \frac{7}{4} > 0 \Leftrightarrow - \frac{7}{4} < x < 1.$

Câu 42:

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó $c o s (A B, D M)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. 1/2

Xem đáp án

Đáp án A

Xét tứ diện đều ABCD canh a $\Rightarrow D M = \frac{a \sqrt{3}}{2}; A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Ta có $c os (\bar{A B}; \bar{D M}) = \frac{\bar{A B} . \bar{D M}}{\bar{|A B|} . \bar{|D M|}} = \frac{\bar{A B} . \bar{D M}}{a . \frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} . \frac{\bar{A B} . \bar{D M}}{a^{2}}$

Mà $\bar{A B} . \bar{D M} = \bar{A B} (\bar{A M} - \bar{A D}) = \bar{A B} . \bar{A M} - \bar{A B} . \bar{A D}$

$= A B . A M . c os (\bar{A B}; \bar{A M}) - A B . A D . c os (\bar{A B}; \bar{A D}) = a . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{4}$

Vậy $c os (\bar{A B} . \bar{D M}) = \frac{\sqrt{3}}{6} > 0 \Rightarrow c os (A B; D M) = \frac{\sqrt{3}}{6} .$

Câu 43:

Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số $y = a^{x}, y = b^{x}, y = c^{x}$ được cho trong hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a < c < b$

B. $c < a < b$

C. $b < c < a$

D. $a < b < c$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:

Hàm số $y = a^{x}$ nghịch biến, $\{\begin{cases} y = b^{x} \\ y = c^{x} \end{cases}$ đồng biến trên TXĐ $\Rightarrow \{\begin{cases} 0 < a < 1 \\ b, c > 1 \end{cases}$

Đặt $\{\begin{cases} f (x) = b^{x} \\ g (x) = c^{x} \end{cases}$ suy ra tại $x = 1$ , ta có $f (1) > g (1) \Leftrightarrow b > c$

Vậy $a < c < b .$

Câu 44:

Cho hàm số $f (x) \neq 0, f' (x) = (2 x + 1) f^{2} (x)$ và $f (1) = - 0, 5$ . Tổn $f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (2017) = \frac{a}{b} (a \in ℤ, b \in ℕ)$ với a/b tối giản. Chọn khẳng định đúng.

A. $\frac{a}{b} < - 1$

B. $a \in (- 2017; 2017)$

C. $b - a = 4035$

D. $a + b = - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f' (x) = (2 x + 1) f^{2} (x) \Leftrightarrow \frac{f' (x)}{f^{2} (x)} = 2 x + 1 \Leftrightarrow \int \frac{f' (x)}{f^{2} (x)} d x = \int (2 x + 1) d x$

$\Leftrightarrow \int \frac{d (f (x))}{f^{2} (x)} = x^{2} + x + C \Leftrightarrow - \frac{1}{f (x)} = x^{2} + x + C \Leftrightarrow f (x) = - \frac{1}{x^{2} + x + C}$

Mà $f (1) = - \frac{1}{2} \Rightarrow - \frac{1}{C + 2} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow C = 0 \to f (x) = - \frac{1}{x^{2} + x} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}$

$\Rightarrow f (1) + f (2) + ... + f (2017) = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + ..... + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2017} = \frac{1}{2018} - 1 = \frac{a}{b} \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 2017 \\ b = 2018 \end{cases}$

Vậy $b - a = 2018 - (- 2017) = 4035$

Câu 45:

Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng $8 a^{2} .$ Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

A. $4 π a^{2}$

B. $8 π a^{2}$

C. $16 π a^{2}$

D. $2 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Theo bài ra, ta có $\{\begin{cases} R = a \\ S = 8 a^{2} \end{cases} \Rightarrow S = h .2 R = 8 a^{2} \Rightarrow h = 4 a .$

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{x q} = 2 π R h = 8 π a^{2}$

Câu 46:

Cho tam giác SOA vuông tại O có $O A = 3 c m, S A = 5 c m,$ quay tam giác SOA xung quanh cạnh SO được hình nón. Thể tích của khối nón tương ứng là

A. $12 π (c m^{3})$

B. $15 π (c m^{3})$

C. $\frac{80 π}{3} (c m^{3})$

D. $36 π (c m^{3})$

Xem đáp án

Đáp án A

Theo bài ra , ta có khối nón tạo thành có chiều cao $h = S O = 4 c m$ và có bán kính đáy $r = O A = 3 c m$ Vậy thể tích khối nón cần tính là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{π}{3} {.3}^{2} .4 = 12 π c m^{3}$

Câu 47:

Cho hình chóp S,ABC có SA vuông góc với đáy, $S A = 2 B C$ và $\hat{B A C} = 120^{\circ}$ . Hình chiếu vuông góc của A lên các đoạn SB và SC lần lượt là M và N. Góc giữa hai mặt phẳng $(A B C) v à (A M N)$ bằng

A. $45 °$

B. $60 °$

C. $15 °$

D. $30 °$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$ , D là điểm đối xứng với A qua O.

$\Rightarrow O A = O B = O D$ suy ra tam giác ABD vuồn tại $B \Rightarrow A B ⊥ B D$ .

Ta có $\{\begin{cases} A B ⊥ B D \\ S A ⊥ B D \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S A B) \Rightarrow B D ⊥ A M$ suy ra $A M ⊥ (S B D) .$

Suy ra $A M ⊥ S D .$ Tương tự, ta chứng minh được $A N ⊥ S D$

Do đó $S D ⊥ (A M N) .$ suy ra $\hat{(A B C); (A M N)} = \hat{(S A; S D)} = \hat{A S D}$

Tam giác SAD vuông tại A, có $\tan \hat{A S D} = \frac{A D}{S A}$

Mà đường kính $A D = 2 x R_{Δ A B C} = \frac{B C}{\sin 120^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} x S A$

Vậy $\tan \hat{A S D} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \hat{A S D} = 30^{\circ} \Rightarrow \hat{(A B C); (A M N)} = 30^{\circ}$

Câu 48:

Gọi(T) là tiếp tuyến của đồ thị $y = \frac{x + 1}{x + 2} (C)$ tại điểm có tung độ dương, đồng thời (T)cắt hai tiệm của (C) lần lượt tại A và B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. Khi đó (T) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?

A. 0,5

B. 2,5

C. 12,5

D. 8

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $M (a; \frac{a + 1}{a + 2}) \in (C) \Rightarrow y' (a) = \frac{1}{{(a + 2)}^{2}}$ nên phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

$y = \frac{a + 1}{a + 2} = \frac{1}{{(a + 2)}^{2}} (x - a) \Leftrightarrow y = \frac{x}{{(a + 2)}^{2}} + \frac{a^{2} + 2 a + 2}{{(a + 2)}^{2}} (d)$

Đường thẳng (d) cắt TCĐ tại $A (- 2; \frac{a}{a + 2}) \Rightarrow I A = \frac{2}{|a + 2|}$

Đường thẳng (d) cắt TCN tại $B (2 a + 2; 1) \Rightarrow I B = 2 |a + 2|$

Suy ra $I A . I B = 4$ mà $A B^{2} = I A^{2} + I B^{2} \geq 2. I A . I B = 8 \Rightarrow A B \geq 2 \sqrt{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{2}{|a + 2|} = 2 |a + 2| \Leftrightarrow |a + 2| = 1 \Rightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = - 3 \end{array}$

Mà điểm M có tung độ dương $\Rightarrow M (- 3; 2) .$ Vậy $(d) : y = x + 5 \Rightarrow S = \frac{25}{2} .$

Câu 49:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị $y = \frac{x + 2}{x + 1}$ tại điểm có hoành độ $x = 0$ là

A. $y = x + 2$

B. $y = - x + 2$

C. Kết quả khác

D. $y = - x$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y = \frac{x + 2}{x + 1} \Rightarrow y' = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \Rightarrow y' (0) = - 1$ và $y (0) = 2$

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y - 2 = (- 1) (x - 1) \Leftrightarrow y = 2 - x .$

Câu 50:

Hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{4 - x^{2}}, y = 2, y = x$ có diện tích là $S = a + b π .$ Chọn kết quả đúng.

A. $a > 1, b > 1$

B. $a + b < 1$

C. $a + 2 b = 3$

D. $a^{2} + 4 b^{2} \geq 5$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của (C)và (d) là $\sqrt{4 - x^{2}} = x \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$

Diện tích hình phẳng cần tính là $S = \int_{0}^{2} |x - 2| d x - \int_{0}^{\sqrt{2}} |\sqrt{4 - x^{2}} - x| d x = 2 - \frac{π}{2} = 2 - \frac{1}{2} π$

Mà $S = a + b . π \Rightarrow (a; b) = (2; - \frac{1}{2}) .$ Vậy $a^{2} + 4 b^{2} = 2^{2} + 4. {(- \frac{1}{2})}^{2} = 5.$