50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 23)

Câu 1:

Viết biểu thức $P = \frac{a^{2} a^{\frac{5}{2}} \sqrt[3]{a^{4}}}{\sqrt[6]{a^{5}}}, (a > 0)$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

A. $P = a$

B. $P = a^{5}$

C. $P = a^{4}$

D. $P = a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $P = \frac{a^{2 + \frac{5}{2} + \frac{4}{3}}}{a^{\frac{5}{6}}} = \frac{a^{\frac{35}{6}}}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{5}$

Câu 2:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $(- \infty; + \infty)$ ?

A. $y = {(\frac{e}{2})}^{x}$

B. $y = {(\sqrt{5} - 2)}^{x}$

C. $y = {(\frac{3}{π})}^{x}$

D. $y = {(0,7)}^{x}$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì $\frac{e}{2} > 1$ nên hàm số $y = {(\frac{e}{2})}^{x}$ đồng biến

Câu 3:

Cho $\log_{2} m = a$ và $A = \log_{m} (8 m)$ với $m > 0, m \neq 1.$ Tìm mối liên hệ giữa A và a

A. $A = (3 + a) a$

B. $A = (3 + a) a$

C. $A = (3 + a) a$

D. $A = (3 + a) a$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $A = \log_{m} 2^{3} + \log_{m} m = \frac{3}{\log_{2} m} + 1 = \frac{3}{a} + 1 = \frac{3 + a}{a}$

Câu 4:

Hàm số $y = \sqrt{8 + 2 x - x^{2}}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; + \infty)$

B. $(1; 4)$

C. $(- \infty; 1)$

D. $(- 2; 1)$

Xem đáp án

Đáp án D

TXĐ: $D = [- 2; 4]$

Ta có: $y' = \frac{2 - 2 x}{2 \sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} = \frac{1 - x}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} > 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 1 \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên khoảng $(- 2; 1)$

Câu 5:

Cho hình cầu đường kính $2 a \sqrt{3}$ . Mặt phẳng (P) cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính bằng $a \sqrt{2}$ . Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng (P)

A. a

B. $\frac{a}{2}$

C. $a \sqrt{10}$

D. $\frac{a \sqrt{10}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Bán kính hình cầu là: $R = a \sqrt{2}$ . Khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng $(P)$ là:

$h = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{{(a \sqrt{3})}^{2} - {(a \sqrt{2})}^{2}} = a$

Câu 6:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $5 \sin x - 12 \cos x = m$ có nghiệm?

A. 13

B. Vô số

C. 26

D. 27

Xem đáp án

Đáp án D

Để phương trình có nghiệm thì

$m^{2} \leq 5^{2} + {(- 12)}^{2} \Leftrightarrow m^{2} \leq 169 \Leftrightarrow - 13 \leq m \leq 13 \Rightarrow$ số các giá trị nguyên của m là $[13 - (- 13)] : 1 + 1 = 27$

Câu 7:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c s + d$ và các hình vẽ dưới đây.

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ là hình (4) khi $a < 0$ và $f' (x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

B. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ là hình (3) khi $a > 0$ và $f' (x) = 0$ vô nghiệm

C. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ là hình (1) khi $a < 0$ và $f' (x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

D. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ là hình (2) khi $a < 0$ và $f' (x) = 0$ có nghiệm kép.

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 8:

Cho $x > 0, y > 0$ và $K = {(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})}^{2} {(1 - 2 \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x})}^{- 1}$ . Xác định mệnh đề đúng.

A. $K = 2 x$

B. $K = x + 1$

C. $K = x - 1$

D. $K = x$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $K = {(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})}^{2} {(1 - \sqrt{\frac{y}{x}})}^{- 2} = {(\sqrt{x} - \sqrt{y})}^{2} \frac{{(\sqrt{x} - \sqrt{y})}^{- 2}}{{(\sqrt{x})}^{- 2}} = x$

Câu 9:

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - (m^{2} - 2) x + m^{2}$ và trục hoành.

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$x^{4} - 3 x^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{29}}{2}}$

Câu 10:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - (m^{2} - 2) x + m^{2}$ có đồ thị là đường cong $(C)$ . Biết rằng các số thực $m_{1}; m_{2}$ của tham số m để hai điểm cực trị của $(C)$ và giao điểm của $(C)$ với trục hoành tạo thành 4 đỉnh của hình chữ nhật. Tính $T = m_{1}^{4} + m_{2}^{4}$

A. $T = 22 - 12 \sqrt{2}$

B. $T = 11 - 6 \sqrt{2}$

C. $T = \frac{3 \sqrt{2} - 2}{2}$

D. $T = \frac{15 - 6 \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x - m^{2} + 2$

Lấy $\frac{y}{y'}$ thì phần dư ta được PT đường thẳng qua các điểm cực trị là:

$y = \frac{2}{3} x (m^{2} + 1) + \frac{2 m^{2} + 2}{3}$

Phương trình hoành độ giao điểm là: $x^{3} - 3 x^{2} - (m^{2} - 2) x + m^{2} = 0 \begin{array}{l} \Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - m^{2} (x - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 2 x - m^{2}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ g (x) = x^{2} - 2 x - m^{2} = 0 \end{array} \end{array}$

Đk cắt tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' = 1 + m^{2} > 0 \\ g' (1) = - 1 - m^{2} \neq 0 \end{cases}$

Khi đó $(C)$ cắt Ox tại 3 điểm $A (x_{1}; 0); B (1; 0); C (x_{2}; 0)$ , theo Viet ta có: $x_{1} + x_{2} = 2 = 2 x_{B}$

Gọi M và N là tọa độ 2 điểm cực trị thì B là trung điểm của MN (Do B là điểm uốn)

Để $A M C N$ là hình chữ nhật thì $A C = M N \Leftrightarrow |x_{1} - x_{2}| = \sqrt{{(x_{M} - x_{N})}^{2} + \frac{4}{9} {(m^{2} + 1)}^{2} {(x_{M} - x_{N})}^{2}}$

Trong đó $\begin{array}{l} \{\begin{cases} x_{M} + x_{N} = 2 \\ x_{M} x_{N} = \frac{2 - m^{2}}{3} \end{cases} \Rightarrow 4 + 4 m^{2} = (4 + \frac{4 m^{2} - 8}{3}) [\frac{4}{9} {(m^{2} + 1)}^{2} + 1] \\ \Leftrightarrow {(m^{2} + 1)}^{2} = \frac{9}{2} \end{array}$

$[\begin{array}{l} m^{2} = \frac{3}{\sqrt{2}} - 1 \\ m^{2} = - \frac{3}{\sqrt{2}} - 1 \end{array} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{\frac{3}{\sqrt{2}} - 1}$

Do đó $T = m_{1}^{4} + m_{2}^{4} = 11 - 6 \sqrt{2}$

Câu 11:

Tìm số nghiệm của phương trình $\cos 2 x - \cos x - 2 = 0, x \in [0; 2 π]$

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} 2 \cos^{2} x - \cos x - 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = - 1 \\ \cos x = \frac{3}{2} \end{array} \\ \Rightarrow \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π (k \in ℤ) \end{array}$

$\begin{array}{l} x \in [0; 2 π] \Rightarrow 0 \leq π + 2 k π \leq 2 π \\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{1}{2} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = π \end{array}$

Câu 12:

Cho hàm số $y = \ln \frac{1}{x + 1}$ . Xác định mệnh đề đúng.

A. $x y' - 1 = e^{y}$

B. $x y' + 1 = - e^{y}$

C. $x y' - 1 = - e^{y}$

D. $x y' + 1 = e^{y}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y = - \ln (x + 1) \Rightarrow y' = - \frac{1}{x + 1}, e^{y} = \frac{1}{x + 1} \Rightarrow x y' + 1 = e^{y}$

Câu 13:

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\tan x = m (m \in ℝ)$

A. $x = \arctan m + k π$ hoặc $x = π - \arctan m + k π, k \in ℤ$

B. $\pm x = \arctan m + k π, k \in ℤ$

C. $x = \arctan m + k 2 π, k \in ℤ$

D. $x = \arctan m + k π, k \in ℤ$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 14:

Cho $a, b > 0, a \neq 1, b \neq 1, n \in ℕ *$ và $P = \frac{1}{\log_{a} b} + \frac{1}{\log_{a^{2}} b} + \frac{1}{\log_{a^{3}} b} + ... + \frac{1}{\log_{a^{n}} b} .$ Một học sinh đã tính giá trị của biểu thức P như sau

Bước 1: $P = \log_{b} a + \log_{b} a^{2} + \log_{b} a^{3} + .... + \log_{b} a^{n}$

Bước 2: $P = \log_{b} (a . a^{2} . a^{3} ... a^{n})$

Bước 3: $P = \log_{b} a^{1 + 2 + 3 + ... + n}$

Bước 4: $P = n (n - 1) \log_{b} \sqrt{a}$

Hỏi bạn học sinh đó đã giải sai từ bước nào?

A. Bước 1

B. Bước 3

C. Bước 2

D. Bước 4

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$\begin{array}{l} 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n}{2} (n + 1) \\ \Rightarrow P = \log_{b} a^{\frac{n}{2} (n + 1)} = n (n + 1) \log_{b} a^{\frac{1}{2}} = n (n + 1) \log_{b} \sqrt{a} \end{array}$

Câu 15:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{2 x - m}{x - 1}$ đồng biến trên các khoảng của tập xác định.

A. $m \in (1; 2)$

B. $m \in [2; + \infty)$

C. $m \in [2; + \infty)$

D. $m \in (- \infty; 2)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = \frac{m - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định $\Leftrightarrow y' > 0 \Leftrightarrow m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2$

Câu 16:

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{x^{2} - 3 x + 2}$

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số có tập xác định $D = ℝ \ \{1; 2\}$

Ta có $\lim_{x \to \infty} y = 1 \Rightarrow$ đồ thị hàm số có TCN $y = 1$

Mặt khác $x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \end{array}, \lim_{x \to 1^{-}} y = - \infty, \lim_{x \to 2^{+}} y = - \infty \Rightarrow$ đồ thị hàm số có 2 TCĐ $x = 1, x = 2$

Câu 17:

Người ta muốn thiết kế một bể cá theo dạng khối lăng trụ tứ giác đều, không có nắp trên, làm bằng kính, thể tích $8 m^{3} .$ Giá mỗi $m^{2}$ là 600.000 đồng. Gọi là số tiền kính tối thiểu phải trả. Giá trị t xấp xỉ với giá trị nào sau đây?

A. 11.400.000 đồng

B. 6.790.000 đồng

C. 4.800.000 đồng

D. 14.400.000 đồng

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi các kích thước của khối lăng trụ là $a, a, b (m) \Rightarrow a^{2} b = 8 \Leftrightarrow b = \frac{8}{a^{2}}$

Diện tích cần làm kính bằng

Ta có $\begin{array}{l} S = a^{2} + \frac{16}{a} + \frac{16}{a} \geq 3 \sqrt[3]{a^{2} \frac{16}{a} \frac{16}{a}} = 12 \sqrt[3]{4} \\ \Rightarrow S_{\min} = 12 \sqrt[3]{4} (m^{2}) \Leftrightarrow a^{2} = \frac{16}{a} \Rightarrow a = \sqrt[3]{16} (m) \end{array}$

Khi đó số tiền cần trả là $t = (12 \sqrt[3]{4}) 600000 \approx 11.400.000$ đồng

Câu 18:

Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Để người đó lãnh được số tiền 250 triệu đồng thì người đó cần gửi trong khoàng thời gian ít nhất là bao nhiêu năm? (nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền và lãi suất không thay đổi).

A. 12 năm

B. 13 năm

C. 14 năm

D. 15 năm

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi n là số năm cần gửi, suy ra $100 {(1 + 7 %)}^{n} \geq 250 \Leftrightarrow n \geq 13,54 \Rightarrow n = 14$

Câu 19:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là đường cong (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M (a; f (a)), a \in K .$

A. $y = f' (a) (x - a) + f (a)$

B. $y = f' (a) (x + a) + f (a)$

C. $y = f (a) (x - a) + f' (a)$

D. $y = f' (a) (x - a) - f (a)$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 20:

Cho hình lăng trụ đều $A B C . A' B' C'$ biết góc giữa hai mặt phẳng $(A' B C)$ và $(A B C)$ bằng $45 °$ , diện tích tam giác $A' B C$ bằng $a^{2} \sqrt{6}$ . Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ $A B C . A' B' C'$ .

A. $\frac{4 π a^{2} \sqrt{3}}{3}$

B. $2 π a^{2}$

C. $4 π a^{2}$

D. $\frac{8 π a^{2} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi I là trung điểm của BC. Đặt $A' A = x \Rightarrow A I = x, A' I = x \sqrt{2}$

Khi đó: $B C = 2 B I = 2. A I \tan 30 ° = \frac{2 x}{\sqrt{3}} \begin{array}{l} S_{A' B C} = \frac{1}{2} A I' . B C = a^{2} \sqrt{6} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} x \sqrt{2} . \frac{2 x}{\sqrt{3}} = a^{2} \sqrt{6} \Leftrightarrow x = a \sqrt{3} \end{array} \Rightarrow B C = \frac{2 x}{\sqrt{3}} = \frac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 a$

Bán kính mặt đáy hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là $R = \frac{{(2 a)}^{3}}{4 a^{2} \sqrt{3}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là $S_{x q} = 2 π . \frac{2 a}{\sqrt{3}} . a \sqrt{3} = 4 π a^{2}$

Câu 21:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{- 1\}$ và có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $- 1$

B. Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng.

C. Đồ thị hàm số và trục hoành có hai điểm chung.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

Đồ thị hàm số và trục hoành có hai điểm chung có hoành độ $x = 0$ và $x \in (- \infty; - 1)$

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông BCD cạnh a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tam giác SAB đều, M là trung điểm của SA. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD).

A. $\frac{a \sqrt{21}}{14}$

B. $\frac{a \sqrt{21}}{7}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{14}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{7}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AB và CD

Vì $\begin{array}{l} \frac{S M}{S A} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow d (M; (S C D)) = \frac{1}{2} d (A; (S C A)) = \frac{1}{2} d (I; (S C A)) \end{array}$

$= \frac{1}{2} I H$ , trong đó H là hình chiếu của I lên SE

Ta có $\frac{1}{I H^{2}} = \frac{1}{I S^{2}} + \frac{1}{I E^{2}} = \frac{1}{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{7}{3 a^{2}}$

$\Rightarrow I H = \frac{a \sqrt{21}}{7} \Rightarrow d (M; (S C D)) = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{21}}{7} = \frac{a \sqrt{21}}{14}$

Câu 23:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên các khoảng $(- \infty; \frac{1}{2})$ và $(\frac{1}{2}; + \infty)$ . Đồ thị hàm số $y = f (x)$ là đường cong trong hình vẽ bên. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. $\max_{[1; 2]} f (x) = 2$

B. $\max_{[- 2; - 1]} f (x) = 0$

C. $\max_{[- 3; 0]} f (x) = f (- 3)$

D. $\max_{[3; 4]} f (x) = f (4)$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số nghịch biến trên đoạn $[- 3; 0]$ nên $\max_{[- 3; 0]} f (x) = f (- 3)$

Câu 24:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây.

Hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = x^{4} + 4 x^{2} + 3$

B. $y = - x^{4} + 4 x^{2} + 3$

C. $y = x^{4} - 4 x^{2} + 3$

D. $y = x^{4} - 4 x^{2} - 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 25:

Cho các số thực dương a,b,c khác 1. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây.

A. $\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} b - \log_{a} c$

B. $\log_{a} b = \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b}$

C. $\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$

D. $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 26:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $A B = B C = a, B B' = a \sqrt{3} .$ Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng $(B C C' B')$ .

A. $45 °$

B. $30 °$

C. $90 °$

D. $60 °$

Xem đáp án

ĐÁP ÁN B

Ta có $\tan \overset{⏜}{A' B B'} = \frac{A' B'}{B B'} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \overset{⏜}{A' B B'} = 30 °$

Câu 27:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A,B Biết $S A ⊥ (A B C D)$ , $A B = B C = a, A D = 2 a, S A = a \sqrt{2} .$ Gọi E là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm $S, A, B, C, E .$

A. $\frac{a \sqrt{30}}{6}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. a

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi I là trung điểm của SC. Khi đó I là tâm mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C, E

Ta có: $A C = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}, S C = \sqrt{{(a \sqrt{2})}^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2}} = 2 a$

bán kính mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C, E là: $R = \frac{S C}{2} = a$

Câu 28:

Gọi A;B là các giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ và đường thẳng $y = - x - 1$ Tính AB.

A. $A B = 4$

B. $A B = \sqrt{2}$

C. $A B = 2 \sqrt{2}$

D. $A B = 4 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

PT hoành độ giao điểm là

$\frac{2 x + 1}{x + 1} = - x - 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 1 \\ x^{2} + 4 x + 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow x^{2} + 4 x + 2 = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x_{A} + x_{B} = - 4 \\ x_{A} x_{B} = 2 \end{cases}$

Suy ra

$A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(- x_{A} - 1 + x_{B} - 1)}^{2}} = \sqrt{2 {(x_{A} - x_{B})}^{2}} = \sqrt{2 {(x_{A} + x_{B})}^{2} - 8 x_{A} x_{B}} = \sqrt{2 {(- 4)}^{2} - 8.2} = 4$

Câu 29:

Cho nửa hình tròn tâm O đường kính AB. Người ta ghép hai bán kính OA;OB lại tạo thành mặt xung quanh một hình nón. Tính góc ở đỉnh của hình nón đó.

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $O A = R$ . Độ dài cung AB là: $l = π R$ . Gọi r là bán kính đáy của hình nón.

Ta có: $2 π r = π R \Leftrightarrow r = \frac{R}{2}$ . Gọi góc ở đỉnh của hình nón là $2 α$

Ta có $\sin α = \frac{\frac{R}{2}}{R} = \frac{1}{2} \Rightarrow α = 30 ° \Rightarrow 2 α = 60 °$

Câu 30:

Tính đạo hàm của hàm số $f (x) = \log_{2} (x + 1)$

A. $f' (x) = \frac{1}{x + 1}$

B. $f' (x) = \frac{x}{(x + 1) \ln 2}$

C. $f' (x) = 0$

D. $f' (x) = \frac{1}{(x + 1) \ln 2}$

Xem đáp án

ĐÁP ÁN D

Câu 31:

Cho 3 số $a, b, c > 0, a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1.$ Đồ thị các hàm số $y = a^{x}, y = a^{x}, y = c^{x}$ được cho trong hình vẽ dưới.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $b < c < a$

B. $a < c < b$

C. $a < b < c$

D. $c < a < b$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có hàm số $y = b^{x}; y = c^{x}$ đồng biến, hàm số $y = a^{x}$ nghịch biến nên $a < 1; b, c > 1$

Thay $x = 10$ , ta có $b^{10} > c^{10} \Rightarrow b > c$

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên và có đồ thị của hàm số $y = f' (x)$ là đường cong ở hình bên. Hỏi hàm số $y = f (x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Do f'(x) đổi dấu qua 3 điểm nên hàm số $y = f (x)$ có 3 điểm cực trị

Câu 33:

Gọi (C) là đồ thị hàm số $y = x^{2} + 2 x + 1$ , M là điểm di chuyển trên $(C); M t, M z$ là các đường thẳng đi qua M sao cho Mt song song với trục tung đồng thời tiếp tuyến của (C) tại M là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng $M t, M z .$ Khi M di chuyển trên (C) thì Mz luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?

A. $M_{0} (- 1; \frac{1}{4})$

B. $M_{0} (- 1; \frac{1}{2})$

C. $M_{0} (- 1; 1)$

D. $M_{0} (- 1; 0)$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M (a; a^{2} + 2 a + 1) \Rightarrow M t : x = a$

Lại có $y' = 2 x + 2$ do đó PTTT tại M là: $y = (2 a + 2) (x - a) + a^{2} + 2 a + 1$

Câu 34:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = m x^{3} + x^{2} + (m^{2} - 6) x + 1$ đạt cực tiểu tại $x = 1$

A. 1

B. -4

C. -2

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = 3 m x^{2} + 2 x + m^{2} - 6 \Rightarrow y'' = 6 m x + 2$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1 \Rightarrow y' (1) = 3 m + 2 + m^{2} - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 4 \end{array}$

Với $m = - 4 \Rightarrow y'' (1) = 6 m + 2 = - 22 < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = 1$

Với $m = 1 \Rightarrow y'' (1) = 6 m + 2 = 8 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$

Câu 35:

Cho khối chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có thể tích V. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $V = A B . B C . A A'$

B. $V = \frac{1}{3} A B . B C . A A'$

C. $V = A B . A C . A A'$

D. $V = A B . A C . A D$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 36:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 3)$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

ĐAP ÁN C

Câu 37:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng $(A B C), S B = 2 a .$ Tính thể tích khối chóp S,ABC.

A. $\frac{a^{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{3 a^{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S B . S_{A B C} = \frac{1}{3} .2 a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Câu 38:

Tính diện tích lớn nhất $S_{\max}$ của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính $R = 6 c m$ nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.

A. $S_{\max} = 36 π c m^{2}$

B. $S_{\max} = 36 c m^{2}$

C. $S_{\max} = 96 π c m^{2}$

D. $S_{\max} = 18 c m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựng hình như hình vẽ. Đặt $M N = 2 x \Rightarrow N P = \sqrt{R^{2} - x^{2}}$

Khi đó $S = 2 x . \sqrt{R^{2} - x^{2}} \leq R^{2} - x^{2} + x^{2} = R^{2}$

Vậy $S_{\max} = 36 c m^{2}$

Câu 39:

Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng biết $A B = A C = a, B C = a \sqrt{3}$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).

A. $30 °$

B. $150 °$

C. $60 °$

D. $120 °$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $S A ⊥ (B A C) \Rightarrow \overset{⏜}{(S A B); (S A C)} = \overset{⏜}{B A C}$ hoặc $180 ° - \overset{⏜}{B A C}$

Lại có $\cos \overset{⏜}{B A C} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 A B . A C} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \overset{⏜}{B A C} = 120 °$

Vậy $\overset{⏜}{(S A B); (S A C)} = 60 °$

Câu 40:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị là đường cong (C) và các giới hạn $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 1, \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 1, \lim_{x \to - \infty} f (x) = 2, \lim_{x \to + \infty} f (x) = 2.$ Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của (C)

B. Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của (C)

C. Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận ngang của (C)

D. Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của (C)

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 41:

Cho hàm số $y = - x^{4} + 6 x^{2} + 1$ có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Điểm $A (\sqrt{3}; 10)$ là điểm cực tiểu của(C)

B. Điểm $A (- \sqrt{3}; 10)$ là điểm cực tiểu của (C)

C. Điểm $A (- \sqrt{3}; 28)$ là điểm cực tiểu của (C)

D. Điểm A(0;1là điểm cực tiểu của (C)

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $y = - x^{4} + 6 x^{2} + 1$ , có $y' = - 4 x^{3} + 12 x; \forall x \in ℝ$

Ta có $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y (0) = 1 \\ x = \pm \sqrt{3} \Rightarrow y = (\pm \sqrt{3}) = 10 \end{array} \Rightarrow A (- \sqrt{3}; 10)$ là điểm cực đại của (C)

Câu 42:

Vòng quay mặt trời – Sun Wheel tại Công viên Châu Á, Đà Nẵng có đường kính 100m, quay hết một vòng trong khoảng thời gian 15 phút. Lúc bắt đầu quay, một người ở cabin thấp nhất (độ cao 0m). Hỏi người đó đạt được độ cao 85m lần đầu sau bao nhiêu giây (làm tròn đến 1/10 giây)

A. 336,1 s

B. 382,5 s

C. 380,1 s

D. 350,5 s

Xem đáp án

Đáp án A

Lúc bắt đầu quay, người đó ở vị trí A, khi đạt độ cao (điểm C) thì người đó đi được quãng đường là $L = A B$ (tô màu xanh)

Tam giác OBC vuông có

$\cos \overset{⏜}{B O C} = \frac{O C}{O B} = \frac{35}{50} \Rightarrow \overset{⏜}{B O C} = \arccos \frac{7}{10}$

Suy ra $\overset{⏜}{A O B} = π - \overset{⏜}{B O C} = π - \frac{π}{180} . a r c c o s \frac{7}{10}$

$\Rightarrow L = A B = \overset{⏜}{A O B} \times O A = 50 π (1 - \frac{1}{180} . \arccos \frac{7}{10}) m$

Mà quay một vòng tròn $(C = 100 π m)$ hết 15 phút

Do đó, khi đi được Lm sẽ hết $\frac{L \times 15}{100 π} \approx 5, 601$ phút

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D)$ . Biết $A C = a \sqrt{2}$ , cạnh SC tạo với đáy một góc 60 và diện tích tứ giác ABCD là $\frac{3 a^{2}}{2} .$ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Tính thể tích khối chóp H.ABCD.

A. $\frac{3 a^{3} \sqrt{6}}{6}$

B. $\frac{3 a^{3} \sqrt{6}}{2}$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{6}}{8}$

D. $\frac{3 a^{3} \sqrt{6}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Xác định góc $\overset{⏜}{S C; (A B C D)} = \overset{⏜}{S C; A C} = \overset{⏜}{S A C} = 60 °$

Tam giác SAC vuông tại A, có $\{\begin{cases} S A = \tan 60 ° . A C = a \sqrt{6} \\ H C = \cos 60 ° . A C = \frac{a \sqrt{2}}{2} \end{cases}$

$\Rightarrow \frac{d (H; (A B C D))}{d (S; (A B C D))} = \frac{H C}{S C} = \frac{a \sqrt{2}}{2} : 2 a \sqrt{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow d (H; (A B C D)) = \frac{a \sqrt{6}}{4}$

Vậy thể tích khối chóp H.ABCD là

$V_{H . A B C D} = \frac{1}{3} d (H; (A B C D)) . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{4} . \frac{3 a^{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{8}$

Câu 44:

Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ tại 3 điểm phân biệt A;B;C (B nằm giữa A và C) sao cho $A B = 2 B C$ . Tính tổng của các phần tử thuộc S.

A. -2

B. -4

C. 0

D. $\frac{7 - \sqrt{7}}{7}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là $x^{3} - 3 x^{2} = m \Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} - m = 0 (*)$

Để (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow - 4 < m < 0$

Khi đó, gọi $A (x_{1}; m), B (x_{2}; m), C (x_{3}; m)$ là giao điểm của (C) và $(d) \Rightarrow \{\begin{cases} \bar{A B} = (x_{2} - x_{1}; 0) \\ \bar{B C} = (x_{3} - x_{2}; 0) \end{cases}$

Mà B nằm giữa A, C và $A B = 2 B C$ suy ra $\bar{A B} = 2 \bar{B C} \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 2 (x_{3} - x_{2}) \Leftrightarrow x_{1} + 2 x_{3} = 3 x_{2}$

Theo hệ thức Viet cho phương trình (*), ta được $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3; x_{1} x_{2} x_{3} = m \\ x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = 0 \end{cases}$

Giải $\{\begin{cases} x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} = 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3 \\ x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = 0 \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} (x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (1 - \frac{5}{\sqrt{7}}; 1 + \frac{1}{\sqrt{7}}; 1 + \frac{4}{\sqrt{7}}) \\ (x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (1 + \frac{5}{\sqrt{7}}; 1 - \frac{1}{\sqrt{7}}; 1 - \frac{4}{\sqrt{7}}) \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} m = - \frac{98 + 20 \sqrt{7}}{49} \\ m = - \frac{98 - 20 \sqrt{7}}{49} \end{array} \Rightarrow \sum m = - 4$

Câu 45:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $A B = a, A D = a \sqrt{2}$ . Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của $B C, S H = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BHD.

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{5}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{17}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{11}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

Tam giác HCD vuông tại $C \Rightarrow H D = \sqrt{H C^{2} + C D^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Tam giác BCD vuông tại $C \Rightarrow \sin \overset{⏜}{C B D} = \frac{C D}{B D} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp $Δ H B D$ là

$R_{Δ H B D} = \frac{H D}{2. \sin \overset{⏜}{H B D}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} : \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}$

Bán kính mặt cầu cần tính là $R = \sqrt{R_{Δ H B D}^{2} + \frac{S H^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

Câu 46:

Tính diện tích xung quanh một hình trụ có chiều cao 20m, chu vi đáy bằng 5m.

A. $50 m^{2}$

B. $50 π m^{2}$

C. $100 π m^{2}$

D. $100 m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Bán kính đáy của hình trụ là $C = 2 π R = 5 \Rightarrow R = \frac{5}{2 π}$

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{x q} = 2 π R h = 2 π . \frac{5}{2 π} .20 = 100 m^{2}$

Câu 47:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a(a>0) thỏa mãn ${(2^{a} + \frac{1}{2^{a}})}^{2017} \leq {(2^{2017} + \frac{1}{2^{2017}})}^{a}$

A. $0 < a < 1$

B. $1 < a < 2017$

C. $a \geq 2017$

D. $0 < a \leq 2017$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có ${(2^{a} + \frac{1}{2^{a}})}^{2017} \leq {(2^{2017} + \frac{1}{2^{2017}})}^{a} \Leftrightarrow {(1 + 4^{a})}^{2017} \leq {(1 + 4^{2017})}^{a} \Leftrightarrow \frac{\ln (1 + 4^{a})}{a} \leq \frac{\ln (1 + 4^{2017})}{2017}$

Xét hàm số $f (t) = \frac{\ln (1 + 4^{t})}{t}$ với $t \in (0; + \infty) \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$

Mà $\frac{\ln (1 + 4^{a})}{a} \leq \frac{\ln (1 + 4^{2017})}{2017} \Leftrightarrow f (a) \leq f (2017)$ suy ra $a \geq 2017$

Câu 48:

Tìm hệ góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ tại điểm $M (- 2; 2)$

A. $k = \frac{1}{9}$

B. $k = 1$

C. $k = \sqrt{2}$

D. $k = - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Hệ số góc k cần tìm là $k = {(\frac{x}{x + 1})}^{'} |\begin{array}{l} x = - 2 \end{array} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} |\begin{array}{l} x = - 2 \end{array} = 1$

Câu 49:

Cho khối nón có chiều cao bằng 24cm, độ dài đường sinh bằng 26cm. Tính thể tích V của khối nón tương ứng.

A. $V = 800 π c m^{3}$

B. $V = 1600 π c m^{3}$

C. $V = \frac{1600 π}{3} c m^{3}$

D. $V = \frac{800 π}{3} c m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Bán kính đáy của hình nón là $r = \sqrt{l^{2} - h^{2}} = \sqrt{26^{2} - 24^{2}} = 10$ cm

Thể tích khối nón cần tính là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{π}{3} {.10}^{2} .24 = 800 π c m^{3}$

Câu 50:

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc với nhau, $O A = \frac{a \sqrt{2}}{2}, O B = O C = a$ . Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC)Tính thể tích khối tứ diện OABH

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{24}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{48}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M là trung điểm của $B C \Rightarrow B M ⊥ (O A M)$

Vì $O H ⊥ (A B C) \Rightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} \Rightarrow O H = \frac{a}{2}$

Tam giác OAH vuông tại H, có $A H = \sqrt{O A^{2} - O H^{2}} = \frac{a}{2}$

Diện tích tam giác vuông OAH là $S_{Δ O A H} = \frac{1}{2} . O H . A H = \frac{a^{2}}{8}$

Thể tích khối chóp OABH là

$V_{O A B H} = \frac{1}{3} . B M . S_{Δ O A H} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{a^{2}}{8} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{48}$